数列在日常经济生活中的应用教学设计-高二下学期数学北师大版选择性

教学设计

课程基本信息学科数学年级高二学期春季作品名称数列在日常经济生活中的应用教科书书名：数学高二必修二出版社：北京师范大学出版社出版日期：2011年9月教学目标1.通过学习，学生感受数列在日常经济生活中应用。2.理解并掌握“零存整取模型”、“定期自动转存模型”、“分期付款模型”。3.通过生活中的案例，带着学生分析问题、解决问题，加强学生利用本学科解决日常生活中问题的意识，增强学生的学科自信心。教学内容教学重点：1.通过学习，学生感受数列在日常经济生活中应用。2.理解并掌握“零存整取模型”、“定期自动转存模型”、“分期付款模型”。教学难点：通过生活中的案例，带着学生分析问题、解决问题，加强学生利用本学科解决日常生活中问题的意识，增强学生的学科自信心。教学过程一、目标导入情景模拟：过年的时候，小华收到了长辈们给的压岁钱，在规划完要花费的部分后，还有剩余，想到每年爸爸妈妈都会在银行存钱，于是小华找到爸爸来了解有关银行的存储问题。和爸爸聊天后，陈红知道了银行的储蓄业务。本节课，我们将一同来了解这部分知识。学生：老师，储蓄和贷款具体是什么内容呢？教师：银行业务发展至今推出的理财产品已是五花八门，就算同为存款，却还有零存整取和定期自动转存之分。今天我们要借助数列知识了解“零存整取”、“定期自动转存”这两个模型，让我们一起走进银行。引出课题：数列在日常经济生活中的应用。【设计意图】带入陈红要规划自己的压岁钱这一事情，将数学知识与生活实际联系起来，用生活中的实例，让学生更好的接受本节课内容，同时提高学生的学生兴趣培养学生的基础理财意识。教授新知零存整取模型知识讲解（1）银行的零存整取储蓄业务，即每月定期存入一笔相同数目的现金，这是零存；到约定日期，可以取出全部本金与利息和（以下简称本利和），这是整取。现在有一年、三年、五年3中，年利率分别为1.35%，1.55%，1.55%。存期年利率（%）一年1.35三年1.55五年1.55教师：本节课我们用符号带边一下信息。P：本金n：存期r：利率S：本利和关于存款我们还需要了解以下概念，请看。（2）利息教师：利息就相当于我们把钱借给了银行，而在这期间，银行会按照一定的比例给予我们一定的报偿。计算公式为：利息=本金×利率×存期（3）单利教师：单利的计算仅是在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息。请结合概念，小组讨论，说一说什么是单利，其本利和公式是什么？学生1：比如，我们往银行存了100元期限为三年，一年后产生了1.55元的利息，第二年和第三年产生的利息还是1.55，那么三年一共产生的利息就是1.55×3=4.65，最终三年取款时的本利和就是104.65元，在存储期间产生的利息钱不再计算利息，这便是单利计算。学生2：本利和=本金＋利息=本金＋本金×利率×存期=本金（1+利率×存期）教师：说的非常详细了，在这里我们用公式表示即为，S=P（1+nr）复利教师：复利是指一笔资金除本金产生利息外，在下一个计息周期内，以前各计息周期内产生的利息也计算利息的计息方法。教师：通俗的讲，就是存款后的次年再计算利息时，要把前年的本利和作为今年的本金去计算利息。这便是复利，我们用公式表示即为S=P（1+r）n【设计意图】先向学生介绍基础的利息、单利、复利的概念，并把公式给到学生，为下面“零存整取模型”做铺垫。2、牛刀小试现在有一年、三年、五年3中，年利率分别为1.35%，1.55%，1.55%。规定每次存入的钱不计复利。请小组讨论分析并回答以下问题的解题思路。存期年利率（%）一年1.35三年1.55五年1.55（1）若每月存入金额为x元，月利率r保持不变，存期为n个月，试推导出到期整取时本利和的公式；学生1：根据题意，第1个月存入的金额为x元，到期利息为xrn元；学生2：我觉得有点小问题，第一个月的存期就是1个月，所以存期n就是1，到期利息就是xr元。