（人教A版）必修第一册高一数学上学期期末考点复习训练01集合及其运算（解析版）

第01讲集合及其运算(重点题型方法与技巧)目录类型一：描述法表示集合的正确理解类型二：根据元素与集合的关系求参数类型三：根据集合中元素的个数求参数类型四：,的等价应用类型五：利用图解决集合问题类型六：新定义题类型一：描述法表示集合的正确理解描述法定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．典型例题例题1．已知集合，则集合的真子集个数为（

）A．32 B．4 C．5 D．31【答案】D【详解】∵∴为12的正约数，又，∴，4，3，2，0∴集合，∴集合A的真子集个数为31，故选：D.例题2．集合，用列举法可以表示为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】解：因为，可得；所以.故选：C点评：通过例题1，例题2对比，在例题1中集合的一般元素代表是“”，只是一般元素“”满足的共同特征，转化为列举法表示集合；例题2中，集合的一般元素代表为“”这个分式化简后的数才是集合的元素，转化为列举法表示；通过例题1,2对比，注意描述法表示集合时一般元素代表和元素共同特征的区别.同类题型演练1．集合中含有的元素个数为A．4 B．6 C．8 D．12【答案】B【详解】解：因为集合中的元素表示的是被12整除的正整数，那么可得为1，2,3,4，6，,12故选B2．集合，用列举法可以表示为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为且，所以的可取值有：，所以列举法表示集合为：，故选：B.类型二：根据元素与集合的关系求参数典型例题例题1．已知集合，且，则实数的值为（

