（人教A版）高二数学下学期期末考点复习训练专题08 排列与组合（重难点突破+课时训练）（解析版）

专题08排列与组合一、考情分析二、考点梳理【排列】1．排列的概念：从SKIPIF1<0个不同元素中，任取SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从SKIPIF1<0个不同元素中取出SKIPIF1<0个元素的一个排列说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同2．排列数的定义：从SKIPIF1<0个不同元素中，任取SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）个元素的所有排列的个数叫做从SKIPIF1<0个元素中取出SKIPIF1<0元素的排列数，用符号SKIPIF1<0表示注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从SKIPIF1<0个不同元素中，任取SKIPIF1<0个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从SKIPIF1<0个不同元素中，任取SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号SKIPIF1<0只表示排列数，而不表示具体的排列3．排列数公式及其推导：由SKIPIF1<0的意义：假定有排好顺序的2个空位，从SKIPIF1<0个元素SKIPIF1<0中任取2个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列，反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是排列数SKIPIF1<0．由分步计数原理完成上述填空共有SKIPIF1<0种填法，∴SKIPIF1<0=SKIPIF1<0由此，求SKIPIF1<0可以按依次填3个空位来考虑，∴SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0以按依次填SKIPIF1<0个空位来考虑SKIPIF1<0，排列数公式：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）说明：（1）公式特征：第一个因数是SKIPIF1<0，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是SKIPIF1<0，共有SKIPIF1<0个因数；（2）全排列：当SKIPIF1<0时即SKIPIF1<0个不同元素全部取出的一个排列全排列数：SKIPIF1<0（叫做n的阶乘） 另外，我们规定0!=1.1组合的概念：一般地，从SKIPIF1<0个不同元素中取出SKIPIF1<0SKIPIF1<0个元素并成一组，叫做从SKIPIF1<0个不同元素中取出SKIPIF1<0个元素的一个组合说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同【组合】1．组合数公式的推导：（1）从4个不同元素SKIPIF1<0中取出3个元素的组合数SKIPIF1<0是多少呢？启发：由于排列是先组合再排列，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数SKIPIF1<0可以求得，故我们可以考察一下SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的关系，如下：组合排列SKIPIF1<0由此可知,每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数SKIPIF1<0，可以分如下两步：①考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有SKIPIF1<0个；②对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有SKIPIF1<0种方法．由分步计数原理得：SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0．2.推广：一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数SKIPIF1<0，可以分如下两步：①先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数SKIPIF1<0；②求每一个组合中m个元素全排列数SKIPIF1<0，根据分步计数原理得：SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0SKIPIF1<0．3.组合数的公式：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0SKIPIF1<0规定:SKIPIF1<0.

三、题型突破重难点题型突破1简单的排列问题例1．某会议结束后，21个会议人员合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，A站在前排正中间位置，B，C两人也站在前排并与A相邻，如果对其他人所站位置不做要求，那么不同的站法共有（

）A．种 B．种 C．种 D．种【答案】D【分析】先安排A，再排B，C两人，再排余下的人由分步乘法原理可得答案.【详解】先安排A，只有1种选择；再排B，C两人，有种选择；最后排其他人，有种选择．故由分步乘法计数原理可得，不同的排法共有种选择．故选：D.【变式训练1-1】甲、乙、丙人站到共有级的台阶上，若每级台阶最多站人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________.（用数字作答）【答案】【分析】对每个台阶上所站的人数进行分类讨论，结合分类加法计数原理可得结果.【详解】当每个台阶上各站人时有种，当两个人站在同一个台阶上时，有种，综上所述，共有种不同的站法.故答案为：.重难点题型突破2简单的组合问题例2．从8名女生和4名男生中选出6名学生组成课外活动小组，则按性别分层抽样组成课外活动小组的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据分层抽样求出抽取的男女生人数，然后由分步计数原理得出抽取的方法数，再求出总抽取方法数后计算概率．【详解】总体中男女生人数比为，因此抽取的6人中男生数为，女生数为2，所以所求概率为．故选：A．【变式训练2-1】甲､乙､丙三人计划参加学校趣味运动会中的千人迎面接力､五人踏板､足球射门､篮球投篮四个比赛项目，由于时间关系，每个人只能随机选择参加一个项目，则甲､乙､丙三人中恰好两人参加同一个比赛项目的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先分析三人参加项目总的情况数，然后分析甲､乙､丙三人中恰好两人参加同一个比赛项目的的情况数，根据两者的比值求解出对应概率.【详解】由分步乘法计数原理可知，三人参加项目总的情况数为，甲､乙､丙三人中恰好两人参加同一个比赛项目的情况数为，故所求概率为.故选：A.重难点题型突破3注意缺少“至多”或“最少”例3．现有16张不同的卡片，其中红色，黄色，蓝色，绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一颜色，且绿色卡片至多1张，则不同的取法种数为（

