15.3 等腰三角形中的几何综合（压轴题专项讲练）（教师版）-沪科版(2024)八上

专题15.3等腰三角形中的几何综合思维方法思维方法正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。知识点总结知识点总结一、等腰三角形1．定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形．2．等腰三角形性质：①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）．特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°．3．等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）．典例分析典例分析【典例1】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．点D为△ABC（1）如图1，若AD=AC，CD=8，求点B（2）如图2，以CD为直角边作等腰直角△CDE，DE=DC，线段EC，AD交于点F，若∠（3）如图3，点Q在AB边上，且AQ=AC，点M为直线AC上的一个动点，连接MQ，过点Q作NQ⊥MQ，且满足NQ=MQ，连接【思路点拨】（1）过点A作AH⊥CD于H，过点B作BG⊥CD于G，可证得△ACH（2）延长BD交CE于点L，过点A作AS⊥CE于点S，可证得△ACS（3）作点C关于AB的对称点P，连接AP、CP，CP交AB于点O，过点Q作QW⊥AB交AC的延长线于点W，连接AN，可证得△QWM≌△QAN(SAS)，得出∠QAN=∠W=45°，即点N在直线AP上运动，当且仅当BN⊥AP时，BN最短，即点N【解题过程】（1）解：过点A作AH⊥CD于H，过点B作BG⊥CD于则∠AHC∴∠∵∠∴∠在△ACH和△∠AHC∴△ACH∴BG∵AD=AC∴CH∴BG即点B到直线CD的距离为4；（2）证明：延长BD交CE于点L，过点A作AS⊥CE于点则∠ASC∵△CDE是等腰直角三角形，DE∴∠∵∠ABD+∴∠∴∠∴∠∴∠∴∠∵∠∴∠在△ACS和△∠ASC∴△ACS∴AS∵∠DCE=45°∴∠∴CL∴AS在△AFS和△∠ASF∴△AFS∴AF（3）解：如图3，作点C关于AB的对称点P，连接AP、CP，CP交AB于点O，过点Q作QW⊥AB交AC的延长线于点W，连接则∠AQW=90°，∵∠ACB=90°∴∠∴∠∴QA∵NQ⊥MQ∴∠∴∠在△QWM和△QW=∴△QWM∴∠即点N在直线AP上运动，当且仅当BN⊥AP时，BN最短，即点N与点如图4，连接CQ，则QP=QC，即∵QM∴QC∵AQ∴∠∵QM∴∠学霸必刷学霸必刷1．（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，△ABC是等腰三角形AB=AC≠BC，在△ABC所在平面内有一点P，且使得△ABP，△

A．1个 B．4个 C．5个 D．6个【思路点拨】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，作出AB、AC、BC的垂直平分线，首先△ABC的外心满足条件；再根据圆的半径相等，以点B为圆心，以AB长为半径画圆，与BC的垂直平分线相交于两点，其中一点是点A，另一点为符合要求的P点；再以点A为圆心，以AB长为半径画圆，与BC的垂直平分线相交于两点，这两点也符合条件；在△ABC的左边作一个△APB，使△APB≌【解题过程】解：如下图，

