2025年下学期高二数学专题突破（导数综合）

2025年下学期高二数学专题突破（导数综合）一、导数的核心知识点1.1导数的定义与几何意义设函数(y=f(x))在点(x_0)的某个邻域内有定义，当自变量(x)在(x_0)处取得增量(\Deltax)（点(x_0+\Deltax)仍在该邻域内）时，相应地函数取得增量(\Deltay=f(x_0+\Deltax)-f(x_0))；如果(\Deltay)与(\Deltax)之比当(\Deltax\to0)时的极限存在，则称函数(y=f(x))在点(x_0)处可导，并称这个极限为函数(y=f(x))在点(x_0)处的导数，记作(f'(x_0))或(y'|{x=x_0})，即：[f'(x_0)=\lim{\Deltax\to0}\frac{\Deltay}{\Deltax}=\lim_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0+\Deltax)-f(x_0)}{\Deltax}]导数的几何意义是函数(y=f(x))在点(x_0)处的切线斜率，相应的切线方程为(y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0))。若函数在某点的导数不存在但函数连续，则函数在该点的切线垂直于(x)轴。1.2基本求导公式与法则1.2.1基本初等函数导数公式((C)'=0)（(C)为常数）((x^\alpha)'=\alphax^{\alpha-1})（(\alpha\in\mathbb{R})）((\sinx)'=\cosx)((\cosx)'=-\sinx)((\tanx)'=\sec^2x)((\cotx)'=-\csc^2x)((\secx)'=\secx\tanx)((\cscx)'=-\cscx\cotx)((a^x)'=a^x\lna)（(a>0,a\neq1)）((e^x)'=e^x)((\log_ax)'=\frac{1}{x\lna})（(a>0,a\neq1)）((\lnx)'=\frac{1}{x})((\arcsinx)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}})（(|x|<1)）((\arccosx)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}})（(|x|<1)）((\arctanx)'=\frac{1}{1+x^2})((\text{arccot}x)'=-\frac{1}{1+x^2})1.2.2导数的四则运算法则设函数(u(x))、(v(x))均可导，则：((u\pmv)'=u'\pmv')((uv)'=u'v+uv')((Cu)'=Cu')（(C)为常数）(\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2})（(v\neq0)）1.2.3复合函数求导法则设(y=f(u))，(u=g(x))，且(f(u))和(g(x))均可导，则复合函数(y=f[g(x)])的导数为：[y'=f'(u)\cdotg'(x)\quad\text{或}\quad\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}]此法则可推广到多个函数复合的情况，即链式法则。1.2.4隐函数求导法则设由方程(F(x,y)=0)确定隐函数(y=y(x))，方程两边对(x)求导，将(y)视为(x)的函数，利用复合函数求导法则，得到含(y')的方程，解出(y')即可。1.2.5参数方程求导法则设参数方程为(\begin{cases}x=\varphi(t)\y=\psi(t)\end{cases})，其中(\varphi(t))、(\psi(t))均可导，且(\varphi'(t)\neq0)，则：[\frac{dy}{dx}=\frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}]二阶导数为：[\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dt}\left(\frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}\right)\cdot\frac{1}{\varphi'(t)}]1.3高阶导数函数(y=f(x))的导数(y'=f'(x))仍是(x)的函数，若(f'(x))可导，则称其导数为(f(x))的二阶导数，记作(f''(x))或(y'')、(\frac{d^2y}{dx^2})。