）A．3 B．2 C．0或3 D．0或2或3【答案】A【详解】解：因为，且，所以或，解得或或，当时，即集合不满足集合元素的互异性，故，当时集合不满足集合元素的互异性，故，当时满足条件；故选：A点评：本例考查①分类讨论思想；②回代检验①由于，所以在集合中，分类或者；②求出后，切记回代检验，由于集合元素的互异性，注意检验求出的是否满足集合元素互异性这一特点.例题2．设集合，，若，则实数______.【答案】【详解】解：因为，所以，即是方程一个实数根，所以，解得或，当时，，此时不满足，舍；当时，，满足条件.故答案为：点评：本例考查回代检验①由于,所以，所以是方程一个实数根，解出或；②求出后，切记回代检验，检验的标准就是注意，只有一个公共元素“1”，多了不行，少了也不行.同类题型演练1．已知集合，若，则实数的取值集合为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】当时，，此时，满足题意；当时，或；若，，满足题意；若，，不满足互异性，不合题意；实数的取值集合为.故选：.2．若，则实数_______.【答案】4或【详解】∵，∴，即，此时符合题意；，即，此时，不满足元素的互异性，故舍去；，即，经检验符合题意；综上，或.故答案为：4或.3．已知且，则由的值构成的集合是_______.【答案】【详解】，；或，解得.故答案为：．类型三：根据集合中元素的个数求参数典型例题例题1．若集合只有一个元素，则实数的取值集合是_________【答案】【详解】只有一个元素；方程只有一个解；时，，，满足题意；时，；；∴实数的取值集合是.故答案为：.点评：本例考查：分类讨论思想，对于方程，当时，原方程为一次方程；当时，原方程为二次方程时，，，满足题意；时，；；特别提醒，对于最高项系数含参数如本题，特别注意讨论，往往很多学生忽略该种情况而造成错解.例题2．若集合不含有任何元素，则实数的取值范围是________．【答案】##【详解】解：因为集合不含有任何元素，所以方程无实根，当时，方程为，可得符合题意；当时，方程无实根，则，解得，综上所述，.故答案为：.同类题型演练1．若集合则实数的取值集合为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】当时，不等式等价于，此时不等式无解；当时，要使原不等式无解，应满足，解得；综上，的取值范围是．故选：B．2．若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}中只有一个元素，则a=________．【答案】4【详解】解：中只有一个元素，若，方程等价为，等式不成立，不满足条件．若，则方程满足，即，解得或（舍去）．故答案为：43．已知集合，若中只有一个元素，则的值为______.【答案】或.【详解】当时，有，满足条件；当时，仅有一根，故，解得，综上，或..故答案为：或.类型四：,的等价应用典型例题例题1．已知集合，.若，求实数的取值范围.【答案】.因为，所以，所以，解得.所以实数a的取值范围为.点评：本题考查包含关系：，由于本例中集合的范围明确，不含参数，否则，要分类讨论①;②;本例不需要分类讨论；在解包含关系的不等式问题，往往借助数轴解题，遵循，先确定大方向，后验证个别点①先确定大方向：由于，所以（注意此时确定大方向，不要着急把等号等上去）②验证个别点：采用假设相等法验证，假设，代入右端点检验，代入后检验满足，则将等号补上，此时不等式组变为：③检验右端点，假设，代入左端点检验是否满足，检验后满足条件，补上等号，此时不等式组为：例题2．已知集合，集合.(1)求.(2)求，求的取值范围.【答案】(1)(2)(1)解：由，即，可得，可得集合.(2)解：因为，且集合，又因为，即，当时，即，可得，此时满足；当时，则满足，解得，综上可得，，即实数的取值范围.点评：本题考查包含关系：，由于本例中集合的范围含参数，要分类讨论①;②;本例需要分类讨论；①当时，即，可得，此时满足；②当时,需要满足：，另外由于，采用先确定大方向，后验证个别点的方法；先确定大方向：验证左端点：假设，代入右端点检验，不符合题意，左端点不能取等；验证右端点：假设，代入左端点检验符合，所以不等式变为：综上可得，，即实数的取值范围.例题3．已知集合，.(1)若，求；(2)若，求的取值集合.【答案】(1)(2)或.(1)当时，.因为，所以.(2)因为，所以.当时，解得，，符合题意；当，即时，，符合题意；当，即时，，则解得.综上，a的取值集合是或.同类题型演练1．已知集合，．若，求a的取值范围．【答案】或解：因为，所以，①当时，，解得，符合题意；．②当时，，解得．故的取值范围为或2．已知集合，或．若，求a的取值范围．【答案】或，解：∵或，且，∴，∴或，即或，∴a的取值范围是或，3．已知集合，.(1)若，求实数的值；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1).(2)或.(1)解：由得，即，解得；(2)解：因为，所以，由知可能为；①当=，即无解，所以，解得；

②当，即有两个等根为0，所以依据韦达定理知所以无解；③当，即有两个等根为，所以依据韦达定理知所以无解；③当，即有两个根为0，，所以依据韦达定理知解得；综上，或.类型五：利用图解决集合问题典型例题例题1．某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．则该网店这三天售出的商品最少有（

