2025年超星尔雅学习通《线性代数与矩阵分析》考试备考题库及答案解析

2025年超星尔雅学习通《线性代数与矩阵分析》考试备考题库及答案解析就读院校：________姓名：________考场号：________考生号：________一、选择题1.矩阵乘法满足结合律，即（）A.AB≠BAB.A(BC)≠(AB)CC.A(BC)=(AB)CD.AB=BA答案：C解析：矩阵乘法满足结合律，即对于任意三个矩阵A、B、C，有A(BC)=(AB)C。这是矩阵乘法的基本性质之一，需要牢记。选项A和D表示矩阵乘法不满足交换律，这是错误的。选项B是错误的，因为结合律成立。2.若A为n阶方阵，且存在非零向量x使得Ax=0，则矩阵A（）A.不可逆B.可逆C.可能可逆，可能不可逆D.一定可逆答案：A解析：根据线性代数的基本知识，如果存在非零向量x使得Ax=0，则矩阵A的行列式为0，因此A不可逆。这是矩阵可逆性的一个重要判断条件。3.阶梯形矩阵经过初等行变换后，可以化为（）A.对角矩阵B.单位矩阵C.行最简形矩阵D.以上都不对答案：C解析：阶梯形矩阵通过初等行变换可以进一步化为行最简形矩阵。这是矩阵行变换的一个重要应用，需要掌握。对角矩阵和单位矩阵是特殊形式的矩阵，不是任意阶梯形矩阵都能化成的。4.向量组α1，α2，α3线性无关的充要条件是（）A.存在一组不全为零的数k1，k2，k3使得k1α1+k2α2+k3α3=0B.α1，α2，α3中任意两个向量线性无关C.α1，α2，α3中存在一个向量不能用其余向量线性表示D.0不能由α1，α2，α3线性表示答案：B解析：向量组线性无关的定义是：只有当所有系数都为0时，线性组合才为0。选项B是向量组线性无关的等价条件，即任意两个向量都不能由另一个向量线性表示。选项A是线性相关的定义。选项C和D不是线性无关的充要条件。5.矩阵A的秩为r，则矩阵A的（）A.所有r阶子式都不为0B.至少有一个r阶子式不为0C.所有r阶子式都为0D.以上都不对答案：B解析：矩阵的秩是指矩阵中非零子式的最高阶数。因此，如果矩阵A的秩为r，那么至少存在一个r阶子式不为0，但并不是所有r阶子式都不为0。选项A和C都是错误的。6.齐次线性方程组Ax=0有非零解的充要条件是（）A.矩阵A的行向量组线性相关B.矩阵A的列向量组线性相关C.矩阵A的行向量组线性无关D.矩阵A的列向量组线性无关答案：B解析：齐次线性方程组Ax=0有非零解的充要条件是系数矩阵A的列向量组线性相关。这是线性代数中的一个基本定理，需要理解记忆。选项A、C、D都不正确。7.如果向量组α1，α2，α3线性相关，α2，α3，α4线性相关，则（）A.α1，α2，α3，α4一定线性相关B.α1，α2，α3，α4一定线性无关C.α1，α3，α4一定线性相关D.α1，α3，α4可能线性相关，可能线性无关答案：D解析：向量组的线性相关性是指向量组中是否存在非零系数的线性组合等于零向量。已知α1，α2，α3线性相关，说明存在不全为0的系数使得α1，α2，α3的线性组合为0。同样，α2，α3，α4线性相关，说明存在不全为0的系数使得α2，α3，α4的线性组合为0。但是，这并不能直接推断出α1，α3，α4的线性关系，它们可能线性相关，也可能线性无关。因此，选项D是正确的。8.实对称矩阵的特征值（）A.可以是复数B.一定是正数C.一定是实数D.可以是负数答案：C解析：实对称矩阵的特征值一定是实数。这是线性代数中的一个重要性质，需要牢记。实对称矩阵还满足特征向量正交等性质。9.若矩阵A可逆，则矩阵A的伴随矩阵A*（）A.不可逆B.可逆，且A*=|A|A-1C.不可逆D.以上都不对答案：B解析：如果矩阵A可逆，则矩阵A的伴随矩阵A*也是可逆的，并且A*等于|A|乘以A的逆矩阵，即A*=|A|A-1。这是伴随矩阵的一个重要性质，需要掌握。