专题02 频率与概率+随机事件的独立性（高效培优专项训练）数学沪教版2020必修第三册（解析版）

2/37专题02频率与概率+随机事件的独立性题型一：计算频率题型二：辨析频率与概率的关系题型三：用频率估计概率题型四：独立事件的判断题型五：独立事件与互斥事件题型六：独立事件的乘法公式题型七：独立事件的实际应用题型一：计算频率1．在一次抛硬币的试验中，同学甲用一枚质地均匀的硬币做了次试验，发现正面朝上出现了次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为【答案】；/；.【分析】根据频率的计算方法求频率，根据概率的概念得概率.【详解】正面向上的频率为：；因为硬币质地均匀，所以正面向上的概率为：.故答案为：；.2．在一次掷硬币试验中，掷100次，其中有48次正面朝上，设反面朝上为事件A，则事件A出现的频率为．【答案】/【分析】先由题意得反面朝上次数，则反面朝上占掷100次的比值即为所求频率.【详解】由题意可得反面朝上次数为，所以设反面朝上为事件A，则事件A出现的频率为.故答案为：.3．抛掷一枚图钉次，出现次“钉尖朝上”，则出现“钉尖朝上”的频率是．【答案】/【分析】由频率计算公式计算即可.【详解】由题意，出现“钉尖朝上”的频率是.故答案为：.4．某同学进行了15局的赛车游戏，其中10局取得胜利，则取得胜利的频率是．【答案】【分析】根据频率公式即可求解.【详解】取得胜利的频率是，故答案为：5．一家药物公司试验一种新药，在1000个病人中试验，其中857人有明显疗效，80人有疗效但疗效一般，剩余的人无疗效，则没有明显疗效的频率（经验概率）是.【答案】0.143/【分析】根据频率计算公式即可求解.【详解】没有明显疗效的频率（经验概率）是，故答案为：0.143题型二：辨析频率与概率的关系6．下列三个命题：①任何事件的概率均满足；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此出现正面的概率是；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率.其中正确的有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】A【分析】利用频率估算概率，命题与定理，由题意对给出的各个选项进行逐一判定并分析即可.【详解】任何事件的概率均满足为假命题，因为必然事件的概率，故①错误；做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此出现正面的概率是为假命题，因为是出现正面的频率，故②错误；随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率为假命题，因为大量重复试验，随机事件频率的稳定值才可以作为概率的估计值，故③错误.因此正确的说法是0个，故选：A.7．下列说法一定正确的是（

）A．一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三投都不中的情况B．随机事件发生的概率与试验次数无关C．若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元D．一个骰子掷一次得到2的概率是，则掷6次一定会出现一次2【答案】B【分析】根据频率与概率的关系得到ACD错误，B正确.【详解】A选项，一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，也可能出现三投都不中的情况，A错误；B选项，随机事件发生的概率是一个固定的值，与试验次数无关，B正确；C选项，若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票不一定会中奖一元，C错误；D选项，一个骰子掷一次得到2的概率是，掷6次出现2的次数不确定，可能是1次，也可能是2次或者其他次数，D错误.故选：B8．下列说法中正确的是（

）A．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率B．在次随机试验中，一个随机事件发生的频率具有确定性C．随着试验次数的增大，一个随机事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率D．在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于1【答案】C【分析】根据已知条件，结合频率，概率的定义，即可判断.【详解】频率与概率不是同一个概念，故A错误；在次随机试验中，一个随机事件发生的频率具有随机性，故B错误；随着试验次数的增大，一个随机事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率，故C正确；在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和一定等于1，故D错误．故选：C．9．气象台预报“本市明天中心城区的降雨概率为30%，郊区的降雨概率为70%.”基于这些信息，关于明天降雨情况的描述最为准确的是（

