14.2 三角形全等的判定（5个知识点+7个题型+强化练习） - 教师版(同步讲义)-沪科版(2024)八上

14.2全等三角形的判定课程标准学习目标①掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。②掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。③掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等。④证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。1.经历探索三角形全等的条件的过程，理解判定一般三角形和直角三角形全等的条件；2.能灵活运用SSS、SAS、ASA和AAS证明两个三角形全等，会用HL证明两个直角三角形全等；3.能综合运用全等三角形的判定和性质解决线段相等或角相等的问题，并能解决实际生活中的有关问题。判定方法01两边及其夹角分别相等的两个三角形两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．简记为“边角边”或“SAS”（S表示边，A表示角）．如图，【即学即练1】（23-24八年级上·安徽滁州·期中）如图，在中，，，M、N、K分别是，，AB上的点，且，．则的度数为．

【答案】【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）【分析】此题主要考查全等三角形的判定和性质，以及三角形的内角和定理，先根据可得，进一步得到，再根据，，可得，即可求解.【详解】解：在和中∵∴∴∵∴∴∴故答案为：.【即学即练2】已知：如图，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2．求证：△ABC≌△ADE【分析】由条件AB＝AD，AC＝AE，需要找夹角∠BAC与∠DAE，夹角可由等量代换证得相等.【答案与解析】证明：∵∠1＝∠2∴∠1＋∠CAD＝∠2＋∠CAD，即∠BAC＝∠DAE在△ABC和△ADE中∴△ABC≌△ADE（SAS）判定方法02两角及其夹边分别相等的两个三角形两角及其夹边分别相等的两个三角形全等．简记为“角边角”或“ASA”．如图，【即学即练3】（23-24八年级上·安徽·期末）如图，在四边形中，，为对角线上一点，，且．(1)求证：．(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，由全等三角形得到线段相等是解题的关键．（1）由补角的性质得到，由平行得，由即可证明三角形全等；（2）由全等三角形得，，进而求得，即可得到答案．【详解】（1）解：∵，，∴，∵，∴，在和中，，∴．（2）解：∵，∴，∵，∴．∴判定方法03三边分别相等的两个三角形·三边分别相等的两个三角形是全等三角形．简记为“边边边”或“SSS”．如图，·三角形的稳定性：只要三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定，这个性质叫做三角形的稳定性．【即学即练4】（23-24八年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在中，，，可直接利用“”判定（

）A． B．C． D．【答案】C【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS）【分析】本题考查了全等三角形的判定的应用，全等三角形的判定定理有，，，．根据已知条件和全等三角形的判定定理结合图形得出选项即可．【详解】解：根据，，可以推出，理由是，其余是错误的，不能直接用定理推出，和不全等，故选：C．【即学即练5】（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）尺规作图是起源于古希腊的数学课题，尺规作图中往往蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，为了得到，在用直尺和圆规作图的过程中，得到的依据是（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS）、尺规作一个角等于已知角【分析】本题主要考查了尺规作图、全等三角形的判定等知识点，明确尺规作图所隐含的条件成为解题的关键．由尺规作图可知：、，然后根据全等三角形的判定定理即可解答．【详解】解：由尺规作图可知：、，∴．故选：A．【即学即练6】如图，相交于点，，．求证：；

【答案】见解析【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS）【分析】连接AB，利用证明≌即可．【详解】连接AB，

在和中，，∴≌∴．【点睛】本题考查了证明三角形全等，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．判定方法04两角及其邻边分别相等的两个三角形三角形的其中两个角对应相等，且对应相等的角所对应的边也对应相等的两个三角形全等．简记为“角角边”或“AAS”． 如图，【即学即练7】（23-24八年级上·安徽马鞍山·期末）如图，已知点B、F、C、E在直线l上，点A、D在l异侧，连接且，，．(1)证明：；(2)说明关系．【答案】(1)见详解(2)【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和SAS综合（SAS）、根据平行线判定与性质证明【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质：（1）根据，得，再结合，．即可证明．（2）由，得，即，因为，得，则，证明，即可作答．【详解】（1）解：∵∴∵，∴；（2）解：，理由如下：∵，得，∴即，∵∴∴∵则故判定方法05两个直角三角形全等的判定·斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．简记为“斜边、直角边”或“ＨＬ（H表示直角边，L表示斜边）．如图，【即学即练8】如图，已知，能直接用“”判定的条件是（）

