备战2026高考数学-八大专项41小项助你死磕直线圆锥曲线圆的方程4

数海之旅公众号数海之旅公众号TOC\o"1-5"\h\z\u阿波罗尼斯圆 1立体几何 12阿波罗尼斯圆的拓展 145圆的反演和阿波罗尼斯圆 16圆的反演初步 16圆的轨迹荟萃 23定长对定角，轨迹为圆弧 23线段的分点——构造分点位似圆 35圆的弦中点轨迹 40隐藏的圆 41旋转的圆 4410综合练习 507阿波罗尼斯圆7.1平面阿波罗尼斯圆引例已知动点P与两定点A、B的距离之比为，那么点P的轨迹是什么？证明不妨设、，，由得：，即 ，①当时，即为，整理得：，即点P的轨迹是以为圆心，为半径的圆；②当时，化简得，即点P的轨迹为y轴．定理一般地，平面内到两个定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，此圆被叫做“阿波罗尼斯圆”．特殊地，当时，点P的轨迹是线段AB的中垂线．起名背景阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一．注在研究完椭圆和双曲线的标准方程后，对于，，我们可以清楚地了解点P的轨迹；类似地，如果改成：或，点P的轨迹方程又当如何？显然，本专题就是对进行的探究，对于的探究，可参见后续圆锥曲线之卡西尼卵形线专题．调和点列vs阿波罗尼斯圆如图，①A、C、B、D为调和点列；②PC、PD分别为∠APB的内、外角平分线；③PC⊥PD；以上三个条件中，知道任意两个都可以推得第三个！设阿波罗尼斯圆的圆心为O，半径，则有， 即，即，即，即（反演）．同时，，即．已知两个定点及定比，求阿波罗尼斯圆半径公式已知动点P与两定点A、B的距离之比为，则已知两个定点A、B，及定比，则．【最好熟记！】注菠萝圆的常用公式，，菠萝圆的半径为：很常用，形式也很简单，最好熟记！！圆心坐标利用定比分点求内外分点的坐标，即，D包括，由于内外分点也是圆直径的两个端点，故圆心坐标和半径可以一起确定．已知一个定点和阿波罗尼斯圆，求另一个定点和定比如图，已知其中一个定点A，以及动点P对应的阿波罗尼斯圆，如何快速确定另一个定点B和定比的位置？注圆心O在线段的延长线上！！有些粗心的同学在数形结合画草图的时候，肯定会犯模糊？例已知动点P与两定点、的距离之比为，则动点P的轨迹方程为．法一直译法设点是曲线上任意一点，则，化简整理可得：．法二利用定比分点，确定内外分点法设D为分点，则，可得：，，由于内外分点也是圆直径的两个端点，易得圆心坐标为，半径为2．法三设圆心为C，半径为r，则，又，即，由定比可知圆心C在定点A的左侧，故．例(1)(2006四川文理)已知两定点，，如果动点P满足条件，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于()．A． B．4 C．8 D．9(2)在平面直角坐标系中，圆交x轴于A、B两点，且点A在点B左边，若直线上存在点P，使得，则m的取值范围为．解(1)选B；；(2)．例(1)(2008江苏)满足条件，的的面积的最大值是______．(2)

已知等腰三角形腰上的中线长为，则该三角形面积的最大值是______．解(1)法一易知C的轨迹为圆O，且半径，分析易得：当且仅当CO⊥AB时，面积取最大，即为．法二作高法；作CD⊥AB于点D，设，，则，由可得： ，即，故，易知面积最大为．(2)法一如图所示，，中线，，又，A的轨迹是以B、D为定点的菠萝圆，其半径，故△ABC最大值为．法二借助重心的性质：如图所示，设重心为G，则，故 ，当且仅当时取等号．例(2014湖北文压轴)已知圆和点，若定点和常数满足：对圆O上任意一点M，都有，则(1)

；(2)

．解此题的背景是阿波罗尼斯圆，熟悉背景的话，此题可以直接口算，是送分题！由于，故，结合图形可知，即，即．例在平面坐标系xOy中，已知圆，两个定点和，且P为圆上任意一点，若为定值k，则，．解结合草图必有且，由，即，．例(2015湖北理压轴)如图，圆C与x轴相切于点，与y轴正半轴交于两点A、B（B在A的上方），且．(1)

圆C的标准方程为；(2)