类似地，可定义三阶导数、四阶导数……(n)阶导数，分别记作(f'''(x))、(f^{(4)}(x))……(f^{(n)}(x))或(y''')、(y^{(4)})……(y^{(n)})、(\frac{d^3y}{dx^3})、(\frac{d^4y}{dx^4})……(\frac{d^ny}{dx^n})。常见函数的(n)阶导数公式：((e^x)^{(n)}=e^x)((a^x)^{(n)}=a^x(\lna)^n)（(a>0,a\neq1)）((\sinx)^{(n)}=\sin\left(x+\frac{n\pi}{2}\right))((\cosx)^{(n)}=\cos\left(x+\frac{n\pi}{2}\right))((\lnx)^{(n)}=(-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{x^n})((x^k)^{(n)}=k(k-1)\cdots(k-n+1)x^{k-n})（(k)为常数，(n\leqk)）；当(k)为正整数且(n>k)时，((x^k)^{(n)}=0)1.4导数的应用定理1.4.1函数的单调性判定定理设函数(f(x))在闭区间([a,b])上连续，在开区间((a,b))内可导：若在((a,b))内(f'(x)>0)，则函数(f(x))在([a,b])上单调递增；若在((a,b))内(f'(x)<0)，则函数(f(x))在([a,b])上单调递减；若在((a,b))内(f'(x)\equiv0)，则函数(f(x))在([a,b])上为常函数。1.4.2函数的极值判定定理第一充分条件：设函数(f(x))在点(x_0)处连续，且在(x_0)的某去心邻域(\mathring{U}(x_0,\delta))内可导：若当(x\in(x_0-\delta,x_0))时，(f'(x)>0)，当(x\in(x_0,x_0+\delta))时，(f'(x)<0)，则(f(x_0))为极大值；若当(x\in(x_0-\delta,x_0))时，(f'(x)<0)，当(x\in(x_0,x_0+\delta))时，(f'(x)>0)，则(f(x_0))为极小值；若当(x\in\mathring{U}(x_0,\delta))时，(f'(x))的符号保持不变，则(f(x_0))不是极值。第二充分条件：设函数(f(x))在点(x_0)处具有二阶导数，且(f'(x_0)=0)，(f''(x_0)\neq0)：若(f''(x_0)<0)，则(f(x_0))为极大值；若(f''(x_0)>0)，则(f(x_0))为极小值。1.4.3函数的最值定理设函数(f(x))在闭区间([a,b])上连续，则(f(x))在([a,b])上一定存在最大值和最小值。求最值的步骤：求出(f(x))在((a,b))内的所有驻点和不可导点；计算(f(x))在这些点及区间端点处的函数值；比较这些函数值的大小，最大的为最大值，最小的为最小值。1.4.4函数的凹凸性与拐点判定定理凹凸性定义：设函数(f(x))在区间(I)上连续，若对(I)上任意两点(x_1,x_2)及任意(\lambda\in(0,1))，恒有：(f(\lambdax_1+(1-\lambda)x_2)<\lambdaf(x_1)+(1-\lambda)f(x_2))，则称(f(x))在(I)上的图形是凹的（或凹弧）；(f(\lambdax_1+(1-\lambda)x_2)>\lambdaf(x_1)+(1-\lambda)f(x_2))，则称(f(x))在(I)上的图形是凸的（或凸弧）。凹凸性判定定理：设函数(f(x))在闭区间([a,b])上连续，在开区间((a,b))内具有二阶导数：若在((a,b))内(f''(x)>0)，则(f(x))在([a,b])上的图形是凹的；若在((a,b))内(f''(x)<0)，则(f(x))在([a,b])上的图形是凸的。拐点定义：连续曲线(y=f(x))上凹弧与凸弧的分界点称为该曲线的拐点。拐点判定定理：第一充分条件：若(f''(x_0)=0)（或(f''(x_0))不存在），且(f''(x))在(x_0)的左右两侧异号，则点((x_0,f(x_0)))是曲线(y=f(x))的拐点；第二充分条件：若(f(x))在点(x_0)处三阶可导，且(f''(x_0)=0)，(f'''(x_0)\neq0)，则点((x_0,f(x_0)))是曲线(y=f(x))的拐点。1.4.5洛必达法则设函数(f(x))和(g(x))满足：(\lim_{x\toa}f(x)=0)（或(\infty)），(\lim_{x\toa}g(x)=0)（或(\infty)）；在点(a)的某去心邻域内，(f'(x))和(g'(x))都存在且(g'(x)\neq0)；(\lim_{x\toa}\frac{f'(x)}{g'(x)})存在（或为无穷大）；则(\lim_{x\toa}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\toa}\frac{f'(x)}{g'(x)})。