）A．484 B．472C．252 D．232【答案】B【分析】用间接法分析.先求出“从16张卡片中任取3张的所有取法数”，再分析“取出的3张为同一种颜色”和“取出的3张有2张绿色卡片”的取法数，从而可求出答案.【详解】根据题意，不考虑限制，从16张卡片中任取3张，共有种取法，如果取出的3张为同一种颜色，则有种情况，如果取出的3张有2张绿色卡片，则有种情况，故所求的取法共有种.故选：B.【变式训练3-1】将5名实习老师安排到高一年级的3个班实习，每班至少1人、至多2人，则不同的安排方法有（

）A．90种 B．120种 C．150种 D．180种【答案】A【分析】由题设知分组方式为人数分别为{1,2,2}，应用排列组合数、部分平均分组求不同的安排方法数.【详解】由题设，将老师按各组人数{1,2,2}分组，∴不同的安排方法有种.故选：A.重难点题型突破4特殊元素优先处理例4．共五人站成一排，如果必须站在的右边，那么不同的排法有___________种.【答案】【分析】首先将C、D、E排序，再将作为整体插入队列中的一个空或分别插入队列中的两个空，即可得不同的排法数.【详解】1、将C、D、E排成一列，有种，2、把作为整体插入4个空中，有种，或分别插入4个空中的2个空中，有种，所以共有种.故答案为：60.【变式训练4-1】某班上午有五节课，分别安排语文、数学、英语、物理、化学各一节课，要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是___________．【答案】16【分析】根据题意，可分三步进行分析：（1）要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序；（2）将这个整体与英语全排列，排好后，有3个空位；（3）数学课不排第一行，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个，得数学、物理的安排方法，最后利用分步计数原理，即可求解．【详解】根据题意，可分三步进行分析：（1）要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序，有种情况；（2）将这个整体与英语全排列，有中顺序，排好后，有3个空位；（3）数学课不排第一行，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个，安排物理，有2种情况，则数学、物理的安排方法有种，所以不同的排课方法的种数是种，故答案为：16．【变式训练4-2】用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字且大于201345的正整数有（

）个.A．478 B．479 C．480 D．481【答案】B【分析】201345是以2开头的没有重复数字的六位数中最小的一个，所以先算所有没有重复数字的六位数的个数，再用减法即可.【详解】由以1开头的没有重复数字的六位数的个数为，由于201345是以2开头的没有重复数字的六位数中最小的一个，所有的没有重复数字的六位数的个数为故没有重复数字且大于201345的六位数的个数为，故选：B．重难点题型突破5相邻问题用捆绑与不相邻问题用插空例5．某学校为高一年级排周一上午的课表，共5节课，需排语文､数学､英语､生物､地理各一节，要求语文､英语之间恰排1门其它学科，则不同的排法数是（

）A．18 B．26 C．36 D．48【答案】C【分析】先从剩余的3门学科选1科放到语文､英语之间，再将它们看成一个整体与剩余的2门学科进行排列，再利用分步计数原理即可求解.【详解】分两步如下：（1）将语文､英语之间恰排1门其它学科，并将它们看成一个整体有种；（2）将上面整体和剩余的2门学科进行排列有种；再利用分步计数原理可知共有种排法，故选：C【变式训练5-1】甲、乙、丙三人站成一排，则甲、乙不相邻的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】甲、乙、丙三人站成一排，基本事件总数，甲、乙二人不相邻可知有2种方法，进而求得概率.【详解】甲、乙、丙三人站成一排，基本事件总数，甲、乙二人不相邻包含的基本事件个数，甲、乙二人不相邻的概率.故选：B.【变式训练5-2】，，，，五个人站成一排，则和分别站在的两边（可以相邻也可以不相邻）的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出五人站成一排的基本事件总数，再利用分类相加计数原理求出A和C分别站在的两边的基本事件数，即可求出概率.【详解】A和C分别站在B的两边，则B只能在中间3个位置，分类说明：（1）若B站在左2位置，从A，C选一个排在B左侧，剩余的3个人排在B右侧，故有种排法；（2）若B站在3位置，从A，C选一个，从D，E选一个排在B左侧，并排列，剩余的2个人排在B右侧，故有种排法；（3）若B站在右2位置，排法与（1）相同，即有12种排法；所以A和C分别站在B的两边的排法总共有种排法；A，B，C，D，E五个人站成一排有种排法，故A和C分别站在B的两边的概率故选：B重难点题型突破6排列与组合中平均分问题例6．将4本不同的书本全部分给甲、乙、丙三位同学，每位同学都分到书的分法有（

