2025-2026学年上海市宝山区九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2025-2026学年上海市宝山区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）.1．（4分）已知，下列等式中正确的是A． B． C． D．2．（4分）已知△中，，，，那么下列各式中，正确的是A． B． C． D．3．（4分）已知，则下列判断错误的是A． B． C．与的方向相反 D．4．（4分）下列各组图形不一定相似的是A．两个等腰直角三角形 B．有一个角是的两个等腰三角形 C．有一个角是的两个等腰三角形 D．有一个角是的两个直角三角形5．（4分）如图，点是的边上一点，，，如果的面积为15，那么的面积为A．15 B．10 C．7.5 D．56．（4分）在中，，．下列线段的长度不能使的形状和大小都确定的是A．2 B．4 C． D．二、填空题（本题共12题，每小题4分，满分48分）7．（4分）在比例尺为的地图上，测得甲、乙两地的距离约为9厘米，那么甲、乙两地的实际距离约为千米．8．（4分）计算，．9．（4分）已知点是线段上的黄金分割点，，线段厘米，那么线段．10．（4分）如果两个相似三角形的面积比是，那么它们的对应中线的比值为．11．（4分）如图，当太阳光与地面成角时，直立于地面的玲玲测得自己的影长为，则玲玲的身高约为．（精确到（参考数据：，，．12．（4分）如图，点是△的重心，，，那么的长为．13．（4分）在梯形中，，，是腰的中点，联结．如果设，，那么（含、的式子表示）．14．（4分）某超市自动扶梯的坡比为．一位顾客从地面沿扶梯上行了6.5米，那么这位顾客此时离地面的高度为米．15．（4分）在等腰中，，如果，那么．16．（4分）如图，已知正方形的边在的边上，顶点、分别在边、上，如果，的面积为12，那么的长为．17．（4分）阅读理解：如果一个三角形中有两个内角、满足，那么我们称这个三角形为特征三角形．问题解决：如图，在中，为钝角，，，如果是特征三角形，那么线段的长为．18．（4分）如图，在矩形中，点是边上的点，，交边于点，联结、，如果，那么．三．（本大题共8题，满分78分，第19-22题，每题10分，第23-24题，每题12分，第25题14分）19．（10分）计算：．20．（10分）如图，在中，，、分别是边上的中线和高，，，求、的长．21．（10分）已知：如图，在中，，是斜边的中线，过点作的垂线与边和的延长线分别交于点和点．（1）求证：；（2）若，，求的长．22．（10分）某次台风来袭时，一棵笔直大树树干（假定树干垂直于水平地面）被刮倾斜（即后折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面处，测得，米，求这棵大树的高度．（结果保留根号）（参考数据：，，23．（12分）如图，已知在菱形，点是的中点，于点，连接、、，交于点，且．（1）求证：；（2）求证：．24．（12分）已知一次函数的图象经过点，与轴正半轴交于点，且．（1）求一次函数的解析式；（2）如果直线经过点，试问在线段上是否存在点，使△与△相似，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，设线段交轴于点，试写出与的数量关系，并说明理由．25．（14分）如图，在中，，，，点为射线上一点，联结，过点作分别交射线、于点、，联结，过点作，交直线于点．（1）当点在的延长线上时，如果，求；（2）当点在的延长线上时，设，，求关于的函数关系式（不需要写函数的定义域）；（3）如果，求的长．

参考答案一．选择题（共6小题）题号123456答案CDDCDA一、选择题（本题共6小题，每题4分，满分24分）1．（4分）已知，下列等式中正确的是A． B． C． D．解：，．故选：．2．（4分）已知△中，，，，那么下列各式中，正确的是A． B． C． D．解：，，，，．，故此选项错误；．，故此选项错误；．，故此选项错误；．，故此选项正确．故选：．3．（4分）已知，则下列判断错误的是A． B． C．与的方向相反 D．解：、由可得，此选项正确；、令，则由知，，即，此选项正确；、由可得与的方向相反，此选项正确；、由知，则，此选项错误；故选：．4．（4分）下列各组图形不一定相似的是A．两个等腰直角三角形 B．有一个角是的两个等腰三角形 C．有一个角是的两个等腰三角形 D．有一个角是的两个直角三角形解：、两个等腰直角三角形，对应边成比例，对应角相等，符合定义，一定相似，故正确；、各有一个角是的两个等腰三角形，的角一定是顶角，其余两角一定相等，故一定相似，故正确；、各有一个角是的两个等腰三角形，一个三角形的角可能是底角，另一个三角形的角可能是顶角，所以对应角不一定相等，不一定相似，故错误；、各有一个角是的两个直角三角形，都有一个直角，根据两角对应相等，两三角形相似，故正确．故选：．5．（4分）如图，点是的边上一点，，，如果的面积为15，那么的面积为A．15 B．10 C．7.5 D．