线代大一上学期期末考试题及答案

线代大一上学期期末考试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共20分）1.二阶行列式\(\begin{vmatrix}2&1\\3&4\end{vmatrix}\)的值为（）A.5B.-5C.11D.-112.设\(A\)，\(B\)为\(n\)阶方阵，且\(AB=0\)，则（）A.\(A=0\)或\(B=0\)B.\(|A|=0\)或\(|B|=0\)C.\(A+B=0\)D.\(|A|+|B|=0\)3.若矩阵\(A\)的秩\(r(A)=3\)，则\(A\)中（）A.所有3阶子式都不为0B.所有4阶子式都为0C.至少有一个2阶子式不为0D.至少有一个3阶子式为04.向量组\(\alpha_1=(1,0,0)\)，\(\alpha_2=(0,1,0)\)，\(\alpha_3=(0,0,1)\)的秩为（）A.1B.2C.3D.05.设\(A\)为\(n\)阶可逆矩阵，\(\lambda\)是\(A\)的一个特征值，则\(A^{-1}\)的一个特征值是（）A.\(\lambda\)B.\(\frac{1}{\lambda}\)C.\(-\lambda\)D.\(\lambda^2\)6.若齐次线性方程组\(Ax=0\)（\(A\)为\(m\timesn\)矩阵）只有零解，则（）A.\(r(A)=m\)B.\(r(A)=n\)C.\(m=n\)D.\(r(A)\ltn\)7.设\(A\)，\(B\)为同阶方阵，且\(A\)与\(B\)相似，则（）A.\(A\)与\(B\)有相同的特征向量B.\(|A|=|B|\)C.\(A\)与\(B\)有相同的特征多项式D.\(A\)与\(B\)有相同的秩8.矩阵\(A=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}\)的伴随矩阵\(A^\)为（）A.\(\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}0&1\\2&0\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}0&2\\1&0\end{pmatrix}\)9.设向量\(\alpha=(1,-1,2)\)，\(\beta=(2,0,1)\)，则\(\alpha\cdot\beta\)的值为（）A.0B.1C.2D.310.若矩阵\(A\)满足\(A^2=A\)，则\(A\)的特征值为（）A.0或1B.-1或1C.0或-1D.2或1答案：1.A2.B3.B4.C5.B6.B7.C8.A9.C10.A二、多项选择题（每题2分，共20分）1.下列关于矩阵的运算正确的有（）A.\((AB)C=A(BC)\)B.\((A+B)C=AC+BC\)C.\(k(AB)=(kA)B=A(kB)\)D.\(A(B+C)=AB+AC\)2.设\(A\)为\(n\)阶方阵，下列命题正确的是（）A.若\(A\)可逆，则\(A^T\)可逆B.若\(A\)可逆，则\(A^{-1}\)可逆C.若\(A\)可逆，则\(A^2\)可逆D.若\(A\)可逆，则\(kA\)（\(k\neq0\)）可逆3.向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)线性相关的充分必要条件是（）A.向量组中至少有一个向量可由其余向量线性表示B.向量组中存在不全为零的数\(k_1,k_2,\cdots,k_s\)，使得\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)C.向量组的秩小于\(s\)D.向量组中任意一个向量都可由其余向量线性表示4.设\(A\)为\(n\)阶方阵，\(\lambda\)是\(A\)的特征值，\(\xi\)是对应的特征向量，则（）A.\(A\xi=\lambda\xi\)B.\((\lambdaE-A)\xi=0\)C.\(|\lambdaE-A|=0\)D.\(\lambda\)满足\(A\)的特征方程5.下列矩阵中，是正交矩阵的有（）A.\(\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{\sqrt{2}}{2}\\-\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{\sqrt{2}}{2}\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}\)6.对于线性方程组\(Ax=b\)（\(A\)为\(m\timesn\)矩阵），下列说法正确的是（）A.若\(r(A)=r(A|b)\)，则方程组有解B.若\(r(A)\ltr(A|b)\)，则方程组无解C.若\(r(A)=n\)，则方程组有唯一解D.若\(r(A)\ltn\)，则方程组有无穷多解7.设\(A\)，\(B\)为\(n\)阶方阵，且\(A\)与\(B\)合同，则（）A.\(A\)与\(B\)有相同的秩B.\(A\)与\(B\)有相同的正负惯性指数C.\(A\)与\(B\)有相同的特征值D.\(A\)与\(B\)等价8.下列关于矩阵的秩的性质正确的有（）A.\(r(A+B)\leqr(A)+r(B)\)B.\(r(AB)\leq\min\{r(A),r(B)\}\)C.\(r(kA)=r(A)\)（\(k\neq0\)）D.若\(A\)可逆，则\(r(AB)=r(B)\)9.