）A．12种 B．24种 C．32种 D．36种【答案】D【分析】将4本不同的书按分成3份，再分给3人即可得解.【详解】依题意，将4本不同的书任取2本为1份，余下两本各1份，分成3份有种分法，再将分得的3份送给甲、乙、丙三位同学，每人1份有种送法，由分步计数乘法原理得：，所以每位同学都分到书的分法有36种.故选：D【变式训练6-1】为庆祝中国共产党成立100周年，某志愿者协会开展“党史下乡”宣讲活动，准备派遣10名志愿者去三个乡村开展宣讲，每名志愿者只去一个乡村，每个乡村至少安排3个志愿者，则不同的安排方法共有________种．（用数字作答）【答案】12600【分析】先将10名志愿者分成（3,3,4）一组，再分配到三个乡村即可求出结果.【详解】依题意，先将10名志愿者分成（3,3,4）一组，再分配到三个乡村，则有种安排方法.故答案为：12600.重难点题型突破8涂色问题例7．用四种颜色给下图的6个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻区域不同色，若四种颜色全用上，则共有多少种不同的涂法（

）A．72 B．96 C．108 D．144【答案】B【分析】对于排列组合的染色问题通常采用分步计数原理，分别为各个区域染色，即可求解.【详解】设四种颜料为，①先涂区域B，有4中填涂方法，不妨设涂颜色1；②再涂区域C，有3中填涂方法，不妨设涂颜色2；③再涂区域E，有2中填涂方法，不妨设涂颜色3；④若区域A填涂颜色2，则区域D、F填涂颜色1，4，或4，3，若区域A填涂颜色4，则区域D、F填涂颜色1,3或4,3，共4中不同的填涂方法，综合①②③④，由分步计数原理可得，共有种不同的填涂法.故选：B.【变式训练7-1】如图，图案共分9个区域，有6中不同颜色的涂料可供涂色，每个区域只能涂一种颜色的涂料，其中2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色，且相邻区域的颜色不相同，则涂色方法有A．360种 B．720种 C．780种 D．840种【答案】B【详解】试题分析：由图可知，区域2,3,5,7不能同色，所以2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色，且各区域的颜色均不相同，所以涂色方法有种，故应选.【变式训练7-2】如图，节日花坛中有5个区域，现有四种不同颜色的花卉可供选择，要求相同颜色的花不能相邻栽种，则符合条件的种植方案有（

）种．A．36 B．48C．54 D．72【答案】D【分析】根据题意，按选出花的颜色的数目分2种情况讨论，利用排列组合及乘法原理求出每种情况下种植方案数目，由加法原理计算可得答案．【详解】解：由题意，如图，假设5个区域为分别为1、2、3、4、5，分2种情况讨论：当选用3种颜色花卉的时，2、4同色且3、5同色，共有涂色方法种，当4种不同颜色的花卉全选时，即2、4或3、5用同一种颜色，共有种，则不同的种植方法共有种；故选：D.专题08排列与组合A组基础巩固1．现需编制一个八位的序号，规定如下：序号由4个数字和2个x、1个y、1个z组成；2个x不能连续出现，且y在z的前面；数字在1，2，4，8之间选取，可重复选取，且四个数字之积为8，则符合条件的不同的序号种数为（

）A．12600 B．6300 C．5040 D．2520【答案】B【分析】由题意，数字只能选1，1，1，8或1，1，2，4或1，2，2，2，先排数字和y，z，再插入x，用排列组合数表示，即得解【详解】由题意，数字只能选1，1，1，8或1，1，2，4或1，2，2，2，先排数字和y，z，再插入x，即为×2＋＝6300.故选：B2．天河区某校开展学农活动时进行劳动技能比赛，通过初选，选出甲､乙､丙､丁､戊共5名同学进行决赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”；对乙说“你当然不是最差的”，试从这个回答中分析这5人的名次排列顺序可能出现的种类有（

