第3课时课件等边三角形的性质与判定

第1章三角形第3课时等边三角形的性质与判定1.5等腰三角形

等边三角形的概念1.(2025江苏宿迁泗阳期中)如图,等边三角形纸片ABC的边长

为2cm,点D,E分别在BC,AC上,将△CDE沿直线DE折叠,点C

落在点C'处,且点C'在△ABC的外部,则图中三个阴影部分的

周长之和为

cm.6解析设C'E与AB交于点F,C'D与AB交于点H,如图,由题意得AB=BC=AC=2cm,由折叠的性质得C'E=CE,C'D=CD,进而得AE+EF+C'F=AC=2cm,BD+DH+C'H=BC=2cm,AF+FH+BH=AB=2cm,由此可得出图

中三个阴影部分的周长之和为AF+FH+BH+AE+EF+C'F+BD

+DH+C'H=AB+AC+BC=6cm.故答案为6.

等边三角形的性质和判定2.(2023甘肃金昌中考)如图,BD是等边△ABC的边AC上的高,

以点D为圆心,DB的长为半径作弧交BC的延长线于点E,则∠DEC=

()A.20°

B.25°

C.30°

D.35°

C

解析在等边△ABC中,∠ABC=60°,∵BD是AC边上的高,

∴BD平分∠ABC,∴∠CBD=

∠ABC=30°.∵BD=ED,∴∠DEC=∠CBD=30°.故选C.3.(2024山东泰安中考)如图,直线l∥m,等边三角形ABC的两个顶点B,C分别落在直线l,m上,若∠ABE=21°,则∠ACD的度数是()

A.45°B.39°

C.29°D.21°B解析如图,过点A作AF∥l,∵直线l∥m,∴AF∥m,∵△ABC是等边三角形,∴∠BAC=60°,∵AF∥l,∴∠BAF=∠ABE,∵∠ABE=21°,∴∠BAF=21°,∴∠CAF=∠BAC-∠BAF=60°-21°=39°,∵AF∥m,∴∠ACD=∠CAF=39°,故选B.4.(2025江苏常州期中)如图,△ABC是等边三角形,点D在△ABC外部,且DA=DC,连接BD,交AC于点G.(1)求证:BD垂直平分AC.(2)在BC上取点E,连接DE,交AC于点F,若EB=ED,试判断△CEF的形状,并说明理由.解析

(1)证明:∵△ABC是等边三角形,∴BA=BC,∴点B在线段AC的垂直平分线上,∵DA=DC,∴点D在线段AC的垂直平分线上,∴BD垂直平分AC.(2)△CEF是等边三角形.理由如下:∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°,∵BD⊥AC,∴∠DBC=

∠ABC=30°,∵EB=ED,∴∠EDB=∠DBC=30°,∴∠FEC=∠EDB+∠DBC=60°,又∵∠ACB=60°,∴△CEF是等边三角形.

5.(2025广东汕尾陆河期中联考,★★☆)如图,在直线AB的同一侧分别作两个等边△ABD和△BCE,连接AE,CD,交于点H,连接BH,GF,有以下结论:①△ABE≌△DBC;②AG=DH;③HB平分∠AHC;④△GBF是等边三角形.其中正确的有

()A.①③④B.①②③

C.②③④D.①②④A解析利用等边三角形的性质得到BA=BD,BE=BC,∠ABD=

∠EBC,进而得到∠ABE=∠DBC,即可证明△ABE≌△DBC,所以结论①正确;根据△ABE≌△DBC得∠EAB=∠CDB,由△ABD和△BCE均为等边三角形,可知∠ABD=∠CBE=60°,所以∠DBE=60°=∠ABG,结合AB=BD可证明△AGB≌△DFB

(ASA),则AG=DF>DH,所以结论②错误;过点B作BM⊥AE于M,

BN⊥CD于N,根据全等三角形的性质和三角形面积公式得到

AE·BM=

CD·BN,由△ABE≌△DBC得AE=CD,所以BM=BN,即可判断③正确;由△AGB≌△DFB得GB=FB,又由∠DBF=60°,即可证明④正确.综上可知,正确的结论是①③④.6.(2025江苏南京玄武期中,★★☆)如图,已知△ABC是等边三

角形,BC=BD,∠CBD=80°,则∠1的度数是___.80°解析∵△ABC是等边三角形,∴∠ACB=∠ABC=∠BAC=60°,AB=BC,∵∠CBD=80°,∴∠ABD=∠ABC+∠CBD=60°+80°=140°,∴∠BAD+∠ADB=180°-∠ABD=40°,∵BC=BD,∴AB=BD,∴∠BAD=∠ADB=20°,∵∠1=∠BAD+∠ABC,∴∠1=20°+60°=80°.7.(2025江苏南京玄武期中,★★☆)如图,点O是等边△ABC内

