2026年上海市普通高校春季高考数学仿真模拟卷02（考试版及全解全析）

1/22026年上海市普通高校春季高考数学仿真模拟卷02（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.已知集合，若全集，则.2.不等式解集为．3.已知为虚数单位，复数z满足，则．4.已知向量，若与互相垂直，则．5.已知，则＝6.已知二项式的展开式中第四项与第七项的二项式系数相等，则展开式中常数项为.7.数列共有5项，前三项成等差数列，且公差为，后三项成等比数列，且公比为.若第1项为1，第2项与第4项的和为18，第3项与第5项的和为35，则.8.关于的方程的解集为.9.已知圆锥的轴截面是等边三角形，为底面弧的中点，为母线的中点，则异面直线和所成角的大小为10.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，倾斜角为的直线与双曲线11.阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有，，当的面积最大时，则的长为.12.已知向量满足：为单位向量，且和相互垂直，又对任意不等式恒成立，若，则的最小值为．二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分)13.在正四棱台中，，，且该正四棱台的体积为28，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．14.一枚质地均匀的硬币掷出正面与反面的概率均等，将该硬币连续抛掷三次，已知三次中至少有一次正面，则三次中恰好有两次正面的概率为（

）A． B． C． D．15.已知函数，若，则是（

）A．奇函数，在上为严格减函数B．奇函数，在上为严格增函数C．偶函数，在上严格减，在上严格增D．偶函数，在上严格增，在上严格减16．已知关于x的不等式在区间内有k个整数解，则k的值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分）17.（第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，在三棱锥中，平面平面，O为的中点，是边长为1的等边三角形，点E在棱上，；（1）证明：；且当时，求点E到直线的距离；（2）若二面角的大小为，求三棱锥的体积．18.（第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数.（1）若，求函数在区间上的最大值和最小值；（2）若，且在中，角，，所对的边分别为，，，，，，求的面积；19.（第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分）某汽车销售公司为了提升公司的业绩，将最近一段时间内每日的汽车销售情况进行了统计，如图所示.（1）求的值，并求该公司这段时间内每日汽车销售量的第60百分位数；（2）以频率估计概率，若在这段时间内随机选择4天，设每日汽车销售量在内的天数为，在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，求的分布列及数学期望；（3）为增加销售量，公司规定顾客每购买一辆汽车可以进行一次抽奖活动，规则如下：在三棱锥中，、均是边长为2的正三角形，，现从写有数字1~8的八个标签中随机选择两个分别贴在、两个顶点，记顶点、上的数字分别为和，若为侧棱上一个动点，满足，当“二面角大于”即为中奖，求中奖的概率.20.（第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）如图，在平面直角坐标系中，分别为双曲线Г：的左､右焦点，点D为线段的中点，直线MN过点且与双曲线右支交于两点，延长MD､ND，分别与双曲线Г交于P､Q两点；（1）已知点，求点D到直线MN的距离；（2）求证：；（3）若直线MN､PQ的斜率都存在，且依次设为k1､k2.试判断是否为定值，如果是，请求出的值；如果不是，请说明理由；21.（第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）新定义：已知函数，若的最小正周期为T，则称是“P级半周期函数对”（1）试判断：①：，

②：与是否为级半周期函数对；（2）若和定义域均为，求证：命题①：和是“0级半周期函数对”是命题②：对于任意，都有和是“P级半周期函数对”的充要条件；（3）若和是“P级半周期函数对”，其中是奇函数，的定义域为，若已知数列的前n项和为，且当时满足，求：数列所有项的和；言身寸微信：sh_xlg

