陕西省延安市宝塔四中2025年高二上数学期末统考模拟试题含解析

陕西省延安市宝塔四中2025年高二上数学期末统考模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数，，若对于任意的，存在唯一的，使得，则实数a的取值范围是（）A（e，4） B.（e，4]C.（e，4） D.（，4]2．阿基米德（Archimedes，公元前287年-公元前212年），出生于古希腊西西里岛叙拉古（今意大利西西里岛上），伟大的古希腊数学家、物理学家，与高斯、牛顿并称为世界三大数学家．有一类三角形叫做阿基米德三角形（过抛物线的弦与过弦端点的两切线所围成的三角形），他利用“通近法”得到抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的（即右图中阴影部分面积等于面积的）．若抛物线方程为，且直线与抛物线围成封闭图形的面积为6，则（）A.1 B.2C. D.33．已知命题：若直线的方向向量与平面的法向量垂直，则；命题：等轴双曲线的离心率为，则下列命题是真命题的是（）A. B.C. D.4．某企业甲车间有200人，乙车间有300人，现用分层抽样的方法在这两个车间中抽取25人进行技能考核，则从甲车间抽取的人数应为（）A.5 B.10C.8 D.95．若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则k的取值范围是（）A. B.C. D.6．据记载，欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”特别是当时，得到一个令人着迷的优美恒等式，将数学中五个重要的数（自然对数的底，圆周率，虚数单位，自然数的单位和零元）联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的数学公式”.根据欧拉公式，复数的虚部（）A. B.C. D.7．圆和圆的位置关系是（）A.内含 B.内切C.相交 D.外离8．均匀压缩是物理学一种常见现象.在平面直角坐标系中曲线均匀压缩，可用曲线上点的坐标来描述.设曲线上任意一点，若将曲线纵向均匀压缩至原来的一半，则点的对应点为.同理，若将曲线横向均匀压缩至原来的一半，则曲线上点的对应点为.若将单位圆先横向均匀压缩至原来的一半，再纵向均匀压缩至原来的，得到的曲线方程为（）A. B.C. D.9．已知命题对任意，总有；是方程的根则下列命题为真命题的是A. B.C. D.10．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，，点P满足，设点P的轨迹为C，下列结论正确的是（）A.C的方程为B.当A，B，P三点不共线时，面积的最大值为24C.当A，B，P三点不共线时，射线是的角平分线D.在C上存在点M，使得11．已知、是平面直角坐标系上的直线，“与的斜率相等”是“与平行”的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分条件也非必要条件12．给出如下四个命题正确的是（）①方程表示的图形是圆；②椭圆的离心率；③抛物线的准线方程是；④双曲线的渐近线方程是A.③ B.①③C.①④ D.②③④二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．总书记在2021年2月25日召开的全国脱贫攻坚总结表彰大会上发表重要讲话，庄严宣告，在迎来中国共产党成立一百周年的重要时刻，我国脱贫攻坚取得了全面胜利.在脱贫攻坚过程中，为了解某地农村经济情况，工作人员对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下列结论中所存确结论的序号是____________①该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%；②该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%；③估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元；④估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间14．已知曲线，①若，则是椭圆，其焦点在轴上；②若，则是圆，其半径为；③若，则是双曲线，其渐近线方程为；④若，，则是两条直线.以上四个命题，其中正确的序号为_________.15．已知数列满足，，则_________.16．