选项A和C都是错误的。10.n阶矩阵A满足A²=A，则称A为（）A.幂等矩阵B.对角矩阵C.单位矩阵D.零矩阵答案：A解析：n阶矩阵A满足A²=A，则称A为幂等矩阵。这是幂等矩阵的定义，需要牢记。对角矩阵、单位矩阵和零矩阵都是特殊形式的矩阵，不是任意满足A²=A的矩阵。11.向量空间V中的零向量是唯一的（）A.不一定B.可能存在多个C.唯一D.以上都不对答案：C解析：向量空间中的零向量是满足对任意向量α∈V，都有α+0=α的向量。这个零向量是唯一的，否则向量空间的加法运算不满足封闭性和唯一性。12.设V是数域P上的向量空间，维数为n，α1，α2，…，αn是V的一个基，则V中任一向量β可以唯一地表示为（）A.α1，α2，…，αn的线性组合B.α1，α2，…，αn的线性组合，系数不一定唯一C.α1，α2，…，αn的线性组合，系数可能不唯一D.以上都不对答案：A解析：向量空间的基的定义就是：空间中任一向量都可以唯一地表示为基向量的线性组合。这是基的基本性质，需要牢记。13.内积空间中，向量的长度（范数）定义为（）A.||α||=√(⟨α,α⟩)B.||α||=⟨α,α⟩C.||α||=α²D.||α||=|⟨α,α⟩|答案：A解析：在内积空间中，向量的长度（范数）定义为向量与其自身内积的平方根，即||α||=√(⟨α,α⟩)。这是范数的定义，需要掌握。14.正交矩阵是满足（）A.QᵀQ=IB.QQQᵀ≠IC.QQᵀ≠ID.QᵀQ≠I答案：A解析：正交矩阵是满足QᵀQ=I（或QQᵀ=I）的方阵，其中Qᵀ是Q的转置矩阵，I是单位矩阵。这是正交矩阵的定义，需要牢记。15.如果矩阵A与矩阵B相似，则（）A.AB=BAB.A与B有相同的特征值和特征向量C.A与B有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量D.A与B的特征值不同答案：C解析：矩阵A与矩阵B相似是指存在可逆矩阵P，使得B=PᵀAP。相似矩阵有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量。这是相似矩阵的基本性质，需要理解。16.矩阵A的特征向量α对应的特征值λ满足（）A.Aα=αB.Aα=λαC.Aα=0D.Aα=λ²α答案：B解析：矩阵A的特征向量的定义是：存在一个数λ（特征值），使得Aα=λα。这是特征值和特征向量的基本定义，需要牢记。17.若矩阵A的特征值都是正数，则矩阵A（）A.可逆B.不可逆C.可能可逆，可能不可逆D.一定可逆答案：A解析：如果矩阵A的特征值都是正数，则矩阵A的对角化形式的所有对角元都是正数，因此矩阵A可逆。这是矩阵可逆性的一个充分条件，需要掌握。18.二次型f(x1,x2,…,xn)=xᵀAx可以化为标准形的充要条件是（）A.矩阵A是对角矩阵B.矩阵A是正定矩阵C.存在正交矩阵Q，使得QᵀAQ是对角矩阵D.矩阵A是退化矩阵答案：C解析：二次型f(x1,x2,…,xn)=xᵀAx可以化为标准形的充要条件是存在正交矩阵Q，使得QᵀAQ是对角矩阵。这是二次型标准形的一个重要定理，需要理解记忆。19.实二次型f(x1,x2,…,xn)=xᵀAx正定的充要条件是（）A.矩阵A的特征值都是正数B.矩阵A的秩为nC.矩阵A的所有顺序主子式都大于0D.存在可逆矩阵P，使得PᵀAP是单位矩阵答案：C解析：实二次型f(x1,x2,…,xn)=xᵀAx正定的充要条件是矩阵A的所有顺序主子式都大于0。这是实二次型正定性的一个充分必要条件，需要掌握。20.若A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，则矩阵乘积AB是（）A.m×s矩阵B.n×n矩阵C.m×n矩阵D.s×s矩阵答案：A解析：矩阵乘法的规则是：如果A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，则矩阵乘积AB是m×s矩阵。