5解：，，，，，，的面积为15，的面积，故选：．6．（4分）在中，，．下列线段的长度不能使的形状和大小都确定的是A．2 B．4 C． D．解：如图，过点作于点．在中，，观察图形可知，当或时，三角形唯一确定，故时，三角形不能唯一确定，故选：．二、填空题（本题共12题，每小题4分，满分48分）7．（4分）在比例尺为的地图上，测得甲、乙两地的距离约为9厘米，那么甲、乙两地的实际距离约为450千米．解：图上距离为9厘米，实际距离为，，故答案为：450．8．（4分）计算，．解：原式，故答案为：．9．（4分）已知点是线段上的黄金分割点，，线段厘米，那么线段厘米．解：点是线段上的黄金分割点，，线段厘米，厘米，故答案为：厘米．10．（4分）如果两个相似三角形的面积比是，那么它们的对应中线的比值为．解：设相似比为，则面积比为，已知面积比为，即，所以；对应中线的比等于相似比，故为；故答案为：．11．（4分）如图，当太阳光与地面成角时，直立于地面的玲玲测得自己的影长为，则玲玲的身高约为1.70．（精确到（参考数据：，，．解：根据题意列式得：，即玲玲的身高为，故答案为：1.70．12．（4分）如图，点是△的重心，，，那么的长为10．解：由重心性质可知，点是的中点，由条件可得，；故答案为：10．13．（4分）在梯形中，，，是腰的中点，联结．如果设，，那么（含、的式子表示）．解：，，，，是腰的中点，，，．故答案为：．14．（4分）某超市自动扶梯的坡比为．一位顾客从地面沿扶梯上行了6.5米，那么这位顾客此时离地面的高度为2.5米．解：设顾客离地面的高度为米，则水平宽度为米，由勾股定理，得，解得：（舍去负值）；故答案为：2.5．15．（4分）在等腰中，，如果，那么．解：过点作于点，过点作于点，，，，设，，由于，，，，由勾股定理可知：，，，故答案为：．16．（4分）如图，已知正方形的边在的边上，顶点、分别在边、上，如果，的面积为12，那么的长为2.4．解：作于，交于，如图所示：的面积，，，设正方形的边长为．由正方形得，，即，，．，，，，，，，，，，，，解得．故正方的边长为2.4，故答案为：2.4．17．（4分）阅读理解：如果一个三角形中有两个内角、满足，那么我们称这个三角形为特征三角形．问题解决：如图，在中，为钝角，，，如果是特征三角形，那么线段的长为．解：由题意可分：①设，，则在上截取一点，使得，如图所示：，，，为钝角，故不存在；②设，，过点作于点，过点作于点，如图所示：是特征三角形，即，且，，平分，，，，设，，，则有，，，在中，由勾股定理得，解得：或（舍去），；故答案为：．18．（4分）如图，在矩形中，点是边上的点，，交边于点，联结、，如果，那么．解：四边形是矩形，，，，，，，，四点共圆，，，△△，，，，，，设，，，，故答案为：．三．（本大题共8题，满分78分，第19-22题，每题10分，第23-24题，每题12分，第25题14分）19．（10分）计算：．解：原式．20．（10分）如图，在中，，、分别是边上的中线和高，，，求、的长．解：过作于，则，，，，是的中线，，，，，，设，，由勾股定理得：，即，解得：，，即，由勾股定理得：，，，解得：，即，．方法，是的中线，，，，，，，即，解得，，由等积法可得，解得．21．（10分）已知：如图，在中，，是斜边的中线，过点作的垂线与边和的延长线分别交于点和点．（1）求证：；（2）若，，求的长．【解答】（1）证明：在中，，是斜边的中线，，，，，，，；（2）解：，，在中，，，，，，，，，，，．22．（10分）某次台风来袭时，一棵笔直大树树干（假定树干垂直于水平地面）被刮倾斜（即后折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面处，测得，米，求这棵大树的高度．（结果保留根号）（参考数据：，，解：过点作于点，则．在中，，，，，．在中，，（米，（米，（米．答：这棵大树原来的高度是米．23．（12分）如图，已知在菱形，点是的中点，于点，连接、、，交于点，且．（1）求证：；（2）求证：．【解答】证明：（1）于点，，点是的中点，，，四边形是菱形，，，，，，，，，，，，；（2），，，，，，，，，，，四边形是菱形，，，点是的中点，，，．24．（12分）已知一次函数的图象经过点，与轴正半轴交于点，且．（1）求一次函数的解析式；（2）如果直线经过点，试问在线段上是否存在点，使△与△相似，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，设线段交轴于点，试写出与的数量关系，并说明理由．解：（1）如图，一次函数的图象经过点，与轴正半轴交于点，且．过点作轴于点，，当时，得：，，，，，，解得：，，将点的坐标代入得：，解得：，一次函数的解析式为；（2）在线段上存在点，使△与△相似；理由如下：如图2，设直线的解析式为，将点，点的坐标分别代入得：，解得：，直线的解析式为，设，，，，，△△，，即，，解得：，；（3）；理由如下：如图3，由（2）可知：△△，，，直线的解析式为，轴，，，，，，△△，，，．25．（14分）如图，在中，，，，点为