山西省大同市煤矿第二学校2025-2026学年数学高一第一学期期末质量检测试题含解析

山西省大同市煤矿第二学校2025-2026学年数学高一第一学期期末质量检测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知函数为奇函数，且当时，，则（）A. B.C. D.2．若，则的最小值是（）A.1 B.2C.3 D.43．已知集合，则（）A. B.C. D.4．若，且，则的值是A. B.C. D.5．半径为，圆心角为弧度的扇形的面积为（）A. B.C. D.6．设，，且，则A. B.C. D.7．已知函数则其在区间上的大致图象是（）A. B.C. D.8．已知函数，若（其中．），则的最小值为（）A. B.C.2 D.49．设直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V，点P、Q分别在侧棱AA1、CC1上，且PA=QC1，则四棱锥B-APQC的体积为（）A. B.C. D.10．下列函数中，既是偶函数，在上是增函数的是（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知，则___________12．若关于的不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为____________13．已知是定义在上奇函数，且函数为偶函数，当时，，则______14．在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为________.15．已知集合A={x|2x＞1}，B={x|log2x＜0}，则∁AB=___16．若定义域为的函数满足：对任意能构成三角形三边长的实数，均有，，也能构成三角形三边长，则m的最大值为______．（是自然对数的底）三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．设非空集合P是一元一次方程的解集.若，，满足，，求的值.18．已知函数（1）求函数的最小正周期、单调区间；（2）求函数在区间上的最小值和最大值.19．某学校有1200名学生，随机抽出300名进行调查研究，调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全相同的10个红球，10个绿球和10个白球的袋子.调查中有两个问题：问题1：你的阳历生日月份是不是奇数？问题2：你是否抽烟？每个被调查者随机从袋中摸出1个球（摸出后再放回袋中）.若摸到红球就如实回答第一个问题，若摸到绿球，则不回答任何问题；若摸到白球，则如实回答第二个问题.所有回答“是”的调查者只需往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的被调查者什么也不用做.最后收集回来53个小石子，估计该学校吸烟的人数有多少？20．已知.（1）化简；（2）若，求.21．已知圆过三个点.（1）求圆的方程；（2）过原点的动直线与圆相交于不同的两点，求线段的中点的轨迹.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】根据奇函数的定义得到，又由解析式得到，进而得到结果.【详解】因为函数为奇函数，故得到当时，，故选：C.2、C【解析】采用拼凑法，结合基本不等式即可求解.【详解】因为，，当且仅当时取到等号，故的最小值是3.故选：C3、D【解析】由交集的定义求解即可【详解】，由题意，作数轴如图：故，故选：D．4、A【解析】由，则，考点：同角间基本关系式5、A【解析】由扇形面积公式计算【详解】由题意，故选：A6、C【解析】，则，即，，，即故选点睛：本题主要考查了切化弦及两角和的余弦公式的应用，在遇到含有正弦、余弦及正切的运算时可以将正切转化为正弦及余弦，然后化简计算，本题还运用了两角和的余弦公式并结合诱导公式化简，注意题目中的取值范围7、D【解析】为奇函数，去掉A,B；当时,所以选D.点睛：(1)运用函数性质研究函数图像时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.(2)在运用函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去，即将函数值的大小转化自变量大小关系8、B【解析】根据二次函数的性质及对数的运算可得，利用均值不等式求最值即可.详解】,由，，即，，当且仅当，即时等号成立，故选：B9、C【解析】为直三棱柱，且，．故C正确考点：棱锥的体积10、C【解析】根据函数奇偶性的定义及幂函数、对数函数、指数函数的性质，对各选项逐一分析即可求解.【详解】解：对A：，定义域为R，因为，所以函数为偶函数，而根据幂函数的性质有在上单调递增，所以在上单调递减，故选项A错误；对B：，定义域为，因为，所以函数为奇函数，故选项B错误；对C：定义域为，因为，所以函数为偶函数，又时，根据对数函数的性质有在上单调递减，所以在上单调递增，故选项C正确；对D：，定义域为R，因为，所以函数为奇函数，故选项D错误.