此法则适用于(\frac{0}{0})型或(\frac{\infty}{\infty})型未定式，其他类型的未定式（如(0\cdot\infty)、(\infty-\infty)、(0^0)、(\infty^0)、(1^\infty)等）需先转化为(\frac{0}{0})型或(\frac{\infty}{\infty})型再应用洛必达法则。二、典型题型解析2.1导数的计算题型1：基本函数与复合函数求导例1求下列函数的导数：（1）(y=x^3\sinx+\sqrt{x}\cosx)（2）(y=\ln\sqrt{\frac{1-x}{1+x^2}})（3）(y=e^{\sin^2(2x+1)})解析：（1）根据导数的四则运算法则及基本求导公式：[\begin{align*}y'&=(x^3\sinx)'+(\sqrt{x}\cosx)'\&=(3x^2\sinx+x^3\cosx)+\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\cosx+\sqrt{x}(-\sinx)\right)\&=3x^2\sinx+x^3\cosx+\frac{\cosx}{2\sqrt{x}}-\sqrt{x}\sinx\end{align*}]（2）先化简函数：(y=\frac{1}{2}[\ln(1-x)-\ln(1+x^2)])，再求导：[y'=\frac{1}{2}\left[\frac{-1}{1-x}-\frac{2x}{1+x^2}\right]=\frac{1}{2(x-1)}-\frac{x}{1+x^2}]（3）利用复合函数求导法则（链式法则）：设(u=\sin^2v)，(v=2x+1)，则(y=e^u)，[\begin{align*}y'&=e^u\cdotu'=e^{\sin^2v}\cdot2\sinv\cdot\cosv\cdotv'\&=e^{\sin^2(2x+1)}\cdot\sin(2v)\cdot2\&=2\sin(4x+2)e^{\sin^2(2x+1)}\end{align*}]题型2：隐函数与参数方程求导例2设由方程(x^2+y^2-xy=1)确定隐函数(y=y(x))，求(\frac{dy}{dx})及(\frac{d^2y}{dx^2})在点((1,1))处的值。解析：方程两边对(x)求导：[2x+2yy'-(y+xy')=0\quad\Rightarrow\quad(2y-x)y'=y-2x\quad\Rightarrow\quady'=\frac{y-2x}{2y-x}]将((1,1))代入，得(y'|_{(1,1)}=\frac{1-2}{2-1}=-1)。对(y'=\frac{y-2x}{2y-x})两边再对(x)求导：[y''=\frac{(y'-2)(2y-x)-(y-2x)(2y'-1)}{(2y-x)^2}]将(x=1)，(y=1)，(y'=-1)代入上式：[\begin{align*}y''|_{(1,1)}&=\frac{(-1-2)(2-1)-(1-2)(-2-1)}{(2-1)^2}\&=\frac{(-3)(1)-(-1)(-3)}{1}\&=-3-3=-6\end{align*}]例3已知参数方程(\begin{cases}x=a(t-\sint)\y=a(1-\cost)\end{cases})（(a>0)，(t\neq2k\pi)，(k\in\mathbb{Z})），求(\frac{dy}{dx})及(\frac{d^2y}{dx^2})。解析：[\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{a\sint}{a(1-\cost)}=\frac{\sint}{1-\cost}=\cot\frac{t}{2}][\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dt}\left(\cot\frac{t}{2}\right)\cdot\frac{1}{\frac{dx}{dt}}=-\frac{1}{2}\csc^2\frac{t}{2}\cdot\frac{1}{a(1-\cost)}=-\frac{1}{4a}\csc^4\frac{t}{2}]2.2导数的几何意义应用题型3：切线方程与法线方程求解例4求曲线(y=x^3-3x^2+2x)在点((1,0))处的切线方程和法线方程。解析：先求导数：(y'=3x^2-6x+2)，则在点((1,0))处的切线斜率为(k=y'|_{x=1}=3-6+2=-1)。切线方程：(y-0=-1(x-1))，即(x+y-1=0)。