设向量组\(\alpha_1=(1,1,0)\)，\(\alpha_2=(1,0,1)\)，\(\alpha_3=(0,1,1)\)，则（）A.\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)线性无关B.\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)线性相关C.\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)可以表示三维空间中的任意向量D.\(r(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=3\)10.已知矩阵\(A\)的特征值为\(1,2,3\)，则（）A.\(|A|=6\)B.\(A\)可逆C.\(A\)的迹（主对角线元素之和）为6D.\(A\)的秩为3答案：1.ABCD2.ABCD3.ABC4.ABCD5.AC6.AB7.ABD8.ABCD9.ACD10.ABC三、判断题（每题2分，共20分）1.若\(A\)，\(B\)为\(n\)阶方阵，则\((AB)^T=A^TB^T\)。（）2.若矩阵\(A\)的秩\(r(A)=r\)，则\(A\)中存在\(r\)阶子式不为0，且所有\(r+1\)阶子式都为0。（）3.向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)线性无关，则其中任意部分向量组也线性无关。（）4.若\(\lambda\)是矩阵\(A\)的特征值，则\(\lambda^2\)是\(A^2\)的特征值。（）5.正交矩阵的行列式的值为\(1\)或\(-1\)。（）6.齐次线性方程组\(Ax=0\)一定有解。（）7.若\(A\)与\(B\)相似，则\(A\)与\(B\)一定合同。（）8.矩阵\(A\)的伴随矩阵\(A^\)满足\(AA^=|A|E\)。（）9.若向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)的秩为\(r\)，则其中任意\(r\)个向量都线性无关。（）10.对于\(n\)阶方阵\(A\)，若\(A\)的特征值全为\(0\)，则\(A=0\)。（）答案：1.×2.√3.√4.√5.√6.√7.×8.√9.×10.×四、简答题（每题5分，共20分）1.求矩阵\(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&2\\0&0&1\end{pmatrix}\)的逆矩阵。答案：利用初等行变换\((A|E)\)进行求解。\((A|E)=\begin{pmatrix}1&2&3&1&0&0\\0&1&2&0&1&0\\0&0&1&0&0&1\end{pmatrix}\)，经过一系列变换得\(\begin{pmatrix}1&0&0&1&-2&1\\0&1&0&0&1&-2\\0&0&1&0&0&1\end{pmatrix}\)，所以\(A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-2&1\\0&1&-2\\0&0&1\end{pmatrix}\)。2.已知向量组\(\alpha_1=(1,2,-1)\)，\(\alpha_2=(2,-3,1)\)，\(\alpha_3=(4,1,-1)\)，求该向量组的秩。答案：构造矩阵\(A=\begin{pmatrix}1&2&4\\2&-3&1\\-1&1&-1\end{pmatrix}\)，对其进行初等行变换化为行阶梯形矩阵\(\begin{pmatrix}1&2&4\\0&-7&-7\\0&0&0\end{pmatrix}\)，非零行有2行，所以向量组的秩为2。3.设\(A\)为\(3\)阶方阵，\(|A|=2\)，求\(|3A^{-1}-2A^\)|。答案：因为\(A^=|A|A^{-1}=2A^{-1}\)，则\(|3A^{-1}-2A^|=|3A^{-1}-4A^{-1}|=|-A^{-1}|=(-1)^3|A^{-1}|=-\frac{1}{|A|}=-\frac{1}{2}\)。4.求线性方程组\(\begin{cases}x_1+x_2+x_3=1\\x_1+2x_2+3x_3=2\\2x_1+3x_2+4x_3=3\end{cases}\)的通解。答案：对增广矩阵进行初等行变换得\(\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&1&2&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}\)，\(r(A)=r(A|b)=2\lt3\)，有无数解。令\(x_3=t\)，得\(x_2=1-2t\)，\(x_1=t\)，通解为\(x=t\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\)，\(t\inR\)。五、讨论题（每题5分，共20分）1.讨论矩阵可逆的判定方法有哪些？答案：可从行列式判断，\(n\)阶方阵\(A\)可逆\(\Leftrightarrow|A|\neq0\)；从秩判断，\(r(A)=n\)；从特征值判断，\(A\)的特征值全不为0；从线性方程组角度，\(Ax=b\)有唯一解等。2.说明向量组线性相关和线性无关的概念及重要性。答案：线性相关指存在不全为零的数使向量组线性组合为零向量；线性无关则只有全为零的数才使线性组合为零向量。它们是研究向量空间结构、线性方程