（人教A版）必修第一册高一数学上学期期末考点复习训练06函数的基本性质（单调性与最大（小）值）（解析版）

第6讲函数的基本性质（单调性与最大（小）值）(重点题型方法与技巧)目录类型一：利用定义法判断或证明函数的单调性类型二：求函数的单调区间角度1：利用图象求函数的单调区间角度2：求复合函数的单调区间类型三：函数单调性的应用角度1：利用函数的单调性比较大小角度2：利用函数的单调性解不等式角度3：利用函数的单调性求参数的取值范围类型四：求函数的最值类型五：二次函数的最值问题角度1：不含参数的二次函数最值问题角度2：含参数的二次函数最值问题类型六：恒成立与能成立问题类型一：利用定义法判断或证明函数的单调性典型例题例题1．已知函数，（1）判断函数的单调性，并证明；（2）求函数的最大值和最小值.【答案】（1）增函数.证明见解析；（2），.【详解】（1）设，且，所以，∵，∴，，∴，即，在上为增函数；（2）在上为增函数，则，.同类题型演练1．判断在的单调性.【答案】函数在内单调递减，在内单调递增．【详解】设，则（1）假如，则又，所以故函数单调递减；（2）假如，则又所以故函数单调递增；所以函数在内单调递减，在内单调递增．类型二：求函数的单调区间角度1：利用图象求函数的单调区间典型例题例题1．如图是函数的图象，则函数的减区间是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：若函数在区间上单调递减，则对应的函数图象为从左到右下降的．由图象知，函数的图象在，上分别是从左到右下降的，则对应的减区间为，，故选：D．例题2．函数的单调递减区间是（

）A．[2，4] B．[2，3] C．[2，＋∞） D．[3，＋∞）【答案】B【详解】解：函数，画出函数的图象，如图所示：函数的单调递减区间是，，故选：B同类题型演练1．下列四个函数图象中，当时，函数值随自变量的增大而减小的是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】因为，所以只用观察轴左边的图像，函数值随自变量的增大而减小，说明图像从左到右看，图像一直在下降，观察选项，只有D符合，故选D角度2：求复合函数的单调区间典型例题例题1．函数的单调递减区间为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由得或，即函数的定义域为，又二次函数的图象的对称轴方程为，所以函数（）在区间上单调递减，在区间上单调递增，又函数为增函数，所以的单调递减区间为．故选：D例题2．函数的单调增区间为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为显然恒成立，所以函数的定义域为；令，则是开口向上的二次函数，且对称轴为，所以在上单调递减，在上单调递增；根据复合函数单调性的判定方法可得，的单调增区间为.故选：C.例题3．函数的单调递增区间是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由，得，解得，令，则，因为在上递增，在上递减，而在上递增，所以在上递增，在上递减，所以的单调递增区间是，故选：D同类题型演练1．函数的减区间是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由，得，所以函数的定义域为[－3，1]．可以看成由及复合而成．因为函数在[－3，－1]上是增函数，在[－1，1]上是减函数，函数在上是增函数，所以根据复合函数单调性“同增异减”的判断方法，可知函数的减区间是[－1，1]．故选：B．2．函数的单调递增区间是________.【答案】【详解】令，解得或，所以函数的定义域为，而函数的对称轴是，故函数的单调递增区间是.故答案为：.3．函数的单调递增区间为___________.【答案】【详解】由可得，解得：，所以函数的定义域为，因为是由和复合而成，对称轴为，开口向下，所以在上单调递增，在上单调递减，因为单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减，所以的单调递增区间为，故答案为：.类型三：函数单调性的应用角度1：利用函数的单调性比较大小典型例题例题1．已知函数在区间上是增函数，则的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】因为在区间上是增函数，并且，所以，所以D选项的正确的．故选：D例题2．函数在是增函数，若，则有（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】，又函数在上是增函数，故故选：C.同类题型演练1．定义域为的函数满足:对任意的，有，则有（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】定义域在上的函数满足：对任意的，，有，可得函数是定义域在上的增函数，所以（1）（3）．故选：．2．设函数是上的减函数，则

（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】当时，选项A、B、C都不正确；因为，所以，因为在上为减函数，所以，故D正确.故选：D角度2：利用函数的单调性解不等式典型例题例题1．已知在定义域上是减函数，且，则的取值范围为（

