几何模型教学设计培优专题新定义阅读理解题教学设计

新定义阅读题

一、知识技能梳理

1、新定义的类型：一般分为三种类型：

(1)定义新运算；

(2)定义初、高中知-只衔接〃新知识〃；

(3)定义新概念

本节难点突破主要研究新概念。

2、解决定义新概念的关键：正确理解新定义概念的意义.

⑴理解“新定义”一一明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.

⑵重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”。归纳“举

例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.

(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.

3、利用的数学思想：

(1)转化的思想，把未知的问题转化为学过的知识。

(2)迁移的应用，对全新的概念，需要灵活的迁移运用。

(3)类比的思想。

二、学习过程

模块一：以函数为载体

例题1:在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为

“雁点”.例如(l/)°02L2°21)……都是“雁点，，.

4

y=—

(1)求函数X图象上的“雁点”坐标；

(2)若抛物线)'=〃、5x+c上有且只有一个“雁点，，E,该抛物线与x轴交于M

N两点(点M在点N的左侧).当时.

①求c的取值范围；②求NEMN的度数；

(1)如图，抛物线尸一9+21+3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，P

是抛物线kT'2X+3上一点，连接8P,以点P为直角顶点，构造等腰肋△8PC,

是否存在点P,使点C恰好为“雁点”？若存在，求出点P的坐标；若不存在,

请说明理由.

【答案】(1)(2,2)和(-2,-2)；(2)①0vc<4：②45。：(3)存在，P点坐标为悖?

或

屈3]或卜*，|、

Fa

4

【分析】（1）根据“雁点”的定义可得片x,再联立产一求出"雁点〃坐标即可；

X

4

（2）根据y=*+5x+c和），=*可得ad+4x+c=0,再利用根的判别式得到c=’,再求出

a的取值范围；将点c代入解析式求出点E的坐标，令尸0,求出M的坐标，过七点向x轴

作垂线，垂足为〃点，如图所示，根据七”二M"得出为等腰直角三角形，（3EMN的度

数即可求解；

（3）存在，根据图1,图2,图3进行分类讨论，设C（m,〃?），P（x,y）,根据三角形全

等得出边相等的关系，再逐步求解，代入解析式得出点P的坐标.

_4

【详解】解：（1）联立

.）'=x

解得二x=-2

或，

y=-2

即：函数y=士4上的雁点坐标为（2,2）和（-2,-2）.

x

y=x

（2）①联立•

y=ax2+5x+c

得adi4xi<?=O

a这样的雁点E只有一个，即该一元二次方程有两个相等的实根,

团A=42—4ac=0

团4>1

00<c<4

（2）将。二一代入，得，唠+4加——0

aa

解得寸］,0《一看用

对于y=ax?+5x+3,令y=0

a

有cue+5x+—=0

41

解得XM=----，XN=--

aa

0”卜小。)

过£点向x轴作垂线，垂足为”点,

2242

EH=-,MH=——(——)=-

aaaa

0EH=MH=-

0为等腰直角三角形，ZEMN=45。

(3)存在，理由如下:

如图所示：过户作直线/垂直于x轴于点％,过C作CH0PK于点，

设C(/〃，/〃)，P(x,y)

团团CP8为等腰三角形,

团PC=〃B,0CPB=90°,

酿K〃8+(3"PC=90°,

团团HPC+回”。。=90°,

^KPB^HCP,

团团，=用?KB=90°,

同回C7/P02PKB,

©CH=PK,HP=KB,

rn-x=y

即《

j7i-y=3-x

3

x=—

as2

3

v=w--

当X,7时，)，=(—/7+2q7+3吟15图1

0吗9

如图2所示，同理可得：^KCP^JPB

0KP=JB,KC=JP

设P(x,y),C(〃?，〃?)

^KP=x-m,KC=y-mfJB=y,JP=3-x,

即x-m=：y

y-m=3-x

3

x=m+—

解得q2

J

一口

令,/+21+3=]

解得寸嘤石子

团打印分或雇孝与

2222

/\

如图3所示，

兆RCP007P8

由RC=TP,RP=TB

设P（x,y）,C（〃?，tn）

即，y-m=3-x

x-m=y

3

x=/??+-

2

解得3

3

3

令+2x+3=-

2

解得x产生普此二邛

0此时P与第②种情况重合

综上所述，符合题意。的坐标为弓耳）或/

图3

邛心或（¥《）

2222

例题2、城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到

达目的地，只能按直角拐弯的方式行走.可以按照街道的垂直和平行方向建立平

面直角坐标系xOy,对两点A(xi，yj和B(x2，y2)，用以下方式定义两点间距离:

d(A,B)=|xj-x2|+|y1-y2|.