A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】本题主要考查直角三角形全等的判定方法，全等三角形的判定定理有“，，，”，直角三角形还有特殊的判定方法“”．【详解】解：根据全等三角形的判定方法来解决，可以发现选项A不能判定；选项B是“”；选项C是“”；选项D是“”；故选：B．·选择合适的方法证明两个三角形全等三角形全等的证明思路：①找夹角：SAS三(1)已知两边对应相等②找一边：SSS角③找直角：HL形(2)已知一边一角对应相等①找一角：AAS或ASA全②找一边：SAS等(3)已知两角对应相等①找夹边：ASA②找一边:AAS·证明两个三角形全等的应用（1）求角与边，可以构造两个三角形全等，借助对应边相等、对应角相等来解题。（2）求高时可能使用等积变换公式·常见的全等三角形模型模型①手拉手全等模型（应用SAS证明）适用关键条件：两个有公共顶点的等腰三角形、等边三角形或正方形组成的图形模型②一线三等角模型（应用AAS或ASA证明）适用关键条件：一条直线上出现2个三角形和3个相等的角，且有一组相等的边模型③倍长中线模型（应用SAS或ASA证明）适用关键条件：出现中线【题型一：全等三角形的性质与判定】例1．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）已知：如图，点E、点F在上，且，，．求证：．【答案】证明见解析【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．先证明，得到，从而得出，再证明，即可得出结论．熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．【详解】证明：在和中，，∴，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴．例2.（22-23八年级上·安徽淮北·期末）如图，在中，，，为边上的中线，过点C作，垂足为点F，在直线上截取．求证：．

【答案】见解析【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）【分析】求出，证明，可得，问题得证．【详解】证明：∵，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴∵，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握证明三角形全等的方法是解题的关键．例3.如图：在中，、CF分别是、AB两边上的高，在上截取，在CF的延长线上截取，连接AD、．试猜想线段AD与的关系，并证明你的猜想．【答案】猜想：，，证明见解析【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．①利用可得出，由全等三角形的对应边相等可得出，②利用全等得出，再利用三角形的外角和定理得到，又，利用等量代换可得出，即与AD垂直．【详解】解：猜想：，，证明如下：证明：①，∴，又∵，∴，在和中，，∴，∴(全等三角形的对应边相等)；②，∴，又∵，∴，∴．综上所述：，．【技巧方法与总结】①审题：描出问题中的线段或角度关系；②找到要证明全等的两个三角形，标出对应边和对应角；③运用三角形、平行线等知识进行综合证明【题型二：利用全等三角形“SAS”的判定方法尺规作角】例4．如图，已知三角形和射线，用直尺和圆规按下列步骤作图(保留作图痕迹，不写作法)：(1)在射线的上方，作；(2)在射线上作线段，在射线上作线段，使得，；(3)连接，观察并猜想：与的数量关系是_____，填(“＞”、“＜”或“＝”)【答案】(1)作图见解析(2)作图见解析(3)=【知识点】作线段(尺规作图)、全等的性质和SAS综合（SAS）、尺规作一个角等于已知角【分析】本题主要考查了作一个角等于已知角、作一条线段等于已知线段、全等三角形的判定与性质，正确作出图形是解题的关键．（1）利用基本作图作一个角等于已知角作图即可；（2）利用基本作图作一条线段等于已知线段作图即可；（3）证明，然后根据全等三角形的性质即可证明．【详解】（1）解：如图，即为所作；（2）如上图，和即为所作；（3）在中，，，．【技巧方法与总结】将尺规作角的原理与全等三角形SAS的判定方法相联系【题型三：全等模型——“手拉手”】例5．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）如图，已知．试判断和的数量关系和位置关系，并说明理由．【答案】，理由见解析【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明，即可得出结论．【详解】解：结论：，理由：如图，设与交于点O，Q，∵，∴，∴，即：，又∵∴，∴，∵，，∴，∴，∴．变式5-1.（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，在和中，，连接，则与之间的大小关系是（

