专题02 椎体（高效培优专项训练）数学沪教版2020必修第三册（解析版）

2/37专题02椎体题型一：棱锥的结构特征题型二：圆锥的结构特征题型三：棱锥的展开图题型四：棱锥中的截面问题题型五：圆锥中的截面有关的计算题型六：圆锥中的展开图和最短距离问题题型七：椎体的体积题型八：椎体的侧面积和表面积题型一：棱锥的结构特征1．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，则这些几何图形是（写出所有正确结论的序号）．①不是矩形的平行四边形；②有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；③每个面都是等边三角形的四面体（即正四面体）；④每个面都是直角三角形的四面体．【答案】②③④【分析】根据正方体的对称性分别举例即可判断．【详解】对①，∵正方体中任意两点的棱和其余2点的棱如果共面，则形成的必定是矩形，∴①错误；对②，如图四面体FBEG满足条件，∴②正确；对③，如图，四面体DBEG为正四面体满足条件，∴③正确；对④，如图，四面体HABD满足条件，∴④正确．故答案为：②③④．2．下列说法正确的是(填序号).①底面是正多边形的棱锥为正棱锥；②各侧棱都相等的棱锥为正棱锥；③各侧面都是等腰三角形的棱锥为正棱锥；④各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥；⑤底面是正多边形且各侧面全等的棱锥为正棱锥.【答案】⑤【分析】根据正棱锥的定义结合反例可判断各选项的正误，从而可得正确的选项.【详解】对于①，如果棱锥的顶点在底面上的射影不是正多边形的中心，则此棱锥不是正棱锥，故①错误.对于②，如图（1），棱锥的顶点是圆锥的顶点，而底面多边形是圆锥底面圆的内接非正多边形，此时棱锥满足各侧棱都相等，但不是正棱锥，故②错误.对于③④，如图（2），侧面都是等腰三角形，且它们全等，但该三棱锥不是正棱锥，故③④错误.对于⑤，因为底面是正多边形且各侧面全等的棱锥为正棱锥，故顶点底面上的射影为正多边形的中心，此时棱锥为正棱锥，故⑤正确.故答案为：⑤3．已知正方体有8个不同顶点，现任意选择其中4个不同顶点，然后将它们两两相连，可组成平面图形成空间几何体.在组成的空间几何体中，可以是下列空间几何体中的.（写出所有正确结论的编号）①每个面都是直角三角形的四面体；②每个面都是等边三角形的四面体；③每个面都是全等的直角三角形的四面体；④有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体.【答案】①②④【分析】画出正方体的图形，在几何体中找出满足结论的图形即可．【详解】解：①每个面都是直角三角形的四面体；如：E−ABC，所以①正确；②每个面都是等边三角形的四面体；如E−BGD，所以②正确；③每个面都是全等的直角三角形的四面体：这是不可能的，③错误；④有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体．如：A−BDE，所以④正确；故答案为：①②④．【点睛】本题考查命题的真假的判断，空间几何体的与三棱锥的关系，是基本知识的考查，易错题．4．从正方体的8个顶点中选取4个，连接成一个四面体，则这个四面体可能为：①每个面都是直角三角形，②每个面都是等边三角形，③有且只有一个面是直角三角形，④有且只有一个面是等边三角形，其中正确的说法有（写出所有正确结论的编号）【答案】①②④【分析】结合正方体找出满足结论的图形即得.【详解】在正方体中，四棱锥的每个面都是直角三角形，故命题①成立；四棱锥的每个面都是等边三角形，故命题②成立；不会有且只有一个面是直角三角形，命题③错误；四棱锥有且只有一个面是等边三角形，故命题④成立.故答案为：①②④.5．在三棱锥的四个面中，直角三角形最多可有个．【答案】4【详解】试题分析：如下图，已知三棱锥P-ABC，PA平面ABC，BCAB，则BCPB，PAAC，所以四个三角形均为直角三角形．对于其它一般的三棱锥中，直角三角形的个数就少于4个．考点：对多面体表面的多边形的研究．【方法点睛】对于一些常见的特殊的几何体应熟练的掌握其性质．例如：什么样的三棱锥中其四个面是四个直角三角形；‚正多面体有哪几种？ƒ正四面体的一些常用的结论；……．6．下面是关于三棱锥的四个命题：①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥．③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥．④侧棱与底面所成的角相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．其中，真命题的编号是（写出所有真命题的编号）【答案】①④【分析】根据正三棱锥的定义，结合二面角判断①的正误；侧棱与底面所成的角判断④的正误；找出反例否定②，找出反例对选项③否定.可得正确结论．【详解】对于①：底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．可推出底面中心等于是棱锥顶点在底面的射影.所以①是正确的；对于②：比如三条侧棱中仅有一条不与底面边长相等的情况，侧面都是等腰三角形的三棱锥但不是正三棱锥.所以②不正确；对于③：底面是等边三角形，侧面的面积都相等，说明顶点到底面三边的距离（斜高）相等，根据射影长的关系，可以得到顶点在底面的射影（垂足）到底面三边所在直线的距离也相等，由于在底面所在的平面内，到底面三边所在直线的距离相等的点有4个：内心（本题的中心）1个、旁心3个，因此不能保证三棱锥是正三棱锥．故③不正确；对于④：侧棱与底面所成的角相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．是正确的．故④正确.故答案为：①④题型二：圆锥的结构特征7．一个直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转形成的曲面所围成的几何体是（