①作三边的垂直平分线必在三角形内交于一点，这点就是符合要求的P点；②作BC的垂直平分线，以B点为圆心、AB长为半径画弧，与BC的垂直平分线有两个交点，其中一点是点A，另一点为符合要求的P点；③作BC的垂直平分线，以A点为圆心、AB长为半径画弧，与BC的垂直平分线有两个交点，这两点为符合要求的P点；④在△ABC的左边作一个△APB，使△APB⑤同理在△ABC的右边作一个△APC，使△APC所以，共有6个符合条件的点P．故选：D．2．（23-24八年级上·河南周口·期末）如图，∠CAB=∠DAE=36°，△ADE和△ABC均为等腰三角形，其中AB=AC，AD=AE．连接BE并延长交AC，AD于点F，A．∠DAC=∠EAB B．CD∥AB C【思路点拨】本题根据∠CAB=∠DAE=36°，得到∠CAB-∠CAE=∠DAE-∠CAE，即可判断A项，根据题意证明△ADC≌△AEB，由等腰三角形性质得到∠【解题过程】解：∵∠CAB∴∠CAB即∠DAC∴A项正确，不符合题意．∵AB=AC∴△ADC∴∠DCA又∵∠CAB∴∠ABC∵BE平分∠∴∠EBA∴∠DCA∴CD∥AB∴B、D项正确，不符合题意．∵CD∥AB∴∠DCB∴∠BCF∵∠CFB∴BF∴C项错误，符合题意．故选：C．3．（2024八年级·全国·竞赛）如图，已知△ABC为等腰三角形，AB=AC，点F为AC上一点，点D为BC延长线上一点，点E为AB延长线上一点，EF与BC相交于点G，如果∠（1）EG=FG，（2）AD=AB+BC，（3）∠E=∠DA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【思路点拨】本题考查等腰三角形的判定及性质，熟练应用等腰三角形的判定和性质是解题的关键．过点F作FH∥AB，则FH=FC=BE，从而易证△BEG≌△HFG，因此EG=FG，故（1）正确；在AD上截取AK=AB，则△【解题过程】解：如图，过点F作FH∥∵AB=∴∠ABC∵FH∥∴∠FHC=∠ABC∴∠FCH∴FH=∵∠BGE∴△FGH∴EG=故（1）正确；在AD上截取AK=∵∠CADAK=AB，∴△ABC∴BC=CK，∵∠ABC∴∠AKC∴∠D∴CK=∴BC=∴AD=故（2）正确；连接AG，过点G作GH⊥AB，GJ⊥AC，CI⊥AB，垂足分别为∵S△ABG=12∵S△∴12∵AB=∴GH+∴点G到AB，AC的距离之和为定值，故（4）正确；故选：C4．（23-24八年级上·福建南平·期中）如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D、E分别为AB、AC边上点，AD=AE，AF⊥BE交BC于点F，过点F作FG⊥CD交BE的延长线于点G，交AC于点M；以下五个结论：①△ADC≌△AEB；A．①②③④ B．①③ C．②③④ D．①②④【思路点拨】①首先得出AC=AB，再利用SAS，得出△ACD≌△ABE即可；②③利用△ACD≌△ABE，得出∠1=∠3，再由∠BAC=90°，可得∠3+∠2=90°，结合FG⊥CD可得出∠3=∠CMF，∠GEM=∠GME，继而可得出结论；④先大致观察三者的关系，过点B作【解题过程】解：因为等腰直角三角形ABC中，∠BAC∴AC=AB，在△ADC和△AC=∴△ADC≌△AEB∵ADC≌△∴∠1=∠3，故②∠AEG∵∠BAC∴∠3+∠2=90°，∠1+∠4=90°，∴∠4+∠3=90°∵FG⊥∴∠CMF∴∠3=∠CMF∴∠GEM∴EG=MG，△EGM过点B作AB的垂线，交GF的延长线于点N，如图：∵BN⊥AB，∴∠FBN∵FG⊥∴∠BFN∵AF⊥∴∠BFA=90°-∠EBC由①可得∠DCB∴∠BFN在△BFN和△∠FBN∴△BFN∴NF=AF，又∵∠GBN∴∠GBN∴BG=又∵NG=∴BG=AF+故选：A5．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）问题背景：已知，在△ABC中，AB=AC，如果过某一顶点的直线可以将△某数学学习小组的成员在自主探究后得出如下结果：①∠A=36°，②∠A=90°，③∠A=108°A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【思路点拨】①当∠A=36°时，则∠ABC=∠C=72°，作∠ABC的平分线交AC于点D，从而得∠ABD=∠②当∠BAC=90°时，则∠B=∠C=45°，作∠BAC的平分线交BC于点D，从而得∠③当∠BAC=108°时，则∠B=∠C=36°，作AB的垂直平分线角BC于点D，连接AD，则△ABD为等腰三角形，∠DAB=∠④当∠A=180°7时，则∠ABC=∠C=540°7，作AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD，则△ABD【解题过程】解：在△ABC中，AB∴∠B∵∠∴∠B①当∠A=36°时，则作∠ABC的平分线交AC于点D，如图1