数学理解：

(1)①已知点A(-2,1),0为原点，则d(0,A)=.

②函数y=-2x4-4(0<x<2)的图象如图①所示，B是图象上一点，0为原点，

d(0,B)=3,则点B的坐标是.

(2)函数y=3(x>0)的图象如图②所，0为原点。求证：该函数的图象上不

X

存在点3使d(0,C)=3.

(3)函数y=x2-5x+7(x>0)的图象如图③所示，D是图象上一点，求d

(0,D)的最小值及本应的点D的坐标.

问题解决：

(4)某市要修建一条通往景观湖的道路,如图④，道路以M为起点，先沿MN

方向到某处,再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边,如何修建能使道路最短？(要

求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由)

(1)①由题意得：d(0,A)=|0+2|+|0-l|=2+l=3；

②设B(x,y),由定义两点间的距离可得：|0-x|+|0-y|=3,

0O<x<2,团x+y=3,

电累;L解得:x=l

y=2‘

0B(1,2),

故答案为：3,(1,2)；

(2)假设函数y=£(x>0)的图象上存在点C(x,y)使d(O,C)=3,

根据题意，得|%-0|+总一0|=3,

0x>0»0->0»|x—0|+|-—0|=

回x+±=3,0x2+4=3x,

X

0x2—3%+4=0,团4=/-4。。=-7vo,

团方程产一3x+4=0没有实数根，

田该函数的图象上不存在点C,使d(O,C)=3.

(3)设D(x,y),

根据题意得，d(0,D)=|X-0|+|X2-5X+7-0|=|x|+|x2-5x+7|,

0x2-5%+7=(x-1)+；>0，

又x>0,

0d(0,D)=|x|+\x2-5x4-7|=%4-x2-+7

=x2-4%+7=(x-2)2+3,

回当x=2时，d(0,D)有最小值3,此时点D的坐标是(2,1).

(4)如图，以M为原点，MN所在的直线为x轴建立平面直角坐标系xOy,

将函数y=-x的图象沿y轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时

停止，

设交点为E,过点E作EHE1MN,垂足为H,

修建方案是：先沿MN方向修建到H处，再沿HE方向修建到E处.

理由：设过点E的直线h与x轴相交于点F.

在景观湖边界所在曲线上任取一点P，过点P作直线12回I】，12与X轴相交于点G.

00EFH=45°,

0EH=HF,d(0,E)=OH+EH=OF,

同理d(0,P)=0G,

0OG>OF,

(3d(0,P)2d(0,E),

团上述方案修建的道路最短.

练习1:

定义：若一次函数y=a产力和反比例函数y=-£满足a-力=力-c,则称尸

x

为一次函数和反比例函数的“等差”函数.

⑴判断尸产6和尸-上是否存在“等差”函数？若存在，写出它们的“等差”

X

函数；

(2)若y=5产力和y=-£存在“等差”函数，且“等差”函数的图象与y=-士

xx

的图象的一个交点的横坐标为1,求反比例函数的表达式；

(3)若一次函数和反比例函数y=--(其中a、b、。为常数，且a>0,

X

c>0,a=jb)存在“等差”函数，且尸a产6与“等差”函数有两个交点力(0

%)、B5,%),试判断“等差”函数图象上是否存在一点尸(x,y)(其中均

<x<x>,使得的面积最大？若存在，求出点夕的坐标；若不存在，请说

明理由.

【分析】(1)假设存在，根据等差函数定义得出8=4,从而得出解析式；

(2)根据等差函数定义得出5+c=2〃，即c=2b-5,根据“等差”函数的图象与)，=-£的图

x

象的一个交点的横坐标为1，列出方程即可求得。，进而求得C,即可解决问题.

3

(3)存在，由题意〃=”，a+c=2b,推出〃=2c,a=3cf则一次函数解析式为y=3cx+2c,

"等差”函数解析式为_V=3CX2+2CA+C,即3x2-x-1=0,可得x/+*=；,x/%2=-；>|A/-X2|

=J(N+S)2—4XM2=半，再构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题.