过点A任作一条直线与圆相交于M、N两点，下列三个结论：①；②；③．其中正确结论的序号是．（写出所有正确结论的序号）解(1)

；(2)

显然圆O是以A、B为定点的阿波罗尼斯圆，易得，，阿波罗尼斯圆的半径，故，，因此，①②③都正确．例(1)

已知点P在边长为2的正方形ABCD的内切圆上运动，则的最小值是_______．(2)

已知P在边长为2的正三角形ABC的内切圆上运动，则的最小值是_______．解

(1)

有圆O和一个定点（A或B），由于，故不妨取A为定点，设另一个定点为，定比为（结合图形，必有），则，则．因此，，又，故．(2)

和上题分析类似，，．例(1)

已知A、B分别为x、y轴上的两个动点，且，M为AB的中点，，，则的最小值为．(2)

设点M在圆上运动，点，O为原点，则的最小值为．(3)

如图所示，直角扇形AOB的半径为6，C、D分别为OA、OB上的点，其中，，点P为弧AB上任意一点，则的最小值为．解

(1)

易知M的轨迹方程为：，即；根据“”可以确定菠萝圆的定比必为2或，又，，显然菠萝圆的一个定点必定可以是P，设另一个定点为，利用，即；结合图形可知，故．(2)

根据“”可以确定菠萝圆的定比必为2或，又，，，显然菠萝圆的一个定点必定可以是原点O，设另一个定点为，利用，点P在直线上，易得，结合图形可知，故．(3)

13；方法类似，具体过程略．以角平分线为隐藏的菠萝圆例(1)(2016台州一模)已知C是线段AB上的一点，，，则的最小值范围为．(2)(2016杭州一模)已知是非零不共线的向量，设，定义点集，当时，若对于任意的，不等式恒成立，则实数c的最小值为．解(1)；，故点M轨迹是以A、B为定点的菠萝圆．设AB的中点为D，利用极化恒等式： ．(2)；，，故点K的轨迹为圆，又不等式恒成立，故，显然，当为圆的直径时取得最大值，故，即．例在△ABC中，，，若恰好当时，△ABC面积最大，则．答案；如图所示，点B的轨迹为菠萝圆O，因此，当△ABC面积最大时，，由于，故，又，则 ．例P、Q是两个定点，点M为平面内的动点，且(且)，点M的轨迹围成的平面区域的面积为S，设，则以下判断正确的是()．A．在上是增函数，在上是减函数B．在上是减函数，在上是减函数 C．在上是增函数，在上是减函数 D．在上是减函数，在上是增函数解设，则，故，结合对勾函数的性质，显然选A．例已知点，，，点D是直线AC上的动点，若恒成立，则实数t的取值范围是___________．解对直译可得点D的轨迹是：，依题意，只须直线与圆相切或相离即可，即，解得或．例过△ABC的重心G作直线MN分别交边AB、AC于点M、N，若，，则当△ABC的面积最大时，四边形MNCB面积的最大值为()．A． B． C． D．解选D；由“，”可知点C的轨迹为圆，且半径．当△ABC的面积最大时，则此时的点C到AB的距离为半径r，此时．欲使得四边形MNCB面积最大，则等价于△AMN的面积最小，直线MN过△ABC的重心G，设，，其中，则，M、N、G三点共线可得：，由于，故，，因此，四边形MNCB面积的最大值为，此时的直线MN恰好和直线BC平行．例已知△ABC的面积为1，∠A的平分线交对边BC于D，，且，，则当时，边BC的长度最短．解；由可知：点A的轨迹为阿氏圆，设其半径为R，则，故，，如图所示，作出相应的几何图形．由于△ABC的面积为定值，欲使得边BC的长度最短，则BC边上的高必须最大，即为半径R，即在阿氏圆与y轴的交点处，此时，．例在△ABC中，点D在边BC上，且，，则实数k的取值范围为．法一根据题意有，即，两边平方整理得：，其中为和的夹角，故，注意到，易解得．法二由于，如图所示，构造菠萝圆模型，设菠萝圆的半径为R，则，即，，．不妨令，则菠萝圆方程为：，，，故 ，，注意到，故k在区间端点处取得最值，易得．注法一中的向量手法，可以积累一下，在解三角形中，与线段分点有关的题，可以尝试使用！法二利用了阿氏圆的背景，相对法一，思路也很简单，就是计算量是硬伤！！例已知共面向量、、满足，，且．若对每一个确定的向量，记的最小值为，则当变化时，的最大值为()．A． B．2 C．4 D．6答案选B．解如图所示，易知点B的轨迹为阿氏圆，的最大值即为阿氏圆的半径．例已知椭圆，A、F是其左顶点和左焦点，P是圆上的动点，若（为常数），则此椭圆的离心率为．解点P的轨迹是菠萝圆，故，即，解得．例(2013江苏)如图，在平面直角坐标系中，已知点，直线，设圆C的半径为1，圆心在直线l上．(1)

