2026年上海市普通高校春季高考数学仿真模拟卷04（全解全析）

1/22026年上海市普通高校春季高考数学仿真模拟卷04（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．5-13ii的共轭复数是【答案】-13+5i/5i-13【解析】因为5-13ii所以5-13ii的共轭复数是-13+5i故答案为：-13+5i2．已知集合A=m+5,m+1,0，若【答案】3【解析】由4∈A可得m+5=4或m+1=4，解得m当m=-1时，A当m=3时，A={8,4,0}满足故答案为：3.3．已知a2+16b2=2【答案】2【解析】a+4b2当a=4所以a+4故答案为：24．不等式|3-2x|<1的解集是【答案】x【解析】由|3-2x|<1可得-1<2x故不等式的解为x1<故答案为：x5．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若A=2π3，b+c【答案】2【解析】因为sinC=2sinB代入b+c=6，可得b+2b所以由余弦定理可得a2=b故答案为：276．已知x-24=a【答案】-16【解析】因为x-24的展开式通项为可得ar所以a3故答案为：-16.7．设Sn为数列an的前n项和，若Sn【答案】513【解析】数列an中，Sn+3=2an两式相减得an=2an-2而S1+3=2a1+1，解得a则an-1=1×2n-1故答案为：5138．已知直线3x+4y+9=0与直线【答案】25/【解析】因为直线3x+4y所以34=6m，解得m=8所以两平行直线间的距离是d=故答案为：29．在△ABC中，CA=CB=5，AB=4，点M为△ABC【答案】-45【解析】在△ABC中，由余弦定理cosC=又AM⋅BC=0，故M点在△则以BC所在直线为x轴，以其上的高线为y轴建立平面直角坐标系如下所示：

又cos∠ACO=-cosC故OA=AC×sin∠则A0,455,故AM⋅CM=也即AM⋅CM的最小值为故答案为：-410．设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)【答案】(【解析】由题意可得双曲线的渐近线的斜率的绝对值为ba，则0<所以e1=c所以e1e2则35故答案为：3511．有一直角转弯的走廊（两侧与顶部封闭），已知两侧走廊的高度都是6米，左侧走廊的宽度为33米，右侧走廊的宽度为1米，现有不能弯折的硬管需要通过走廊．设可通过的最大极限长度为l米（不计硬管粗细）．为了方便搬运，规定允许通过此走廊的硬管的最大实际长度为m=0.8l米，则m【答案】8【解析】如图，铁管不倾斜时，令∠PAMPA=1sinθ，PB=3f'令f'θ<0，解得：0<θ<所以fθ在0,π6所以f(此时通过最大长度l'≤AB，所以l所以m=0.8×10=8故答案为：8.12．已知数列an的首项为1，Sn是an的前n项和，且Sn+1+Sn-1=2S【答案】2【解析】由Sn+1+Sn即an+1=1+(-13)+故an若存在n∈N*当n为奇数时，an=3由an+1-此时，存在n∈N*故[34(1-也即23当n为偶数时，an=3由an+1-此时，存在n∈N*故[34(1-也即23综上，可得实数m的取值范围为23故答案为：23二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分)13．取正方体六个表面的中心，构成正八面体，如图所示，正八面体的12条棱中异面直线的对数为（

）

A．16 B．24 C．32 D．48【答案】B【解析】先任选一条棱，余下的11条棱中与它异面的有4条，故共有4×122故选：B．14．若a>A．a2>b2 B．1a<【答案】D【解析】AB.若a=1,b=-3，此时aC.若a=0,b=-D.根据指数函数的单调性可知，当a>b，得故选：D15．某商场推出抽奖活动，在甲抽奖箱中有四张有奖奖票，六张无奖奖票；乙抽奖箱中有三张有奖奖票，七张无奖奖票.每人能在甲乙两箱中各抽一次，以A表示“在甲抽奖箱中抽奖中奖的事件”，B表示“在乙抽奖箱中抽奖中奖的事件”，C表示“两次抽奖均未中奖的事件”，下列结论中不正确的是（