⑴

存在，假设一次函数与反比例函数)，=-巳3存在"等差"函数，

x

贝!Ja=l,c=3,a+c=2hf

解得：b=2,

回存在“等差”函数，其解析式为)，=/+入+3：

(2)

根据题意知：。=5,5+c=2b,

团。=20-5,

则〃等差〃函数的解析式为y=5/+/M+2/2-5,反比例函数的解析式为y=--

x

y=5x2+bx+2b-5

根据题意，将％=1代入’2/7-5，

y=--------

得：5+3+2/?-5=-2/?+5,解得力=1,c=-3,

故一次函数的解析式为Y=5A+1,反比例函数的解析式为），=-

X

（3）

存在.

3

根据题意知：a+c=2b,

M=2c,a=3c,

则“等差”函数的解析式为y=3cx2+2cx+c,一次函数解析式为y=3cx+2c,

13y=3以+2c与“等差”函数y=3以2+2cx+c有两个交点A（x/f），/）、B（X2,）堂），

03CV2-ex-c=0,即3/-x-1=0,

11

0A7+X2=-,XfX2=~~.

33

2

0|,r/-X2\=yl(xl+x2)-4x^2=当3,

如图，过点尸(x,SCJ^+ZCX+C)作轴,交.AB于H,则H(x,3cx+2c),

八y

AdZ

▼人

团点P（x,y）（其中.盯V/V.x2),

团。点在A,4之间，

=-3CX2+CX+C,=-3c(/-^-X--)=-3f[(x-y)2-E],

BPH=3cx+2c-Oc^+Zcxfc）

33636

*「(一品尸一半(厂,一％

13S=；|力-X2卜尸〃=；x3C[XJ)2C[2

223

最大值为电叵c.

回当时，S取得最大值，

672

此时点P的坐标是（［，^c）.

练习2：

定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的

“等值点”.例如，点。，1）是函数的图象的“等值点”.

（1）分别判断函数），=1+2,〉，=/-1的图象上是否存在“等值点”？如果存在，

求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；

（2）设函数）=士。＞0）」=r+力的图象的“等值点”分别为点儿反过点〃作ACJ_x

x

轴，垂足为C当“IBC的面积为3时，求。的值；

（3）若函数）'=/一23之⑼的图象记为叱，将其沿直线行机翻折后的图象记为

吗.当心吗两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出"的取值范

围。

【详解】解：（1）同函数）=x+2,令），=x,则x+2=x,无解，

团函数产x+2没有“等值点”；

回函数y=f-x,令尸x,则f_x=x,即x（x-2）=0,

解得：X=2,x2=0,

团函数y=X的"等值点，，为（0,0）,（2,2）；

（2）团函数¥=?,令y=x,则/=3，

x

解得：工=75（鱼值已舍），

回函数的"等值点"为人（6，73）；

X

团函数）'=一”+人，令》=工，则x=-x+〃，

解得：K=g，

回函数y=T+力的"等值点〃为1）；

△A8C的面积为:BC・|x8fl=；•卧卜6=3,

即入2舟-24=0,

解得：〃=4>回或一26；

（3）将监沿x=/〃翻折后得到的函数图象记为W2.

同W/与1%两部分组成的函数W的图象关于1=，〃对称,

y=x2-2（x>m）

回函数W的解析式为，，

y=（2m-x）-2（x<m）

令y=x,则f-2=x,即.V2—X-2=0,

解得：x1=2,x,=-1,

团函数y=Y—2的"等值点”为（；，-1）,（2,2）；

令），=x,ijiij（2m-x）2-2=.v,即X’一（4〃?十l）x十4〃[-2=0,

当〃此2时，函数W的图象不存在恰有2个“等值点”的情况;

当-1<m<2时，观察图象，恰有2个“等值点”；

当"2<-1时,

矶心的图象上恰有2个“等值点”(；，-1),(2,2),

团函数W2没有“等值点”，

HA=[-(4/M+1)]2-4xlx(4m2-2)<0,

整理得：8"?+9<0,

解得：〃?<一.

O

9

综上，，〃的取值范围为〃?<-7或一

O

练习3、

我们规定：关于x的反比例函数尸山称为一次函数y=ax^b的“次生函数”，

x

关于X的二次函数-称为一次函数的"再生函数”.

