2023年新高考数学仿真演练综合能力测试（一）

2023年新高考数学仿真演练综合能力测试（一）

第I卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.若（l+i）2z=l-i,则Z在复平面内对应的点所在象限为（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【解析】因为（1+g=1,所以2=悬=M七%；）Wf

z在复平面内对应的点为,一£）,在第三象限.

故选：C

2.已知集合A={x|-2<x<2},8=则（）

A.{^|1<x<2}B.{x|l<x<2|

C.{x|-2<x<3}D.{x|-2<x<3}

【答案】B

【解析】因为8==={x[l<xK3},所以A「4={x|l<xv2}.

x-\

故选:B

3./（x）是定义在R上的函数，；为奇函数，则〃2023）+〃—2022）=（）

A.-1B.C.\D.1

【答案】A

【解析】“X）是定义在R上的函数；为奇函数，则

X乙）乙

\}J40451)

Af(2023)+/(-2022)=/号+一+/+

2)r-ij

故选:A

4.已知椭圆的两个焦点为£（-有,0）,E（AO）,M是椭圆上一点，若"K_LM鸟，q=8,则该椭

圆的方程是（）

A.—+^-=1B.—+^-=1C.—+^-=1D.—+^-=1

72279449

【答案】C

【解析】设=眼段=〃，因为周=8,出闾=2石，所以4+〃2=20,〃加=8,

所以（切十〃）'十〃‘+2〃"1=36,所以〃叶〃=2。=6,所以a=3.因为。=J5,所以［=J"_:2=2.所

以椭圆的方程是《+£=1.

94

故选:C

5.已知函数/（幻=385,-仁），函数g（x）的图象由/⑴图象向右平移;个单位得到，则下列关于函数g（x）

的图象说法正确的是（）

A.关于），轴对称B.关于原点对称

C.关于直线工=?对称D.关于点（空，。］对称

3\36>

【答案】D

【解析】因为g（x）=3cos3（x—小一丁=3cos（3x—当），所以g（O）H0,且g（0）工±3,所以函数是非奇

_4）6」I1-）

非偶函数，故A,B项错误；

因为8仁）=33,9詈）=3cosj既不是g（x）的最大值也不是最小值，所以不是g（©的对称轴，

故C项错误：

因为g俘）=3cos（3x券-普］=3cosJ［］=（）,所以俘,（）］是g⑴的一个对称中心,故D项正确.

故选:D.

6.木楔子在传统木工中运用广泛，它使得榨卯配合的牢度得到最大化满足，是一种简单的机械工具，是用

于填充器物的空隙使其牢固的木撅、木片等.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形/WCO是边长为2的

正方形，且均为正三角形，历〃8,防=4,则该木楔子的体积为（）

AB

8x/2

A.B.4x/2D.2V2

亍

【答案】A

【解析】如图，分别过点A,8作环的垂线，垂足分别为G,〃，连接DG,C〃,

易得EG=HF=1,AG=GD=BH=HC=G.

取人。的中点O,连接GO,易得GO=&，

,,SADG=SBCH=—xA/2x2=>/2.

2

*,•多面体的体积V=%极iftE-ADG+"三极锥F-8C"+咚极柱AGO-8//C=+咚枝拄A8-8HC

=-x-72x1x2+x/2x2=^21,

33

故选：A.

7.在平面直角坐标系中，已知点M（2,0）,N（-1,0）,动点。（为y）满足|QM|=2|0V|,过点（-3,1）的直线

与动点。的轨迹交于A,B两点,记点。的轨迹的对称中心为C,则当/5C面积取最大值时，直线A8的

方程是（）

A.y=x+4B.y=-x+4

C.y=2x+4D.y=-2x+4

【答案】A

【解析】设Q（x，.V）,由|QM|=2|QV|得J（x-21+），2=2必+1尸-）尸,

化简得。的轨迹方程为（x+2尸+尸=4,所以点C（—2,0）,

设点C到A8的距离•为d,贝“A却=2"—1,

所以一的血积5=\卜臼,。/=、/4-42-6/44-，；+1=2,

等号成立时4=夜，即ABC面积最大时，点2,0）到直线的距离为&,

故直线AB不垂直于x轴，设直线43方程为y-l=M"+3）,

即"一），+34+1=0,则"二血,

4二十1

解得攵=1,所以直线A8方程为），=X+4.

