1.2：空间向量基本定理 解析版-2025-2026学年高二数学精讲与精练高分突破系列人教A版2019选择性必修第一册

.2：空间向量基本定理【考点归纳】【知识梳理】知识点01:空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底．知识点02:空间向量的正交分解单位正交基底空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}，a可以分解成三个向量，a＝xi＋yj＋zk，像这样叫做把空间向量进行正交分解。知识点03：空间向量基本定理1、证明平行、共线、共面问题(1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.(2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.2、求夹角、证明垂直问题(1)θ为a，b的夹角，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|). (2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0.3、求距离(长度)问题eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\r(a·a)(eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\r(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→))))．【例题详解】题型一、空间的基底【例1】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知a,b,A．a−b+c，，a−c B．C．，2c+b，a+c D．a【答案】A【分析】由空间向量的基底的定义建立方程，可得答案.【详解】对于A，设a−b+所以a−b+c，对于B，设a+b=x所以a+b，c+2对于C，设2a−b所以，2c+b，对于D，设a+b=x所以a+b，2a故选：A.【跟踪训练1】（24-25高二上·北京·期末）已知a,b,A．a+b、b−c、a+c C．、a+2c、a+b+c D．【答案】D【分析】根据空间向量基底的概念逐项判断即可.【详解】对于A选项，因为b−c=a+b−所以，a+b、b−对于B选项，因为−a+b+2c=2b所以，−a+b+2c对于C选项，因为a+b+c=12所以，、a+2c、a对于D选项，假设a+c、a−则存在λ、μ∈R使得由于a,b,故假设不成立，即a+c、a−所以，a+c、a−故选：D.【跟踪训练2】（24-25高二上·福建泉州·期中）已知a,b,A．2a+b，a+2b，b+cC．2a+3b，c，4a+6b+3【答案】C【分析】假设向量共面，设出向量共面对应的关系式，确定方程组是否有解，由此作出判断.【详解】对于A：设2a+b，a+2b所以2=x1=2x+y对于B：设，，3c不能构成基底，则2a=x因为a,对于C：设2a+3b，c，4所以4=2x6=3x3=y，解得对于D：设3a−2b+c，a所以3=x+y−2=x故选：C.题型二：用空间基底表示向量【例2】（24-25高二下·甘肃甘南·期中）如图，空间四边形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，点M在线段OA上，且OM=2MA，点N为

A．−23aC．12a+【答案】A【分析】根据空间向量的线性运算结合空间向量的基本定理运算求解.【详解】因为OM=2MA，所以MA=13OA；因为点N为易知AB=OB−所以MN=−2又OA=a，OB=所以MN=−故选：A【跟踪训练1】（24-25高二上·四川南充·期末）如图，空间四边形OABC中，OA=a,OB=b,OC=c，点M在OA上，且A．12a+12b−12【答案】B【分析】利用空间向量基本定理结合题意求解即可【详解】因为空间四边形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，点M在OA上，且所以MN=−1故选：B【跟踪训练2】（24-25高二上·广东清远·期末）如图，在三棱锥中，OA=a,OB=b,OC=c．若点M,NA．−34aC． D．34【答案】C【分析】利用空间向量的基本定理及利用向量的加法表示出MN=【详解】由OA=得OM=所以MN=故选：C．题型三、空间向量基本定理【例3】（24-25高二上·广西钦州·阶段练习）在四面体中，点M为线段OA靠近A的四等分点，N为BC的中点，若MN=xOA+yOB+zOCA．32 B．1 C．14 【答案】C【分析】由向量运算法则结合空间向量基本定理即可计算求解.【详解】由题MN=−又由题MN=xOA+y故选：C.【跟踪训练1】（24-25高二上·河北邢台·期中）在四面体中，点M为线段OA靠近A的四等分点，N为BC的中点，若MN=xOA+yOB+zOC