⑴按此规定：一次函数p=x-3的“次生函数”为：—，“再生函数”为：—；

(2)若关于x的一次函数旷=广。的“再生函数”的顶点在x轴上，求顶点坐标;

(3)若一次函数y=a代。与其“次生函数”交于点(1,・2)、(4,・g)两点,

其“再生函数”与x轴交于46两点(点力在点6的左边)，与y轴交于点£

①若点〃(1,3),求/C如的正切值；

②若点£在直线矛=1上，且N。必=45°,求点少的坐标.

(1)

团一次函数y=工一3的4=1,b=-3,

回y=x-3的“次生函数〃为y=上再=二，

XX

y=x-3的“再生函数〃为y=ixx2+(-3)x-[l+(-3]=x2-3x+2,

2

故答案为)=——，＞'=x2-3x+2；

x

(2)

0y=A+/?的"再生函数"为：y=x2+bx-(\+b),

又13y=V+灰-(+力)的顶点在二轴上,

0A=Z?2-4x|x[-(l+/?)]=(),

回解得：4=&=一2,

回y=F-2.r+1=(x-I)2,

团顶点坐标为：(1,0)；

(3)

①3，=ar+方与其“次生函数〃的交点为：(1,-2)、(4,-；),

-2=a+b

团《1)」

——=4a+b

2

1

a=—

解得：2

b=--

2

同一次函数的解析式为尸白-生，

0.y=ix-1的"再生函数"为:y=^x2-^x+2,

令y=0,M-x2--x+2=0,

22

解得：x/=l,X2=4,

团4(1,0),B(4,0),C(0,2),

XH=DH=1,

酿CO〃=45。.

乂团40=48=3,

团04。3=45°,

团团COB=90°.

^CD=>JCH2+DH2=V2»BD=、JAB2+AD2=3夜，

0tan^CBD=-=^==-x

BD3J23

②如图，若点石在x轴的下方，

D

雕C8E=0/WO=45°,

团财BF=(3CBO,

又能］EAB=13C力8=90°,

^CBD^EBA,

CDAE1AE1

0—=—=-,即nn一=-,

BDAB333

囿4£=1

0£(1,-1)；

如图，若点E在工轴的上方，

/卜

'1E

\

\

\

‘\

,\

，\

过点。作CM3C8,交BE于点、M,过点M作MM》轴于点N,

团团CBE=45°,回3cM=90,,

WC=CM,

回⑶BCO+0MGV=9O°,^BCO+WBC=90°,

^MCN=WBC,

/MCN=/OBC

因在△8OCI30MNC中，,NMNC=N8OC=90°,,

CM=BC

^BOC^MNC(AAS),

(WN=OC=2,NC=0B=4,

0M(2,6),

设直线BM的表达式为：v=^+/7,

6=2k+b

则八〃J

k=-3

解得：Ln，

(3直线8M的表达式为：y=-3.r+12,

把x=l代入得：y=9,

BE(1,9),

练习4、

如果抛物线G的顶点在抛物线Q上，抛物线C，的顶点也在抛物线&上时，那么

我们称抛物线&与Q“互为关联”的抛物线.如图1,已知抛物线小匕=（f+x

与&：必『八壮c是“互为关联”的抛物线，点出8分别是抛物线&,C，的顶

点，抛物线心经过点〃（6,-1）.

⑴直接写出力，3的坐标和抛物线&的解析式；

⑵抛物线心上是否存在点反使得△1比、是直角三角形？如果存在，请求出点后

的坐标；如果不存在，请说明理由；

⑶如图2,点尸（-6,3）在抛物线&上，点也“分别是抛物线a,a上的动

点，且点机N的横坐标相同，记△力丹/面积为S（当点"与点力，尸重合时S,

=0）,△力成.的面积为z（当点N与点儿4重合时，S，=0），令5=$+£,观察

图象，当时，写出x的取值范围，并求出在此范围内S的最大值.

【详解】(1)抛物线。：y=；/+X=；*+2)2-1

(M(-2,-1),

f4«2Ic=I

将A(-2,-1),0(6,-1)代入抛物线Cz：y=ar+x+c,得：.