故选：A

7

8.在中，cos4=—,.ABC的内切圆的面积为164，则边3C长度的最小值为（）

A.16B.24C.25D.36

【答案】A

【解析】因为58C的内切圆的面积为16万，所以的内切圆半径为4.设，A8C内角A,13,C所对

72424I

的边分别为“，b,c.因为cosA=石，所以sinA=w，所以tanA=>y.因为S。伙.=]〃csinA=

—(IY+Z?+C)X4,所以Z?c=W(a+b+c).设内切圆与边AC切于点。，由tanA=*可求得tan2=3=/一,

26724AD

则AO弋.又因为AD=也三所以力+.¥+〃.所以戾=%¥+2/=当与+,1.又因为

3236V3；3^3）

"院2病，所以苧+〃之2口停二）即既+,%号净4，整理得/_12〃一6420.因为"0,

4（）

所以4216,当且仅当〃=c=*时，〃取得最小值.

故选：A.

二选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部

选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。

9.下列说法正确的是（）

A.数据1,3,5,7,9,11,13的第60百分位数为9

B.已知随机变量J服从二项分布：设〃=2^+1,则〃的方差。①）二9

C.用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是5

D.若样本数据七,x”•，七的平均数为2,则32+2,3超+2-，3%+2的平均数为8

【答案】AD

【解析】对于A,共有7个数据，而7x60%=4.2,故第60百分位数为9,A正确：

333

对于B,易知。«）二8、:乂（1一二）=受而〃=2J+1,所以。（〃）=22xOe）=6,B错误；

442

对于C,由古典概型可知：从51个体中抽取2个个体，每个个体被抽到的概率都是。，C错误：

J1

对于D,若样本数据百，孙…,乙的平均数为2,则3石+2,3叫+2「・.,35+2的平均数为3><2+2=8,D正确.

故选：AD

10.已知公差不为0的等差数列｛4｝的前〃项和为S“，若%=$7,下列说法正确的是（）

A.4=0B.%=0C.%=S、6D.\>Sl0

【答案】BC

【解析】在等差数列｛q｝中，因为%=转，所以%=又巧产2=12^争=17%,则6=0,故B正确;

因为公差4工0,所以%=a)-〃=-dH。，故A错误；

因为4=0,所以q+8d=0即4=-8d,

所以Sw=l6q+16：154=]6%

=-8d=%,故C正确;

乙

因为WO-SR=4+4<)=6。=q+9d=-8d+9d=d,且d未知正负，故D错误;

故选:BC.

11.在正方体ABC。—AMCQ中，AB=\,点P满足"=/lCQ+〃CG,其中4«0,1],则下列结

论正确的是()

A.当40//平面ABO时，4P不可能垂直CR

B.若与平面CG。。所成角为:，则点P的轨迹长度为:

C.当4=1时，正方体经过点4、匕C•的截面面积的取值范围为[迈，V2J

4

D.当4=〃时，|/)P|+|AP|的最小值为亚+&

【答案】BD

【解析】对A,建立.如图所示的空间直角坐标系八一邙，

xyBC

则4(0,0。),5(1,0,0),0(0,1,0),C(1,1,0),A(0,0,1),C,(1,1,1),D((0,1,1),

所以CD、=(-1,0,1),BlP=BiC+CP=BlC+ACD+//CC,=(一ZL4-1),

则M=(-1,0.1),BD=(-1,1,O),设平面A^D的一个法向量为〃=(.%y,z),

所以《仆，令x=i,则y=z=i,即平面A&)的一个法向量为〃若qp〃平面A8Q,

BD,〃=-X+y=0

则小4P=0,BP2=//,

由4PC〃=/l+〃—l=(),则2=〃=g,即Q为CA中点时，有8/〃平面A8O,且B/ICR,A错；

对B,因为8GJ■平面CGR。，连接C7,则NB/G即为4P与平面CCQQ所成角,

若4尸与平面CCQQ所成用为?则lanN用产6=骞=1，所以G尸=MG=I,

即点P的轨迹是以G为圆心，以I为半径的;个圆,于是点尸的轨迹长度呜，B对;