若圆心C在直线上，过点A作圆C的切线，求切线的方程．(2)

若圆C上存在点M，使，求圆心C的横坐标a的取值范围．解(1)

圆心C为直线和的交点，解得，易知切线的斜率必存在，故设切线为，则，解得或，故切线的方程为或．(2)

圆心C在直线上，故圆C的方程为：，设，由得：，即，因此，点M的轨迹是以圆心，半径为2的圆．由题意可知点M也在圆C上，因此，只需要圆C和圆D有公共点即可，故 ，即，解得，故圆心C的横坐标a的取值范围为．例(2002全国文)已知点P到两定点、距离的比为，点N到直线PM的距离为1，求直线PN的方程．解设P的坐标为，由题意有，即，整理得，因为点到的距离为1，，所以，直线的斜率为，直线的方程为，将代入整理得解得，，则点坐标为或，或，直线的方程为或．例在x轴正半轴上是否存在两个定点A、B，使得圆上任意一点到A、B两点的距离之比为常数？如果存在，求出点A、B坐标；如果不存在，请说明理由．分析设点P为圆O上任一点，半径，假设A在B的左侧，则，即、，即、，显然，利用背景很简单，不过，对于解答题，需要转化为恒成立的问题．解假设在x轴正半轴上是否存在两个定点A、B，使得圆上任意一点到A、B两点的距离之比为常数，设、、，其中．即对满足的任何实数对恒成立，整理得： ，将代入上式得：，欲使得这个式子对任意恒成立，所以一定有：，因为，所以解得：、．因此，在x轴正半轴上存在两个定点、，使得圆上任意一点到A、B两点的距离之比为常数．例有一种大型商品，A、B两地都有出售，且价格相同．某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：每单位距离A地的运费是B地的运费的3倍．已知A、B两地距离为10公里，顾客选择A地或B地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低．求A、B两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点．分析：该题不论是问题的背景或生活实际的贴近程度上都具有深刻的实际意义和较强的应用意识，启示我们在学习中要注意联系实际，要重视数学在生产、生活以及相关学科的应用．解题时要明确题意，掌握建立数学模型的方法．解以A、B所确定的直线为x轴，AB的中点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．∵，∴，．设某地P的坐标为，且P地居民选择A地购买商品便宜，并设A地的运费为3a元/公里，B地的运费为a元/公里．因为P地居民购货总费用满足条件：价格＋A地运费≤价格＋B地的运费即．∵，∴化简整理得：，∴以点为圆心为半径的圆是两地购货的分界线．圆内的居民从A地购货便宜，圆外的居民从B地购货便宜，圆上的居民从A、B两地购货的总费用相等．因此可随意从A、B两地之一购货．说明：实际应用题要明确题意，建议数学模型．7.2推广至立体几何阿波罗尼斯球显然，如果推广至空间，则例在四面体ABCD中，已知AD⊥BC，，，且，则四面体ABCD的最大值为()．A．6 B． C． D．8解选C；根据四面体的对棱求积公式可知，只需要BC和AD之间的距离最大即可，也就等价于点B、C到AD的距离最大，显然，当点B、C到AD的距离都为半径时，BC和AD之间的距离取得最大为（向球心看齐），故四面体ABCD的最大值为．例如图，已知平面平面，，点A、B是直线l上的两点，点C、D是平面内的两点，且DA⊥l，CB⊥l，，，．点P是平面上的一动点，且有，则四棱锥P－ABCD的体积的最大值是()．A．48 B．16 C． D．144解选A；由题意可知：，即，即，则点P的轨迹是菠萝圆，且圆的半径为．因此，四棱锥P－ABCD的体积的最大值是：．例在长方体中，已知底面ABCD为正方形，P为的中点，，，点Q是正方形ABCD所在平面内的一个动点，且，则线段BQ的长度的最大值为．解6；由可知：点Q在以CP为直径的菠萝球上，又点Q在平面ABCD内，故点Q的轨迹是平面ABCD内的一个圆．如图所示，建立空间直角坐标系，令，，，，设，则由可得：，即，设其圆心为，易得．例如图，在正方体中，，点E、F在线段上，且，点M是正方体表面上的一动点，点P、Q是空间两动点，若，且，则的最小值为．解，，E、F是的三等分点，，依题意可知：P、Q在菠萝球上，球半径，设球心为O，则，即．注意到，故PQ为球O的直径；由极化恒等式：，又点M在正方体表面上运动，注意到与各个面的夹角是相等的，故不妨令M在平面上．此时，作于，易知，由，即，因此，的最小值为．7.3阿波罗尼斯圆的拓展在几何问题中，由于圆无限小就变成了点，故点和圆很多时候具有相同的性质，在实际解题中，也有一种方法称为点圆法，比如前面的圆系方程专题中就有一例．因此，如果我们将阿波罗尼斯圆中的两个或一个定点放大为圆，也有类似的性质：到两定圆切线长比值为定值的点的轨迹、以及到一定圆的切线长与到一定点的距离的比值的轨迹，根据比值是否为1（利用切线长公式和点到直线的距离），轨迹可能是直线或者是圆．例(2005江苏)如图，圆与圆的半径都是1，，过动点P分别作圆圆的切线PM、PN（M、N分别为切点），使得．试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程．解以的中点O为原点，所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则，，由已知，得，因为两圆的半径均为1，所以设，则，即．例在平面直角坐标系xOy中，已知圆，，动点P在直线上，过P分别作圆的切线，切点分别为A、B，若满足的点P有且仅有两个，则实数b的取值范围为__________．解；易得点P的轨迹方程为，根据题意，只须直线与此圆相交即可．例(1994全国文)已知直角坐标平面上点和圆，动点M到圆C的切线长与的比等于常数．求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线．解设直线MN切圆C于点N，则；设点M的坐标为，由题意可得：，即，整理得： ．①当时，方程化为，它表示一条直线，该直线与x轴垂直且交x轴于点；②当时，方程化为它表示圆，该圆圆心的坐标为，半径为．例已知圆，直线，点，若直线l上存在点A，过点A作圆O的切线，切点为B，且满足，则实数m的取值范围为．解；从菠萝圆的角度，将定点C视为点圆，故点A的轨迹为圆．例已知⊙和点．(1)