这是矩阵乘法的基本规则，需要牢记。二、多选题1.矩阵的初等行变换包括（）A.交换两行B.某一行乘以一个非零常数C.某一行加上另一行的若干倍D.某一行减去另一行的若干倍E.替换某行为零向量答案：ABC解析：矩阵的初等行变换是指对矩阵的行进行以下三种操作：①交换两行的位置；②将某一行乘以一个非零常数；③将某一行加上另一行的若干倍（或减去另一行的若干倍）。选项E替换某行为零向量不是初等行变换。2.向量组α1，α2，α3线性无关的充要条件是（）A.没有向量可以由其余向量线性表示B.α1，α2，α3中任意两个向量线性无关C.齐次线性方程组x1α1+x2α2+x3α3=0只有零解D.α1，α2，α3的秩为3E.α1，α2，α3构成向量空间的一个基答案：ACDE解析：向量组线性无关的定义是：只有当所有系数都为0时，线性组合才为0。选项A、C、D、E都是向量组线性无关的等价条件。选项B只是线性无关的必要条件，不是充分条件，因为三个向量中任意两个向量线性无关，并不能保证三个向量线性无关。3.下列关于矩阵秩的结论中，正确的有（）A.矩阵的秩等于其行向量组的秩B.矩阵的秩等于其列向量组的秩C.矩阵的秩等于其非零子式的最高阶数D.矩阵的秩等于其行阶梯形矩阵中非零行的个数E.若矩阵A有秩r，则存在r阶子式不为0答案：ABCDE解析：矩阵的秩是矩阵的一种重要属性，有多个等价定义。选项A、B、C、D、E都是矩阵秩的等价定义或相关性质，都是正确的。4.下列矩阵中，可逆矩阵是（）A.B.C.D.E.答案：C解析：一个矩阵可逆的充要条件是其行列式不为0。选项C的行列式不为0，因此是可逆矩阵。选项A、B、D、E的行列式为0，因此不可逆。5.矩阵的特征值λ0对应的特征向量α满足（）A.Aα=0B.Aα=λ0αC.α是非零向量D.0是A的特征值E.λ0是A的特征多项式f(λ)的根答案：BCE解析：矩阵A的特征向量的定义是：存在一个数λ0（特征值），使得Aα=λ0α。这个数λ0必须是A的特征多项式f(λ)的根。特征向量α必须是非零向量。选项A是错误的，因为Aα=0意味着α是A的零向量解，不是特征向量。选项D与特征值λ0无关。6.实对称矩阵的特征值与特征向量具有以下性质（）A.特征值都是实数B.不同特征值对应的特征向量线性无关C.特征向量可以正交D.特征值可以是复数E.特征向量可以构成规范正交基答案：ABC解析：实对称矩阵的特征值都是实数，这是实对称矩阵的一个基本性质。不同特征值对应的特征向量线性无关，也是实对称矩阵的特征性质。实对称矩阵的特征向量还可以相互正交，并且可以构成规范正交基。选项D是错误的，实对称矩阵的特征值一定是实数。7.下列关于二次型的说法中，正确的有（）A.二次型可以唯一地对应一个对称矩阵B.任何二次型都可以化为标准形C.二次型的正负惯性指数是唯一的D.二次型的秩是唯一的E.二次型是关于变量的二次多项式答案：ABCD解析：任何二次型都可以唯一地对应一个对称矩阵，这是二次型的基本概念。任何二次型都可以通过正交变换或配方法化为标准形，其正负惯性指数和秩都是唯一的，这是二次型的基本性质。选项E的描述不够准确，二次型是关于变量的二次多项式函数，但其表达形式通常涉及对称矩阵。8.若矩阵A与矩阵B相似，则（）A.A与B有相同的特征值B.A与B有相同的特征向量C.A与B有相同的行列式D.A与B有相同的秩E.A与B可以交换，即AB=BA答案：ACD解析：矩阵A与矩阵B相似是指存在可逆矩阵P，使得B=PᵀAP。相似矩阵有相同的特征值（包括重数）、相同的行列式和相同的秩。选项B错误，相似矩阵的特征向量一般不同。选项E错误，相似矩阵不一定能交换。9.若向量组α1，α2，α3，α4线性相关，且α1，α2，α3线性无关，则（）A.