23o«+6+c=—I

解得：一二一K,

c-2

22

0y2=-—x+x+2=-^(JV-2)+3,

(2,3)；

(2)设直线AB的解析式为：广辰+b,

解得：L।

b-\

（3直线AB的解析式：y=Afl,

①若A为直角顶点，BE3AB,kBEkAB=-l,

瞅8E=-1,

故可设直线BE解析式为？=—+"，

将B点坐标代入，得：3=-2+N，

解得：加=5,

直线/在解析式为），=T+5.

y=-x+5

联立1->c，

y=——A*+x+2

4

%=2々=6

解得

)'i=3%=T

0E(6,-1)；

②若A为直角顶点，AK明8,

同理得4E解析式：.V=-x-3.

y=-x-3

联立1->c，

v=——厂+x+2

4

X=-29=10

解得

y=T%=-13'

0E(10,-13)：

③若E为直角顶点，设E（〃?，-；"/+m+2）

由AE^BEknE'k,M^-1,

，

——1m~+m-i.——1m~o+m+\.

即ni1」4=_1

in-2m+2

整理，得：（〃?+2）（小2）（根—6）+16]=。,

0/77+2=0或m-2=0或。〃-2)(m-6)+16=0(无解),

团解得，〃=2或-2（不符合题意舍去）,

回点E的坐标E(6,-1)或E(10,-13)；

（3）Hy,《必，

0-2<x<2,

设M(f.［产+，)•N(t,--t2+t+2).

且一2«，42.

44

-2m+〃=1

设直线A尸的解析式为>=,则J

-6m+〃=3'

m--\

解得：

n=-3

团直线45的解析式：y=-.r-3,

如图，过M作x轴的平行线MQ交A尸于Q,

回d=-CM*|»-yA|=-r+4Z+6.

乙乙

0S=S[+S2=41+8,

回当1=2时，S的最大值为16.

模块二以三角形、四边形为载体

例题1:以三角形为载体

【定义理解】如图I,在△"(?中，E是BC的中点,「是八上的中点，就称CP是2\A8C

的“双中线”，NACB=90°,AC=3,AB=5,则CP=.

(2)【类比探究】

①如图2,E是菱形A5C。一边上的中点，。是8E上的中点，则称4P是菱形48CO的

“双中线”，若A8=4,ZBAD=\20°,贝ijAP=

②如图3,AP是矩形A3CO的“双中线”，若A3=4,

BC=6,求AP的长.

(3)【拓展应用】

如图4,AP是平行四边形ABC。的“双中线”，若AB

=4,BC=6,ZBAD=\20°,求AP的长.

解：（1）【定义理解】如图1中，

0ZACB=9O°MC=3,A^=5,

^RC=ylAR1-AC2=752-32=4»

回E是8c的中点，

图1

0EC=EB=2,

^AE=y/AC2+EC2=>/32+22=713»

团尸是AE的中点，

^PC=-AE=—.

22

故答案为：巫.

2

(2)【类比探究】①延长随交A。的延长线于点凡

团四边形A3CO是菱形，

团A8=AO=8C=4,AO〃8C,

©/F=/CBE,

又回N3EC=NO瓦

(3△BCESAFDE(AAS),

0^C=DF=4,BE=EF,

EAF=8,

图2

过点8作3M_LAO,交DA的延长线于点M,

0ZfiAD=12O°,

团NM44=600,

0ZABM=3O°,

团人M=3^8,BM=2瓜

(3M/=4W+A/=2+8=10,

^BF=y)BM2+MF2=^(2x/3)2+102=4^,

(3AP是菱形ABC。的“双中线〃，

团弓尸石，

2

©BP=LBF=、4&=小，

44

H

图3

②如图3中，连接DP,延长DP交4B的延长线于机

在矩形48co中，ZDA«=90°,AB//CD,

田NH=/PDE,』PBH=/PED,

0AP是矩形/WCZ)的“双中线〃,

©BP=EP,DE=-CD=2,

2

回△”摩/朋(AAS),

⑦DE=BH=>CD=2、DP=PH,

2

®AH=AB+BH=6,

在RSA。”中，DHUX/AH、AD2=,62+62=6及，

田DP=PH,

0PA=-D//=3x/2.