过点M向⊙O引切线l，求直线l的方程；(2)

求以点M为圆心，且被直线截得的弦长为4的⊙M的方程；(3)

设P为(2)中⊙M上任一点，过点P向⊙O引切线，切点为Q．试探究：平面内是否存在一定点R，使得为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由．解(1)

；(2)

；(3)

假设存在这样的点，使得为定值，设，则，即…，又点P在圆上：，即，代入式得： ，欲使得等式恒成立，则系数对应相等，即，解得：或．因此，可以找到这样的定点R，使得为定值，例如，点R的坐标为时，比值为；或者点R的坐标为时，比值为．8圆的反演初步反演模型引例如左图，已知圆，M、N是关于x轴的对称点，P是圆O上异于M、N的任意一点，连结PM、PN分别交圆O于点B、A，则．实际上，此模型推广到椭圆和双曲线也是成立的，如右图，对于椭圆，亦有，更多内容可参见极点极线之等角定理专题．证法一此处给出一个证明套路，即截距点差法，更多方法可参见后面等角定理专题．设，，，利用横截距公式可得： ，，又，即．证法二（几何法）如图，连接PO并延长交圆于点Q，连接QM、QN．由于P、Q、N、M四点共圆，则，进而可得：，又，故△POA∽△BOP，所以，即．圆的反演定义已知圆O的半径为r，从圆心O出发任作一条射线，在射线上任取两点M、N，若，此时我们则称M、N是关于圆O的反演点．圆的反演点的确定方法(1)

若点M在圆外，则点M关于圆O的切点弦AB与OM的交点N就是点M关于圆O的反演点；(2)

若点M在圆内，过点M作OM的垂线与圆交于A、B两点，则圆O在点A、B处的两条切线的交点N就是点M关于圆O的反演点．注从极点极线的角度理解反演点，也就是极点M关于圆O的极线，即切点弦AB的中点N．圆的反演的常见性质如图所示，A、B是关于圆O的一对反演点，BC与圆O相切于点C，P是圆O上任意一点，连结PA、BP并延长，分别交圆O于N、M两点，设圆O的半径为r，则有：(1)