对C,因为4=1,所以点P一定在。。I-.,又因为当〃=0或1时，△PAC的面积取最大值，此时截面面枳

为拉，

设口。的中点为“，由图形的变化可得当点P在。"和运动时，所得截面对称相同，于是当〃=g时，

△户AC的面积取最小值四，此时截面面积为迈，c错；

42

对D,如图，将平面CD"与平面A8C.沿CR展成平面图形,

线段4。即为IOPI+IAPI的最小值，

利用余弦定理可知\D2=+DD：-2AA•DRcos,=2+、％

所以AD=g&，D对.

故选:BD

12.当1〈玉<勺时，不等式与d<0成立.若〃>e">e,则()

A.3>5B.<bec

C.aeh<b\naD.ab>Q1'Inb

【答案】AD

【解析】当1〈芭<与时，不等式工，炉-用小<0。乙<£-,令/(工)=^»>1,则/。)在(1,也)上单调递

内x2X

增，

因力〉e>l,则/(Z?)>/(e)<=>—>—<=>e//>bec~',A正确；

be

Ac«

因3>e">l,则/S)>/(e")o*>%u>e$>〃eL,B不正确；

由e”>e知，a>\,Wf(a)>/(l)<=>—>e>l<=>ea>«,WOa>\na<=><1,

由选项A知，—>I,即生凹o〃e">〃lna,C不正确；

bba

e"e"

由1>e">e得,lnZ?>«>1,则/(In〃)>/(")<=>>—<=>ah>c"\nb,D正确.

\nba

故选：AD

第n卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

3如图,四边形横。是边长为4的正方形，若。E=；。。，且F为火的中点，则以.“二一

【答案】5

【解析】以4为坐标原点，以A8，AO所在的直线分别为x轴，）'釉建立如图所示的平面直角坐标系,

则E4=（T-4）,EF=（3,-2）,

所以函.£户=-lx3+（T）x（-2）=5.

故答案为：5.

14.若仁-的展开式中常数项为70,贝必=______.

IX八X）

【答案】-1

【解析】卜+—j展开式的通项公式为Ul=G针=a/2『，

当7-2/*=1时,r=3,d・C；=-35A；

当7—2/=-1时，〃=4,C”351

所以常数项为-35左+35=70,解得左=7.

故答案为：-1

15.双曲线C:£-/=］（〃>0）的离心率为半，尸是。的下焦点，若。为C上支上的动点，设点尸到C

的一条渐近线的距离为d,则〃+|叩|的最小值为.

【答案】7

【解析】由已知可得，包上1=叵，解得。=3卜/>0）,

a3

则双曲线方程为*-9=1，*。，-丽），双曲线的渐近线方程为二琢，

如图，由双曲线的定义得：|P尸卜|」周二6,则d+|PF|=|P周+"6,

l-Viol

%到直线3x-y=0的距离为力=干----三=1,

"-if

.•・"中耳=俨国+4+62/7+6=7,即"+归产|的最小值为7.

故答案为:7.

16.正实数"，〃满足C“M=〃+4，ln(H3)=〃，则〃一。的值为.

【答案】I

【解析】解法一：由­=4+4,得ln(a+4)=a+l,又因为加(8+3)=〃，

所以〃，。+1是方程ln(x+3)=x的两个解，

设函数/(x)=ln(x+3)-x(x>。)•r(x)=—=:<0.

x+3x+3

所以函数/'(%)在(0,也)上单调递减，

X/(0)=ln3>0,/(e3-3)=lne3-(e3-3)=6-e3<0,

则函数〃力在(0,+司上只有一个零点，即方程ln(x+3)=x只有一个解，

所以Z?=a+1,Ab-a=\.

ln(M

解法二:因为e"〜=4,所以eM_(a+l)―3=0,力一ln(b+3)=0,gpe-ln(/>+3)-3=0,

设函数/(x)=e、-x—3a>0),当x>0时，r(x)=e-I>0,所以函数/(x)在(0,+司上单调递增,

Vd+l>0,in(/?+3)>0,/./(d+l)=/[ln(Z?+3)],

；・4+1=ln(h+3),e"“=b+3，«*•b—a=e<l+[-3—«=4-3=1.