2026年上海市普通高校春季高考数学仿真模拟卷02（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.已知集合，若全集，则.【提示】根据补集运算求解即可；【答案】；【解析】因为，，所以，故答案为：【说明】本题考查补集的概念及运算2.不等式解集为．【提示】将分式不等式转化为一元二次不等式求解；【答案】【解析】不等式化为，解得，所以原不等式的解集为.故答案为：【说明】本题主要考查了分式不等式、解不含参数的一元二次不等式3.已知为虚数单位，复数z满足，则．【提示】利用复数乘法和除法法则计算出，由模长公式求出答案.【答案】【解析】，故.故答案为：【说明】本题考查了复数的除法运算、求复数的模、复数代数形式的乘法运算、复数的乘方4.已知向量，若与互相垂直，则．【提示】利用向量垂直满足数量积为0，代入坐标，建立方程，计算即可求解.【答案】或【解析】因为，故，，若与互相垂直，则，即，解得或.故答案为：或.【说明】本题考查了利用向量垂直求参数、空间向量的坐标运算5.已知，则＝【提示】利用余弦二倍角公式以及同角三角函数关系式，化简整理，可得答案.【答案】【解析】.故选：A.【说明】本题考查了已知弦（切）求切（弦）、二倍角的余弦公式、正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系6.已知二项式的展开式中第四项与第七项的二项式系数相等，则展开式中常数项为.【提示】依题意可得，，从而可求得，利用其通项公式即可求得展开式中的常数项；【答案】【解析】由题意可得，，解得，所以展开式的通项为，由得，，所以常数项为第七项．故答案为：【说明】本题考查了由项的系数确定参数、求指定项的系数7.数列共有5项，前三项成等差数列，且公差为，后三项成等比数列，且公比为.若第1项为1，第2项与第4项的和为18，第3项与第5项的和为35，则.【提示】根据等差、等比数列通项列出5项，结合题意列式求解即可.【答案】5【解析】由题意可知：数列的有5项为，因为，则，可得，整理可得，解得或（舍去），若，可得，即，所以.故答案为：5.【说明】本题考查了等比数列通项公式的基本量计算、等差数列通项公式的基本量计算8.关于的方程的解集为.【提示】先确定各个绝对值对应的零点，利用零点分段法分类讨论，分别求出方程的解，即可得解.【答案】【解析】易知方程中三个绝对值对应的零点分别为：，，，则：①时，原方程可化为，解得，不符合题意，舍去；②时，原方程可化为，解得，符合题意；③时，原方程可化为，即恒成立，故，符合题意；④时，原方程可化为，解得，此时不符合题意，故舍去，综上可知，原方程的解集为．故答案为：．【说明】本题考查了教材对与含绝对值方程与不等式的研究过程；9.已知圆锥的轴截面是等边三角形，为底面弧的中点，为母线的中点，则异面直线和所成角的大小为【提示】如下图所示，连接OP，OC，过点D作底面于H，连接CH，根据中位线定理得，所以（或其补角）就是异面直线和所成的角，设，解三角形可求得答案；【答案】；【解析】如下图所示，连接OP，OC，过点D作底面于H，连接CH，因为为母线的中点，所以，所以（或其补角）就是异面直线和所成的角，设，则，所以，所以，又，所以满足，所以，所以异面直线和所成角为，故答案为：.【说明】本题考查了求异面直线所成的角的方法；10.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，倾斜角为的直线与双曲线【提示】利用双曲线的性质及余弦定理计算即可；【答案】【解析】因为倾斜角为的直线与双曲线在第一象限交于点，可知直线的倾斜角大于双曲线的一条渐近线的倾斜角，即，设，则，根据可知，在中，由余弦定理可知，即，则，故故答案为：【说明】本题考查了双曲线定义的理解、余弦定理解三角形、求双曲线的离心率或离心率的取值范围；11.阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有，，当的面积最大时，则的长为.【提示】利用正弦定理将角化边，即可求得点的轨迹方程，然后确定三角形面积的最大值和点的坐标，最后求解的长度即可；【答案】【解析】因为，由正弦定理可得，即，因为，不妨令，，建立如图所示的平面直角坐标系，设点的坐标为，点的轨迹方程满足：，整理可得：，，即点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆（除与轴两交点外），当点的坐标或时三角形的面积最大，其最大值为，由勾股定理可得．故答案为：．【说明】本意考查了解析几何中的轨迹问题——圆、正弦定理边角互化的应用；12.已知向量满足：为单位向量，且和相互垂直，又对任意不等式恒成立，若，则的最小值为．【提示】根据向量垂直及数量积运算律得，令，，，则，，结合不等式恒成立及对应几何意义得，进而有，最后应用向量数量积的运算律得到关于的表达式求最值；【答案】【解析】由题设，又，则，令，，，则，，由，即恒成立，数形结合易知，所以，得，，其对称轴为，所以，则.故答案为：；【说明】向量与几何最值、垂直关系的向量表示、已知数量积求模、数量积的运算律二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分)13.在正四棱台中，，，且该正四棱台的体积为28，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【提示】解法一：通过作辅助线构造异面直线所成角，再利用四棱台体积公式求出高，结合平面几何知识和余弦定理求解.解法二：建立空间直角坐标系，求出相关向量，利用向量的夹角公式求解，再根据异面直线所成角的范围得到结果.【答案】D【解析】方法1：过点作，交于点，则为异面直线与所成的角或其补角.设该正四棱台的高为，则，得.，故.过点作交于点，则，.连接，易得，在中，利用余弦定理可得，故异面直线与所成角的余弦值为.方法2：设该正四棱台的高为，上底面与下底面的中心分别为，，连接，由题知，得.由正四棱台的性质知平面，以为坐标原点，过点分别与平行的直线为轴，轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，所以，，，故异面直线与所成角的余弦值为.故选：D.【说明】本题考查了异面直线夹角的向量求法、求异面直线所成的角、台体体积的有关计算；14.一枚质地均匀的硬币掷出正面与反面的概率均等，将该硬币连续抛掷三次，已知三次中至少有一次正面，则三次中恰好有两次正面的概率为（