若曲线在点处的切线斜率为，则___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）2021年2月12日，辛丑牛年大年初一，由贾玲导演的电影《你好，李焕英》上映，截至到2月21日22点8分，票房攀升至40.25亿，反超同期上映的《唐人街探案3》，迎来了2021春节档最具戏剧性的一幕．正是因为影片中母女间的这份简单、纯粹、诚挚的情感触碰了人们内心柔软的地方，打动了万千观众，才赢得了良好的口碑，不少观众都流下了感动的泪水．影片结束后，某电影院工作人员当日随机抽查了100名观看《你好，焕英》的观众，询问他们在观看影片的过程中是否“流泪”，得到以下表格：男性观众女性观众合计流泪20没有流泪520合计（1）完成表格中的数据，并判断是否有99.9%的把握认为观众在观看影片的过程中流泪与性别有关？（2）以分层抽样的方式，从流泪与没有流泪的观众中抽取5人，然后从这5人中再随机抽取2人，求这2人都流泪的概率附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828，18．（12分）已知.(1)讨论的单调性；(2)当有最大值，且最大值大于时，求取值范围.19．（12分）在平面直角坐标系中，动点到定点的距离比到轴的距离大，设动点的轨迹为曲线，分别过曲线上的两点，做曲线的两条切线，且交于点，与直线交于两点（1）求曲线的方程；（2）求面积的最小值.20．（12分）已知抛物线的焦点为，且为圆的圆心．过点的直线交抛物线与圆分别为，，，（从上到下）（1）求抛物线方程并证明是定值；（2）若，的面积比是，求直线的方程21．（12分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且求A和B的大小；若M，N是边AB上的点，，求的面积的最小值22．（10分）如图，菱形的边长为4，，矩形的面积为8，且平面平面（1）证明：；（2）求C到平面的距离.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】结合导数和二次函数的性质可求出和的值域，结合已知条件可得，，从而可求出实数a的取值范围.【详解】解：g（x）=x2ex的导函数为g′（x）=2xex+x2ex=x（x+2）ex，当时，，由时，，时，，可得g（x）在[–1，0]上单调递减，在（0，1]上单调递增，故g（x）在[–1，1]上的最小值为g（0）=0，最大值为g（1）=e，所以对于任意的，．因为开口向下，对称轴为轴，又，所以当时，，当时，，则函数在[，2]上的值域为[a–4，a]，且函数f（x）在，图象关于轴对称，在（，2]上，函数单调递减．由题意，得，，可得a–4≤0<e<，解得ea≤4故选:B【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值，考查了二次函数的性质，属于中档题.本题的难点是这一条件的转化.2、D【解析】根据题目所给条件可得阿基米德三角形的面积，再利用三角形面积公式即可求解.【详解】由题意可知，当过焦点的弦垂直于x轴时，即时，，即，故选：D3、D【解析】先判断出p、q的真假，再分别判断四个选项的真假.【详解】因为“若直线的方向向量与平面的法向量垂直，则或”，所以p为假命题；对于等轴双曲线，，所以离心率为，所以q为真命题.所以假命题，故A错误；为假命题，故B错误；为假命题，故C错误；为真命题，故D正确.故选：D4、B【解析】根据分层抽样的定义即可求解.【详解】从甲车间抽取的人数为人故选：B5、B【解析】由条件可得，即可得到答案.【详解】方程表示焦点在y轴上的双曲线所以，即故选：B6、D【解析】由欧拉公式的定义和复数的概念进行求解.【详解】由题意，得，则复数的虚部为.故选：D.7、C【解析】根据两圆圆心的距离与两圆半径和差的大小关系即可判断.【详解】解：因为圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，所以两圆圆心的距离为，因为，即，所以圆和圆的位置关系是相交，故选：C.8、C【解析】设单位圆上一点为，经过题设变换后坐标为，则，代入圆的方程即可得曲线方程.【详解】由题设，单位圆上一点坐标为，经过横向均匀压缩至原来的一半，纵向均匀压缩至原来的，得到对应坐标为，∴，则，故中，可得：.故选：C.9、A【解析】由绝对值的意义可知命题p为真命题；由于，所以命题q为假命题；因此为假命题，为真命题，“且”字联结的命题只有当两命题都真时才是真命题，所以答案选A10、C【解析】根据题意可求出C的方程为，即可根据题意判断各选项的真假【详解】对A，由可得，化简得，即，A错误；对B，当A，B，P三点不共线时，点到直线的最大距离为，所以面积的最大值为，B错误；对C，当A，B，P三点不共线时，因为，所以射线是的角平分线，C正确；对D，设，由可得点的轨迹方程为，而圆与圆的圆心距为，两圆内含，所以这样的点不存在，D错误故选：C11、D【解析】根据直线平行与直线斜率的关系，即可求解.