15.2线段的垂直平分线(教学课件)-沪科版(2024)八上

15.2线段的垂直平分线第十五章轴对称图形与等腰三角形

沪科版2024·八年级上册学

习

目

标123要求学生掌握线段垂直平分线的性质定理及其逆命题,能够利用这两个定理解决问题;能够证明线段垂直平分线的性质定理及其逆命题.通过探索、猜测、证明的过程,进一步拓展学生的推理证明的意识和能力.

使线段AA'的两个端点互相重合，A’问题：怎样作出线段的垂直平分线？A(A')折叠法方法一：

就是线段AA'的垂直平分线.通过折纸，得到的折痕探究新知

画垂线的方法度量法方法二：用刻度尺量出线段的中点，再用三角尺过中点作出线段的垂直平分线.探究新知问题：怎样作出线段的垂直平分线？

大于AB为半径用尺规作图法，作出线段AB的垂直平分线方法三：ABEF作法：1、分别以点A，B为圆心，2、过E，F两点作直线。则直线EF就是线段AB的垂直平分线.12(为什么？)画弧交于E，F.探究新知问题：怎样作出线段的垂直平分线？

大于AB为半径

思考：为什么这样作出的直线EF，就是线段AB的垂直平分线呢？设所作直线EF交于AB于点O，你能给出证明吗？

ABEFO作法：1、分别以点A，B为圆心，2、过E，F两点作直线.则直线EF就是线段AB的垂直平分线.12(为什么？)画弧交于E，F.探究新知知识拓展：这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图，我们也可以用这种方法确定线段的中点.

如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，交点为O，点P是直线MN上的任意一点，连接PA，PB，

量一量：PA、PB

的长，你能发现什么？探究1MBPPP(P)OANPA=PB由此你能得到什么规律？

到线段两端的距离相等.线段垂直平分线上的点你能验证这一结论吗？PABMO已知：如图，直线MN经过线段AB的中点O，且MN⊥AB，P是MN上任意一点.求证：PA=PB．验证结论N证明：∵MN⊥AB∴AO=OB在△AOP和△BOP中，AO=OB∠AOP=∠BOPPO=PO∴

△AOP

≌

△BOP∴PA=PB∵(SAS)(垂直的定义)(已知)(已证)(已证)(公共边)(全等三角形的对应边相等)∵点O是线段AB的中点∴∠AOP=∠BOP=90º(中点的定义)线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.定理：垂直平分线的性质：知识拓展：条件：点在线段的垂直平分线上.结论：这个点到线段两端点的距离相等.MBPAN归纳总结线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.定理：垂直平分线的性质：MBPAN几何语言：∴

PA=PB∵

点

P

在线段

AB

的垂直平分线上(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.)归纳总结知识拓展：

用线段的垂直平分线的性质可直接证明线段相等，不必再用三角形全等来证明，因此它为证明线段相等提供了新方法.提醒：见垂直平分线，得线段相等1、如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点.若PA+PB=16，则线段PB的长为（

）A.10B.8C.7D.6BPABCD对应练习2、如图，在

△ABC中，AB的垂直平分线DM交BC于点D，边AC的垂直平分线EN交BC于点E．（1）已知

△ADE的周长7cm，求BC的长；（2）若∠ABC=30°，∠ACB=40°，求∠DAE的度数．解：(1)∵DM是AB的垂直平分线

∴

DA=DB

∵EN是AC的垂直平分线

∴EA=EC

∵

△ADE的周长7cm

∴

AD+DE+AE=7cm

∴

BD+DE+EC=7cm

∴BC=7cm

即BC的长为7cm(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．2、如图，在

△ABC中，AB的垂直平分线DM交BC于点D，边AC的垂直平分线EN交BC于点E．（1）已知

△ADE的周长7cm，求BC的长；（2）若∠ABC=30°，∠ACB=40°，求∠DAE的度数．

变式：如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，若AE=3，△ABD的周长为13，则

△ABC的周长为（）A.19B.20

C.16

D.21A3、如图，在

△ABC中，DE是边BC的垂直平分线，分别交边AC，BC于点D，E，BF⊥AC，且F为线段AD的中点．求证：AB=CD；证明：连接BD

∵BF⊥AC，F为线段AD的中点

∴

BF垂直平分AD

∴

AB=BD

∵DE是边BC的垂直平分线

∴

BD=CD

∴AB=CD逆命题它是真命题吗？你能证明吗？到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.定理：垂直平分线的性质：探究新知已知：如图，PA=PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上.ABPC证明：∴∠ACP=∠BCP=90°在Rt△ACP和Rt△BCP中∴