法线斜率为切线斜率的负倒数，即(k'=1)，法线方程：(y-0=1(x-1))，即(x-y-1=0)。例5已知曲线(y=x\lnx)在点(P)处的切线平行于直线(2x-y+1=0)，求点(P)的坐标及切线方程。解析：设点(P)的坐标为((x_0,y_0))，函数的导数为(y'=\lnx+1)。直线(2x-y+1=0)的斜率为(2)，由切线平行于该直线，得(y'|_{x=x_0}=\lnx_0+1=2)，解得(x_0=e)。则(y_0=e\lne=e)，所以点(P)的坐标为((e,e))。切线方程为(y-e=2(x-e))，即(2x-y-e=0)。2.3函数的单调性与极值、最值题型4：函数单调性区间与极值求解例6求函数(f(x)=x^3-3x^2-9x+5)的单调区间和极值。解析：函数的定义域为(\mathbb{R})，导数(f'(x)=3x^2-6x-9=3(x^2-2x-3)=3(x-3)(x+1))。令(f'(x)=0)，得驻点(x_1=-1)，(x_2=3)。列表讨论：|(x)|((-\infty,-1))|(-1)|((-1,3))|(3)|((3,+\infty))||-------|------------------|--------|------------|-------|------------------||(f'(x))|(+)|(0)|(-)|(0)|(+)||(f(x))|递增|极大值|递减|极小值|递增|极大值：(f(-1)=(-1)^3-3(-1)^2-9(-1)+5=-1-3+9+5=10)极小值：(f(3)=3^3-3(3)^2-9(3)+5=27-27-27+5=-22)单调递增区间：((-\infty,-1))和((3,+\infty))；单调递减区间：((-1,3))。题型5：函数在闭区间上的最值求解例7求函数(f(x)=x+\sqrt{1-x})在区间([-5,1])上的最大值和最小值。解析：函数的定义域为([-5,1])，导数(f'(x)=1+\frac{-1}{2\sqrt{1-x}}=1-\frac{1}{2\sqrt{1-x}})。令(f'(x)=0)，得(1=\frac{1}{2\sqrt{1-x}})，解得(\sqrt{1-x}=\frac{1}{2})，(1-x=\frac{1}{4})，(x=\frac{3}{4})。区间端点及驻点处的函数值：(f(-5)=-5+\sqrt{1-(-5)}=-5+\sqrt{6}\approx-5+2.45=-2.55)(f\left(\frac{3}{4}\right)=\frac{3}{4}+\sqrt{1-\frac{3}{4}}=\frac{3}{4}+\frac{1}{2}=\frac{5}{4}=1.25)(f(1)=1+\sqrt{1-1}=1+0=1)比较得：最大值为(f\left(\frac{3}{4}\right)=\frac{5}{4})，最小值为(f(-5)=-5+\sqrt{6})。2.4函数的凹凸性与拐点题型6：函数凹凸性区间与拐点求解例8求函数(f(x)=x^4-2x^3+1)的凹凸区间和拐点。解析：函数的定义域为(\mathbb{R})，(f'(x)=4x^3-6x^2)，(f''(x)=12x^2-12x=12x(x-1))。令(f''(x)=0)，得(x_1=0)，(x_2=1)。列表讨论：|(x)|((-\infty,0))|(0)|((0,1))|(1)|((1,+\infty))||-------|-----------------|-------|-----------|-------|------------------||(f''(x))|(+)|(0)|(-)|(0)|(+)||(f(x))|凹|拐点|凸|拐点|凹|计算拐点处的函数值：(f(0)=0-0+1=1)，(f(1)=1-2+1=0)。凹区间：((-\infty,0))和((1,+\infty))；凸区间：((0,1))；拐点：((0,1))和((1,0))。2.5洛必达法则求极限题型7：未定式极限求解例9用洛必达法则求下列极限：（1）(\lim_{x\to0}\frac{e^x-e^{-x}-2x}{x-\sinx})（(\frac{0}{0})型）（2）(\lim_{x\to+\infty}\frac{\lnx}{x^\alpha})（(\alpha>0)，(\frac{\infty}{\infty})型）（3）(\lim_{x\to0^+}x^x)（(0^0)型）解析：（1）(\lim_{x\to0}\frac{e^x-e^{-x}-2x}{x-\sinx}\stackrel{\frac{0}{0}}{=}\lim_{x\to0}\frac{e^x+e^{-x}-2}{1-\cosx}\stackrel{\frac{0}{0}}{=}\lim_{x\to