）A． B． C． D．【提示】利用条件概率中的缩小样本空间的方法求解即可.【答案】B【解析】设事件“三次中至少有一次正面”，事件“三次中恰好有两次正面”，依题意，正反反，反正反，反反正，正正反，正反正，反正正，正正正，正正反，正反正，反正正，则正正反，正反正，反正正，则三次中恰好有两次正面的概率为.故选：B.【说明】计算条件概率、独立事件的乘法公式15.已知函数，若，则是（

）A．奇函数，在上为严格减函数B．奇函数，在上为严格增函数C．偶函数，在上严格减，在上严格增D．偶函数，在上严格增，在上严格减【提示】由可知为奇函数,利用奇偶函数的概念即可判断设的奇偶性,从而得到答案；【答案】B【解析】为奇函数,又是奇函数,可排除C,D.又在上单调递增.故选：B【说明】函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性16．已知关于x的不等式在区间内有k个整数解，则k的值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【提示】由二倍角正弦公式有，讨论、，结合正余弦函数的性质解不等式求解集，进而确定整数解的个数；【答案】C【说明】由题设，显然，当，则，此时，当，则，此时，所以，整数解有，共5个整数解.故选：C【说明】本题考查了解正弦不等式、解余弦不等式、二倍角的正弦公式；三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分）17.（第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，在三棱锥中，平面平面，O为的中点，是边长为1的等边三角形，点E在棱上，；（1）证明：；且当时，求点E到直线的距离；（2）若二面角的大小为，求三棱锥的体积．【提示】（1）由平面平面，证得平面，进而证得；取的中点，过作与交于点，可得，，两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式求出，可得，点到直线的距离为，计算即可；（2）设，求出平面和平面的法向量，由二面角的大小为求出的值，进而可求出三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；；（2）【解析】（1）因为，为的中点，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以；取的中点，因为为正三角形，所以，过作与交于点，则，所以，，两两垂直，以点为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，，，，又，所以，则，所以点到直线的距离为；（2）设，则，因为平面，故平面的一个法向量为，设平面的法向量为，又所以由，得，令，则，，故，因为二面角的大小为，所以，解得，所以，