）A．整个城市明天的平均降雨概率为50%B．明天如果住在郊区不带伞出门将很可能淋雨C．只有郊区可能出现降雨，而中心城区将不会有降雨D．如果明天降雨，郊区的降雨量一定比中心城区多【答案】B【分析】由概率的定义即可逐一判断各个选项.【详解】对于A，中心城区面积和郊区面积不一定相同，故整个城市明天的平均降雨概率不一定为50%，故A错误；对于B，明天郊区的降雨概率比中心城区的降雨概率大，故B正确；对于C，不管郊区还是中心城区都可能会出现降雨，故C错误；对于D，降雨量并不取决于降雨概率，反而是降雨时长以及有效覆盖面积（即下雨的区域在该所参考区域的面积）会影响降雨量，故D错误.故选：B.10．下列说法正确的是（

）A．一个人打靶，打了10发子弹，有7发子弹中靶，因此这个人中靶的概率是B．一个同学做掷硬币试验，掷了6次，一定有3次正面向上C．某地发行彩票，其回报率为47%，有人花了100元钱买彩票，一定会有47元的回报D．大量试验后，可以用频率近似估计概率【答案】D【分析】利用概率的定义和估计方法逐个选项分析求解即可.【详解】对于A，可得中靶的结果是频率，不是概率；故错误，对于B，C，太过绝对，故错误，对于D，符合概率的估算方法，故正确．故选：D.题型三：用频率估计概率11．我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1521石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得252粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（

）A．133石 B．159石 C．163石 D．169石【答案】D【分析】根据抽取样本中米夹谷的比例，得到整体米夹谷的频率，从而求得结果.【详解】因为252粒内夹谷28粒，所以米内夹谷的频率为：.所以这批米内夹谷约为：石.故选：D12．从某自动包装机包装的奶粉中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：）：492496494495498497501502504496497503506508507492496500501499用频率估计概率，该包装机包装的袋装奶粉质量在之间的概率约为（

）A．0.1 B．0.15 C．0.25 D．0.5【答案】C【分析】找出满足条件的数据，计算出数据在之间的频率，用频率估计概率，可得结果.【详解】在所给的数据中，在之间的数据有498,501,500,501,499共5个，所以数据在之间的频率为：.用频率估计概率，则所求概率为.故选：C13．在调查运动员是否服用过兴奋剂的时候，给出两个问题作答，无关紧要的问题是：“你的身份证号码的尾数是奇数吗？”敏感的问题是：“你服用过兴奋剂吗？”然后要求被调查的运动员掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则回答第二个问题．由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道，所以应答者一般乐意如实地回答问题．如我们把这种方法用于300个被调查的运动员，得到80个“是”的回答，则这群人中服用过兴奋剂的百分率大约为（

）A．4.33% B．3.33% C．3.44% D．4.44%【答案】B【分析】推理出回答第一个问题的150人中大约有一半人，即75人回答了“是”，故回答服用过兴奋剂的人有5人，从而得到答案.【详解】因为抛硬币出现正面朝上的概率为，大约有150人回答第一个问题，又身份证号码的尾数是奇数或偶数是等可能的，在回答第一个问题的150人中大约有一半人，即75人回答了“是”，共有80个“是”的回答，故回答服用过兴奋剂的人有5人，因此我们估计这群人中，服用过兴奋剂的百分率大约为3.33%.故选：B14．某地区的公共卫生部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行调查.调查中使用了两个问题.问题1：你父亲的公历出生月份是不是奇数？问题2：你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的密封袋子，每个被调查者随机地从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做.若最终盒子中的小石子为56个，则该地区中学生吸烟人数的比例约为（

）A．2% B．3% C．6% D．8%【答案】C【分析】由概率得出这100个回答第一个问题的学生中，约有50人回答了“是”，结合题设条件，估计第二个问题有人回答了“是”，从而得出所占比例.【详解】因为一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子中，随机摸出1个球，摸到白球和红球的概率都为，因此，这200人中，回答了第一个问题的有100人，而一年12个月中，奇数的占一半，所以对第一个问题回答“是”的概率为所以这100个回答第一个问题的学生中，约有50人回答了“是”，从而可以估计，在回答第二个问题的100人中，约有人回答了“是”，所以可以估计出该地区中学生吸烟人数的百分比为．故选：C15．为了解某地区九年级男生的身高情况，随机选取了该地区100名九年级男生进行测量，他们的身高x（cm）统计如下表：组别