2

(3)【拓展应用】如图4中，连接OP,延长OP交48的延长线于”,

在平行四边形力中，

/WCNDAB=90°,AB//CD,I3C=AD=6t

6NH=NPDE,4PBH=/PED,

13Ap是平行四边形ABC。的〃双中线”,

3EP'DE[CD=2.

伺APBHgJED,

0DP=PH,DE=BH=2,

^AH=AB+BH=4+2=6,

团4)=八〃，

团APJLOH,§PZAPD=90°,

回四边形ABC。是平行四边形，N84O=120。,

团ND4P=N〃AP=60。，

0ZAPP=3OO,

0AP=-AD=3.

2

例题2以四边形为载体

我们定义：有一组邻角相等的凸四边形做“等邻角四边形”，例如：如图I,/8=NC,则

四边形ABCD为等邻角四边形.

(1)定义理解：已知四边形A8CO为等邻角四边形，且/A=130°,ZB=120°,则N。

=度.

(2)变式应用：如图2,在五边形A3CDE中，ED//BC,对角线6。平分/A3c.

①求证：四边形ABQE为等邻角四边形；

②若N4+NC+NE=300°,NBDC=NC,请判断△4C。的形状，并明理由.

(3)深入探究：如图3,在等邻角四边形ABC。中，/B=NBCD,CE1AB,垂足为石，

点P为边BC上的一动点，过点尸作PN工CD,垂足分别为M,N.在点尸的运

动过程中，判断PM+PN与CE的数量关系？请说明理由.

(4)迁移拓展：如图4,是一个航模的截面不意图.四边形ABCD是等邻角四边形，NA

=AABC,E为4B边上的一点，ED±AD,EC上CB,在足分别为。、C,AB=2^13dm,

AD=3dm,BD=437dm.M、N分别为A£、的中点，连接。例、CM求△£>£〃与^

CEN的周长之和.

A

(1)解：•・•四边形A3C。为等邻角四边形，ZA=130°,N8=120°,

AZC=ZD,

.\ZD=55°,

故答案为：55；

(2)①证明：平分NABC,

，/ABD=NDBC,

*：ED//BC,

:・/EDB=/DBC,

：.ZEDB=ZABD,

・•・四边形ABDE为等邻角四边形;

②解：是等边三角形，理由如下：

VZBDC=ZC,

:・BD=BC,ZDBC=180°-2ZC,

AZA+ZE=36O0-2ZABD,

VZ2t+ZC+ZE=3(X)°,

•••300°-ZC=360°-2(180°-2ZC),

/.ZC=60°,

又•：BD=BC,

是等边三角形；

(3)解：PM+PN=CE,理由如下：

图3

'：NB=NBCD,

:・HB=HC,

丁S/,BCH=S.-,BPH+S/xCPHt

/.—XBHXCE=-XB/7XXCHXPN,

222

：,CE=PM+PN；

（4）解：如图，延长40,BC交于点H,过点B作8G_LA〃于G,

*：ED±AD,EC1CB,M.N分别为AE、8E的中点，

：,AM=DM=ME,EN=NB=CN,

'：AB1=BG2+AG2,BD2=BG2+DG2,

A52-(3+DG)2=37-DG2,

：.DG=\,

・・・8G=4DB2-DG2=6,

由(3)可得DE+EC=BG=6,

:・ADEM与△CEN的周长之和=ME+OW+OE+EC+EN+CN=AE+8E+BG=A8+BG=(6+2

V13)dm.

练习1：我们约定：若三角形一边上的中线将三角形分得的两个小三角形中有一

个三角形与原三角形相似，我们则称原三角形为关于该边的“优美三角形”.例

如：如图1,在△力比'中，力〃为边6。上的中线，△48〃与△47。相似，那么称

△4以为关于边函的“优美三角形”.

(1)如图2,在△幺胴中，成=后&求证：△/阿为关于边仇?的“优美三

角形”；

(2)如图3,已知△/勿为关于边外的“优美三角形”，点〃是△力回边以

的中点，以劭为直径的恰好经过点4

①求证：直线。与。0相切：

②若。。的直径为2捉，求线段力)的长;

(3)已知三角形4%为关于边比'的“优美三角形"，BC=A,/夕=30°,求

△48。的面积.