∴∠ABD∴∠BDC∴∠ABD=∠A∴△ABD和△BCD均为等腰三角形，即直线BD将ΔABC②当∠BAC=90°时，则作∠BAC的平分线交BC于点D，如图2

∴∠BAD∴∠B=∠BAD∴△ABD和△ACD均为等腰三角形，即直线AD将△ABC③当∠BAC=108°时，则作AB的垂直平分线角BC于点D，连接AD，如图3所示：

则BD=AD，即∴∠DAB∴∠CAD=∠BAC∴∠∴△CAD为等腰三角形，即直线AD将△ABC分成两个等腰三角形，故④当∠A=180°作AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD，如图4所示：

则AD=BD，即∴∠ABD∴∠CBD=∠ABC∴∠CBD∴△CBD为等腰三角形，即直线BD将△ABC分成两个等腰三角形，故综上所述：正确的结果是①②③④，共4个，故选：A．6．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如下图，在等腰△ABC中，∠A=90°,BD平分∠ABC，BE平分∠DBC,M、【思路点拨】过点C作CF⊥BD，交BD的延长线于点F，则CM+MN的最小值为CF．延长BA,CF两线交于点G，证明【解题过程】解：过点C作CF⊥BD，交BD的延长线于点F，延长BA,

∵BE平分∠DBC∴MN≥MF，当MN⊥∴CM+∵∠A=∠DFC∴∠ABD∵∠ABD∴△ABD∴BD=∵BD平分∠ABC∴∠GBF∵∠GBF∴△GBF∴GF=∵BD=10∴CF=5∴CM+MN的最小值为故答案为：5．7．（2024·四川达州·一模）如图，△ABC和△CEF都是等腰直角三角形，∠BAC=∠CEF=90°，点E在AC边上．将△CEF绕点C逆时针旋转α(0°<α<180°)，旋转过程中，直线EF分别与直线AC，BC交于点【思路点拨】本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形存在性问题等知识，掌握三线合一性质是解题的关键．分①当CM=CN且点E在∠ACB内部时，②当NM=NC【解题过程】解：依题意可知：∠ACB如图1中，当CM=CN且点E在∵CM=CN，∴α=∠MCE=∠如图2中，当NM=NC时，点N与点E重合，点M与点F重合，如图3中，当CN=CM且点E在∵CM=CN，∴∠NCE∴α=∠综上所述，满足条件的α的值为22.5°或45°或112.5°．故答案为：22.5°或45°或112.5°．8．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，△ABC≌△A'B'C'，∠ABC=90°，∠A'=27°（0°<∠ABA'≤54°），A