人数1343368根据上表，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高高于170cm的概率是．【答案】0.44/【分析】由频率估计概率，得出所求概率.【详解】因为身高高于170cm的频率为，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高高于170cm的概率是0.44.故答案为：0.44题型四：独立事件的判断16．下面所给出的两个事件与相互独立吗?(1)抛掷一枚骰子，事件“出现1点”，事件“出现2点”；(2)先后抛掷两枚质地均匀的硬币，事件“第一枚出现正面”，事件“第二枚出现反面”；(3)在装有2红1绿三个除颜色外完全相同的小球的口袋中，任取一个小球，观察颜色后放回袋中，事件“第一次取到绿球”，“第二次取到绿球”．【答案】(1)不是相互独立事件(2)相互独立(3)相互独立【分析】（1）（2）（3）根据相互独立事件的定义判断即可.【详解】（1）因为，又事件发生，事件就不会发生，即，所以与不是相互独立事件．（2）掷两枚质地均匀的硬币的可能结果为：正正、正反、反正、反反，所以，又，所以，所以与相互独立．（3）因为，且，所以，所以与相互独立．或（由于每次取球观察颜色后放回，故事件的发生对事件发生的概率没有影响，所以与相互独立．）17．一个袋子中有大小和质地相同的3个球，其中有2个黑色球（标号为1和2），一个白色球（标号为3），从袋中有放回地依次随机摸出2个球．设事件“第一次摸到白色球”，事件“两次摸到的球颜色不同”．(1)用集合的形式写出试验的样本空间，并求；(2)求，并说明事件与是否相互独立．【答案】(1)，，；(2)，事件与事件不独立．【分析】（1）根据事件的定义列出样本空间，由此结合古典概型概率计算公式即可求解；（2）首先由古典概型概率计算公式求得，然后验证是否相等即可.【详解】（1）试验的样本空间，共9个基本事件，而事件包含的基本事件有，则，事件包含的基本事件有，，所以．（2）因为事件与同时发生的基本事件有，所以，又因为，所以事件与事件不独立．18．（1）骰子是每一面上分别标注数字圆点1，2，3，4，5，6且质地均匀的小正方体，常被用来做等可能性试验，习惯上总是观察朝上的面和点数，请写出下列随机试验的样本空间；①单次掷一颗骰子，观察点数；②先后掷两颗骰子，观察点数之和为7且第二次点数大于第一次点数的可能结果；（2）掷一颗骰子，用分别表示事件“结果是偶数”与事件“结果不小于3”.请验证这两个随机事件是否独立，并请说明理由.【答案】（1）；②；（2）相互独立，理由见解析【分析】（1）列举法即可求解，（2）根据乘法公式验证即可判定是否独立.【详解】（1）①；②.（2），，则事件是相互独立的.19．掷黑、白两枚质地均匀的骰子，(1)写出事件A：“点数都是偶数”所对应的子集并求其概率；(2)验证事件“点数和为7”与事件“白色骰子的点数为1”是独立的．【答案】(1)，(2)证明见解析【分析】（1）列举出所有事件数和满足题意的事件数即可；（2）根据独立事件的判定方法分别计算即可.【详解】（1）抛掷两枚质地均匀的骰子，基本事件共有个，两个点数都是偶数的基本事件有共9个，概率为．（2）设“点数和为7”为事件，“白色骰子的点数为1”为事件，满足事件的情况数有共6个，满足事件的情况数有共6个，同时满足事件的情况有，抛掷两枚质地均匀的骰子，基本事件共有个，则，，，所以，所以事件“点数和为7”与事件“白色骰子的点数为1”是独立的.20．掷质地均匀的一黑、一白两颗骰子，观察朝上的点数，A表示事件“两颗骰子的点数和为7”，B表示事件“白色骰子的点数是1”，C表示事件“两颗骰子中至少有一颗的点数是1”，分别验证事件A与事件B、事件A与事件C是否独立，请说明理由．