6.3.3 余角和补角（教学设计）数学人教版2024七年级上册

6.3.3余角和补角教学设计一、内容和内容解析本节课是2024年新人教版七年级上册数学第六章《几何图形初步》中的6.3.3余角和补角，本节课的主要内容是余角和补角的概念和性质.在之前对几何图形初步的学习中，学生已认识直角、平角及掌握比较角大小的方法引入余角和补角的概念，余角是指若两个角的和等于90°(直角),这两个角就互为余角；补角是指若两个角的和等于180°(平角),这两个角就互为补角.余角和补角反映的是角与角之间的数量关系，这是学生首次深入探究两个图形的数量关系，为后续探究余角、补角的性质以及解决也有助于进一步提升学生数学语言的表达能力和知识运用能力.需要强调的仅关乎角的数量关系，与角的位置并无关联.基于以上分析，确定本节课的教学重点为：掌握余角和补角的概念及性质.(1)理解余角和补角的概念，能在图中找到一个角的余(补)角，能求一个角的余(补)角.(2)掌握余角和补角的性质，能运用余角与补角的性质解决问题.对于目标(1),通过对余角和补角概念的学习与图形观察分析，学生能理解余角和补角的概念，能准确在图中找出一个角的余(补)角，能依据概念正确求一个角的余(补)角.对于目标(2),通过对余角和补角性质的探究推理过程，学生能掌握余角和补角的性质，能熟练运用余角与补角的性质解决相关问题，包括在复杂图形中识别和运用性质进行角度的推理计算等.三、教学问题诊断分析角关系的深入拓展，此前学生接触的图形多有共同顶点或公共边，而余角、补角作为数量关系，两角位置用数学语言表达思考过程存在困难，图形语言、文字语言和符号语言之间的转换更是薄弱环节.基于以上分析，确定本节课的教学难点为：理解余角、补角概念中与位置无关这一要点；通过余角、四、教学过程设计(一)新知引入【问题1】在一副三角尺中，每个三角尺都有一个角是直角，那么另外两个锐角的和有什么特点?【问题2】观察剪刀从张开到合拢的过程，∠1与∠2的和有什么特点?答：∠1与∠2的和为180°.【设计意图】本环节选取学生熟悉的三角尺与剪刀为载帮助学生快速进入学习情境、降低认知门槛，又以“两角和为90°”“两角和为180°”的问题结论为后续余角、补角概念铺垫，同时引导学生自主观察、归纳规律，在感知知识本质的过程中锻炼观察与提炼数学规律的能力，契合数学从具体到抽象的认知逻辑.(二)新知讲解知识点1余角和补角的概念1.余角的概念：如果两个角的和等于90°(直角),就说这两个角互为余角，简称这两个角互余，其中一个角是另一个角的余角.∵∠1+∠2=90°,∴∠1与∠2互为余角.工2.补角的概念：如果两个角的和等于180°(平角),就说这两个角互为补角，简称这两个角互补，其中一个角是另一个角的补角.符号语言：∴∠3与∠4互为补角.反之也成立：∵∠3与∠4互为补角，【小结】1.判断两个角是否互余(补),唯一标准是它们的度数和是否为90°(180°),与它们的位置无关.因此，互余(补)是两个角的数量关系，而不是位置关系.2.余角、补角是成对出现的，单独的一个角、三个或三个以上的角之间不能说互余或互补.例如，当∠1+∠2+∠3=90°时，不能说∠1,∠2,∠3互余.【小试牛刀】图中给出的各角中，哪些互为余角?哪些互为补角?解：互为余角的角是10°和80°、30°和6知识点2余角和补角的性质【思考1】∠1与∠2,∠3都互余，∠2与∠3的大小有什么关系?解：理由如下：∵∠1与∠2,∠3都互为余角，【小结】同角的余角相等.【思考2】∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，如果∠1=∠3,那么∠2和∠4相等吗?为什么?∵∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，【小结】等角的余角相等.