）A． B． C． D．大小关系不确定【答案】A【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键．先证明，根据可得，进而根据全等三角形的性质可得答案．【详解】证明：∵，∴，即，在和中，，∴，∴．故选A．变式5-2．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）在和中，，，．(1)当点在上时，如图①所示，线段，有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论；(2)当点在如图②所示的位置时，请问（1）中的数是关系和位置关系是否还成立？请说明理由．【答案】(1)，(2)，，理由见解析【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．（1），．延长交于点，证明，得到，，结合，可得，推出，即可证明；（2），．延长交于点、交于点，证明，得到，，在和中，根据，，可得，即可证明．【详解】（1）结论：，，理由：如图，延长交于点，，，，，，，，，，在中，，；（2）结论：，，理由：如图，延长交于点、交于点，，，即，在和中，，，，，在和中，，，，．【方法技巧与总结】见难点分析【题型四：全等模型——一线三等角】例6．如图1，，，，P，Q分别为线段AB，BD上任意一点．(1)若为的中点，点与点重合，试说明与全等；(2)如图2，若，，求，，之间的数量关系；(3)如图3，将“，”改为“（为锐角）”，其他条件不变．若，，判断（2）中的数量关系是否会改变？并说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)(3)不会改变，理由见解析；【知识点】全等三角形综合问题【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，解题过程中，运用分类讨论思想和类比思想是解题关键．（1）根据题意应用证明即可；（2）根据题意证明，得到，，则问题可证；（3）根据题意证明，得到，，则问题可证．【详解】（1）解：由题意可知．∵，，∴，，∴．又∵为的中点，∴，∴；（2）解：由（1）可知．∵，，∴．又∵，∴，∴，，∴，即，，之间的数量关系为；（3）解：不会改变；

理由：∵，，∴．又∵，，∴，∴，，∴，即（2）中的数量关系不会改变；变式6.（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数与坐标轴交于、两点，若是等腰直角三角形，求点的坐标．

【答案】点的坐标是．【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、垂线模型(全等三角形的辅助线问题)、等腰三角形的定义【分析】通过一次函数解析式能求出、两点的坐标，也就是，的长，由等腰直角可以得出，作垂直于轴，构造，从而求出、的长，得到点的坐标，本题考查了一次函数求交点坐标，全等三角形的判定和性质，解题的关键是作辅助线构造全等三角形．【详解】解：当时，，解得，即点坐标为，当时，，则点坐标为0,4，作垂直于轴，

∴，∵是等腰直角三角形，，，，，，在和中，∴，，，，，∴点的坐标是．【方法技巧与总结】在坐标系中求一个直角三角形的顶点坐标，可以由顶点向坐标轴作垂线，构造一线三直角的全等三角形，再求坐标。【题型五：倍长中线构造全等】例7．（23-24七年级下·山东济南·期中）阅读下列材料，完成相应任务．数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，已知中，是边上的中线．求证：智慧小组的证法如下：证明：如图2，延长至E，使，∵是边上的中线，∴，在△BDE和△CDA中，，∴△BDE≌△

CDA（依据1），∴，在中，（依据2），∴．(1)任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：依据1：；依据2：．【归纳总结】上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．(2)任务二：如图3，，，则的取值范围是；A．； B．； C．(3)任务三：利用“倍长中线法”，解决下列问题．如图4，中，，D为中点，求证：．【答案】(1)两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形任意两边的和大于第三边(2)C(3)见解释【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、全等的性质和SAS综合（SAS）、三角形三边关系的应用、确定第三边的取值范围【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的性质．掌握题目中“倍长中线法”是解题的关键．（1）掌握全等三角形的判定与性质，三角形的性质即可．（2）利用“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”求解即可．（3）判断，即可．【详解】（1）解：依据1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角边”或“”）；依据2：三角形两边的和大于第三边；故答案为：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形任意两边的和大于第三边．（2）解：如图，延长至点，使,连接．是的中线，,在与中，,，,在中，，即，．故选：C．（3）证明：如图4，延长至F，使连接，是的中点，∴,又∴，，，∵，∴,,即，又∵，∴，∴，∴．变式7.（23-24八年级上·安徽安庆·期末）一个三角形的两边长分别为4和8，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据三角形中线求长度、三角形三边关系的应用、求不等式组的解集【分析】如图所示,是边上的中线，设，延长至E，使，则，证明，则，根据三角形的三边关系得到，即可得到x的取值范围．此题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的中线、三角形的三边关系等知识，构造全等三角形是解题的关键．【详解】如图所示：是边上的中线，则，

延长至E，使，则，在与中，∵，∴，∴，在中，，即，∴．故选：D．【题型六：分类讨论思想·全等三角形与动点问题】例8．（22-23八年级上·广东广州·期中）如图（1），，，，；点P在线段上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）．