）A．（0，1） B．（-2，1） C．（0，） D．（0，2）【答案】A【详解】因为在定义域上是减函数，所以由，故选：A例题2．已知函数，若则实数的取值范围是____．【答案】【详解】由题意可知，函数在上单调递增，则，即且，即且，解得且或，即故答案为：.同类题型演练1．已知函数，则不等式的x的解集是________．【答案】【详解】画出函数的图象如图所示：所以函数在上为增函数，由得，即，解得.故答案为：.角度3：利用函数的单调性求参数的取值范围典型例题例题1．函数在上是增函数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】函数的对称轴为，开口向下，若在上是增函数，则，可得，所以的取值范围是，故选：A.例题2．已知函数的增区间是，则实数的值为___________.【答案】【详解】因为函数，故当时，单调递减，当时，单调递增.因为函数的增区间是，所以，所以.故答案为：.例题3．若函数，在上单调递增，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意得，解得．故选：B例题4．若是上的单调减函数，则实数的取值范围为____.【答案】【详解】若f（x）＝是R上的单调减函数，得则，解得，故答案为：.同类题型演练1．若函数是上的单调函数，则的取值范围（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为分段函数在上的单调函数，由于开口向上，故在上单调递增，故分段函数在在上的单调递增，所以要满足：，解得：故选：B2．已知函数，若对于区间上任意两个不相等的实数，，都有，则实数a的取值范围为___________．【答案】【详解】由题意，的对称轴为，即或，或，故答案为：

.3．若在区间上是增函数，则实数的取值范围是______．【答案】【详解】解：函数，由复合函数的增减性可知，若在为增函数，，，故答案为：．4．已知函数f(x)＝，对任意x1，x2∈R且x1≠x2，都有，则实数m的取值范围是___________.【答案】##【详解】不妨设，所以由可得：，所以函数在上递减，故，解得：．故答案为：．类型四：求函数的最值（值域）典型例题例题1．函数在区间上的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】设，则问题转化为求函数在区间上的最大值．根据对勾函数的性质，得函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以．故选：B例题2．已知函数．(1)试判断函数在区间上的单调性，并证明；(2)求函数在区间上的值域.【答案】(1)单调递增，证明见解析(2)（1）解：函数在上的为增函数，理由如下：任取，且，有∵，∴∴即∴函数在区间上单调递增（2）由（1）可知函数在区间上单调递增，∴，又∵时，，∴∴∴函数的值域为.例题3．已知函数（1）判断在区间上的单调性，并证明你的结论；（2）求在区间上的最值．【答案】（1）在区间上单调递增，证明见解析；（2），.【详解】（1）在区间上单调递增证明：任取，且因为，，，所以，即所以在区间上单调递增（2）由（1）可得，在区间上单调递增所以，同类题型演练1．求函数，的最大值与最小值.【答案】最大值，最小值【详解】函数，根据对勾函数的性质可得：在上单调递减，上单调递增.当时取到最小值.又当时，，当时，所以当时取到最大值，所以函数的最大值，最小值2．已知函数，（1）判断并用定义证明的单调性；（2）求的值域.【答案】（1）增函数，证明见解析；（2）.【详解】（1）为增函数，证明如下：，，因为，可得：所以在上为增函数.（2）由第一问可知该函数在上为增函数，则当，有最小值，当，有最大值.因为，，所以函数值域为.类型五：二次函数的最值问题角度1：不含参数的二次函数最值问题典型例题例题1．函数在区间上的最大值、最小值分别是（

）A． B． C． D．最小值是，无最大值【答案】C【详解】，抛物线的开口向上，对称轴为，在区间上，当时，有最小值；时，有最大值，函数在区间上的最大值、最小值分别是：，．故选：C．例题2．函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】已知函数的对称轴为，开口向上，作出函数图像如图所示，由图可知，，，所以值域为.故选：D.同类题型演练1．函数在区间上的最小值为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】，对称轴，开口向上，所以函数在上单调递减，在单调递增，所以.故选：C2．函数的最大值与最小值之和