A．32 B．1 C．14 【答案】C【分析】先根据空间向量基本定理用向量，OB，OC表示向量MN，进而求得x，y，z的值，即可求得x+y+z的值.【详解】由空间向量基本定理可得MN又由题干MN=xOA+yOB+z故选：C.【跟踪训练2】（23-24高二上·山东青岛·期末）已知四面体OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，OM=λMAλ>0，NA．3 B．2 C．12 D．【答案】D【分析】根据空间向量的运算法则，化简得到MN=−【详解】因为OM=λMAλ>0依题意可得MN=1因为MN=−14a+故选：D.题型四、求夹角、长度问题【例4】（24-25高二上·山西晋中·阶段练习）如图，在平行六面体ABCD−A'B'C'D'中，底面ABCD是边长为

求：(1)AC(2)直线BD'与【答案】(1)2(2)b【分析】（1）根据空间向量的运算，表示出AC（2）选定基底表示BD',AC，求出向量BD',【详解】（1）AC所以A=2（2）BD所以B=2，，BD'⋅cosB由于异面直线所成角的范围为大于0∘小于等于9所以直线BD'与AC所成角的余弦值为【跟踪训练1】（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．设AB=a，AD=b(1)用a,b,c为基底表示向量(2)求的值．【答案】(1)BD1(2)6【分析】（1）先求出BD1=−AB+（2）AC=a+b，平方，进而求出AC=【详解】（1）记AB=a，AD=则a=b=∴a⋅b=BD∴BD1=2，即（2）AC=a+故AC=由（1）知BD1=故B=b∴cosB【跟踪训练2】（24-25高二上·辽宁）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60∘,M为A1C1(1)用a,b,(2)求对角线AC(3)求cosAB【答案】(1)BM(2)6(3)【分析】（1）根据空间向量的线性运算计算即可；（2）先将AC1用a,（3）根据夹角公式结合数量积的运算律求解即可.【详解】（1）如图，连接A1因为AB=在△A1AB因为底面ABCD是平行四边形，所以AC=因为AC//A1所以，又因为M为线段A1所以A1在△A1MB（2）因为顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60∘，所以a⋅b⋅由（1）可知AC=所以在平行四边形A1ACC1=1+1+1+2×12+2×12+2×1（3）因为AC所以cos=a题型五、空间向量证明平行、共面、垂直问题【例5】（24-25高二上·广东江门·期中）如图，已知平行六面体中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1=2,∠

(1)试用a，b，c表示向量(2)求AC(3)求证：【答案】(1)AC1=(2)AC(3)证明见解析【分析】（1）根据向量的加法、减法运算即可求解；（2）根据向量的数量积运算及模长公式即可求解；（3）根据向量的减法、数量积运算性质及垂直的向量表示即可证明.【详解】（1）ACBD（2）因为AB⋅所以AB⋅AD⋅|AC1=1+1+4+20−1−1所以AC（3）因为AA所以.【跟踪训练1】（24-25高二上·浙江·期中）如图，在平行六面体ABCD−A'B'(1)求证：BD⊥(2)求AC【答案】(1)证明见解析(2)29【分析】（1）以AB,AD,AA（2）利用向量的模的计算公式可求得AC【详解】（1）以AB,则BD=AD−所以A=0+4+2×3×1所以AC'⊥（2）由（1）可得AC所以A=4+4+9+2×0+2×2×3×1所以AC'=29，所以【跟踪训练2】（24-25高二上·北京丰台·期中）如图所示，在三棱柱ABC−A1B1C1中，CA=a,CB=b,CC1=(1)用a,b,(2)求AM；(3)求证：AM⊥【答案】(1)AM(2)(3)证明见解析【分析】（1）根据向量的线性运算结合空间向量基本定理求解即可；（2）利用数量积的运算律求解模长即可；（3）先利用向量线性运算得A1N=−【详解】（1）AM=（2）AM2则AM=（3）=−12所以AM===2+1所以AM⊥A1【高分演练】一、单选题1．（25-26高二上·全国）已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（）A．，2b， B．2b，b−2aC．3a，a−b，a+2b D．【答案】A【分析】利用空间向量的基底的定义，逐项判断作答.【详解】假定向量，2b，共面，则存在不全为0的实数λ,μ，使得b−所以向量不共面，能构成空间的一个基底，故A正确；由于2b=b−2a+b由于3a=2a−b+a由于c=12a+c−故选：A.2．（2025高二·全国·专题练习）下列命题中，为真命题的是（