）A．54种 B．60种 C．72种 D．96种【答案】A【分析】甲乙不是第一名且乙不是最后一名，乙的限制最多，先排乙，可以是第二，三，四名3种情况，再排甲，也有3种情况，余下的问题是三个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理求解即可.【详解】由题意，甲乙不是第一名且乙不是最后一名，乙的限制最多，故先排乙，有3种情况，再排甲，也有3种情况，余下3人有种情况，利用分步相乘计数原理知有种情况，故选：A.3．在2021中俄高加索联合军演的某一项演练中，中方参加演习的有4艘军舰，5架飞机；俄方有3艘军舰，6架飞机.若从中、俄两方中各选出2个单位（1架飞机或一艘军舰都作为一个单位，所有的军舰两两不同，所有的飞机两两不同），且选出的四个单位中恰有一架飞机的不同选法共有（

）A．51种 B．168种 C．224种 D．336种【答案】B【分析】按飞机的来源分两类，再计算出每一类的选法种数结合分类加法计数原理计算作答.【详解】计算选出的四个单位中恰有一架飞机的方法数有两类办法：飞机来自中方，有种方法，飞机来自俄方，有种方法，由分类加法计数原理得：(种)，所以选出的四个单位中恰有一架飞机的不同选法共有168种.故选：B4．第24届冬季奥运会将于2022年2月4日至2022年2月20日在北京市和河北省张家口市举行．现要安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去国家高山滑雪馆、国家速滑馆、首钢滑雪大跳台三个场馆参加活动，要求每个场馆都有人去，且这四人都在这三个场馆，则甲和乙都没被安排去首钢滑雪大跳台的种数为（

）A．12 B．14 C．16 D．18【答案】B【分析】根据给定条件利用分类加法计数原理结合排列、组合知识计算作答.【详解】因甲和乙都没去首钢滑雪大跳台，计算安排种数有两类办法：若有两个人去首钢滑雪大跳台，则肯定是丙、丁，即甲、乙分别去国家高山滑雪馆与国家速滑馆，有种；若有一个人去首钢滑雪大跳台，从丙、丁中选，有种，然后剩下的一个人和甲、乙被安排去国家高山滑雪馆与国家速滑馆，有种，则共有种，综上可得，甲和乙都没被安排去首钢滑雪大跳台的种数为.故选：B5．2021年1月10日，是我国设立的第一个“中国人民警察节”，2020年，某省人民群众对公安机关的满意度测评居首位．为感谢公安干警的辛勤付出，6名学生到甲、乙、丙、丁4个值勤岗亭做志愿者，每名学生只去1个值勤岗亭，且每个值勤岗亭均有志愿者值勤．若甲值勤岗亭安排3名志愿者，则不同的安排方法共有（

）A．60种 B．96种 C．120种 D．240种【答案】C【分析】根据给定条件利用分步乘法计数原理结合排列、组合列式计算作答.【详解】依题意，完成安排方法这件事需要两步：先从6人中任取3人去甲值勤岗亭，有种方法，再将余下3人分别安排到另外3个值勤岗亭，每个值勤岗亭1人，有种方法，由分步乘法计数原理得：(种)，所以不同的安排方法共有120种.故选：C6．为了落实五育并举，全面发展学生素质，学校准备组建书法､音乐､美术､体育社团，现将5名同学分配到这4个社团进行培训，每名同学只分配到1个社团，每个社团至少分配1名同学，则不同的分配方案共有（

）A．60种 B．120种 C．240种 D．480种【答案】C【分析】由题意可知，本题属于部分平均分配问题，可以将问题拆分为两步完成，先分组再分配，即可完成求解.【详解】由题意，分步完成，第一步，将5名同学按1，1，1，2分成4组，有种分组方法；第二步，将分成4组的学生安置在4个社团，有种方法，由分步乘法计数原理得，共有：不同的分配方案，故选：C.7．某工程队有卡车､挖掘机､吊车､混凝土搅拌车各一辆，将它们全部派往3个工地进行作业，每个工地至少派一辆，则不同的派法种数是（