Rt△ACP≌Rt△BCP

∴

AC=BC

∴点P在线段AB的垂直平分线上

PA=PB过P点作PC⊥AB，垂足为C∵(HL)(全等三角形对应边相等)PC=PC(公共边）∴

PC

是线段AB的垂直平分线验证结论到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.定理：线段垂直平分线的判定ABP知识拓展：条件：点到线段两个端点的距离相等.结论：这个点在线段的垂直平分线上.

(到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上)作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.几何语言：∵PA=PB∴点P在AB的垂直平分线上．归纳总结(线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等)例

如图，已知△ABC的边AB，AC的垂直平分线相交于点P.

求证：点P在BC的垂直平分线上.(到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）ABCP证明：连接PA，PB，PC.∵

点P在AB，AC的垂直平分线上∴

PA=PB，PA=PC∴

PB=PC(等量代换)

∴点P在BC的垂直平分线上.三角形三边的垂直平分线

这点到三角形三个顶点的距离相等.相交于一点，三角形三边的垂直平分线的性质：对应练习1、在锐角三角形ABC内一点P，满足PA=PB=PC，则点P是

△ABC()A.三条角平分线的交点B.三条中线的交点C.三条高的交点D.三边垂直平分线的交点D①

定义法——即证明直线过线段的中点，且垂直于这条线段.ABCDM2、如图，AB=AC，MB=MC．直线AM是线段BC的垂直平分线吗？解：∵AB=AC，MB=MC∴点A、M在BC的垂直平分线上∴

直线AM是线段BC的垂直平分线．(与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）判断线段垂直平分线的两种方法：知识拓展：②

判定定理——必须证明直线上有两个不同的点到线段两个端点

的距离相等，根据两点确定一条直线.3、如图，AD与BC相交于点O，连接AB、CD并延长，相交于点E，连接OE、BD，OA=OC，∠A=∠C，BE=DE．求证：OE垂直平分BD．

这点到三角形三个顶点的距离相等.归纳总结线段的垂直平分线线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.①性质定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.②判定定理：ABPPA=PB点P在线段AB的垂直平分线上到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等①

定义法——即证明直线过线段的中点，且垂直于这条线段.判断线段垂直平分线的两种方法：②

判定定理——必须证明直线上有两个不同的点到线段两个端点

的距离相等，根据两点确定一条直线.三角形三边的垂直平分线的性质：三角形三边的垂直平分线相交于一点，提醒：见垂直平分线，得线段相等作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.1、如图，已知AB＝AD，BC＝DC，E是AC上一点，求证：(1)BE＝DE；(2)∠ABE＝∠ADE.证明：(1)

连接BD∵

AB＝AD，∴点A，C都在线段BD的垂直平分线上∴

AC是线段BD的垂直平分线又∵点E是AC上一点∴

BE＝DEBC＝CD(2)在△ABE和△ADE中∵(公共边）AE＝AEBE＝DEAB＝AD∴△ABE≌△ADE(SSS)∴∠ABE＝∠ADE2、已知：如图，AB=CD，线段

AC

的垂直平分线与线段

BD的垂直平分线相交于点

E.求证：∠ABE=∠CDE．交直线

于点C，3、公路

同侧的A，B两村，共同出资在公路边修建一个停靠站C，使停靠站到A，B两村距离相等.请你确定停靠站C的位置.解：作AB的垂直平分线，lA村B村C

则点C就是停靠站的位置.