α4可以由α1，α2，α3线性表示B.α3可以由α1，α2，α4线性表示C.α1可以由α2，α3，α4线性表示D.α2可以由α1，α3，α4线性表示E.α4不可以由α1，α2线性表示答案：ABCD解析：向量组α1，α2，α3，α4线性相关，说明其中至少有一个向量可以由其余向量线性表示。已知α1，α2，α3线性无关，因此α4必须可以由α1，α2，α3线性表示。反过来，由于α4可以由α1，α2，α3线性表示，那么α1，α2，α3，α4线性相关，所以α3可以由α1，α2，α4线性表示；α2可以由α1，α3，α4线性表示；α1可以由α2，α3，α4线性表示。选项E是错误的，因为α4可以由α1，α2线性表示（因为α4可以由α1，α2，α3线性表示，而α3可以由α1，α2线性表示）。10.正交矩阵具有以下性质（）A.正交矩阵的行列式绝对值为1B.正交矩阵的转置矩阵是其逆矩阵C.正交矩阵的乘积仍然是正交矩阵D.正交矩阵的特征值的模为1E.正交矩阵的行向量组是正交向量组答案：BCDE解析：正交矩阵的定义是满足QᵀQ=I（或QQᵀ=I）的方阵，其中Qᵀ是Q的转置矩阵，I是单位矩阵。由此性质可以推出选项B、C、D、E。选项A不一定成立，正交矩阵的行列式可能为1也可能为-1。11.向量空间V中的零向量是唯一的（）A.不一定B.可能存在多个C.唯一D.以上都不对答案：C解析：向量空间中的零向量是满足对任意向量α∈V，都有α+0=α的向量。这个零向量是唯一的，否则向量空间的加法运算不满足封闭性和唯一性。12.设V是数域P上的向量空间，维数为n，α1，α2，…，αn是V的一个基，则V中任一向量β可以唯一地表示为（）A.α1，α2，…，αn的线性组合B.α1，α2，…，αn的线性组合，系数不一定唯一C.α1，α2，…，αn的线性组合，系数可能不唯一D.以上都不对答案：A解析：向量空间的基的定义就是：空间中任一向量都可以唯一地表示为基向量的线性组合。这是基的基本性质，需要牢记。13.内积空间中，向量的长度（范数）定义为（）A.||α||=√(⟨α,α⟩)B.||α||=⟨α,α⟩C.||α||=α²D.||α||=|⟨α,α⟩|答案：A解析：在内积空间中，向量的长度（范数）定义为向量与其自身内积的平方根，即||α||=√(⟨α,α⟩)。这是范数的定义，需要掌握。14.正交矩阵是满足（）A.QᵀQ=IB.QQQᵀ≠IC.QQᵀ≠ID.QᵀQ≠I答案：A解析：正交矩阵是满足QᵀQ=I（或QQᵀ=I）的方阵，其中Qᵀ是Q的转置矩阵，I是单位矩阵。这是正交矩阵的定义，需要牢记。15.如果矩阵A与矩阵B相似，则（）A.AB=BAB.A与B有相同的特征值和特征向量C.A与B有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量D.A与B的特征值不同答案：C解析：矩阵A与矩阵B相似是指存在可逆矩阵P，使得B=PᵀAP。相似矩阵有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量。这是相似矩阵的基本性质，需要理解。16.矩阵A的特征向量α对应的特征值λ满足（）A.Aα=αB.Aα=λαC.Aα=0D.Aα=λ²α答案：B解析：矩阵A的特征向量的定义是：存在一个数λ（特征值），使得Aα=λα。这是特征值和特征向量的基本定义，需要牢记。17.若矩阵A的特征值都是正数，则矩阵A（）A.可逆B.不可逆C.可能可逆，可能不可逆D.一定可逆答案：A解析：如果矩阵A的特征值都是正数，则矩阵A的对角化形式的所有对角元都是正数，因此矩阵A可逆。这是矩阵可逆性的一个充分条件，需要掌握。18.二次型f(x1,x2,…,xn)=xᵀAx可以化为标准形的充要条件是（）A.矩阵A是对角矩阵B.矩阵A是正定矩阵C.