）A．18 B．9 C．27 D．36【答案】D【分析】利用捆绑法，先把4辆车分成3组，再把分好的3组分别派给3个工地，即可得到答案；【详解】先把4辆车分成3组，再把分好的3组分别派给3个工地，则不同的派法共有（种）.故选：D8．通常，我国民用汽车号牌的编号由两部分组成：第一部分为汉字表示的省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代号，笫二部分为由阿拉伯数字与英文字母组成的序号．其中序号的编码规则为：①由0，1，2，…，9这10个阿拉伯数字与除，之外的24个英文字母组成；②最多只能有2个位置是英文字母，如：粤，则采用5位序号编码的粤牌照最多能发放的汽车号牌数为（

）A．586万张 B．682万张 C．696万张 D．706万张【答案】D【分析】讨论后5位全部为数字、有一个字母、有两个字母三种情况，其中有两个字母再分两个字母相同、不同两种，结合分类分步计数方法求最多能发放的汽车号牌数即可.【详解】1、后5位全部为数字，共有张牌，2、后5位有一个字母：共有张牌，3、后5位有两个字母：当两个字母相同，有张牌；当两个字母不同，张牌；综上，共有张牌.故选：D9．将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，则不同的分配方案有（

）A．30种 B．60种 C．90种 D．150种【答案】D【分析】分两类：（1）将5名教师分三组，一组3人，另两组各1人；（2）将5名教师分三组，一组1人，另两组各2人.分别计算出每一类的分配方案种数，进而由分类计数原理可得结果.【详解】依题意分两类：（1）将5名教师分三组，一组3人，另两组各1人：分配方案共种；（2）将5名教师分三组，一组1人，另两组各2人：分配方案共种.所以，不同的分配方案共有种.故选：D.10．从1到10这十个数中任取三个，这三个数的和为奇数的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设“从1到10这十个数中任取三个，这三个数的和为奇数”为事件，利用组合知识可得从1到10这十个数中任取三个数所有的取法，这三个数的和为奇数的取法，由古典概型概率计算公式可得答案.【详解】设“从1到10这十个数中任取三个，这三个数的和为奇数”为事件，从1到10这十个数中任取三个数有种取法，要使这三个数的和为奇数，须取的三个数中有2个偶数一个奇数，或者三个数都为奇数两种情况；1到10这十个数分成偶数一组，奇数一组各有5个，所以三个数中有2个偶数一个奇数有种，三个数都为奇数的取法有种，即从1到10这十个数中任取三个，这三个数的和为奇数的情况有60种，所以从1到10这十个数中任取三个，这三个数的和为奇数的概率为.故选：D.11．现有甲､乙､丙､丁､戊五位同学，分别带着A､B､C､D､E五个不同的礼物参加“抽盲盒”学游戏，先将五个礼物分别放入五个相同的盒子里，每位同学再分别随机抽取一个盒子，恰有一位同学拿到自己礼物的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用排列组合知识求出每位同学再分别随机抽取一个盒子，恰有一位同学拿到自己礼物的情况个数，以及五人抽取五个礼物的总情况，两者相除即可.【详解】先从五人中抽取一人，恰好拿到自己的礼物，有种情况，接下来的四人分为两种情况，一种是两两一对，两个人都拿到对方的礼物，有种情况，另一种是四个人都拿到另外一个人的礼物，不是两两一对，都拿到对方的情况，由种情况，综上：共有种情况，而五人抽五个礼物总数为种情况，故恰有一位同学拿到自己礼物的概率为.故选：D12．五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为:宫、商、角、徵、羽.如果从这五个音阶中任取三个音阶，排成一个三个音阶的音序，则这个音序中必含“徵”这个音阶的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】应用组合数、排列数求含“徵”音阶的基本事件数、五个音阶中任取三个音阶基本事件数，再根据古典概型的概率求法求概率.【详解】从这五个音阶中任取三个音阶，排成一个三个音阶的音序，基本事件总数，其中这个音序中含“徵”这个音阶的基本事件个数.则这个音序中必含“徵”这个音阶的概率为.故选：C.13．有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（