一点,∠AOB=110°,∠BOC=α,△ADC≌△BOC,连接OD.(1)求证:△COD是等边三角形.(2)当AO=AD时,α为多少度?解析

(1)证明:∵△ABC是等边三角形,∴∠ACB=60°,∵△ADC≌△BOC,∴CO=CD,∠DCA=∠OCB,∴∠DCO=∠ACB=60°,∴△COD是等边三角形.(2)∵△ADC≌△BOC,∴∠ADC=∠BOC=α,∵△COD是等边三角形,∴∠COD=∠CDO=60°,∴∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD=360°-110°-α-60°=190°-α,∠ADO=∠ADC-∠CDO=α-60°,∵AO=AD,∴∠ADO=∠AOD,∴α-60°=190°-α,解得α=125°.8.(2025江苏南京秦淮期中,★★☆)阅读材料:如图1,△ABC中,

AB=AC,P为底边BC上任意一点,点P到两腰的距离分别为r1,r2,

腰上的高为h,连接AP,则S△ABP+S△ACP=S△ABC,即

AB·r1+

AC·r2=

AB·h,∴r1+r2=h(定值),即PE+PF为定值.(1)深入探究如图2,将“△ABC中,AB=AC,P为底边BC上任意一点”改成

“P为等边三角形ABC内一点”,作PE⊥AB,PF⊥AC,PM⊥

BC,BG⊥AC,垂足分别为E,F,M,G,有类似结论吗?请写出结论

并证明.(2)理解与应用如图3,当点P在△ABC外时,PE,PF,PM和BG之间又有怎样的

关系?说明理由.解析

(1)PE+PF+PM=BG.证明:如图,连接PA,PB,PC,则S△ABP+S△ACP+S△BCP=S△ABC,

∵三角形ABC是等边三角形,∴AB=AC=BC,∵PE⊥AB,PF⊥AC,PM⊥BC,BG⊥AC,∴

AB·PE+

AB·PF-

AB·PM=

AB·BG,∴PE+PF+PM=BG.(2)PE+PF-PM=BG.理由:如图,连接PA,PB,PC,则S△ABP+S△ACP-S△BCP=S△ABC,∴

AB·PE+

AC·PF+

BC·PM=

AC·BG,∵三角形ABC是等边三角形,∴AB=AC=BC,∵PE⊥AB,PF⊥AC,PM⊥BC,BG⊥AC,∴

AB·PE+

AC·PF-

BC·PM=

AC·BG,∴

AB·PE+

AB·PF-

AB·PM=

AB·BG,∴PE+PF-PM=BG.

9.【新课标·推理能力】(2025江苏苏州相城月考)如图,△ABC

中,AB=BC=AC=12cm,现有两点M,N分别从点A、点B同时出

发,沿三角形的边运动,已知点M的速度为1cm/s,点N的速度为

2cm/s.当点N第一次到达B点时,M,N同时停止运动.(1)点M,N运动几秒时,M,N两点重合?(2)点M,N运动几秒时,可得到等边三角形AMN?(3)当点M,N在BC边上运动时,能否得到以MN为底边的等腰三

角形AMN?如存在,请求出此时M,N运动的时间.解析

(1)设点M,N运动x秒时,M,N两点重合,x·1+12=2x,解得x=12.(2)设点M,N运动t秒时,可得到等边三角形AMN,如图1,AM=t×1=t,AN=AB-BN=12-2t,∵三角形AMN是等边三角形,∴t=12-2t,解得t=4,∴点M,N运动4秒时,可得到等边三角形AMN.(3)当点M,N在BC边上运动时,可以得到以MN为底边的等腰三

角形,由题意知12秒时M,N两点重合,恰好在C处,如图2,假设△AMN是等腰三角形,

∴AN=AM,∴∠AMN=∠ANM,∴∠AMC=∠ANB,∵AB=BC=AC,∴△ACB是等边三角形,∴∠C=∠B,在△ACM和△ABN中,∵

∴△ACM≌△ABN(AAS),∴CM=BN,设当点M,N在BC边上运动时,M,N运动y秒(从出发开始计算),

△AMN是等腰三角形,∴CM=y-12,NB=36-2y,故y-12=36-2y,解得y=16.∴当点M,N在BC边上运动时,能得到以MN为底边的等腰三角形AMN,此时M,N运动的时间为16秒.微专题共顶点的等腰三角形如图,AB=AC,AE=AF,∠BAC=∠EAF,BE,CF交于M,连

接AM.(1)求证:BE=CF.(2)若∠BAC=90°,求证:BE⊥CF.例题解析

(1)证明:∵∠BAC=∠EAF,∴∠BAC+∠CAE=∠EAF+∠CAE,∴∠BAE=∠CAF.在△CAF和△BAE中,

,∴△CAF≌△BAE(SAS),∴BE=CF.(2)设AC与BE交于O.由(1)知△CAF≌△BAE,∴∠ABE=∠ACF.∵∠BAC=90°,∴∠ABO+∠BOA=90°.∵∠BOA=∠COM,∴∠COM+∠ACF=90°,∴∠CMO=180°-90°=90°,∴BE⊥CF.变式如图,在△ABC中,分别以AC,BC为边向外作等边三角形ACD和等边三角形BCE,连接AE,BD交于点O,则∠AOB的度

数为____________.

120°

解析设AC与BD交于点H.∵△A