）①若，OB与任何向量都不能构成空间的一个基底，则，OB共线；②若非零向量，OB，OC不构成空间的一个基底，则O,A,B,C四点共面；③若向量，OB，OC构成空间的一个基底，则空间内的任意向量OP可表示为，x,y,z∈R．A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】D【分析】根据空间基底向量的性质逐个选项判断即可.【详解】对①，若，OB不共线，则存在向量OC使得OC不在，OB所组成的面上，此时有，OB，OC不共面，可以构成空间的一个基底，故，OB共线，故①正确；对②，若非零向量，OB，OC不构成空间的一个基底，则，OB，OC共面，即O,A,B,C四点共面，故②正确对③，由空间向量的基本定理可得③正确.综上有①②③正确.故选：D3．（25-26高二上·全国·课后作业）如图，在空间四边形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，点M在OA上，且OM=2A．12a−C．−23a【答案】C【分析】利用向量加法和减法的定义及题设几何条件即可求解.【详解】由点M在OA上，且OM=2MA，知由N为BC的中点，知ON=所以MN=故选：C.44．（24-25高二上·河北唐山·期中）在四棱锥C−OADB中，底面OADB为平行四边形，E为AC的中点，F为BD的中点，OA=a,OB=

A．b−12c B．a−b【答案】A【分析】应用空间向量对应线段的位置及数量关系，结合向量加减、数乘的几何意义用OA=a,【详解】EF=故选：A5．（24-25高二上·河南三门峡·期末）在平行六面体ABCD−A'B'C'D'中，A．12 B．85 C．61 D．70【答案】B【分析】由平行六面体的几何性质，利用空间向量的线性运算以及数量积的定义，结合向量模长公式，可得答案.【详解】由题意可得AC'=AB+由∠BA则AB⋅AA所以A=16+9+25+0+20+15故选：B.6．（24-25高二上·北京·期末）已知四棱锥的底面ABCD是平行四边形，M为侧棱PC上的点，且PM=2MC，若BM=xAB+yADA．−53 C．23 D．【答案】C【分析】运用向量的线性运用表示向量BM=23【详解】因为PM=2MC，所以BM−所以BM=23又BM=xAB+y所以x+y+z=2故选：C.7．（24-25高二上·青海西宁·阶段练习）如图，在平行六面体中，AB=AD=AA1=2，∠BAD=∠A1AB=∠A1A．AM=12C．AM=11 【答案】B【分析】利用三角形法则以及模长公式和向量夹角公式即可求得结果.【详解】利用三角形法则AM=对于选项C：AM=1所以AM=AM⋅cosAM故选：B二、多选题8．（25-26高二上·全国·课后作业）设a,b,A．a,b,B．有且仅有一对实数λ,μ，使得cC．对空间任一向量p，总存在唯一的有序实数组x,y,z，使得pD．12a，13【答案】ACD【分析】根据基底向量的定义结合空间向量的基本定理逐项分析判断.【详解】对于A，由基底的定义知a,对于B，因为a,b,c是空间一个基底，所以a,对于C，因为a,b,c是空间一个基底，由空间向量基本定理可知，对空间任一向量p，总存在唯一的有序实数组对于D，因为a,b,c不共面，且12a与平行，13b与平行，14c与故选：ACD.9．（24-25高二下·湖北·期末）如图，在棱长均为2的平行六面体中，底面ABCD是正方形，且∠A1AB=∠A．BD1B．异面直线AC与BD1C．AD．【答案】ACD【分析】以AB,AD,AA1为一组基底，将BD1用基底表示，得【详解】由题意有：BD1=AB2+AC=AB+AD，所以AC=22，所以AC⋅B=−4+2×2×12+4−2×2×由AA1⋅故选：ACD.10．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）在平行六面体中，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=6A．AB．BC．AC,D．A【答案】ABD【分析】设，AD=b，AA1=c，将AC1用基底{a,b,c}表示并两边平方结合向量数量积即可求得，可判断A；将BD1,【详解】设，AD=b，AA1因为AB=AD=AA1=1所以a2=b对于A，AC12对于B，A1C=B=b2−对于C，AC=AB+AD=则AD1=对于D，−=−1故选：ABD.11．（24-25高二上·河南驻马店·期末）如图，点M，N分别是棱长为2的正四面体OABC的边OA和BC的中点，点P在线段MN上，且.则（