）A．分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有15种分法；B．分给甲、乙、丙三人中，一人4本，另两人各1本，有180种分法；C．分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，共有90种分法；D．分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有1080种分法；【答案】D【分析】根据题意，分别按照选项说法列式计算验证即可做出判断.【详解】选项A，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有种分配方法，故该选项错误；选项B，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，一人4本，另两人各1本，先将6本书分成4-1-1的3组，再将三组分给甲乙丙三人，有种分配方法，故该选项错误；选项C，6本不同的书分给甲乙每人各2本，有种方法，其余分给丙丁每人各1本，有种方法，所以不同的分配方法有种，故该选项错误；选项D，先将6本书分为2-2-1-1的4组，再将4组分给甲乙丙丁4人，有种方法，故该选项正确.故选：D.14．六个人排队，甲乙不能排一起，丙必须排在前两位的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，结合排列组合，利用插空法和特殊位置法，先排丙，再插甲乙，即可得解.【详解】丙排第一，除甲乙外还有3人，共种排法，此时共有4个空，插入甲乙可得，此时共有种可能；丙排第二，甲或乙排在第一位，此时有排法，甲和乙不排在第一位，则剩下3人有1人排在第一位，则有种排法，此时故共有种排法.故概率.故选：C.15．现有甲、乙、丙、丁、戌5人参加社区志愿者服务活动，每人从事团购、体温测量、进出人员信息登记、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.若甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（

）A．234 B．152 C．126 D．108【答案】C【解析】分情况进行讨论，先计算“甲乙一起参加除了开车的三项工作之一”有多少种情况，再计算“甲和乙分别承担一份工作，丙、丁、戌三人中有两人承担同一份工作”和“甲或乙与丙、丁、戌三人中的一人承担同一份工作”的情况，相加即得.【详解】由题，分情况讨论，甲乙一起参加除了开车的三项工作之一：种；甲乙不同时参加一项工作，又分为两种情况：①甲和乙分别承担一份工作，丙、丁、戌三人中有两人承担同一份工作，有：种；②甲或乙与丙、丁、戌三人中的一人承担同一份工作：种.由分类计数原理，可得共有种.故选：16．某校迎新晚会上有个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起．则该校迎新晚会节目演出顺序的编排方案共有A．种 B．种 C．种 D．种【答案】A【分析】利用对称性思想，节目甲放在前三位或后三位的排法种数是一样的，计算出将丙、丁排在一起的排法种数，除以可得出结果.【详解】先考虑将丙、丁排在一起的排法种数，将丙、丁捆绑在一起，与其他四人形成五个元素，排法种数为，利用对称性思想，节目甲放在前三位或后三位的排法种数是一样的，因此，该校迎新晚会节目演出顺序的编排方案共有种，故选A.17．某电影院的一个放映室前3排的位置如图所示，甲和乙各自买了一张同一个场次的电影票，已知他们买的票的座位都在前3排，则他们观影时座位不相邻（相邻包括左右相邻和前后相邻）的概率约为（）A．0.87 B．0.89 C．0.91 D．0.92【答案】D【分析】座位不相邻的对立事件为座位相邻，利用对立事件的概率求出座位相邻的概率即可求出不相邻的概率，不相邻分左右相邻和前后相邻，求出相邻的基本事件的个数，从而得解.【详解】解：若他们的座位左右相邻，则有种可能；若他们的座位前后相邻，则有种可能．故他们观影时座位不相邻的概率．故选：D.18．某校为庆祝建党一百周年，要安排一场共11个节目的文艺晚会，除第1个节目和最后一个节目已经确定外，3个音乐节目要求排在2，6，9的位置，3个舞蹈节目必须相邻，3个曲艺节目没有要求，共有不同的演出顺序（

）种A．144 B．192 C．216 D．324【答案】C【分析】先排音乐节目，则舞蹈节目位置只能排在3、4、5，再排曲艺节目，然后由分步乘法计数原理可得.【详解】①先排3个音乐节目有种排法，共6种排法；②再排3个舞蹈节目只能排3、4、5位置，共种排法；③再排3个曲艺节目，共种排法；∴由分步乘法记数原理有种排法．故选：C．19．某班学生要安排毕业晚会的3个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，3个音乐节目恰有两个节目连排，则不同排法的种数是（

）A．240 B．188 C．432 D．288【答案】D【分析】先从3个音乐节目中选取2个排好后作为1个节目，有种排法，这样共有5个节目，其中2个音乐节目不连排，2个舞蹈节目不连排，然后分成三类进行求解.【详解】先从3个音乐节目中选取2个排好后作为1个节目，有种排法，这样共有5个节目，其中2个音乐节目不连排，2个舞蹈节目不连排12345如图，若曲艺节目排在1号（或5号）位置，则有种排法若曲艺节目排在2号（或4号）位置，则有种排法若曲艺节目排在3号位置，则有种排法，所以共有排法故选：D20．某公司计划举办一场晚会，节目有1个朗诵，1个武术表演，2个话剧表演，3个歌舞表演，要求第一个节目为歌舞表演，最后一个节目为话剧表演，且相同种类的节目不相邻，则不同的节目演出顺序的种数为（