存在正交矩阵Q，使得QᵀAQ是对角矩阵D.矩阵A是退化矩阵答案：C解析：二次型f(x1,x2,…,xn)=xᵀAx可以化为标准形的充要条件是存在正交矩阵Q，使得QᵀAQ是对角矩阵。这是二次型标准形的一个重要定理，需要理解记忆。19.实二次型f(x1,x2,…,xn)=xᵀAx正定的充要条件是（）A.矩阵A的特征值都是正数B.矩阵A的秩为nC.矩阵A的所有顺序主子式都大于0D.存在可逆矩阵P，使得PᵀAP是单位矩阵答案：C解析：实二次型f(x1,x2,…,xn)=xᵀAx正定的充要条件是矩阵A的所有顺序主子式都大于0。这是实二次型正定性的一个充分必要条件，需要掌握。20.若A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，则矩阵乘积AB是（）A.m×s矩阵B.n×n矩阵C.m×n矩阵D.s×s矩阵答案：A解析：矩阵乘法的规则是：如果A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，则矩阵乘积AB是m×s矩阵。这是矩阵乘法的基本规则，需要牢记。三、判断题1.齐次线性方程组Ax=0一定有零解。（）答案：正确解析：齐次线性方程组Ax=0的定义就是所有常数项都为0的线性方程组，根据线性代数的知识，任何齐次线性方程组至少有一个零解，即x=0是它的解。这是齐次线性方程组的基本性质。2.向量空间中的零向量是唯一的。（）答案：正确解析：向量空间中的零向量是满足对任意向量α∈V，都有α+0=α的向量。这个零向量是唯一的，否则向量空间的加法运算不满足封闭性和唯一性。这是向量空间的基本定义之一。3.如果向量组α1，α2，α3线性相关，那么α1一定可以由α2，α3线性表示。（）答案：正确解析：向量组线性相关的定义是：存在不全为0的数k1，k2，k3，使得k1α1+k2α2+k3α3=0。如果向量组α1，α2，α3线性相关，那么存在不全为0的数k1，k2，k3，使得k1α1+k2α2+k3α3=0。如果k1≠0，那么可以将α1表示为α2，α3的线性组合。如果k1=0，那么k2α2+k3α3=0，由于k2，k3不全为0，α2，α3线性相关，那么α1也可以由α2，α3线性表示。因此，如果向量组α1，α2，α3线性相关，那么α1一定可以由α2，α3线性表示。4.矩阵的秩等于其非零子式的最高阶数。（）答案：正确解析：矩阵的秩是指矩阵中非零子式的最高阶数。这是矩阵秩的一个等价定义，需要掌握。5.如果矩阵A可逆，那么矩阵A的转置矩阵Aᵀ也可逆。（）答案：正确解析：如果矩阵A可逆，那么存在矩阵B，使得AB=BA=I。两边取转置得到(Aᵀ)Bᵀ=I，说明Aᵀ可逆，且其逆矩阵为Bᵀ。因此，如果矩阵A可逆，那么矩阵A的转置矩阵Aᵀ也可逆。6.正交矩阵一定是可逆矩阵。（）答案：正确解析：正交矩阵是满足QᵀQ=I的方阵。如果Q是非零方阵，那么Q的行列式|Q|≠0，因此Q是可逆的。所以正交矩阵一定是可逆矩阵。7.实对称矩阵的特征值可以是复数。（）答案：错误解析：实对称矩阵的特征值一定是实数。这是线性代数中的一个重要性质，需要牢记。8.两个相似的矩阵一定有相同的特征向量。（）答案：错误解析：两个相似的矩阵有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量。相似变换是通过可逆矩阵实现的，会改变特征向量的具体形式。9.如果一个二次型是正定的，那么它的正惯性指数一定等于其变量的个数。（）答案：正确解析：根据惯性定理，实二次型的正负惯性指数是唯一的，并且它们的和等于二次型的秩。如果一个二次型是正定的，那么它的负惯性指数为0，正惯性指数等于其变量的个数（即秩）。10.如果向量组α1，α2，α3，α4线性无关，那么向量组α1，α2，α3也线性无关。（