故选：C.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、2【解析】将齐次式弦化切即可求解.【详解】解：因为，所以，故答案为：2.12、【解析】根据题意显然可知，整理不等式得：，令，求出在的范围即可求出答案.【详解】由题意知：，即对任意的恒成立，当，得：，即对任意的恒成立，即对任意的恒成立，令，在上单减，所以，所以.故答案为：13、【解析】求出函数的周期即可求解.【详解】根据题意，为偶函数，即函数图象关于直线对称，则有，又由为奇函数，则，则有，即，即函数是周期为4的周期函数，所以，故答案为：14、【解析】构造长方体，使得面上的对角线长分别为4，5，,则长方体的对角线长等于三棱锥P-ABC外接球的直径，即可求出三棱锥P-ABC外接球的表面积【详解】∵三棱锥P−ABC中,PA=BC=4,PB=AC=5,PC=AB=，∴构造长方体,使得面上的对角线长分别为4,5,，则长方体的对角线长等于三棱锥P−ABC外接球的直径.设长方体的棱长分别为x,y,z,则，∴三棱锥P−ABC外接球的直径为，∴三棱锥P−ABC外接球的表面积为.故答案为：26π.【点睛】本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出球的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用（为三棱的长）；②若面（），则（为外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.15、[1，+∞）【解析】由指数函数的性质化简集合；由对数函数的性质化简集合，利用补集的定义求解即可.【详解】,所以，故答案为.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且不属于集合的元素的集合.16、##【解析】不妨设三边的大小关系为：，利用函数的单调性，得出，，的大小关系，作为三角形三边则有任意两边之和大于第三边，再利用基本不等式求出边的范围得出的最大值即可.【详解】在上严格增，所以，不妨设，因为对任意能构成三角形三边长的实数，均有，，也能构成三角形三边长，所以，因为，所以，因为对任意都成立，所以，所以，所以，所以，所以m的最大值为故答案为：.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、答案见解析【解析】由题意可得，写出P的所有可能，结合一元二次方程的根与系数的关系求解即可.【详解】由于一元二次方程的解集非空，且，，所以，即满足题意.当时，由韦达定理得，，此时：当时，由韦达定理得，，此时；当时，由韦达定理得，，此时.18、(1),增区间是，减区间是(2)，【解析】（1）根据余弦函数的图象与性质，求出f（x）的最小正周期和单调增、减区间；（2）求出x∈[，]时2x的取值范围，从而求得f（x）的最大最小值【详解】（1）函数f（x）cos（2x）中，它的最小正周期为Tπ，令﹣π+2kπ≤2x2kπ，k∈Z，解得kπ≤xkπ，k∈Z，所以f（x）的单调增区间为[kπ，kπ]，k∈Z；令2kπ≤2xπ+2kπ，k∈Z，解得kπ≤xkπ，k∈Z，所以f（x）的单调减区间为[kπ，kπ]，k∈Z；（2）x∈[，]时，2x≤π，所以2x；令2x，解得x，此时f（x）取得最小值为f（）（）＝﹣1；令2x0，解得x，此时f（x）取得最大值为f（）1【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，熟记单调区间是关键，是基础题19、36【解析】由题意可知，每个学生从口袋中摸出1个红球，绿球，白球的概率都是，从而可得回答各个问题以及不回答问题的人数，进而可得回答第一个问题是“是”的人数，根据石子数得出100人中抽烟的人数，从而估计出该学校吸烟的人数.【详解】由题意可知，每个学生从口袋中摸出1个红球，绿球，白球的概率都是.即我们期望大约有人回答了第一个问题，人不回答任何问题，人回答了第二个问题.在回答阳历生日月份是奇数的概率是.因而回答第一个问题的100人中，大约有50人回答了“是”.所以我们能推出，在回答第二个问题的100人中，大约有3人回答了“是”.即估计该学校大约有3%的学生抽烟，也就是全校大约有36人抽烟.【点睛】本题考查了概率的应用，解题的关键是理解题干各个量之间的关系，属于基础题.20、(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】【试题分析】（1）利用诱导公式和同角三角函数关系，可将原函数化简为；（2）首先除以，即除以，然后分子分母同时除以，将所求式子转化为仅含有的表达式来求解.【试题解析】(Ⅰ)(