教师：看来两位同学有了不同的观点。其实是这样的，本次存款我们的存期是固定的n，然后，每月存入固定的钱，那么第一个月存入的钱的存期就是n个月，最终可以的到n个月的利息。比如说，每月存入100元，存12个月，那么第一个月就能得到12个月的利息；第2个月存入100，距离整个到期还有11个月，所以能得到11个月的利息。学生2：我明白啦！根据题意如果，第2个月存入的金额为x元,到期利息为xr(n1)元……第n个月存入的金额为x元,到期利息为xr元不难看出,这是一个等差数列求和的问题。教师：你的思路逻辑非常清晰，说的太完整啦！教师：根据刚才同学的分析，请看详细解题过程。（2）若每月初存入500元，到第3年整取时的本利和是多少？(精确到0.01元)学生1：题干说年利率是1.55%，那么月利率就是。学生2：根据题意得知，x=500，，n=36，那我们把以上数据代入到①式当中，本利和就可以得出来了。教师：回答正确！你们的小脑瓜真聪明！请看详细解题过程。（3）若每月初存入一定金额，希望到1年后整取时取得本利和2000元，则每月初应存人的金额是多少？(精确到0.01元)学生1：根据题意，一年期的利率是1.35%，那么每月的利率就是，n=12。学生2：题目中我们要求的是每月要存的钱就是要求x的值，而本利和y是已知的，那我们就可以①的变式来求x，；把相关的数值带入计算就可以了。教师：嗯嗯，两位同学说的都非常得好，同学们的反应都很迅速呢！请看详细过程。教师：我们来总结一下“零存整取模型”的几个关键词，每月存入金额是固定相等的，单利，等差数列求和。【设计意图】在本环节设置牛刀小试的形式，并且设置多个练习题来和学生互动，在加深学生对“零存整取模型”的理解和运用的同时，还帮助学生巩固知识结构提高思维活跃能力。在互动环节，增加学生与学生的质疑环节，突出学生对知识存在的矛盾点，帮助学生细化知识掌握。定期自动转存模型1、知识讲解学生：定期自动转存就是存钱到期以后自动再存一遍么？教师：意思相近，这是银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转存，例如，储户某日存入一笔1年期定期存款，1年后，如果储户不取出本利和，则银行按存款到期时的1年期定期存款利率自动办理转存业务，第2年的本金就是第1年的本利和，按照定期存款自动转存的储蓄业务。学生：那这个模型比较适合到期了会忘记取出的人，这样便不会有空白期，会保证基本的利息。教师：嗯嗯，说的非常有道理！我们假定无利率变化调整因素，我们来讨论以下问题。【设计意图】先向学生讲解清楚“定期自动转存模型”的运行规则，为下面继续讨论“定期自动转存模型”奠定理论基础。2、头脑风暴（1）如果储户存入定期为1年的P元存款，定期年利率为r，连存n年后，再取出本利和.试求出储户，年后所得本利和的公式。教师：请同学们接龙说一说前两年的本利和，并说一说你的发现。学生1：第一年存入的本金是P元，1年到期后的利息为Pr元，设1年后本利和为a1。学生2：第二年存入的本金就是a1，2年后到期的利息为a1r，设2年后本利和为a2。学生3：不难看出，各年的本利和是一个首项a1=P(1+r)、公比q=1+r的等比数列{an},故n年后到期的本利和为教师：哇，接龙接的又快又好，真是太棒啦！请看详细过程。（2）如果存入1万元定期存款，存期1年，年利率为1.75%，那么5年后共得本利和多少元？(精确到0.01元)学生：由（1）可知，5年后的本利和为a5，代入相关数值得a5=10000×（1+0.0175）5。教师：回答正确！我们可以算得最终的结果大约是10906.17元。因此，5年后共得本利和约为10906.17元。