(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，请说明理由，并判断此时线段和线段的位置关系；(2)如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得与全等？若存在，求出相应的x的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)全等，理由见解析，线段与线段垂直；(2)存在，或【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等三角形的性质【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握分类讨论的思想是解题关键．（1）由速度和时间求得、，进而可得，再利用两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等即可证明，由全等的性质求得进而可得，即；（2）已知，所以与全等时和为对应相等角，应分两种情况讨论：①时，，，②时，，；利用对应边相等的关系建立方程组求解即可；【详解】（1）解：全等，，当时，，，又∵，在和中，∴，∴，∴，∴，即线段与线段垂直；（2）解：存在①若，则，，∴，解得；②若，则，，∴，解得；综上所述，存在或使得与全等；变式8.如图，与相交于点，，，，点从点出发，沿方向以的速度运动，点从点出发，沿方向以的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为．

(1)求证：．(2)写出线段的长（用含t的式子表示）．(3)连接，当线段经过点时，求的值．【答案】(1)见解析(2)线段AP的长为或(3)t的值为1.5或3【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、内错角相等两直线平行、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）【分析】（1）由证明，得，再由平行线的判定即可得出结论；（2）分两种情况分别表示即可；（3）先证，得，再分两种情况：当时，；当时，，分别解出即可．【详解】（1）证明：在和中，，∴（），∴，∴．（2）解：当时，；当时，，综上所述，线段的长为或．（3）由（1）得：，，在和中，，∴，∴，当时，，解得；当时，，解得．综上所述，当线段经过点时，的值为1.5或3．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定以及一元一次方程的应用等知识；证明三角形全等、分类讨论是解题的关键．【方法技巧与总结】此类问题需要运用分类讨论和方程思想。先根据全等三角形的判定，针对对应边进行分情况讨论，列出全等三角形，再根据对应边相等，用含t的式子表示出相关的线段长，列方程解决问题。【题型七：应用全等三角形判定解实际问题】例7．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）星期六，数学兴趣小组的同学一起到校园参加社会实践活动，他们利用一根长的竿子来测量旗杆的高度．方法如下：如图，在旗杆前选一点P，使，并测得，然后把竖直的竿子（）在水平地面上前后移动（点，，，，在同一平面内且，，在同一直线上），使，此时测得．请根据这些数据，计算出旗杆的高度．【答案】旗杆的高度是．【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定是解题的关键．根据三角形的内角和定理易得，进而得到和全等，再利用全等三角形的性质求解．【详解】解：由题意知，，，，，，，，，在和中，，，，，，，即．答：旗杆的高度是．一、选择题1．（22-23八年级上·安徽淮北·阶段练习）在和中，下列条件不能判断这两个三角形全等的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】A【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS）、用SAS证明三角形全等（SAS）、用HL证全等（HL）【分析】根据全等三角形的判定方法：，进行判断即可；【详解】解：A、利用，不能判断两个三角形全等，符合题意；B、利用，得到两个三角形全等，不符合题意；C、利用，得到两个三角形全等，不符合题意；D、利用，得到两个三角形全等，不符合题意；故选A．【点睛】本题考查全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键．2．（17-18八年级·辽宁大连·期末）如图是一个平分角的简单仪器，其中．将A放在角的顶点，和沿着角的两边放下，沿画一条射线就是的平分线．在这个过程中的根据是（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、作角平分线(尺规作图)【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定定理：．根据题目所给条件可利用定理判定，进而得到．【详解】解：∵在和中，，∴，∴，∴就是的平分线．故选：B．3．（22-23八年级上·安徽亳州·期末）下列命题中，真命题是（