故答案为：L

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

17.(10分)

3(sin/?-sinA)3c-2a

记△ABC的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,已知

sinCb+a

⑴求cosB.

（2）若点。在边4c上，且AO=2OCBD=」）,求巴.

3c

3(b-a)3c-2a

【解析】（1）据已知条件及正弦定理得

h+a

9

整理得〃2=/+/—

3

2

又据余弦定理82=/+c2-2accosB,则有一=一2〃ccos8,因为ac〉O

则cosB=L

3

(2)因为AO=2£)C,

所以BD=8A+AO=BA+—AC=BA+—(8C—8A)=—B4+—8C,

3333

故(8。)2=6姑+知C),

即„=||BA|2+^A||BC|COSB+^|BC|2

r-r-.I401,4147

所以一Zr=-c~+-cax-+-a-,

99939

整理得//二［/+'〃+/

43

2।j

故/+c2--ac=—c2+-ca+a2,

343

化解得3c2—4ac=0,因为c>0.

故3c-4a=0,

则

c4

18.（12分）

2022年，为贯彻落实党的十九届六中全会、中央经济工作会议、中央农村工作会议、中央1号文件精神，

围绕巩固拓展脱贫攻坚成果、全面推进乡村振兴、加快农业农村现代化，国家继续加大支农投入，强化项

目统筹整合.某企业为合理规划价格，积极响应号召，将某农产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组

销售数据（4£）（/=1,2,3,4,5）,如下表所示：

试销单价X（元）34567

产品销量）’（件）201615126

（1）若变量x,y具有线性相关关系，求产品销量）’（件）关于试销单价x（元）的线性回归方程*=欣十机

（2）用y表示用（1）中所求的线性回归方程得到的与工对应的产品销量的估计值，当销售数据（七,男）对应的

残差的绝对值应-习>1时，则将销售数据（专》）称为一个“次数据”.现从5个销售数据中任取3个，求“次

数据“个数X的分布列和数学期望E（X）.

^x^-nxy__

（参考公式：线性回归方程中/；，&的最小二乘估计分别为三--------.a=y-bx)

•-I

…+5+6+7",-206.15126

【解析】（I）由已知得,=+I++=13X;

5

=313,=135,

i-li-l

gxj一，庆区

313-5x5x13.832「

所以。=三--------=----------；—=----=-3.2a=y_宸=13.8-(-3.2)X5=29.8,

力,2_加135-5x5，10

1=1

所以产品销量），（件）关于试销单价工（元）的线性回归方程夕--3.2入+29.8.

（2）当芭=3时，力=20.2；当±=4时，无=17；当/=5时，S­3=>3.8；当七=6时，>'4=10.6；当天=7时,

%=74；易知“次数据”有3个，则X的可能取值为1,2,3,

改="警得3=詈小尸-3）春4，

所以X的分布列为:

X123

331

p

io5W

33I9

所以E(X)=1X3+2X3+3X，=N

105105

19.(12分)

如图，在四棱锥P—A8c。中，底面A8CO是矩形且8c=夜八6,M为8c的中点，PALAD.PMLBD.

（1）证明：/%_1_平面/\86；

（2）若A4=2,PC与平面2AB所成的角为45。，求二面角A-PM-。的正弦值.

【解析】（1）因为在RiA6”和RiZxbCD中，

-WA'五，3/加=0=近，

tanZ/M；w=-=—nr?

AB2"C2

所以/84W=NC8D,

因为NC8D+ZAB£)=90。，ZBAM+ZABD=9(r,

所以AW_L80,

因为/W_L8O,AMp|PM=M,AM,PMu平面抬".