【思路点拨】根据0°<∠ABA'≤54°，分两种情况讨论：当EF=FB时，当BE=BF时，设∠FEB=∠FBE【解题过程】解：如图所示，当EF=FB时，

设∠FEB=∠FBE=α，过点B∵△ABC∴对应边上的高相等，即BP=∴B在∠PFQ∵∠PFB是△∴∠∴∠∵∠∴27°+解得：α∴∠如图所示，当BE=BF时，

设∠同理可得∠PFB∴∠∵∠∴α解得：α∴∠AB由于0°<∠ABA'综上所述，∠ABA'的度数为，24°故答案为：24°或42°．9．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于点E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G，下列结论：①BF=AC；②2AE【思路点拨】证明△BDF≌△CDAAAS即可判断①，证明△ABE≌△CBEASA即可判断②；过G作GM⊥BD于点M，根据角平分线的性质得GM=GH，结合BD>BH，可得【解题过程】解：①∵CD⊥∴∠BDF∴∠DBF又∵BE⊥∴∠BEA∴∠DBF∴∠DFB又∵∠ABC∴∠DCB∴BD=在△BDF和△CDA△∠BDF∴△BDF∴BF=CA，故②∵BE平分∠ABC，BE∴∠ABE=∠CBE在△ABE和△∠ABE∴△ABE∴AE=∴AC=又∵BF=∴2CE=BF③如图所示，过G作GM⊥BD于点∵H是BC边的中点，BD=∴DH⊥BC，即∴BD>又∵BE平分∠ABC，GM∴GM=∴S△又∵△ABE∴S△∵S四边形ADGE=∴S四边形ADGE<④∵∠HBG∠DBF∠HBG∴∠BGH又∵∠BGH∴∠DGF∴DF=∴△DGF∵△ABE∴BA=∴△ABC即△DGF、△ABC都为等腰三角形，故∴正确的是①②④．故答案为：①②④．10．（23-24七年级下·上海浦东新·期末）如图，△BAD和△CAE是等腰三角形且∠BAD=∠CAE（1）试说明∠ABF（2）猜想CF和CE的位置关系，并说明理由；（3）试说明：CD=2【思路点拨】（1）先根据等角的余角相等证得∠BAC=∠DAE（2）根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质求得∠BCA=∠E=45°，再根据直角三角形的两锐角互余求得∠CAF（3）延长BF到G，使得FG=FB，根据全等三角形的判定与性质证明△AFB≌△【解题过程】（1）证明：∵∠BAD∴∠BAC+∠CAD∴∠BAC在△BAC和△∵AB=∴△BAC∴∠ABC∴∠ABF（2）解：∵∠CAE=90°，∴∠E由（1）知△BAC∴∠BCA∵AF⊥∴∠CFA∴∠CAF∴∠FAE又∵∠E∴∠FAE∴AF∥∵AF⊥∴CF⊥（3）证明：延长BF到G，使得FG=∵AF⊥∴∠AFG在△AFB和△∴BF=∴△AFB∴AB=AG，∵△BAC≌∴AB=AD，∠CBA∴AG=AD，∴∠CGA∵∠GCA∴在△CGA和△∠GCA∴△CGA∴CG=∵CG=∴CD=211．（23-24八年级上·湖北鄂州·期末）问题情境：定义：如果两个等腰三角形的顶角互补，顶角的顶点又是同一个点，而且这两个等腰三角形的腰也分别相等，则称这两个三角形互为“顶补等腰三角形”．特例证明：（1）如图1，若△ABC与△ADE互为“顶补等腰三角形”．∠BAC>90°，AM⊥BC于M，拓展运用：（2）如图2，在四边形ABCD中，AD=AB，CD=BC，∠B=90°，∠A=60°，在四边形ABCD的内部是否存在点P，使得【思路点拨】本题考查等腰三角形性质，全等三角形判定及性质，三角形内角和定理．（1）利用题意得∠B=∠C（2）连接AC，取AC的中点P，连接PB，PD，证明△ADC≌△ABC【解题过程】解：（1）证明：将图中角进行命名：，∵△ABC与△ADE互为“顶补等腰三角形∴AB=AC∴∠B又∵AM⊥BC∴∠3=∠4=90∘，∠1=∠2，∴∠BAC又∵∠BAC∴∠B在△ABM和△EAN∴△ABM∴NE（2）存在．证明：连接AC，取AC的中点P，连接PB，PD，，∵AD=AB，∴△ADC∴∠ABC∵P是AC∴PB=PA∴PA又∵DC=BC，PB∴△PDC∴∠DPC∵∠APB∴∠∴△PAB与△PDC互为“顶补等腰三角形12．（23-24八年级上·北京海淀·期中）在等腰△ABC中，AB=AC，点D是BC边上的一个动点（点D不与点B，C重合），连接AD，作等腰△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC

（1）如图1，当∠BAC=90°时，判断BC与（2）如图2，当0°<∠BAC<90°时，过点A作AF⊥CE于点F，请你在图2中补全图形，用等式表示线段BD，【思路点拨】（1）由“SAS”可证△ABD≌△（2），分类讨论：①点F在线段CE的延长线上时，由（1）可知BD=CE，∠B=∠ACE，∠ADB=∠AEC，由“AAS”可证△ADC≌△AGC，可得CD=【解题过程】（1）解：BC⊥∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB在△ABD和△AB=∴△ABD∴∠ABD∴∠BCE∴BC⊥（2）解：分类讨论：①如图，点F在线段CE的延长线上时，补全图形如图2所示；理由如下：延长EF到点G，使FG=

由（1）可知：△ABD∴BD=CE，∠B∵AB=∴∠B∴∠ACB∵AF⊥∴AE=∴∠AEG∵∠ADB∴∠ADC∴∠ADC在△ADC和△∠ADC∴△ADC∴CD=∵CG-∴CD-②如图3，若点F在射线CE上时，在CE取点G，使得EF

由（1）可知：△ABD∴BD=CE，∠B∵AB=∴∠B∴∠ACB∵AF⊥CE∴AE=∴∠AEG∵∠ADB∴∠∴∠ADC在△ADC和△∠ADC∴△ADC∴CD=∵CE-∴BD-13．（23-24八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）（1）问题发现：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形，如图1，△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，即AB=AC，AD=AE，且∠BAC（2）类比探究：如图2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，即AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE=90°，（3）问题解决：如图3，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，且CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一条直线上，CM为△DCE【思路点拨】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形、等腰直角三角形的性质、三线合一等性质，熟练掌握三角形的有关性质是解题的关键．（1）根据三角形全等的判定和性质即可解答．（2）根据（1）问中，“手拉手”全等的证明，可得△BAD≌△CAE(SAS)，利用全等的性质可得BD=CE，∠ACE（3）由△DCE是等腰直角三角形，CM为△DCE中DE边上的高，可证得CM=12DE=12(AE-AD)，根据（【解题过程】（1）证明：∵∠∴∠BAC-∠在△ABD和△AB=∴△∴BD=（2）BD与CE的数量关系是BD=CE，位置关系是理由如下：∵∠BAC∴∠BAC+∠CAD在△BAD和△AB=∴△BAD∴BD=CE，∵△ABC是等腰三角形且∠∴∠ABC∴∠ACE∴∠BCE∴BD⊥（3）解：由（1）的方法得，△ACD∴AD=BE∵△CDE∴∠CDE∵CD=CE∴DM∵∠DCE∴DM∴CM=∵∠ACB∴∠CAD∴∠CBE∵∠AEB四边形ABEC的面积=14．（23-24八年级下·广东深圳·阶段练习）如图①，在△ABC中，延长AC到D，使CD=AB，E是

（1）求证：△BCE（2）如图①，若∠ACB=90°，将DE沿直线CD翻折得到DE'，连接BE'和CE'，BE'与（3）在如图②，若∠ACB=90°，AC=BC，连接BE'交CE于F，交CD于G．若AC=【思路点拨】（1）结合条件中角的关系，由三角形外角的性质，得∠ABC=∠ECD，证出△（2）同（1）证出△ABC≌△DCE，由翻折得CE'=CB，结合BE'（3）先利用折叠的性质，证明△BGC≌△MGC，易得CE=CB=CM，利用三角形内角和可得∠【解题过程】（1）证明：∵∠ABC+∠A=∠BCD∴∠ABC在△ABC与△∠ABC∴△ABC∴BC=∴△BCE（2）证明：由（1）可得△ABC∴BC=CE，如图，连接CE