0}\frac{e^x-e^{-x}}{\sinx}\stackrel{\frac{0}{0}}{=}\lim_{x\to0}\frac{e^x+e^{-x}}{\cosx}=\frac{1+1}{1}=2)（2）(\lim_{x\to+\infty}\frac{\lnx}{x^\alpha}\stackrel{\frac{\infty}{\infty}}{=}\lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{1}{x}}{\alphax^{\alpha-1}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{\alphax^\alpha}=0)（3）令(y=x^x)，则(\lny=x\lnx)，(\lim_{x\to0^+}\lny=\lim_{x\to0^+}x\lnx=\lim_{x\to0^+}\frac{\lnx}{\frac{1}{x}}\stackrel{\frac{\infty}{\infty}}{=}\lim_{x\to0^+}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}=\lim_{x\to0^+}(-x)=0)，故(\lim_{x\to0^+}x^x=e^0=1)。三、解题方法归纳3.1导数计算的方法与技巧直接求导法：对基本初等函数或其四则运算构成的函数，直接应用求导公式和法则求导。先化简后求导法：对含有对数、指数的复杂函数，先利用对数性质、指数运算法则等化简函数，再求导（如例2（2））。复合函数求导法：关键在于正确分解复合过程，从外层到内层逐层求导，注意不要遗漏中间变量的导数（即链式法则）。隐函数求导法：方程两边对自变量求导，将因变量视为中间变量，得到含导数的方程后解出导数；对二阶导数，需对一阶导数再次求导，并代入一阶导数的表达式。参数方程求导法：一阶导数为(\frac{dy}{dx}=\frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)})，二阶导数需对一阶导数关于(t)求导后再除以(\varphi'(t))。对数求导法：适用于幂指函数（如(y=u(x)^{v(x)})）或多个因式乘积/商的函数，先取对数转化为和差形式，再求导。例如，对(y=x^{\sinx})，取对数得(\lny=\sinx\lnx)，两边求导：(\frac{y'}{y}=\cosx\lnx+\frac{\sinx}{x})，则(y'=x^{\sinx}\left(\cosx\lnx+\frac{\sinx}{x}\right))。3.2函数单调性与极值、最值的求解步骤3.2.1函数单调性区间的求解步骤确定函数的定义域；求出函数的导数(f'(x))；找出导数的零点（驻点）和导数不存在的点，将定义域划分成若干子区间；在每个子区间内判断导数的符号，根据符号确定函数的单调性。3.2.2函数极值的求解步骤确定函数的定义域；求出导数(f'(x))，找出所有驻点和导数不存在的点（可疑极值点）；对每个可疑极值点，利用极值的第一充分条件（判断导数在该点左右的符号）或第二充分条件（若二阶导数存在且不为零）判定是否为极值点，并确定是极大值还是极小值；计算极值点处的函数值，即为极值。3.2.3函数在闭区间上最值的求解步骤求出函数在区间内的所有驻点和导数不存在的点；计算这些点及区间端点处的函数值；比较所有函数值的大小，最大的为最大值，最小的为最小值。3.3函数凹凸性与拐点的求解步骤确定函数的定义域；求出函数的二阶导数(f''(x))；找出二阶导数的零点和二阶导数不存在的点，将定义域划分成若干子区间；在每个子区间内判断二阶导数的符号，根据符号确定函数的凹凸性；对二阶导数的零点或不存在的点，判断其左右二阶导数的符号是否异号，若异号则该点为拐点，计算拐点处的函数值。3.4洛必达法则的应用要点适用类型：仅适用于(\frac{0}{0})型或(\frac{\infty}{\infty})型未定式，其他类型需先转化（如(0\cdot\infty)型转化为(\frac{0}{0})或(\frac{\infty}{\infty})型，(\infty-\infty)型通过通分或有理化转化，幂指函数(u^v)型通过取对数转化为(v\lnu)等）。应用条件：必须满足洛必达法则的三个条件，尤其是极限(\lim\frac{f'(x)}{g'(x)})存在或为无穷大，否则法则失效（此时需用其他方法求极限）。结合化简：在应用洛必达法则前，可先通过等价无穷小替换、恒等变形（如分子分母同除以最高次幂、提取公因式等）化简函数，以简化计算。例如，(\lim_{x\to0}\frac{x-\sinx}{x^3})，直接用洛必达法则需两次求导，而利用等价无穷小替换(x-\sinx\sim\frac{x^3}{6}(x\to0))可直接得结果(\frac{1}{6})。