）A．球体 B．圆柱 C．圆台 D．圆锥【答案】D【分析】根据圆锥定义可得结论.【详解】依题意可知一个直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转形成的曲面所围成的几何体是圆锥.故选：D8．下列命题：①一张正三角形的纸片可以围成一个无底的圆锥体；②一张扇形的纸片可以围成一个无底的圆锥体；③圆锥的所有过顶点的截面都是等腰三角形．其中正确命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．0【答案】B【分析】根据圆锥的结构特征注意进行判断即可.【详解】①一张正三角形的纸片可以围成一个无底的圆锥体；错误；②一张扇形的纸片可以围成一个无底的圆锥体；正确；③圆锥的所有过顶点的截面都是等腰三角形．正确，三角形的两腰是其母线.【点睛】本题考查了圆锥的结构特征，属于基础题．9．用一个平面去截一个几何体，截面的形状是三角形，那么这个几何体可能是．（填序号）①圆锥；②圆柱；③三棱锥；④正方体．【答案】①③④【分析】根据基本几何体的性质判断．【详解】圆锥的轴截面是三角形，圆柱的截面不可能是三角形，三棱锥的截面是三角形或四边形，正方体的截面有三角形、四边形、五边形或六边形，故答案为：①③④10．给出下列说法：（1）以直角三角形的一条边所在直线为轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；（2）以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；（3）经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形；（4）圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆的直径.其中正确说法的序号是.【答案】（2）（3）（4）【分析】根据圆锥的定义及几何特征，逐一分析即可得出答案.【详解】解：（1）不正确，因为当直角三角形绕斜边所在直线旋转得到的旋转体不是圆锥；（2）正确，以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；（3）正确，因为圆锥的母线长都相等，所以经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形；（4）正确，如图所示，圆锥侧面的母线长l有可能大于圆锥底面圆半径r的2倍（即直径）.题型三：棱锥的展开图11．如图，在正三棱锥中，，侧棱长为4，过点C的平面与侧棱AB，AD分别交于，，则的周长的最小值为（

）A． B．4 C． D．【答案】C【分析】根据题意，把正三棱锥侧面沿展开，利用，根据勾股定理求出即可得出结论.【详解】根据题意，把正三棱锥侧面沿展开，所以的周长为，在正三棱锥中，，侧棱长为4，所以，，，故选：C.12．如图，在正四棱锥中，，．从A拉一条细绳绕过侧棱PB，PC，PD回到A点，则细绳的最短长度为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】将侧面PAB，侧面PBC，侧面PCD，侧面PDA展开到一个平面内，求解三角形，即可求解.【详解】如图，将侧面PAB，侧面PBC，侧面PCD，侧面PDA展开到一个平面内．由题意可知，，设，则，所以，所以．由余弦定理可得，则，即细绳的最短长度为．故选：C.13．如图，在正三棱锥中，，三条侧棱两两夹角均为，，分别是，上的动点，则三角形的周长的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】沿展开，由平面图形结合余弦定理即可求解.【详解】把正三棱锥沿剪开并展开，形成三个全等的等腰三角形：、、，则，，连接，交于，交于，则线段就是的最小周长，又，根据余弦定理，.故选：A.14．在三棱锥中，底面为斜边的等腰直角三角形，顶点S在底面上的射影为的中点．若，为线段上的一个动点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】将展开到与共面，根据三角形三边关系可知，当且仅当三点共线时等号成立.根据题干条件，在中由余弦定理即可求解.【详解】如图，在三棱锥中，设点为线段的中点，连接.由题易知：，，平面.在中，，故，所以是边长为2的等边三角形.将展开到与共面，如图所示，则，当且仅当三点共线时等号成立，即取得最小值.在中，，，由余弦定理可得：，所以，即的最小值为.故选：A.15．如图，四棱锥截取自边长为1的正方体.其中平面且是线段上靠近的三等分点，是线段上最靠近B的四等分点，M，N分别是棱和上的动点且恒有，垂足为H，则的最小值为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据侧面展开图结合面积公式求出距离和的最小值.【详解】先把及展开在一个平面上，当过点做的垂线垂足为,，当三点共线时即得的最小值，因为是取自边长为1的正方体，易知，且面，面，所以，，，，在，等面积法得，因为是靠近的三等分点，所以，所以.故选：C.