∵将DE沿直线CD翻折得到DE∴CE=∵BE∴∠CFE'由三线合一，得：F是BE（3）解：如图，连接EG，并延长EG交BC于点M，

根据折叠的性质，则∠DGE∵∠DGE=∠CGM∴∠BGC∵∠ACB∴∠ACB在△BGC与△∠∴△BGC∴BC=由（2）知，△ABC∴BC=CE，∴CE=∴∠CBE=∠CEB∴∠BEM∴∠BEM∴∠BEM∴∠BEC∵∠ACB=90°，∴∠EDC∴∠ECD=∠EDC在△BCE与△∠CEB∴△BCEBC=GDCD=ABCG=CD15．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）数学活动课上，同学们利用全等三角形的学习经验，对以AB和AC为腰的等腰三角形ABC，从特殊情形到一般情形进行如下探究：【独立思考】（1）如图1，∠BAC=60°，即△ABC为等边三角形ABC，D，E分别是BC，①求证：AD=②求∠AFB【实践探究】（2）如图2，在等腰△ABC中，∠BAC=90°，点D是BC上的点，过点B作BE⊥AD于点E．若CD【问题拓展】（3）如图3，在等腰△ABC中，∠BAC=80°，D，E分别是BC，AC上的点，且AE【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等：（1）①先由等边对等角和三角形内角和定理得到∠ACB60°=∠BAC，再证明△ABE≌△CADSAS，即可证明BE=AD；（2）如图所示，过点C作CM⊥AD于点M，则∠AMC=90°，由三线合一定理得到AM=12（3）如图所示，在BC下方，过点C作∠BCP=80°，且CP=AB，连接DP．证明△ABE≌△CPDSAS，得到BE=PD，则当A，D，P三点共线时，AD+PD的值最小，即【解题过程】（1）①证明：∵AB=∴∠ABC∵AE=∴△ABE∴BE=②解：由①可知△ABE∴∠ABE∵∠BAD∴∠BAD+∠∴∠AFB（2）解：BE=如图所示，过点C作CM⊥AD于点M，则∵CD=∴AM=∵∠BAC∴∠BAE∴∠BAE∵BE⊥∴∠AEB∴∠AEB∵AB=∴△ABE∴BE=∴BE=（3）解：如图所示，在BC下方，过点C作∠BCP=80°，且CP=∵AE=CD，∴△ABE∴BE=∴AD当AD+PD的值最小时，即∴当A，D，P三点共线时，AD+PD的值最小，即∵AB=∴∠ACB∴∠ACP∵AB=∴∠CAP∴∠ADC16．（23-24八年级上·山东潍坊·期中）如图，C为线段AB上一点，分别以AC，BC为底边，在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE，且∠A=∠CBE，在线段EC

（1）如图1，判断DE与BF的数量关系，并说明理由；（2）如图2，若∠A=α，延长BF交DE于点G，探究∠BGE【思路点拨】（1）根据等边对等角和已知条件推出∠DCA=∠CBE，则可证明CD∥BE，推出∠（2）由全等三角形的判定得到△DCE≌△FEB，由等边对等角得到∠ECB=∠EBC=α，则【解题过程】（1）解：DE=∵等腰△ACD和等腰△BCE中，AC和∴DA=DC，∴∠A∵∠A∴∠CBE∴DC∥∴∠DCE∵DA=DC，∴CD=在△DCE和△CD=∴△DCE∴DE=（2）解：∠BGE∵△DCE∴∠CED∵EC=EB，∴∠ECB∴∠EBF∵∠GFE+∠GEF+∠FGE∴∠GEF∴∠EBF∴α-∠∴∠FGE即∠BGE17．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=