【答案】事件A与事件B相互独立，事件A与事件C不相互独立【分析】（1）（2）掷黑、白两颗骰子，可得基本事件的总数为36．分别求解事件A,B,C,AB，AC包含的基本事件个数，利用古典概率计算公式可得,，验证,是否成立，即可得出结论．【详解】掷黑、白两颗骰子，可得基本事件的总数为．设为事件“两颗骰子的点数和为7”，为事件“白色骰子的点数是1”，则表示“白色骰子的点数是1且两颗骰子的点数和为7”，事件A包含的基本事件有（16）,（25）,（34）,（43）,（52）,（61）共有6个，事件B包含的基本事件有（61）,（51）,（41）,（31）,（21）,（11）共有6个，事件AB包含的基本事件有（61）共有1个，则，，，故，即事件A与事件B是独立的．（2）设为事件“两颗骰子的点数和为7”，C为事件“两颗骰子中至少有一颗的点数是1”，则AC表示“两颗骰子中至少有一颗的点数是1且两颗骰子的点数和为7”，事件C包含的基本事件有（61）,（51）,（41）,（31）,（21）,（11）,（16）,（15）,（14）,（13）,（12）共有11个，事件AC包含的基本事件有（16），（61）共有2个，则，，，而，故事件A与事件C是不是独立的．题型五：独立事件与互斥事件21．若事件A,B发生的概率都大于零,则A．如果A,B是互斥事件,那么A与是互斥事件B．如果A,B不是相互独立事件,那么它们一定是互斥事件C．如果A,B是相互独立事件,那么它们一定不是互斥事件D．如果是必然事件,那么它们一定是对立事件【答案】C【分析】根据互斥事件、相互独立事件、必然事件的知识分析选项，由此确定正确结论.【详解】当事件A,B的关系如图所示时,A与B互斥,但A与不互斥,A错误.A与B不相互独立时也未必是互斥事件,B错误.如果A与B相互独立,则,依题意得,因此,事件A与事件B一定能同时发生,故不是互斥事件,C正确.当事件A,B的关系如图所示时,是必然事件,但A,B不是对立事件,D错误.故选：C【点睛】本小题主要考查互斥事件、相互独立事件、必然事件，属于基础题.22．一袋中装有除颜色外完全相同的5个白球,3个黄球,从中有放回地摸球,用表示第一次摸得黄球,表示第二次摸得白球,则事件与A．是相互独立事件B．不是相互独立事件C．是互斥事件 D．是对立事件【答案】A【解析】根据抽取方式是有放回的，判断出事件与是相互独立事件.【详解】由于采用有放回地摸球,因此与相互独立,于是事件与是相互独立事件.故选：A【点睛】本小题主要考查有放回抽取，考查事件的独立性，属于基础题.23．先后抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A表示“第1枚正面向上”，事件B表示“第2枚反面向上”，事件C表示“恰有1枚正面向上”，事件D表示“两枚都正面向上”，则正确的有①A与B相互独立 ②A与C相互独立③A与D相互独立 ④B与D互斥【答案】①②④【分析】根据相互独立事件、互斥事件的定义一一分析结合列举法判定选项即可.【详解】先后抛掷两枚硬币出现的结果有：正正，正反，反正，反反四种情况，则事件A包含正正，正反两种情况；事件B包含正反，反反两种情况；事件C包含正反，反正两种情况；事件D包含正正一种情况；所以，显然，，，，即ABD正确.故选：①②④24．现有6个分别标有数字1，2，3，4，5，6的相同小球，从中有放回地随机抽取两次，每次取1个球，记事件甲：第一次取出的球的数字是3，事件乙：第二次取出的球的数字是6，事件丙：两次取出的球的数字之和是8，事件丁：两次取出的球的数字之差的绝对值是3，则正确的有①甲与丙相互独立 ②甲与丁相互独立③乙与丙相互对立 ④丙与丁互斥【答案】②④【分析】利用样本空间法，分别计算4个事件的概率，以及选项中两个事件同时发生是概率，再结合独立事件，互斥事件的定义，即可判断选项.