图2

【分析】(1)利用两边成比例，夹角相等证明即可求解；

(2)①连接04,证明NCAQ+NOAQ=90°,可得04_LAC,再由04是。。的半径,

即可证明直线AC与。。相切；

②由△CAQS^CBA,求出AC=4«,再由&=幽=亚，设人。=孤%，则48=2x,

ADDC2

在R【A4B。中，利用勾股定理求出x的值,即可求48=4；

(3)过点人作人E_L8C交于E点，分两种情况讨论：①若△BAOS/XBCA,可求A8=

2注,在RtZ\A8£中，AE=LAB=&,则SA43C=工办£・8。=2近；②若△CADs

22

△C1M,可求AC=2血，在RI/XA8七中，设4E=x,则笈E=«.r,CE=4-Jjx,在

RtA4£C中，利用勾股定理可求x=«±l,再求S“3C=2・AE・8C=2d§±2.

2

【解答】(1)证明：・・・AD是中线，

：.BD=1，BC=^-AB,

22

.BD_AB_V2

一直CBT，

；・△XBDs△CBN,

•••△/IBC是关于边BC的“优美三角形”；

(2)①证明：连接OA,

•・•△ABC为关于边8c的“优美三角形”，

•••△C4£)s/\C8A,

：.ZCAD=ZCBA,

•：OA=OB,

：・NOAB=NCBA,

：,ZCAD=ZOAB,

•••8。是。。的直径，

/.ZBAD=90°,

：.^OAB+ZOAD=W,

•••/CAO+NO40=90°,

：,OA1AC,

•・•04是00的半径，

・•・直线AC与。0相切；

②解：VACAD^ACSA,

••・Ad=CD・RC,

：.AC=4^3,

..ADACV2

,ABBC2,

设4O=V^v，贝ijA8=2x,

在RtZ\A8O中，AB2+AD2=BD2,即4?+2?=24,

/•x=2>

・MB=4；

（3）解：过点A作AEJ_8C交于E点，

①若ABADsABCA,

工AB2=BD・BC,

:.AB=2近,

在RtZ^AB七中，N4=30",

：,AE=—AB=yf2^

2

：,S^AHC=—・AE+BC=2a：

2

②若△CAQS2\C84,

:.AC2=CD*BC,

:.AC=2近,

在RlaABE中，N8=30°,

设4E=x，则BE=“x,

CE=4-V3x,

在Rt△人七。中，AC2=AE1+CE1,

・•・/+(4-V3.v)2=8,

解得x二«±I，

：.S^ABC-*AE-BC=2y/3±2；

乙

综上所述：△48C的面积为2&或2近±2.

图1

练习2、我们不妨定义：有两边之比为1：正的三角形叫敬“勤业三角形”.

（1）下列各三角形中，一定是“勤业三角形”的是;（填序号）

①等边三角形；②等腰直角三角形；③含30°角的直角三角形；④含120°角的等腰三

角形.

（2）如图1,△ABC是0。的内接三角形，AC为直径，。为A8上一点，且BO=2AD,

作DE_LOA,交线段OA于点尸，交。。于点E,连接8E交AC于点G.试判断AAEO

和AABE是否是“勤业三角形”？如果是，请给出证明，并求出的值；如果不是，请

BE

说明理由；

（3）如图2,在（2）的条件下，当ABFG=2：3时，求的余弦值.

E

C

G—B

O

A

DZB

Ml图2

【分析】(1)根据“勒业三角形”的定义进行计算，即可一一判定；

(2)如图，连结0£设NA8E=a,可证得/AE£)=NA8E=a,^ADE^/XAEB,可得

AEr=AB*AD,结合可得48=J§AE,即可判定△AEO和△”£：都是"勤

3

业三角形“，再根据札似三角形的性质即可求得?2的值；

BE

(3)如图，过点G作G/〃A8交。£于点/,可得ArG/s△加。，AE/G^AEDB,可

证得毁乌旦后

EBBDED4

设EG=3"，则BE=4a,利用里巫.可求得七。=延,七/=会旦从而可得

BE335

答案.