所以平面Q4M,

因为QAu平面EAM,

所以Q4_L8D,

因为抬_LA。，ADBD=D,AD4Ou平面A8C£),

所以PA_L平面ABC。.

(2)因为4?=2,

所以八。=2五，

因为PA_L平面ABC。，8Cu平面ABC。，

所以P4_L8C,

因为AB_Z8C,PAAB=A,24/^匚平面必⑶，

所以3cl平面以4,

所以NCPB为PC与平面秒历所成的角，

则/CP4=45。，

所以〃4=4C=2s/2,

由勾股定理知：PA=yJPB2-AB2=2，

可如图建立空间直角坐标系A-x),z,

所以5(2,0,0),D(0,2>/2,0),P(0,0,2),M(2,6o),

所以PM=(2,&,-2),OM=(2,-0,0),

由(1)知，平面RW的一个法向量为瓦)=(-2,20,0),

mPM=0

设平面PM。的一个法向量为m=U,y,z),则有

m-DM=0

2x+\/2y-2z=0

即<

2x->/2y=0

取x=l,得切=(1,&,2),

J2T

所以cos(用,B。)=i~~—1=——,

|m|-|BD|21

设二面角A-尸M-O的大小为。，

则仙府懵

20.（12分）

已知数列伍”｝对于任意的〃wN♦均有4+3的+5%++⑵1）％=〃⑵?-；（2〃+1）；数列低｝的前〃项和为

s”，且优+i=Sr+i，4=1.

（1）求数列｛4｝,｛〃｝的通项公式;

—a■〃为奇数

⑵令％"J.便渺，，为数列仁｝的前〃项和，且匕+2/-〃+10之曲恒成立，求义的最大值.

如〃为偶数

【解析】（1）因为%+3&+5%++（2〃-1）%=心二芈竺»①，

当〃=1时，4=1：

爪2时，q+35<+伽必」1）（2"芳一）②

①-②川得（2〃-1）4“=（2〃-1）2,

所以〃之2时=2〃-1.

经检验4=1,符合上式，所以％=2〃-1,〃cN*.

对于{〃,},由题意可得4=1,SH当〃=1,£=&-1=1,所以4=2,

〃22时，5„.|=”「1,则bn=Sn-Si=".I一b”,

即加=2勿（心2）,b产0,因为4=1,所以打=2*

所以｛包｝是首项为I，公比为2的等比数列，所以

-凡,〃为奇数

（2）由（1）可得c”=・

人,〃为偶数

所以=一(4+/+4++。2".|)+(〃2+d+4++4”)

=-(1+5+9++4/I-3)+(2+25+25++22"-1)

J1%—%妇-2+〃+把二

21-43

2x4”-2

贝匹“=-2〃2+〃+

3

2l

T2n+2n-n+10>Abn恒成立,等冷于空产+IO>2-T-,

/HAA.ZH2x4"+281日n/2x4"+28O日n-r

化简得3・2"T''即（3.2"，篇N4即可•

若/z/4o-U14¥I%4144X（22M+,-14）川

右4用一<,=§（2+即-2--）=-（2-诃）=­—>°，则〃之2,

即〃22时，数列｛4｝单调递增；又因为4=12,4=1。，所以（4）.=10，

即九410,可得4的最大值为10.

21.（12分）

已知中心在原点的椭圆J和抛物线「2有相同的焦点（1，。），椭圆「I的离心率为g，抛物线「2的顶点为原点.

⑴求椭圆「I和抛物线「2的方程;

（2）设点尸为抛物线口准线上的任意一点，过点产作抛物线匚的两条切线处,/少，其中A3为切点.设直线

PA,的斜率分别为尤，k2,求证：女生为定值.

【解析】⑴设椭圆「和抛物线「2的方程分别为。和

椭圆「I和抛物线「2有相同的焦点（1，。），椭圆「I的离心率为7，

••・椭圆的方程为《+£=1，抛物线「2的方程为V=4X.

43

（2）由题意知过点尸与抛物线》3=4X相切的直线斜率存在且不为（）