教师：我们来总结一下“定期自动转存模型”的关键词，到期不取自动转存，复利，等比数列。你学会了嘛？【设计意图】以接龙的形式进行头脑风暴，增加课堂的趣味性，并帮助学生更好地掌握“定期自动转存模型”规则，达到熟练运用的程度。三、知识拓展情景模拟：小华在了解银行储蓄业务后，就把自己一部分的压岁钱存到了银行，但是近期小华想要学习编程知识，准备购买一台售价为5000元的电脑。由于小华存了一部分压岁钱，他的资金不够了，为了不浪费银行的利息，它决定采用分期付款的方式，并想要在一年内将款全部付清。商场提出的付款方式为：购买后2个月的月末第1次付款，再过2个月第2次付款……购买后第12个月末第6次付款，每次付款金额相同，约定月利率为0.6%，每月利息按复利计算。教师：同学们，小华每次应付的金额是多少?(精确到0.01元)学生1：我们假定小华每次还款的金额是x元，那么第2个月末还款后，本利欠款数为A2元，那么就有。学生2：第4个月末还款后，本利欠款数为A4元，那么就有。学生3：第6个月末还款后，本利欠款数为A6元，那么就有。学生4：根据以上规律得，第12个月末还款后，本利欠款数为A12元，那么就有。学生5：根据题意，小华要1年还清，那么这时A12=0，代入到式子中，就能得到消化每次应付的金额是多少了。教师：完全正确！好的！同学们，规律已经被你们找出来啦。大家都是最优秀的！请看详细的解题过程。教师：“分期付款”的关键词是，每次付款金额相同，复利，等比数列求和【设计意图】通过情景拓展引入“分期付款模型”，让课堂更具连贯性，在讲解“分期付款模型”时，学生自主分析并回答解题过程，体现学生学习的主体性。四、课堂总结教师：同学们，我们这节课就要接近尾声啦，让我们来回顾一下今天学习的三个模型吧！1.零存整取模型2.定期自动转存模型3.分期付款模型教师：在模型学习中，我们运用到了“等差数列”、“等比数列”的知识，等差数列、等比数列是日常经济生活中的重要数学模型。例如，存款、贷款、购物(房车)分期付款、保险、资产折旧等问题都与其相关。请及时巩固复习，为打造自己的小金库奠定坚实的理论基础哦！【设计意图】总结本节课内容，重申本节课的主题，帮助学生明确本节课的重要知识点。作业任务教师：请同学们结合本节课所学知识，完成下列题目。1.小蕾2018年1月31日存人银行若干万元,年利率为1.75%，到2019年1月31日取款时,银行按国家规定给付利息469元，则小蕾存人银行的本金介于()元之间，并说明理由。A.1万~2万B.2万~3万C.3万~4万D.4万~5万2.小峰2019年元旦在银行存款1万元，办理一年定期储蓄，年利率为1.75%，以后按约定自动转存，请计算小峰到2023年元旦得到的本利和。(精确到0.01元)解析：B解：设小雷存入银行的本金为x元，0.0175x×（20192018）=469，解得x=26800（元）故介于2~3万元之间。1.07万元解：由题意得，一年后本利和为1+1.75%两年后本利和为（1+1.75%）2三年后本利和为（1+1.75%）3四年后本利和为（1+1.75%）4≈1.07（万元）因此，小峰到2023年元旦得到的本利和约为1.07万元【设计意图】巩固本节课所学知识。六、课后思考思考：在数列的学习过程中，我们得到过一些公式，它们都是与正整数n有关的命题。对于与正整数n有关的命题，怎样证明它们对每一个正整数,都正确呢？【设计意图】在学生已经掌握基本的数列知识后，加入课后思考，引导学生对数列公式的推导过程产生好奇心，为下节内容做铺垫。板书设计数列在日常经济生活中的应用零存整取模型定期自动转存模型分期付款模型教学反思成功之处：在教学过程中设置了银行存钱的情景，激发学生的学生兴趣；设置多重任务群，并通过接龙的方式，使学生在接龙中理解并分析相关模型规则；在讲“零存整取模型”时，加入了学生质疑，教师帮助