【思考3】如图，如果∠1与∠2,∠3都互补，那么∠2与∠3的大小有什么关系?解：∵∠1与∠2互为补角，又∠1与∠3互为补角，【小结】同角的补角相等.【思考4】已知：∠1与∠2互为补角，∠3与∠4互为补角，如果∠1=∠3,那么∠2与∠4相等吗?为什么?解：∵∠1与∠2互为补角，又∠3与∠4互为补角，【小结】等角的补角相等.【小结】类型性质数学语言余角同角(等角)①如果∠1+∠2=90°,∠1+∠3=90°,那么∠2=∠3.②如果∠1+∠2=90°,∠3+∠4=90°,且∠1=∠3,那么∠2=∠4.补角同角(等角)的补角相等①如果∠1+∠2=180°,∠1+∠3=180°,那么∠2=∠3.②如果∠1+∠2=180°,∠3+∠4=180°,且∠1=∠3,那么∠2=∠4.【设计意图】本环节先明确余角、补角的概念及符号语言，结合小结强调“数量关系”核心与“成对出现”特点，再通过小试牛刀巩固概念；接着以“思考”问题链推导余角、补角的性质，层层递进.整体设计既帮助学生精准掌握知识定义与逻辑，又通过符号语言转化、问题探究，锻炼数学表达与推理能力，同时衔接新知引入内容，构建完整的知识认知体系.(三)典型例题(2)若∠1的补角是115°32',则∠1的度数为64°28'_,∠1的余角为25°32';(3)若∠A的度数是37°24',∠B的度数是52°36',则∠A与∠【针对练习】(1)若∠A=35°,则∠A的余角为55°,补角为145°,它的补角比余角大90°;(2)若∠1的余角等于51°19',则∠1等于38°41',∠1的补角等于141°19;例2一个角的余角与这个角的补角之和为130°,求这个角的度数.根据题意，得90—x+180—x=130.解得x=70.【小结】解此类题，先明确余角(和为90°)、补角(和为180°)定义，设原角为x°,用(90—x)°、 (180—x)°表示余角、补角，再依“和为已知度数”列一元一次方程求解；注意区分余角、补角，方程出错.【针对练习】已知一个角的补角比这个角的余角的2倍大40°,求这个角的度数.解：设这个角的度数为x.依题意，得180°-x=2(90°—x)解得x=40°.例3(双角平分线模型)如图，点A,O,B在同一条直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和分析：互为余角的两个角的和是90°,而已知条件中隐含互为补角的条件，再利用角平分线的条件，便可以发现互为余角的角.=90°.【针对练习】(双直角模型)如图，O是直线MN上一点，OC平分∠AOM,且∠BOC=90°,则OB是否平分∠AON?请说明理由.因为0是直线MN上一点，所以∠MON=180°.(2)∠AOD与∠BOC互补吗?为什么?解：(2)∠AOD与∠BOC互补.理由如下：【设计意图】本环节通过不同类型题目分层设计：基础计算类例题与练习，帮助学生熟练运用余角、补角定义进行角度换算，巩固核心概念；方程求解类例题，引导学生将文字信息转化为数学方程，提升逻辑建模能力；几何模型类例题，结合角平分线、直线与直角条件，拓展知识应用场景，培养几整体设计以练促学，既强化知识掌握，又逐步提升学生的数学运算与推理能力，实现从概念到应(四)当堂巩固A.40°B.140°C2.若一个角的余角是66°25',则这个角的度数为(A)A.23°35'B.23°75'C.113°35'D.113°75'4.如图，直线AB与直线DE相交于点0,∠AOC=90°,则∠AOD的余角是∠COD,∠AODA-BA-E5.如图，直线AB与CD相交于点O,OE⊥AB,OF⊥CD.DC因为直线AB与CD相交于点O,所以∠AOC+∠AOD=180°,∠AOC+∠COB=180°.所以∠AOD=∠COB.(答案不唯一)【设计意图】本环节分层考查余角补角定义应用、角度换算及几何图形中角的关系推导