（1）直接写出∠ADC（2）求证：AC+（3）E在BC上，过点E作AD垂线，垂足为点G，延长EG交AC的延长线于点F．①如图2，若E是BD的中点，求证：BD=2②如图3，若E是BC的中点，直接写出三条线段AB，BD，CF之间的数量关系．【思路点拨】（1）根据等边对等角得到∠CAB=45°，再根据角平分线得到（2）过点D作DM⊥AB，垂足为点M，证明Rt△（3）①过点D作DM⊥AB，垂足为点M，连接ME，延长FE交AB于点N，则可得到AF=AN，借助（2）得到AC=AM，DM=BM，然后推导出MN=ME=DE，可以证明结论；②延长FE至点K，使得EK=FE，【解题过程】（1）解：∵∠C=90°，∴∠CAB又∵AD是△ABC∴∠CAD∴∠ADC故答案为：67.5°．（2）证明：过点D作DM⊥AB，垂足为点∴∠AMD∵AD平分∠BAC，∠∴CD=在Rt△ADC和AD=∴Rt△∴AC=∵AC=BC，∴∠CAB∴∠BDM∴DM=∴CD=∵AM+∴AC+（3）①证明：①证明：过点D作DM⊥AB，垂足为点M，连接ME，延长FE交AB于点∵AD平分∠CAB∴∠FAG∵AG⊥∴∠∴∠F=180°-∠AGF∴∠F∴AF=由（2）得AC=AM，∴AF-AC=∵点E为BD中点，DM=∴∠DME=∠EMB∴∠MEN=180°-∠EMN∴∠MEN=∠MNE∴MN=∴CF=∴BD=2②4CF延长FE至点K，使得EK=FE，EK交AB于点N，连接又∵CE=BE，∴△CEF∴CF=BK，∴∠F∴AF=AN，BN=∴MN=∴MB=2∴CD=2由（2）得AC+∴BC+2∴CD+∴4CF18．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图1，△ACB为等腰三角形，∠ABC=90°，点P在射线BC上（不与点B，点C重合），以AP为腰长作等腰Rt△PAQ

（1）当点P在线段BC上（不与点B，点C重合），求证：△PAB（2）在（1）的条件下，连接CQ交AB于点M，若PC=2PB，求（3）如图2，过点Q作QF⊥AQ于直线AB于点F，过点P作DP⊥AP交直线AC于点D，连接DF．则点P在运动过程中，线段DF、【思路点拨】（1）根据题目中的信息可以得到AQ=AP，∠QEA与∠ABP之间的关系，（2）由第一问中的两个三角形全等，可以得到各边之间的关系，然后根据题目中的信息找到PC与MB的关系，从而可以解答本题；（3）分情况讨论，作合适的辅助线，构造直角三角形，通过三角形的全等可以找到所求问题需要的边之间的关系，从而可以解答本题．【解题过程】（1）证明：∵∠ABC=90°，△PAQ是等腰直角三角形，QE∴AP=AQ∴∠QAE∴∠QAE在△PAB和△∠ABP∴△PAB（2）∵△PAB∴PB=AE，∵AB=∴QE=在△QEM和△∠∴△QEM∴ME=∵AB=CB，AE=∴BE=∵PC=2∴PC=2∴PCMB（3）QF-DP=如图所示：当P在线段BC上时，过点A作HA⊥AC交QF于点

∵QA⊥AP，HA∴∠QAH+∠HAP∴∠QAH∵△PAQ∴AQ在△AQH和△∠AQH∴△AQH∴AH=AD∵HA⊥AC∴∠HAF在△AHF和△AH=∴△AHF∴HF∴QF-当P在线段BC的延长线上时，如图，过点A作HA⊥AC交QF于点

同理可得：△AQH∴QH=同理可得：△AHF∴HF=∴DF=19．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知在△ABC中，AB=AC，且∠BAC=

（1）如图1，若∠ACD与∠BAC互余，则∠DAB=（2）如图2，若∠ACD与∠BAC互补，过点C作CH⊥AD于点（3）若△ABC与△ACD的面积相等，请直接写出∠ACD【思路点拨】（1）根据∠ACD与∠BAC互余得∠ACD=90°-α（2）作AE⊥BC，根据AAS证明△AEC≌△AHC，则CH（3）由△ABC与△ACD的面积相等得高相等.情况①：作DE⊥AC于E，BF⊥AC于F,根据HL可得△DEC≌△BFA，则可得∠ACD=∠BAC；情况②:△ACD是钝角三角形，作BG⊥AC于G，作DN垂直于AC的延长线于N，根据HL可得【解题过程】（1）解