）A．432 B．252 C．192 D．180【答案】C【解析】利用分步计数原理和分类计数原理求解【详解】解：由题意知，从3个歌舞表演节目中任选一个作为第一个节目，不同的选择有种，从2个话剧表演节目中任选一个作为最后一个节目，不同的选择有种，若第二个节目是话剧表演，则不同的节目演出顺序有（种）；若第二个节目不是话剧表演，再考虑第三个节目是否是话剧表演，则不同的节目演出顺序有（种）.所以不同的节目演出顺序的种数为，故选：C.21．将3张不同的电影票全部分给10个人，每人至多一张，则不同的分法种数是（

）A． B．120 C．240 D．720【答案】D【分析】由题意知：问题等价于3个元素排10个位置，应用排列数计算不同的分法种数即可.【详解】由题设，相当于3个元素排10个位置，有种不同的分法．故选：D．22．如图，一块长方形花圃，计划在A、B、C、D四个区域分别种上3种不同颜色鲜花中的某一种，允许同一种颜色的鲜花使用多次，但相邻区域必须种不同颜色的鲜花，不同的种植方案有（

）A．9种 B．8种 C．7种 D．6种【答案】D【分析】可按区域分四步，由分步计数原理，即可求解.【详解】由题意，按区域分四步：第一步A区域有3种颜色可选；第二步B区域有2种颜色可选；第三步C区域有1种颜色可选；第四步D区域只有1种颜色可选，由分步计数原理可得，共有种不同的种植方案.故选：D.23．如图，用五种不同的颜色分别给A，B，C，D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有多少种（