）A．OP=16C．OP⋅OA=2 D．向量OP在【答案】AC【分析】利用空间向量线性运算判断A；利用空间向量数量积的运算性质求解判断B，C；根据投影的定义求解判断D；【详解】对A：由题意MP=2PN，所以OP=对B：因为OP=1所以OP=对C：OP⋅对D：向量OP在方向上的投影数量为OP⋅OA故选：AC.12．（24-25高二上·河南新乡·期末）如图，在平行六面体中，AA1=AD=AB=1,∠A1AD=∠A．DMB．CMC．CD．CM【答案】ACD【分析】根据空间向量线性运算判断A、B，根据数量积的定义及运算律判断C、D.【详解】依题意可得AD⋅同理CC1⋅连接DB，则DM=CM=CM=−1故选：ACD.三、填空题13．（24-25高二上·云南楚雄·期末）在平行六面体中，AA1=AD=AB=1，∠A1AD=∠A1AB=∠BAD=6【答案】−14【分析】由向量的加减运算及数量积的运算可得CM⋅【详解】在平行六面体中，AA1=AD=AB=1，AA1⋅AB=CM=所以CM⋅故答案为：−14．（24-25高二上·重庆长寿·期末）如图，在三棱锥P−ABC中，N为BC的中点，M为PA的中点，设，则用a,b,c表示MN

【答案】1【分析】运用向量的运算法则，结合几何图形表示即可.【详解】MN=MP+PC+CN，N为MN=整理得到MN=−故答案为：1215．（24-25高二上·江苏苏州·期末）如图，已知M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，MN=12ON，AP=34AN【答案】34/【分析】利用空间向量的线性运算用基底向量表示OP后可求系数和.【详解】ON=13故答案为：3416．（24-25高二上·上海·期末）如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，M、N分别是BB1、AC的中点，设，AC

【答案】a【分析】利用空间向量的线性运算即可求解.【详解】因为三棱柱ABC−A1B1C1中，M、且，AC=b，A所以NM==−故答案为：a−17．（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）如图，在四棱柱中，底面ABCD是平行四边形，点E为BD的中点，若A1E=xAA【答案】0【分析】根据向量的运算法则利用A1A,AB,【详解】在四棱柱中，底面ABCD是平行四边形，点E为BD的中点，所以A又A所以即x+y+z=0.故答案为：0.18．（24-25高二上·山东·阶段练习）在平行六面体中，AA1=a，，，点P在A1C上，且，用，，表示AP，则AP=．【答案】【分析】利用向量的三角形法则和平行四边形法则即可求得结果.【详解】在平行六面体中，点P在A1C上，且，所以，∴故答案为：四、解答题19．（25-26高二上·全国·课后作业）四棱柱ABCD−A'B'C'D'的六个面都是平行四边形，点M在对角线A'(1)设向量，AD=b，AA'=c，用、、表示向量D'(2)求证：M、N、D'【答案】(1)D'M(2)证明见解析【分析】（1）借助空间向量的线性运算计算即可得；（2）借助向量共线定理证明MN∥MD【详解】（1）因为A'M=所以D'又因为A'N=所以D=1（2）因为MN=1MD所以MN=所以MN与MD因为这两个向量有公共点M，所以M、N、D'20．（24-25高二上·上海金山·期末）如图，在空间四边形OABC中，点D为BC的中点，AE=13(1)试用向量a,b,(2)若OA=OB=OC=2,∠AOC=∠BOC=∠AOB=90∘，求【答案】(1)OD(2)2【分析】（1）利用平行四边形法则与三角形法则即可求得结果.（2）利用三角形法则得OE=23【详解】（1）OD=AD=（2）因为OA=OC=2,OB=2,∠所以a,所以a⋅OE=所以OE=21．（2025高二·全国·专题练习