）A．PB．A与B相互独立C．PD．A与B互斥【答案】D【解析】由题意可知：PA=410=25因为在甲抽奖箱抽奖和在乙抽奖箱抽奖互不影响，可知事件A和事件B相互独立，故B正确，D错误；可得PC又因为PAB所以PAB+故选：D.16．已知曲线C:sin(x+2y)=2x-y，Px0,y0为曲线C上任一点，命题PA．命题P和命题Q都为真 B．命题P为真，命题Q为假C．命题P为假，命题Q为真 D．命题P和命题Q都为假【答案】C【解析】命题P：由消元法可得sin3x+2当x>2或x<0时，x-1>1下面考虑0,2上方程sin3设s(x)=sin设θ∈0,π2且cosθ所以cos3又因为x∈0,2所以cos3x+2=1而s'故当0<x<x1或x2<x故s(x)在0,x1而s(0)=sin2+1>0，x2>1s(95)=sin37故s(95)>0，s(2)=sin8-1<0，故s命题Q：由sinx+2y=2x对sinx+2y=2x-y则cosx故当x=2+π当x=2+π2+2故曲线C与直线y=2x-1故选：C.三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分）17．如图，在四棱锥P-ABCD中，△ADC与△BAC均为等腰直角三角形，∠ADC(1)若F,G分别为PD,PE的中点，求证：(2)若PA⊥平面ABCD，PA=AC，求直线AB【答案】(1)证明见解析；(2)3【解析】（1）取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN，∵△ACD与△ABC为等腰直角三角形且不妨设AD=CD=2，∴∵E、F分别为BC、PD的中点，∴FN=1∵∠DAC=45°, ∠ACB∴FN∴FG∵FG⊄平面PAB，MN⊂（2）∵PA⊥平面ABCD，设AD=CD=2∴AB设平面PCD的一个法向量为n=(∴DC⃗⋅取x=1，∴y=-1,设AB与平面PCD所成角为θ，则sinθ即AB与平面PCD所成角的正弦值为3318．记△ABC的内角A,B,C(1)证明：c=2(2)记AB的中点为D，若CD=3，且a=b【答案】(1)证明见解析；(2)16.【解析】（1）由正弦定理，得asin∴sinC∴sinC∵A∴sinB=sinA∴sinC=2sinB（2）由（1）及题设有BD=AD=在△ACD中，由余弦定理得cos∠在△BCD中，由余弦定理得cos∠显然有cos∠ADC+cos∠BDC整理得a2-b2=18所以a+b=9∴△ABC的周长为a19．近期，某中学全体学生参加了“垃圾分类大赛”活动：现从参加该活动的学生中随机抽取了男、女各20名学生，将他们的成绩(单位：分)记录如表：成绩[50，60)[60，70)[70，80)

[80，90)[90，100]男生(人数)34841女生(人数)ab843(1)在抽取的40名学生中，从大赛成绩在80分及以上的人中随机取出2人，求恰好男、女生各1名，且所在分数段不同的概率：(2)从该校参加活动的男女学生中各随机抽取2人，求这4人中恰各有一名男女学生大赛成绩在80分及以上的概率；(3)试确定a、b为何值时，使得抽取的女生大赛成绩方差最小，只写出结论【答案】(1)833(2)2731600(3)a=0,【解析】（1）由题设，成绩在80分以上的人有5名男生，7名女生，共12人，其中在区间[80,90)中男、女各4名，在区间[90,100]中男生1名、女生3名，所以随机取2人，恰好男、女生各1名，且所在分数段不同有C4而在12人中任选2人有C122=66（2）由表格数据知，抽取一名男生，成绩在80分及以上的概率为14，成绩在80分以下的概率为3抽取一名女生，成绩在80分及以上的概率为720，成绩在80分以下的概率为13所以从活动男女学生中各抽取2人，恰各有一名男女学生大赛成绩在80分及以上的概率为C2（3）由题设，a+b=5所以方差s===14×[-所以a=0,20．已知双曲线Γ：x2-y2b2=1b>0，左、右顶点分别为A1，A2(1)若离心率e=2时，求b(2)若b=263，△M(3)连接OQ（O为坐标原点）并延长交Γ于点R，若A1R⋅【答案】(1)3(2)P(3)b∈【解析】（1）由题意得e=ca=c（2）当b=263时，双曲线Γ:x因为△M①当以MA2为底时，显然点P在直线x=-②当以A2P为底时，设Px,y，则x2-因为点P在第一象限，显然以上均不合题意，舍去，（或者由双曲线性质知MP>③当以MP为底时，A2P=MA2=3则有x0-12+y综上所述，点P的坐标为P2,2（3）由题知A1-1,0，当直线l的斜率为0时，此时A1R⋅则设直线l:x设点Px1,y1，Qx2根据双曲线对称性知R-联立有x=my-2x显然二次项系数b2m2y1+y又A1R=则A1R⋅A2则x1=m即-my2将①②代入有m2即3b2m所以m2=10b2-3，代入到解得b2≤103，又因为所以b2∈0,321．已知定义在R上的函数fx和gx，f'x和g'x分别为其导函数．若对任意x∈R，(1)判断函数fx=4x(2)若函数mx=-14x4+(3)已知函数Fx=ex-ae-x，Gx是偶函数，Hx【答案】(1)fx=4x(2)-∞,-12(3)证明过程见解析.【解析】（1）fx=4xf'x=4因为对x∈R,都有cos2x≤1故f'x≥2g'（2）m'x=-因为函数mx=-14x所以-x3+即λ≤-x令φx