16．《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体为鳖臑.如图，在鳖臑中，平面，，，，分别为棱上一点，则的最小值为.【答案】【分析】结合垂直关系可得侧面的展开图，由此可确定当，时，取得最小值；利用长度关系和两角和差公式可求得，进而得到最小值.【详解】平面，平面，，，，，平面，平面，又平面，；将侧面沿展开，得到展开图如下图所示，则当，时，取得最小值；，，，，，，，.故答案为：.题型四：棱锥中的截面问题17．在四棱锥中，，且，则（

）A．不存在平行四边形截面 B．存在唯一的平行四边形截面C．存在两个平行四边形截面 D．存在无穷多个平行四边形截面【答案】D【分析】根据四棱锥截面图形结合几何特征判断即可.【详解】如图，过的截面交平面于，则因为，平面，平面，所以平面，因为，且，则存在，所以为平行四边形，同时在四棱锥中，作底面的平行平面截四棱锥截面都是平行四边形，所以存在存在无穷多个平行四边形截面，即四棱锥中存在无穷多个平行四边形截面；故选：D.18．已知正四棱锥，其中，，平面过点A，且平面，则平面截正四棱锥的截面面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据线面垂直作出截面，然后利用余弦定理、三角形的面积公式等知识求得截面面积.【详解】依题意，在正四棱锥中，，且，所以，所以三角形是等边三角形，设是的中点，则，所以，且，设平面与分别相交于点，

则由得，，所以，故，所以，所以，在三角形中，由余弦定理得：，所以，所以结合正四棱锥对称性得，所以截面面积为.故选：A.19．在三棱锥中，，且平面，过点作截面分别交于点，且二面角的平面角为，则所得截面的面积最小值为（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】由二面角的定义可得，从而，设，由三角形的面积相等和基本不等式得到，再由三角形的面积公式即可求解.【详解】过作，垂足为，连接，则由三垂线定理可得，∴即为二面角的平面角，∴，，所以，设，则，在三角形中，，又，所以，所以，时等号成立，所以三角形的面积为，故截面PEF面积的最小值为.故选：B.20．已知正四面体的内切球的表面积为，过该四面体的一条棱以及球心的平面截正四面体，则所得截面的面积为．【答案】【分析】由内切球的表面积求出内切球的半径，过点A作平面BCD，连接BH并延长交CD于点E，且点E为CD中点，连接，记内切球球心为O，过O作，设正四面体边长为，然后结合正四面体的性质可求出，从而可求出截面的面积.【详解】解：由内切球的表面积，得内切球半径如图，过点A作平面BCD，则点H为等边的中心连接BH并延长交CD于点E，且点E为CD中点，连接，记内切球球心为O，过O作，设正四面体边长为，则，所以，又因为，所以，由，得，即，解得因为过棱AB和球心O，所以即为所求截面且.故答案为：【点睛】关键点点睛：此题考查正四面体与其外接球问题，考查球的表面积公式，解题的关键是根据正四面体的性质找出外接球的球心，考查空间想象能力和计算能力，属于中档题.21．一木块如图所示，所有棱长都等于，点为三角形的中心，过点将木块锯开，截面平行于直线和，则截面面积为．【答案】【分析】取的中点，连接，，过点作交、于点、，取、的三等分、（靠近、），连接、、，即可得到四边形即为所求截面，再证明平面，即可得到，从而求出截面面积.【详解】取的中点，连接，，则在上且，过点作交、于点、，则、为、的三等分点（靠近、），取、的三等分、（靠近、），连接、、，则且，且，且，且，所以且，且，所以四边形即为所求截面，又，，，平面，所以平面，又平面，所以，所以，所以四边形为矩形，所以截面面积为.故答案为：22．棱锥被一平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的高与体积时，相应的截面面积分别为，，则.【答案】【分析】根据给定条件，利用棱锥平行于底面的截面性质，把分别用底面面积表示即可得解.【详解】如图，平行于锥体底面的截面与锥体的高，棱分别交于点，显然平面平面，令截面面积为，锥体底面面积为有，且与方向相同，则，同理，于是∽，有，而，则，由比例的性质可得，此时，截得的锥体的体积与原锥体的体积有：，当截面平分棱锥的高时，，即，当截面平分棱锥的体积时，，则，所以.故答案为：.题型五：圆锥中的截面有关的计算23．已知圆锥的底面周长为，侧面积为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（