【详解】解：与的斜率相等”，“与可能重合，故前者不可以推出后者，若与平行，与的斜率可能都不存在，故后者不可以推出前者，故前者是后者的既非充分条件也非必要条件，故选：D.12、A【解析】对选项①，根据圆一般方程求解即可判断①错误，对选项②，求出椭圆离心率即可判断②错误，对③，求出抛物线渐近线即可判断③正确，对④，求出双曲线渐近线方程即可判断④错误。【详解】对于①选项，，，故①错误；对于②选项，由题知，所以，所以离心率，故②错误；对于③选项，抛物线化为标准形式得抛物线，故准线方程是，故③正确；对于④选项，双曲线化为标准形式得，所以，焦点在轴上，故渐近线方程是，故④错误.故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①②④【解析】利用频率分布直方图中频率的求解方法，通过求解频率即可判断选项①，②，④，利用平均值的计算方法，即可判断选项③【详解】解：对于①，该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率为，故选项①正确；对于②，该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率为，故选项②正确；对于③，估计该地农户家庭年收入的平均值为万元，故选项③错误；对于④，家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的频率为，故估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于45万元至8.5万元之间，故选项④正确故答案为：①②④14、①③④【解析】通过m，n的取值判断焦点坐标所在轴，判断①，求出圆的半径判断②；通过求解双曲线的渐近线方程，判断③；利用，，判断曲线是否是两条直线判断④【详解】解：①若，则，因为方程化为：，焦点坐标在y轴，所以①正确；②若，则C是圆，其半径为：，不一定是，所以②不正确；③若，则C是双曲线，其渐近线方程为，化简可得，所以③正确；④若，，方程化为，则C是两条直线,所以④正确；故答案为：①③④15、【解析】由已知可知即数列是首项为1，公差为1的等差数列，进而可求得数列的通项公式，即可求.【详解】由题意知：，即，而，∴数列是首项为1，公差为1的等差数列，有，∴，则.故答案为：【点睛】关键点点睛：由递推关系求数列的通项，进而得到的通项公式写出项.16、【解析】由导数的几何意义求解即可【详解】，，解得.故答案为：1三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）填表见解析；有99.9%的把握认为观众在观看影片的过程中流泪与性别有关；（2）【解析】（1）由已知数据可完善列联表，然后计算可得结论；（2）根据分层抽样定义求出5人中流泪与没有流泪的观众人数并编号，用列举法写出作任取2人的所有基本事件，并得出2人都流泪的基本事件，计数后可计算概率【详解】解：（1）男性观众女性观众合计流泪206080没有流泪15520合计3565100所以有99.9%的把握认为观众在观看影片的过程中流泪与性别有关（2）以分层抽样的方式，从流泪与没有流泪的观众中抽取5人，则流泪的观众抽到人，记为，，，，没有流泪的观众抽到人，记为从这5人中抽2人有10种情况，分别是，，，，，，，，，其中这2人都流泪有6种情况，分别是，，，，，所以所求概率18、(1)时,在是单调递增；时,在单调递增，在单调递减.（2）.【解析】（Ⅰ）由,可分,两种情况来讨论；（II）由（I）知当时在无最大值,当时最大值为因此.令,则在是增函数,当时,,当时,因此a的取值范围是.试题解析：（Ⅰ）的定义域为,,若,则,在是单调递增；若,则当时,当时,所以在单调递增,在单调递减.（Ⅱ）由（Ⅰ）知当时在无最大值,当时在取得最大值,最大值为因此.令,则在是增函数,,于是,当时,,当时,因此a取值范围是.考点：本题主要考查导数在研究函数性质方面的应用及分类讨论思想.19、（1）（2）【解析】（1）由题意可得化简可得答案；（2）求出、方程并得到、点坐标，再联立，方程求出交点和、点到的距离，可得，设，与抛物线方程联立利用韦达定理得到，设，记，利用导数可得答案..【小问1详解】由题意可知：，即：化简得：；【小问2详解】由题意可知：，，，过点的切线斜率为，方程为：①，令，，则，同理：方程为：②，，联立①②得：，的交点，，点到的距离，所以③，设：，则，整理得，所以，由韦达定理得：，，代入③式得：，设，记，则，令得（舍负），时，