）．A．25种 B．27种 C．29种 D．31种【答案】C【详解】解：因为前两天都售出的商品有3种，因此第一天售出且第二天没有售出的商品有（种；同理第三天售出的商品中有14种第二天未售出，有1种商品第一天未售出；所以三天商品种数最少时，是第三天中14种第二天未售出的商品都是第一天售出过的，此时商品总数是（种；分别用集合、、表示第一、第二和第三天售出的商品，则商品数最少时，如图所示．故选：C．例题2．2021年是中国共产党成立100周年，电影频道推出“经典频传：看电影，学党史”系列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群体带来精神感召.现有《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有50人，观看了《青春之歌》的有21人，观看了《建党伟业》的有23人，观看了《开国大典》的有26人.其中，只观看了《青春之歌》和《建党伟业》的有4人，只观看了《建党伟业》和《开国大典》的有7人，只观看了《青春之歌》和《开国大典》的有6人，三支短视频全观看了的有3人，则没有观看任何一支短视频的人数为________.【答案】3【详解】把大学社团50人形成的集合记为全集U，观看了《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频的人形成的集合分别记为A，B，C，依题意，作出韦恩图，如图，观察韦恩图：因观看了《青春之歌》的有21人，则只看了《青春之歌》的有(人)，因观看了《建党伟业》的有23人，则只看了《建党伟业》的有(人)，因观看了《开国大典》的有26人，则只看了《开国大典》的有(人)，因此，至少看了一支短视频的有(人)，所以没有观看任何一支短视频的人数为.故答案为：3同类题型演练1．某疫情防控志愿者小组有20名志愿者，由党员和大学生组成，其中有15人是党员，有9人是大学生，则既是党员又是大学生的志愿者人数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【详解】因为志愿者小组有20名志愿者，由党员和大学生组成，其中有15人是党员，有9人是大学生，所以由Venn可得既是党员又是大学生的志愿者人数为．故选：C2．向某50名学生调查对A，B两事件的态度，其中有30人赞成A，其余20人不赞成A；有33人赞成B，其余17人不赞成B；且对A，B都不赞成的学生人数比对A，B都赞成的学生人数的三分之一多1人，则对A，B都赞成的学生人数为（

）A．18 B．19 C．20 D．21【答案】D【详解】记赞成A的学生组成集合A，赞成B的学生组成集合B，50名学生组成全集U，则集合A有30个元素，集合B有33个元素.设对A，B都赞成的学生人数为x，则集合的元素个数为，如图，由Venn图可知，，即，解得，所以对A，B都赞成的学生有21人.故选：D3．某班有39名同学参加数学、物理、化学课外研究小组，每名同学至多参加两个小组.已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参见数学和化学小组有多少人__________.【答案】【详解】设参加数学、物理、化学小组的同学组成的集合分别为，、，同时参加数学和化学小组的人数为，因为每名同学至多参加两个小组，所以同时参加三个小组的同学的人数为，如图所示：由图可知：，解得，所以同时参加数学和化学小组有人.故答案为：.类型六：新定义题典型例题例题1．设全集，对其子集引进“势”的概念：①空集的“势”最小；②非空子集的元素越多，其“势”越大；③若两个子集的元素个数相同，则子集中最大的元素越大，子集的“势”就越大，最大的元素相同，则第二大的元素越大，子集的“势”就越大，依次类推.若将全部的子集按“势”从小到大的顺序排列，则排在第位的子集是___________.【答案】【详解】不含任何元素的子集个数有1个，含有一个元素的子集个数有5个，含有两个元素的子集个数有10个，含有3个元素的子集个数有10个，因为1+5+10+10=26>23，故排在第位的子集在含有3个元素的子集中，第26位的子集为，第25位的子集为，第24位的子集为，第23位的子集为故答案为：例题2．（多选）非空集合关于运算满足：对于任意的、，都有，则称集合关于运算为“回归集”．下列集合关于运算为“回归集”的是（

）A．为，为自然数的减法B．为，为有理数的乘法C．为，为实数的加法D．已知全集，集合，为，为实数的乘法【答案】BC【详解】对于A选项，若，为自然数的减法，则，A不满足条件；对于B选项，若，对任意的、，则，B满足条件；对于C选项，若，对任意的、，则，C满足条件；对于D选项，已知全集，集合，，取，，则，D不满足条件.故选：BC.同类题型演练1．集合P＝{3，4，5}，Q＝{6，7}，定义＝{（a，b）|a∈P，b∈Q}，则的真子集个数为（）A．31 B．63 C．32 D．64【答案】B【详解】解：根据题意得，，则中有6个元素，∴的真子集个数为26﹣1＝63个．故选：B．2．设都是的子集，如果叫做集合的长度，则集合的长度的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意，即，，即，由于的长度是，的长度是，，，所以长度不小于．则首先有或，当时，，的长度为，当时，，则，的长度是．故选：D．3．已知U是非实数集，若非空集合A1