）A．2 B．48 C．50 D．96【答案】C【分析】由题可求圆锥底面半径和母线长，先求当截面过中心轴时，顶角为钝角，然后得出截面面积的最大值即可.【详解】设圆锥底面半径为，母线长为，则，当截面过中心轴时，所以，所以，由三角形面积公式得当时，截面面积最大，最大为.故选：C.24．某圆锥的侧面展开图是面积为，圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积为（

）A． B．3 C．4 D．【答案】A【分析】由题意先计算出母线长，再求出底面半径，从而可求出圆锥的高，进而可求出轴截面的面积.【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，因为圆锥的侧面展开图是面积为，圆心角为的扇形，所以，解得，因为，所以，得，所以圆锥的高为，所以圆锥的轴截面的面积是.故选：A.25．已知圆锥的高是1，母线长是2，用过圆锥的顶点的平面去截圆锥，则截面积的最大值为（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C【分析】求出圆锥的底面半径，假设截面与圆锥底面交于，用表示出截面三角形的高，得出截面三角形的面积关于的表达式，利用基本不等式求出面积的最大值．【详解】因为圆锥的高是，母线长是，则底面半径，设过圆锥顶点的平面SCD与圆锥底面交于CD，过底面中心O作OA⊥CD于E，设，则，，可得截面SCD的面积，当且仅当，即时等号成立，所以截面积的最大值为2.故选：C.26．已知圆锥的高为2，底面半径为，过圆锥任意两条母线所作的截面中，截面面积的最大值为（