【详解】，事件丙包含，共5个基本事件，所以，，所以，甲与丙不相互独立，故①错误；事件丁包含共6个基本事件，所以，，所以，甲与丙相互独立，故②正确；，，所以，乙与丙不相互独立，故③错误；事件丙和丁没有公共事件，不可能同时发生，所以丙和丁互斥，故④正确.故选：②④题型六：独立事件的乘法公式25．在双向飞碟比赛中，运动员在一个靶位上对一个飞碟最多可以进行两次射击，如果第一次命中，直接得分；若第一次未命中则进行第二次射击，命中也得分.已知某选手在某个靶位上第一次射击命中的概率为0.8，第二次射击命中的概率为0.6，则该选手在这个靶位上得分的概率为.【答案】0.92【分析】由互斥事件和相互独立事件的概率计算公式可得结果.【详解】该选手在这个靶位上得分包括第一次命中或第一次未命中且第二次命中，所以得分的概率为.故答案为：0.92.26．甲、乙两人参加某项活动，甲获奖的概率为0.6，乙获奖的概率为0.4，甲、乙两人同时获奖的概率为0.24，则甲、乙两人恰有一人获奖的概率为.【答案】0.52【分析】根据题意可知“甲获奖”与“乙获奖”两事件相互独立，由概率乘法公式和加法公式计算可得结果.【详解】记“甲获奖”为事件，“乙获奖”为事件，易知，且，显然，即可得事件与事件相互独立，因此甲、乙两人恰有一人获奖的概率为：.故答案为：0.52.27．甲、乙二人进行一场游戏比赛，且比赛中不存在平局，先赢三局者获胜，并可以获得800元奖金．已知甲、乙二人在每局比赛中获胜的可能性均相同．已知当甲连赢两局，乙一局未赢时，因某种特殊情况需要终止比赛．现将800元奖金按两人各自最终获胜的可能性的比例进行分配，则甲应该分得元．【答案】700【分析】由题意，如果比赛继续，乙要连赢三局才能获胜，根据二人在每局比赛中获胜的可能性相同，计算出他们最终获胜的概率，即可得甲应该分到的奖金数.【详解】由题意，如果比赛继续，乙需要连赢三局才能获胜，因甲、乙二人在每局比赛中获胜的可能性均相同，则乙连赢三局获胜的概率为，甲获胜的概率为，所以甲应该分得奖金的，乙应该分得奖金的，即甲应该分得元.故答案为：.28．甲、乙两名射手射击同一目标，且命中目标与否相互独立，已知甲、乙击中目标的概率分别为0.8和0.7，若他们各射击一次，则目标被击中的概率是.【答案】0.94【分析】由对立事件的概念和独立事件的乘法公式可得.【详解】记“甲、乙击中目标的事件”分别为A，B.则，两人都没有击中的概率，所以目标被击中的概率为.故答案为：0.94.29．甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，每射击一次，命中目标得2分，未命中目标得0分．若甲、乙两人射击的命中率分别为和，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为．假设甲、乙两人射击互不影响，则两人各射击一次得分之和不少于2的概率为．【答案】/【分析】先根据已知条件求乙的命中率，再通过求出得分之和不少于2的对立事件的概率，进而得到得分之和不少于2的概率.【详解】设“甲射击一次，命中目标”为事件，“乙射击一次，命中目标”为事件,则“甲射击一次，未命中目标”为事件，“乙射击一次，未命中目标”为事件,那么由已知条件可知，，，，甲、乙两人各射击一次得分之和为2有两种情形：甲命中，乙未命中；乙命中，甲未命中，即得分之和为2的概率为，依题意，得，解得，由两人各射击一次得分之和不少于2的对立事件是两人各射击一次得分之和为，两人各射击一次得分之和为的概率为，故两人各射击一次得分之和不少于2的概率为，故答案为：.题型七：独立事件的实际应用30．甲、乙两人独立破译一份密码，已知各人能破译的概率分别为，，两人都成功破译的概率为.【答案】【分析】利用独立事件的概率乘法公式即可得解.【详解】因为甲、乙两人