多次应用：若一次应用后仍为(\frac{0}{0})或(\frac{\infty}{\infty})型，且满足条件，可多次应用洛必达法则，直至求出极限。四、综合应用案例4.1含参数函数的单调性与极值问题例10已知函数(f(x)=x^3-ax^2+3x)在(\mathbb{R})上是增函数，求实数(a)的取值范围。解析：函数的导数为(f'(x)=3x^2-2ax+3)。因为(f(x))在(\mathbb{R})上是增函数，所以(f'(x)\geq0)在(\mathbb{R})上恒成立。(f'(x))是开口向上的二次函数，要使其恒非负，需判别式(\Delta\leq0)：[\Delta=(-2a)^2-4\times3\times3=4a^2-36\leq0\quad\Rightarrow\quada^2\leq9\quad\Rightarrow\quad-3\leqa\leq3]故实数(a)的取值范围是([-3,3])。例11讨论函数(f(x)=e^x-ax-1)的单调性，并求其极值。解析：定义域为(\mathbb{R})，(f'(x)=e^x-a)。当(a\leq0)时，(f'(x)=e^x-a>0)恒成立，函数(f(x))在(\mathbb{R})上单调递增，无极值。当(a>0)时，令(f'(x)=0)，得(x=\lna)。当(x<\lna)时，(f'(x)<0)，函数单调递减；当(x>\lna)时，(f'(x)>0)，函数单调递增；故函数在(x=\lna)处取得极小值，极小值为(f(\lna)=e^{\lna}-a\lna-1=a-a\lna-1)，无极大值。4.2函数的最值与不等式证明例12证明：当(x>0)时，(x-\frac{x^3}{6}<\sinx<x)。证明：先证右边不等式：(\sinx<x)（(x>0)）。设(f(x)=x-\sinx)，则(f'(x)=1-\cosx\geq0)，且仅当(x=2k\pi(k\in\mathbb{Z}))时等号成立。所以(f(x))在([0,+\infty))上单调递增，当(x>0)时，(f(x)>f(0)=0)，即(x-\sinx>0)，故(\sinx<x)。再证左边不等式：(x-\frac{x^3}{6}<\sinx)（(x>0)）。设(g(x)=\sinx-x+\frac{x^3}{6})，则(g'(x)=\cosx-1+\frac{x^2}{2})，(g''(x)=-\sinx+x)。由右边不等式知，当(x>0)时，(x-\sinx>0)，即(g''(x)>0)，所以(g'(x))在((0,+\infty))上单调递增。又(g'(0)=\cos0-1+0=0)，当(x>0)时，(g'(x)>g'(0)=0)，故(g(x))在((0,+\infty))上单调递增。当(x>0)时，(g(x)>g(0)=0-0+0=0)，即(\sinx-x+\frac{x^3}{6}>0)，故(x-\frac{x^3}{6}<\sinx)。综上，当(x>0)时，(x-\frac{x^3}{6}<\sinx<x)成立。4.3导数在实际问题中的应用（最优化问题）例13某工厂要建造一个容积为(8m^3)，深为(2m)的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，问水池的长和宽各为多少米时，总造价最低？最低总造价是多少元？解析：设水池的长为(xm)，宽为(ym)，总造价为(z)元。由容积为(8m^3)，深为(2m)，得底面积为(\frac{8}{2}=4m^2)，即(xy=4)，所以(y=\frac{4}{x})（(x>0)，(y>0)）。池底造价为(120\times4=480)元，池壁造价为(80\times2(2x+2y)=320(x+y))元，故总造价：[z=480+320\left(x+\frac{4}{x}\right)]对(z)关于(x)求导：(z'=320\left(1-\frac{4}{x^2}\right))，令(z'=0)，得(1-\frac{4}{x^2}=0)，解得(x=2)（(x=-2)舍去）。当(0<x<2)时，(z'<0)，(z)单调递减；当(x>2)时，(z'>0)，(z)单调递增。所以当(x=2)时，(z)取得极小值，也是最小值。此时(y=\frac{4}{2}=2m)，最低总造价为(z=480+320\left(2+2\right)=480+1280=1760)元。答：水池的长和宽均为(2m)时，总造价最低，最低总造价是(1760)元。4.4函数零点个数的讨论例14讨论函数(f(x)=x-\lnx-a)（(a\in\mathbb{R})）的零点个数。解析：定义域为((0,+\infty))，导数(f'(x)=1-