）A．4 B．6 C． D．【答案】B【分析】先根据余弦定理计算圆锥的轴截面三角形顶角的余弦值，判断得出其为钝角，再根据三角形的面积公式可知，当截面顶角为直角时截面面积最大.【详解】如图，为母线，为底面圆心，其中为轴截面三角形，则，，则，则在中利用余弦定理可得，，则为钝角，设过圆锥任意两条母线所作的截面三角形的顶角，则，则截面三角形的面积为，则当，即时，截面三角形的面积最大，最大值为.故选：B27．已知半径为2的球O与某圆锥的底面和侧面均相切，且该圆锥的轴截面为等边三角形，则该圆锥的表面积为．【答案】【分析】根据圆锥的轴截面，应用边长关系及比例关系求边长，最后应用圆锥表面积公式计算求解.【详解】如图，是该圆锥的轴截面，H为线段AB的中点，O为球O的球心，作，垂足为C，则．因为为等边三角形，所以，所以，所以4，所以，所以，则该圆锥的表面积为．故答案为：.题型六：圆锥中的展开图和最短距离问题28．已知在圆锥SO中，底面圆O的直径，圆锥SO的体积为，点M在母线SB上，且，一只蚂蚁若从A点出发，沿圆锥侧面爬行到达M点，则它爬行的最短距离为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据体积公式得出，将圆锥沿母线展开，结合圆心角的大小，利用余弦定理求解即可.【详解】设圆锥的母线长为，底面的半径为，圆锥SO的体积为，解得.由勾股定理，可得母线，如图，圆锥的侧面展开图为扇形，因为扇形的弧长为，所以扇形的圆心角，所以，在中，由余弦定理是可得，所以，因为，所以蚂蚁爬行的最短距离为的长度，即蚂蚁爬行的最短距离为.故选：A.29．如图，AC为圆锥SO的底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，，，E为线段AB上的动点，当时，圆锥的体积等于【答案】/【分析】先将以为轴旋转到与共面，得到，结合，利用余弦定理求解得出，最后应用圆锥体积公式计算求解.【详解】由，所以，又因为，且，所以，所以，所以是等边三角形，将以为轴旋转到与共面，得到，，如图：则，设因为，。则，所以，所以，圆锥的体积等于.故答案为：.30．如图，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为3，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的高为；侧面积为．【答案】【分析】作出该圆锥的侧面展开图，该小虫爬行的最短路程为，由余弦定理求出．求出底面圆的半径r，从而求出这个圆锥的高，由此能求出这个圆锥的表面积．【详解】作出该圆锥的侧面展开图，如图所示：该小虫爬行的最短路程为，由余弦定理可得，．设底面圆的半径为r，则有，解得．∴这个圆锥的高为，这个圆锥的侧面积为．故答案为：；．31．圆台上底面半径为2cm，下底面半径为4cm，母线，A在上底面上，B在下底面上，从中点M拉一条绳子，绕圆台侧面一周到B点，则绳子最短距离为cm【答案】【分析】由题意需先画出圆台的侧面展开图，并还原成圆锥展开的扇形，则所求的最短距离是平面图形两点连线，根据条件求出扇形的圆心角以及半径长，再求出最短的距离．【详解】画出圆台的侧面展开图，并还原成圆锥展开的扇形，且设扇形的圆心为,由图得：所求的最短距离是，设，圆心角是，则由题意知，①，②，由①②解得，，∴，则．则绳子最短距离为cm．故答案为：．32．已知圆锥的母线长为4，底面直径，则一蚂蚁从点沿着侧面爬到点，爬行距离的最小值是.【答案】【分析】将其侧面展开，连接，则线段即为最短爬行距离，求出扇形半径和圆心角，由余弦定理求出答案.【详解】考虑圆锥前侧面的展开图，假设展开后对应的点为，如图，连接，则线段即为最短爬行距离，由题意可知圆锥的母线长，底面直径为，则，设，则，即，则，在中，．故答案为：.33．如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，是底面圆周上一点，从点出发绕侧面一周，再回到点的最短的路线长是.【答案】【分析】沿过点母线把圆锥侧面剪开摊平，得出圆锥侧面展开图，如图．线段的长就是所求最短距离．【详解】如图所示，在圆锥的侧面展开图中，的长就是所求最短距离.过点S作，则.因为为圆锥底面圆的周长，即，由弧长公式得，.所以，故答案为：．题型七：椎体的体积34．已知圆锥的底面周长为，高为5，则该圆锥的体积为.【答案】【分析】根据圆锥底面周长求出底面半径，再结合圆锥体积公式求出圆锥体积.【详解】已知圆锥底面周长，（其中为底面半径），解得，已知圆锥的高，由圆锥体积公式可得：.故答案为：35．如图所示，在正方体中，则四棱锥的体积与正方体体积的比为.【答案】【分析】令正方体棱长为，求出正方体的体积及四棱锥的体积即可判断.【详解】设正方体棱长为，则，.所以四棱锥的体积与正方体体积的比为.故答案为：.36．一个正三棱锥的高是3，底面的边长是2，这个正三棱锥的体积为【答案】【分析】首先求出正三棱锥的底面积，再结合已知的高，利用正三棱锥的体积公式计算出体积.【详解】因为正三棱锥的底面是正三角形，边长为2，所以三角形面积为.已知正三棱锥的高为3，所以这个正三棱锥的体积为.故答案为：.37．已知正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，则其体对角线的长为；若E为BC边上一点，则四棱锥的体积为．【答案】【分析】结合图形，借助于直角三角形可求的长，利用平面可将四棱锥的体积转化为四棱锥的体积，即可求得.【详解】如图，连接，在中，，；因，平面，平面，则平面，因E为BC边上一点，故四棱锥的体积即四棱锥的体积，而，即四棱锥的体积为.故答案为：；.38．如图，在直三棱柱中，E是的三等分点（靠近点A），D是的中点，则三棱锥的体积与三棱柱的体积之比是.

【答案】【分析】根据，求得，再根据三棱锥的换底性可得，由此可得答案.【详解】，E是的三等分点（靠近点A），是的中点，，，，又∵，，.三棱锥的体积与三棱柱的体积之比为.故答案为：.39．在三棱锥中，已知，且.已知棱的长为，则此棱锥的体积为.【答案】144【分析】先由角相等，得到边相等，得出三棱锥的四个面均为全等的等腰三角形，再利用这一特征求得各个边长，最后用体积公式求解.【详解】由，则，又则在三棱锥中，四个面均为全等的等腰三角形.则，如图，由对称性，取中点，作中截面，则,故，，由中点为，则，，平面，故平面，.所以，三棱锥的体积为144.故答案为：144.题型八：椎体的侧面积和表面积40．已知圆锥的母线长为其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为．【答案】【分析】根据侧面积公式解弧长公式计算求出底面半径，再应用圆锥的表面积公式计算求解.【详解