中考数学相似三角形《基本知识点+例题》

相似三角形知识点(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫(2)在四条线段a,b,c,d中，如果a和b的比等于c和d的比，那么这四条线段(3)黄金分割：把线段AB分成两条线段AC,BC(AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中项，即AC2=AB.BC，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=AB≈0.618AB。即简记为：知识点3比例的性质(注意性质立的条件：分母不能为0)注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个①此性质的证明运用了“设k法”(即引入新的参数k)这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法。②应用等比性质时，要考③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立→→其中b-2d+3f≠0。边的延长线)所得的对应线段成比例.由DE∥BC可得：或或①重要结论：平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截的三角②三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条可得或或或或等。平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的读作“相似于”。相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)。相似三角形①对应性：即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置③两个三角形形状一样，但大小不一定一样。④全等三角形是相似比为1的相知识点6三角形相似的等价关系与三角形相似的判定定理的预备定理①反身性：对于任一ΔABC有ΔABC②对称性：若ΔABC∽ΔA'B'C'，则ΔA'B'C'∽ΔABC。用数学语言表述是：:DE//BC，:ΔADE∽ΔABC。2.平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边并且夹角相等，那么这两个三角形相似。简述为：两边对应成比例且夹角相(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。上的高，则AD2=BD·DC，AB2=BD·BC，AC2=CD·BC。AEE1 BDCAE12BD11A EC2.几种基本图形的具体应用：BC2=BD·AB；当或AD·AB=AC·AE时，△ADE∽△ACB。ACAB(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应注：相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边(2)找相似：通过“横找”“竖看”寻找三角形，即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不同的字母，并且这几个字母不在同一条直线上，能够组成三角形，并且有可能是相似的，则可证明这两个三角形相似，然后由相似三角形对应边“替换”方法有这样的三种：等线段代换、等比代换、等积代换。注：添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。平面直角(2)相似多边形中对应三角形相似，相似注意：相似多边形问题往往要转化成相似三角形问题去解决，因此，熟练掌握3.位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相注：位似图形具有相似图形的所有性质.(2)分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长(或截取).(3)根据已知的位似比，确定所画位似图形中关键点的位置.(4)顺次连结上述得到的关键点，即可得到一个放大或②外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外，称为“外思路点拨：要说明两个三角形相似，要同时满足对应角相等，对应边成比直角三角形只确定一个直角，其他的两对角可能相等，也可能不相等。所以直等腰三角形中只有两边相等，而底边不固定.因此两个等腰三角形中成比例，两底边的比不一定等于对应腰的比，所以等腰::ABC∽A′B′C′解析：全等.因为这两个三角形相似，所以对应角相等。又相似比为1，所以对等.【变式2】下列能够相似的一组三角形为(A.所有的直角三角形B.所有的等腰C.所有的等腰直角三角形D.所有的一边和这解析：根据相似三角形的概念，判定三角形是否相似，一定要满足三个角对应:ABⅡCD，ADⅡBC，:△BEF∞△CDF，△BEF∞△AED.:△BEF∞△CDF∞△AED.:当△BEF∽△CDF时，相似比；当△BEF∽△AED时，相相似比不仅要找准对应边，还需注意两个三角形的先后次序，若次序颠倒，则:，:△ABC∽△EDF(三边对应成比例，两三角形相似).(2)本题也可以只求出AC的长，利用两组对应边的比相等，且夹角相等，判定相似？试分别加以列举.,即AC2=A0.A8.用分析法，可先假设△ACD∽△ABC，然后寻找两个三角形中边的关系或角的是CD中点，而BP=3PC，所以可用对应边成比例夹角相等的方法来判定。具证明：在正方形ABCD中，“Q是CD的中点，:=2“=3，:=4又“BC=2DQ，:=2:△ADQ一△QCP。【变式2】如图，弦AB和弦CD相交于00内一点P，求证：PA.PB-PC.PD.思路点拨：题目中求证的是等积式，我们可以转化为比例式，从而找到应证哪两个三角形相似.同时圆当中同弧或等弧所对的圆周角相等要会灵在co::.思路点拨：EF为△ABC的中位线，EF=BC，又DE和DF都是直:DE=“EF为△ABC的中位线，:EF=BC，即影=。:器=器=器。:△DFE∞△ABC。证夹这个角的两边成比例，即=(1)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长5cm线段是对应边时，有(2)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长6cm线段是对应边时，有(3)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长7cm线段是对应边时，有综上所述，△DEF的另外两边的长度应是总结升华：一定要深刻理解“对应”，若题中没有给出图形，要特别注意是否有思路点拨：利用已知条件及相似三角形的判定方法及性质求出矩形的长和宽，:△AEH∞△ABC.“AD丄BC，:AD丄EH，MD=EF.:，:，.:EF=6cm，EH=12cm.:.总结升华：解决有关三角形的内接矩形、内接正方形的计算问题，经常利用相解：“DEⅡBC，:△ADE∞△ABC:“M为DE中点，:“DMⅡBC，:△NDM∞△NBC::=1：2.NB的比分别在这两个“”字形，利用M为DE中点的条件将条件由一个“”字形转化到另一个“”字形，从而解决问题。思路点拨：这是一道测量河宽的实际问题，还可以借用相似三角形的对应边的如上右图，先从B点出发与AB成90°角方向走50m到O处立一标杆，然后方:上ABO=上DCO=90°:△AOB∞△DOC:“BO=50m，CO=10m，CD=17m:AB=85m“”型基本图形，借助相似；也可用等腰三角形等等。“BC丄AE，DE丄AE:上ACB=上AED=90°“上A=上A:△ABC∞△ADE:::DE=16m思路点拨：利用△ADE∞△BCE，以及其他有关的已知条件，可以求出△BCE:△ADE∞△BCE。:S△ADE△BCE=AE22:S△ADE△BCE=1:S△BCE=4。△BCE=AB:S△ABC=6。:△AEF∞△ABC。:S△AEF△ABC=AE22=:S△AEF==。总结升华：注意，同底(或等底)三角形的面积比等于这底上的高的比；同高(或等高)三角形的面积比等于对应底边的比。当两个三角形相似时，它们的面积求：甲地图与乙地图的相似比和面积比.:△ABC∞△A1B1C1∞△A2B2C2:.:.“S△PQC=S四边形PABQ:S△PQC：S△ABC=1：2“PQⅡAB，:△PQC∞△ABC:S△PQC：S△ABC=(CP：CA)2=1：2:CP2=42×,:CP=.:PC+CQ=PA+AB+QB=“PQⅡAB，:△PQC∞△ABC解：(1)“ABⅡCD，:上A+上D=180°“上A=90°,:上D=90°,:上A=上D又“PE丄BP，:上APB+上DPE=90°,:△ABP∞△DPE:::(2)欲使四边形ABED为矩形，只需DE=AB=2，“0<X<5，“均符合题意，故AP=1或4。(1)求以线段长为变量的两个函数间的关系时