；(2)

CA⊥ST；(3)

；(4)

MN⊥ST．注阿波罗尼斯圆的背景也是此模型！相关拓展、及题型和应用参见阿波罗尼斯圆专题！！直线关于圆的反演轨迹任意不过原点的直线关于圆的反演必定是除去原点的圆．此外，如果从极点极线的角度出发，设不过原点的直线l关于圆C的极点为P，则直线l关于圆C的反演就是以CP为直径的圆（除去反演中心C），具体可参考下面的例题理解．例已知圆，点M是不过原点的直线上任一点，且直线l与圆O相离，在射线OM上任取一点N满足：，则点N的轨迹为：（除去原点）．分析形如“”的问题，一般都可以利用极坐标处理；当然，此题也可以从极点极线的背景出发证明，具体参考下面的例题．证明以原点为极点，Ox的正半轴方向为正方向，建立极坐标系，设，，则即为：，将直线l的方程化成极坐标形式： ，两边同时乘以：，即，因此，点N的轨迹为：（除去原点）注这个性质也可以推广到椭圆，具体参考圆锥曲线的极坐标专题的例题之“1995全国卷理压轴”．例过直线上的点P作圆的切线，切点分别为A、B，则AB的中点M到直线l的距离的取值范围为．法一老规矩，将距离设法向圆O的圆心靠拢！如图所示，作MN⊥l、OQ⊥l，垂足分别为N、Q，则，且．又在中，，故，即，易知，故．法二借助极点极线的背景＋反演圆的思想直线对应的极点为，即直线AB恒过极点T，因此，中点M在以OT为直径的圆上（除去原点），即，即（除去原点），后略．注由于，故此题的背景是反演，点M的轨迹是直线l关于圆O的反演圆！！法三借助极点极线的背景＋极限的思想直线对应的极点为，直线AB恒过极点T．①当极点T为AB的中点M时，此时AB∥l，则AB的中点M到直线l的距离取得最小值为；②当直线AB过原点时，中点M为原点O，但是，此时AB⊥l，产生矛盾，因此，只能是AB的中点M到直线l的距离取得极限最大值为．例如图，已知椭圆，A、B分别其左右顶点，直线AE交其右准线CE于点E，交椭圆于点，其中e为椭圆的离心率，B为线段OC的中点．圆C是以C点为圆心，CB长为半径的圆，P为直线AE上任意一点，过P向圆C作切线，切点分别为M、N．(1)

求椭圆的标准方程；(2)

证明：线段MN的中点在一个定圆上．分析此题猛然一看，感觉甚是复杂，实际上，椭圆是打酱油的，本质还是圆的切线问题，亦即反演问题，和上面的例题实质是一样的．解(1)

；(2)圆，直线AD的方程为：，设MN与PC的交点为Q，则，显然，又是圆的反演问题．方向1直接对使用套路，即极坐标的处理套路．方向2也可以从极点极线的角度出发，利用套路，易求得极线AD关于圆C的极点，具体方法如下：易知P、M、C、N在以PC为直径的圆上，设，则该圆的方程为： ，与圆C的方程相减，可得切点弦MN的方程为：，即为 ，又，令，解得、，故切点弦MN恒过定点．又CQ⊥QT，故点Q在以CT为直径的圆上，除去反演中心C，即为．例(2016四川理压轴)在平面直角坐标系中，当不是原点时，定义P的“伴随点”为；当P是原点时，定义P的“伴随点”为它自身，平面曲线C上所以点的“伴随点”所构成的曲线定义为曲线C的“伴随曲线”，现有下列命题：①若点A的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点A；②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”关于y轴对称；④一条直线的“伴随曲线”是一条直线．其中的真命题是

（写出所以真命题的序列）．解②③；注意到，联想到反演点的背景！同时，以反演背景求轨迹的题目，一般可以尝试利用极坐标求解，因此，结合“伴随点”的坐标形式，可以设，其中，点P对应的的“伴随点”，可以变形为：．如图所示，从的变换过程，可以看成将点P绕着点O顺时针旋转得到点Q，然后，再在射线OQ上取点，使得．【实际就是先旋转，再进行关于单位圆的反演！】因此，分析易知②③都是正确的，结合前面的例题，④显然是错误的．对