又，所以，故三棱锥的体积．【说明】线面垂直证明线线垂直、点到直线距离的向量求法、已知面面角求其他量、锥体体积的有关计算18.（第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数.（1）若，求函数在区间上的最大值和最小值；（2）若，且在中，角，，所对的边分别为，，，，，，求的面积；【提示】（1）根据余弦的二倍角公式可化简，即可利用整体法，结合余弦函数的性质求解；（2）根据二倍角公式以及辅助角公式化简，代入可得，即可利用余弦定理求解，由面积公式求解即可；【答案】（1）；（2）；【解析】（1）当时,,当时,,则,故,因此（2）当时,,故,即,由于,故,所以,即,由余弦定理可得,解得(负值舍去),故【说明】本题考查了二倍角的余弦公式、求cosx(型)函数的值域、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形；19.（第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分）某汽车销售公司为了提升公司的业绩，将最近一段时间内每日的汽车销售情况进行了统计，如图所示.（1）求的值，并求该公司这段时间内每日汽车销售量的第60百分位数；（2）以频率估计概率，若在这段时间内随机选择4天，设每日汽车销售量在内的天数为，在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，求的分布列及数学期望；（3）为增加销售量，公司规定顾客每购买一辆汽车可以进行一次抽奖活动，规则如下：在三棱锥中，、均是边长为2的正三角形，，现从写有数字1~8的八个标签中随机选择两个分别贴在、两个顶点，记顶点、上的数字分别为和，若为侧棱上一个动点，满足，当“二面角大于”即为中奖，求中奖的概率.【提示】（1）根据频率之和为1可求的值，再根据百分位数的概念求第60百分位数.（2）根据条件概率计算，求的分布列和期望.（3）根据二面角大于，求出可对应的情况，再求中奖的概率.【答案】（1），175；（2）分布列见解析，；（3）；【解析】（1）由.因为：，，所以每日汽车销售量的第60百分位数在，且为.（2）因为抽取的1天汽车销售量不超过150辆的概率为，抽取的1天汽车销售量在内的概率为.所以：在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，抽取的1天汽车销售量在内的概率为.由题意，的值可以为：0，1，2，3.且，，，.所以的分布列为：0123所以.（3）如图：取中点，链接，，，，.因为，都是边长为2的等边三角形，所以，，，平面，所以平面.平面，所以.所以为二面角DE平面角.在中，，所以.若，在中，由正弦定理：.此时：，.所以，要想中奖，须有.由是从写有数字1~8的八个标签中随机选择的两个，所以基本事件有个，满足的基本事件有：，，，，，，，，共9个，所以中奖的概率为：.【说明】本题考查了计算条件概率、由二面角大小求线段长度或距离、补全频率分布直方图；关键：在第（2）问中，首先要根据条件概率的概念求出事件“在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，抽取的1天汽车销售量在内的概率”.20.（第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）如图，在平面直角坐标系中，分别为双曲线Г：的左､右焦点，点D为线段的中点，直线MN过点且与双曲线右支交于两点，延长MD､ND，分别与双曲线Г交于P､Q两点；（1）已知点，求点D到直线MN的距离；（2）求证：；（3）若直线MN､PQ的斜率都存在，且依次设为k1､k2.试判断是否为定值，如果是，请求出的值；如果不是，请说明理由；【提示】（1）求得点坐标和直线的方程，由此求得到直线的距离.（2）对的斜率是否存在进行分类讨论，由此证得结论成立.（3）设出直线的方程并代入双曲线方程，求得的坐标，由此计算是定值.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）是定值.【详解】（1），所以，则，直线的方程为，即，所以到直线的距离为.（2）直线的斜率不存在时，，直线的斜率存在时，，，整理得.综上所述，成立.（3）依题意可知直线的斜率存在且不为，设直线的方程为，代入双曲线并化简得：①，由于，则代入①并