）A．三角形的三条高线相交于三角形内 B．三角形三个内角中至少有两个锐角C．两边分别相等且其中一组等边所对的角相等的两个三角形全等 D．两边分别相等的两个直角三角形全等【答案】B【知识点】画三角形的高、全等的性质和SAS综合（SAS）、用HL证全等（HL）、判断命题真假【分析】本题考查了真假命题的判断，三角形高的特征，三角形内角和，全等三角形的判定方法，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．利用三角形高的特征，全等三角形的判定方法，三角形的内角和分别判断后即可．【详解】A．锐角三角形的三条高线相交于三角形内，故原命题错误，为假命题；B．三角形的三个角中，至少有两个锐角，正确，为真命题；C．两边分别相等且其中一组等边所对的角相等的两个三角形全等，没有角边边这个判定定理，故原命题错误，是假命题；D．斜边和直角边分别相等的两个直角三角形全等，故原命题错误，为假命题．故选：B．4．（23-24八年级上·安徽淮北·期末）如图，已知，，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先利用证明，得出，，进而可判断③；利用证明，即可判断①；利用可证明，即可判断④，由已知条件可证明，无法证明，即可判断②．【详解】解：∵，，，∴，∴，，∴，故③正确；∴，∴，，故①正确；∵，，，∴，故④正确；∵，，∴，即，无法证明，故②错误；故选：C．二、填空题5．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，，现添加“”，则判定的直接依据是．【答案】三边对应相等的三角形是全等三角形【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS）【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，熟记定理内容是解题关键．【详解】解：∵，∴判断三角形全等的依据是：三边对应相等的三角形是全等三角形故答案为：三边对应相等的三角形是全等三角形6．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图，，，的延长线交于点，若，则的度数为．【答案】【知识点】利用邻补角互补求角度、全等的性质和SSS综合（SSS）【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及邻补角互补，根据题意证明，得出，结合求得，根据，即可解题．【详解】解：，，在与中，，，，，，故答案为：．三、解答题7．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）阅读下题及其证明过程：已知：如图，是中BC的中点，，试说明：．证明：是中BC的中点在和中，（第一步）（第二步）在和中（第三步）问：(1)上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理根据，若不正确，请指出错在哪一步？(2)写出你认为正确的推理过程．【答案】(1)不正确．证明三角形全等的第二个条件错误，所以第一步错误(2)见解析【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、全等的性质和SAS综合（SAS）【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．（1）可以用证明；（2）根据证明，再证明可得结论．【详解】（1）解：不正确．证明三角形全等的第二个条件错误，所以第一步错误；（2）证明：是中的中点，，在和中，，，，在和中，，，．8．（23-24八年级上·安徽芜湖·期中）如图，点E，F在线段上，且，若，且，求证：．

【答案】见解析【知识点】根据平行线判定与性质证明、全等的性质和SAS综合（SAS）【分析】本题主要查了全等三角形的判定的判定和性质，平行线的判定和性质．根据，可得，再由，可得，可证明，从而得到，即可求证．【详解】证明：∵，∴，即，∵，∴，在和中，∴，∴，∴，∴．9．（23-24八年级上·安徽芜湖·期末）如图，在中，，，，、交于点．在不添加字母和辅助线的情况下，请你在图中找出一对全等三角形并证明．【答案】；证明见解析【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS）【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．先证明，然后根据证明即可．【详解】证明：，理由如下，即，在和中，．10．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，延长至点，过点作，使，连接交于点．(1)求证：；(2)若是上一点，满足，连接，请你判断和的关系，并证明你的结论．【答案】(1)见解析(2)，证明见解析【知识点】全等三角形的性质、全等三角形综合问题【分析】本题考查全等三角形判定及性质，（1）根据题意判定即可得到本题答案；（2）由（1）知可得，再结合已知即可判定，即可得到本题答案．【详解】（1）解：∵，，∴，在和中，，∴，∴；（2）解：，证明如下：∵，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴．11．（23-24八年级上·安徽马鞍山·期末）如图，已知，，为平面内一动点，，为上一点，，上两点，，．下面能表示最小值的线段是（

）A．线段 B．线段 C．线段 D．线段【答案】B【知识点】三角形三边关系的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）【分析】连接，根据，，，，证明，结合，证明，得到，根据，得到的最小值为的长．本题主要考查了全等三角形，线段和的最小值．熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，是解决问题的关键．【详解】如图，连接，∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴的最小值为的长．故选：B．12．（22-23七年级下·安徽宿州·期末）如图，在锐角中，，，的平分线交于点D，点M，N分别是和上的动点，则的最小值是．

【答案】6【知识点】垂线段最短、全等的性质和SAS综合（SAS）【分析】先根据三角形全等的判定定理与性质可得，再根据两点之间线段最短可得的最小值为，然后根据垂线段最短可得当时，取得最小值，最后利用三角形的面积公式即可得．【详解】如图，在上取一点E，使，连接，

是的平分线，，在和中，，，，，由两点之间线段最短得：当点共线时，取最小值，最小值为，又由垂线段最短得：当时，取得最小值，，，解得，即的最小值为6，故答案为：6．【点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形全等的判定定理与性质、两点之间线段最短、垂线段最短等知识点，正确找出取得最小值时的位置是解题关键．13.如图，在和中，，，，连接，交于点M．

(1)如图1，当点B，C，D在同一条直线上时，可以得到图中的一对全等三角形，即__________；(2)当点D不在直线上时，如图2位置，且．①求证：；②求的大小（用含的代数式表示）．【答案】(1)，；(2)①见解析；②．【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS）、全等的性质和SAS综合（SAS）【分析】（1）由“”可证；（2）①由“”可证，可得，②由全等三角形的性质可得，由三角形的内角和定理