）A．280 B．180 C．96 D．60【答案】B【分析】按区域分四步，由分步乘法计数原理，即可求得结论.【详解】按区域分四步：第1步，A区域有5种颜色可选；第2步，B区域有4种颜色可选；第3步，C区域有3种颜色可选；第4步，D区域也有3种颜色可选.由分步乘法计数原理，共有5×4×3×3=180种不同的涂色方案.选选：B.B组能力提升24．将2个2021，3个2019，4个2020填入如图的九宫格中，使得每行数字之和、每列数字之和都为奇数，不同的填法有___________种.（用数字回答）【答案】90【分析】根据题意，先分析出奇数的位置分布有种，对于每种位置，从5个位置中选择2个位置放，有种，最后由分步乘法计数原理即可求解.【详解】解：若某行（列）的数字和为奇数，则该行（列）的奇数个数为1个或3个，题中有5个奇数，4个偶数，则分布到3行，必有一行有3个奇数，另两行只有1个奇数，列同理，则奇数的位置分布有种，对于每种位置，从5个位置中选择2个位置放，有种，由分步乘法计数原理可知，不同的填法种数为种.故答案为：.25．由数字1，3，4，6，五个数字组成没有重复数字的五位数，所有这些五位数各位数字之和为2640，则______．【答案】8【分析】分和两种情况讨论，每种情况下先求出5个数字可以组成五位数的个数，进而表示出这些五位数各位上的数字之和，从而可得出答案.【详解】解：根据题意，分2种情况讨论：①若，这5个数字为1，3，4，6，0，可以组成个没有重复数字的五位数，则1，3，4，6，0中每个数字均出现96次，所有这些五位数各位上的数字之和为，故不符合题意；②若，这5个数字可以组成个没有重复数字的五位数，则1，3，4，6，中每个数字均出现120次，由所有这些五位数各位上的数字之和为2640，得，解得．综上可得．故答案为：8.26．某九位数的各个数位由数字1，2，3组成，其中每个数字各出现3次，且数字1和数字2不能相邻，则符合条件的不同九位数的个数是___．（用数字作答）【答案】【分析】排好三个后，将剩下的三个和三个进行分组，利用插空法，分类讨论不同分组下的情况，再由分类加法计数原理计算.【详解】由题意，先排三个，则有种情况，剩下的三个和三个分组，若分为组：或或，插空得种；若分为组：或，插空得种；若分为组：，插空得，所以共有种.故答案为：27．某外语组9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，则不同的选法有________种．【答案】20【分析】分类：第一类，会英语的从只会英语的6人中选，然后再选一个日语（两者都会的任意选），第二类，两者都会的选来作英语，然后再选一名会日语的，由此可得出方法数．【详解】依题意得，既会英语又会日语的有7＋3－9＝1(人)，6人只会英语，2人只会日语．第1类：从只会英语的6人中选一人有6种选法，此时选会日语的有2＋1＝3(种)．由分步乘法计数原理得N1＝6×3＝18(种)；第2类：从既会英语又会日语的人中选一人会英语的有1种选法，此时选会日语的有2种．由分步乘法计数原理得N2＝1×2＝2(种)．综上，不同的选法共有N＝N1＋N2＝18＋2＝20(种).故答案为：20．28．某地区有3个疫苗接种定点医院，现有10名志愿者将被派往这3个医院协助新冠疫苗接种工作，每个医院至少需要2名至多需要4名志愿者，则不同的安排方法共有___________种.【答案】22050【分析】先分组，再排列，注意部分平均分组问题，需要除以平均组数的全排列.【详解】根据题意，这10名志愿者的安排方法共有两类：第一类是2，4，4，第二类是3，3，4.故不同的安排方法共有种.故答案为：2205029．5名志愿者进入3个不同的场馆参加工作，则每个场馆至少有一名志愿者的概率为______．【答案】【分析】先把志愿者分成三组，然后安排到各场馆可得每个场馆至少有一名志愿者的方法数，再求出总的安排方法数后可得概率．【详解】3名志愿者可安113或122分成三组，然后再安排到三个场馆工作，方法数为，而5名志愿者进入3个不同的场馆参加工作的安排方法为，所以所求概率为．故答案为：．30．习近平总书记在湖南省湘西州花垣县十八洞村考察时，首次提出“精准扶贫”概念，“精准扶贫”已成为我国脱贫攻坚的基本方略.为配合国家“精准扶贫”战略，某省农业厅派出6名农业技术专家（4男2女）分成两组，到该省两个贫困县参加扶贫工作，若要求女专家不单独成组，且每组至多4人，则不同的选派方案共有__________种.【答案】【分析】根据组中人数有、分组形式，再应用分步计数求不同的选派方案的种数.【详解】由题意，两组人数可分为、两种，1、当形式，选派方案有种；2、当形式，选派方案有种；∴不同的选派方案共有种.故答案为：31．甲、乙、丙3个公司承包5项不同工程，甲、乙公司均承包2项，丙公司承包1项，则共有______种承包方式．【答案】30【分析】根据给定条件利用分步乘法计数原理列式计算作答.【详解】依题意，计算承包方式的种数需要3步：先从5项工程中任取2项给甲，有种方法，再从余下3项工程中任取2项给乙，有种方法，然后将最后1项工程给丙，有1种方法，由分步乘法计数原理得：，所以共有30种承包方式.故答案为：3032．将5名北京冬奥会志愿者全部分配到花样滑冰､短道速滑､高山滑雪3个项目进行培训，每名志愿者只分配到一个项目，每个项目至少分配一名志愿者，并且甲､乙两名志愿者必须分配在一起，则共有种不同的分配方式___________.【答案】36【分析】将分组方式分、两类，结合排列组合数计算不同的分配方式.【详解】由题设，5名北京冬奥会志愿者分配到3个项目进行培训的有两类分组：1、各组人数以分组，共有种；2、各组人数以分组，共有种；∴共有种分配方式.故答案为：.33．新年音乐会安排了2个唱歌､3个乐器和2个舞蹈共7个节目，则2个唱歌节目不相邻的节目单共有___________种.（用数字表示）【答案】3600【分析】利用插空法即得.【详解】先排3个乐器和2个舞蹈共5个节目有种排法，其中有6个空插入2个唱歌节目，有种排法，故共有.故答案为：3600.34．从集合中任取3个不同元素分别作为直线方程中的，则经过坐标原点的不同直线有__________条（用数值表示）【答案】54【分析】根据给定条件可得，再从任取两个不同元素分别作为值的种数中减去重合的直线条数即可作答.【详解】依题意，，从任取两个不同元素分别作为的值有种，其中重合的直线，按有序数对，有：重合，重合，重合，重合，重合，有：重合，重合，重合，重合，重合，所以经过坐标原点的不同直线条数是.故答案为：5435．四名男生和两名女生排成一排，若有且只有两位男生相邻，则不同排法的种数是_____