【解答】解：①等边三角形各边的比值为1,故等边三角形不是“勒业三角形“；

②等腰直角三角形两直角边的比值为1,直角边与斜边的比为1：血，故等腰直角三角

形不是“勤业三角形”；

③设含30角的直角三角形的最短边长为小则斜边长为2小另一条直角边长为a：

V3«=l：如，故含30°角的直角三角形是“勤业三角形”；

④如图：△ABC中，AB=AC,Z67=120°,过点4作4O_L8C于点。，

设4。=小则A4=AC=2a,BD=DC=4^a,

:.BC=2MU,

•MB：BC=AC：BC=\：

・••含120°角的等腰三角形是“勤业三角形”,

故答案为：③④；

（2）解：△4ED和△44E都是“勤业三角形”,

证明如下：

如图：连接0，设NA8E=a,

・•・N4OE=2N48E=2a,

•：OA=OE,

：.ZOAE=—(180°-ZAOE')=—(1800-2a)=90°

22

XVDEIAC,

・・・NAEO+NOAE=90°,即NAEZ)+90°-a=90°,

/.ZAED=ZABE=a,

叉•：NEAD=NBAE,

：.XADEsXAEB,

.AEADDE

AB-AE-EB

AEr=AD*AB,

•；BQ=2AD,

：,AD=­AB,

3

,AE24AB2,AE1=3AD2,

.AE1AD1

ABV3AEV3

・•・AAED和△ABE都是“勤业三角形”,

.DE_AE_1_V3

,,西诂否工

(3)解：如图：过点G作G/〃AB交DE于点/,

・•・△尸G/s△欣。，AEIGS/\EDB,

.GIJYJYJEG/二1I

一而赤宙巧,EB'BD'ED

q

AG/=—AD,

2

\'BD=2AD,

•・■GI=—3，

BD4

・EGJI二flJ3

**EB=BD'ED

设EG=3a,EB=4a,

EDV3

由(2)知,

_BE3

:.ED=£^-a,

3

：,E\=^ED=y/3a,D1=ED-a=^-a.

433

-—3_V§_

JF7^Dl=_z^a,

DD

・•・EF=EI+lF=/^a+与=，

5a5a

在Rt^EFG中,

673

cosZFEG=-^

EG'3a-5

即―/〃；?/)=a：巨

5

练习3、定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四

边形的“中点四边形”.如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做

“中方四边形”.

概念理解：下列四边形中一定是“中方四边形”的是—.

A.平行四边形

B.矩形

C.菱形

D.正方形

性质探究：如图1,四边形48C。是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形A8CO的

两条结论：

问题解决：如图2,以锐角△A8C的两边AB,4C为边长，分别向外侧作正方形48OE和正

方形AC广G,连结8E,EG,GC.求证：四边形BCGE是“中方四边形”；

拓展应用：如图3,已知四边形A8CO是“中方四边形”，M,N分别是A8,CO的中点，

(1)试探索4C与的数量关系，并说明理由.

(2)若AC=2,求48+8的最小值.

图1图2图3

【分析】概念理解：根据定义“中方四边形”，即可得出答案；

性质探究：由四边形A3CD是“中方四边形”，可得EFG”是正方形且E、F、G、”分别是

A/3、BC、CD、AQ的中点，利用三角形中位线定理即可得出答案：

问题解决：如图2,取四边形BCGE各边中点分别为P、Q,R、A并顺次连接成四边形MNRL,

连接CE交A8于P,连接8G交CE于K,利用三角形中位线定理可证得四边形MN应是

平行四边形，再证得△£〃?0△84G(SAS),推出圈MNRL是菱形，再由NL0N=9O°,可

得菱形MNRL是正方形，即可证得结论；

拓展应用：(1)如图3,分别作40、的中点£、”并顺次连接£N、NF、FM.ME,W

得四边股ENFM是正方形，再根据等腰直角三角形性质即可证得结论；

(2)如图4,分别作40、BC的中点七、尸并顺次连接EN、NF、FM、ME,连接B。交AC

于0,连接0M、0N,当点。在MN上(即M、0、N共线)时，OM+ON最小,最小值为

MN的长，再结合(1)的结论即可求得答案.

【解答】解：概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”，

理由如下:

因为正方形的对角线相等H互相垂直，

故选：。；

性质探究：①AC=BD,②ACJ_8。；

理由如下：如图1,

•・•四边形48CQ是“中方四边形”，

・・・EFGH是正方形且E、尸、G、”分别是AB、BC、CD、AD的中点，

；・/FEH-90°,EF-EH,EH//EH---BD,EF//AC,EF---AC,

22

，AC_L8。，AC=BD,

故答案为：AC.LBD,AC=BD：

问题解决：如图2