A．1.75 B．3.75 C．4 D．5【答案】B【详解】解：函数的对称轴为，其在上单调递减，在上单调递增，，故选B．3．设，则函数的最大值为______.【答案】【详解】二次函数是开口向下的，对称轴为，∴当时，；故答案为：.角度2：含参数的二次函数最值问题典型例题例题1．已知函数.(1)若，求不等式的解集；(2)已知在上单调递增，求的取值范围；(3)求在上的最小值.【答案】(1)(2)(3)(1)解：当时，函数，不等式，即，解得或，即不等式的解集为.(2)解：由函数，可得的图象开口向上，且对称轴为，要使得在上单调递增，则满足，所以的取值范围为.(3)解：由函数，可得的图象开口向上，且对称轴为，当时，函数在上单调递增，所以最小值为；当时，函数在递减，在上递增，所以最小值为；当时，函数在上单调递减，所以最小值为，综上可得，在上的最小值为.例题2．已知函数．(1)若函数为偶函数，求实数的值；(2)若函数在区间上具有单调性，求实数的取值范围；(3)求函数在区间上的最小值．【答案】(1)－1(2)(3)（1）因为定义在上的函数为偶函数，所以，都有成立，即，都有成立，解得．（2）因为函数图象的对称轴为，所以要使函数在上具有单调性，则，或，即或，则的取值范围为．（3）①若函数在上单调递减，则，即，此时函数在区间上的最小值为．②若函数在上单调递增，则，即，此时函数在区间上的最小值为．③若函数在上不单调，则，即，此时函数在区间上的最小值为．综上所述，函数在区间上的最小值为.例题3．已知二次函数，且满足，.(1)求函数的解析式；(2)当（）时，求函数的最小值（用表示）．【答案】(1)(2)（1）因为二次函数，且满足，，所以，且，由，得，所以，得，所以.（2）因为是图象的对称轴为直线，且开口向上的二次函数，当时，在上单调递增，则；当，即时，在上单调递减，则；当，即时，，综上同类题型演练1．已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[t，t＋2]，求函数f(x)的最小值．【答案】g(t)＝【详解】解：∵对称轴x＝1，当1≥t＋2即t≤－1时，f(x)在[t，t＋2]上为减函数，∴f(x)min＝f(t＋2)＝(t＋2)2－2(t＋2)－3＝t2＋2t－3.当t≤1<t＋2，即－1<t≤1时，f(x)min＝f(1)＝－4.当1<t，即t>1时，f(x)在[t，t＋2]上为增函数，f(x)min＝f(t)＝t2－2t－3.设函数f(x)的最小值为g(t)，则g(t)＝2．求二次函数在上的最小值.【答案】当时，最小值为；当时，最小值为；当时，最小值为【详解】由题意，函数，可得在区间递减递增，（1）当时，函数在区间递减，所以（2）当时，在区间递增，所以（3）当时，在区间递减，在区间递增，所以3．已知是二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最大值是．(1)求的解析式；(2)设函数在上的最小值为，求的表达式．【答案】(1)(2)(1)是二次函数，且的解集是，可设，对称轴为，在区间上的最大值是．由已知得，．(2)由(1)得，函数图象的开口向上，对称轴为(讨论对称轴与闭区间的相对位置)①当时，即时，在上单调递减，(对称轴在区间右侧)此时的最小值；②当时，在上单调递增，(对称轴在区间左侧)此时的最小值；③当时，函数在对称轴处取得最小值(对称轴在区间中间)此时，，综上所述，得的表达式为：．类型六：恒成立与能成立问题典型例题例题1．若函数的定义城为，则实数的取值范围是（

）A．[0，1] B．[0，1） C．[0，] D．[0，）【答案】D【详解】要满足题意，只需在上恒成立即可.当时，显然满足题意.当时，只需，解得.综上所述，故选：D.例题2．已知函数，，对，，使成立，则实数的取值范围是___________.【答案】【详解】函数图象的对称轴为直线x=2，所以在上单调递减，则在上的值域为.因为在上单调递增，所以在上的值域为.由题意，可得，即，解得.故答案为：例题3．已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是___________.【答案】【详解】对任意，恒成立，等价于在上恒成立，令，则其在上的最小值为，所以，得.故答案为：例题4．已知，函数，，若对任意，总存在，使得，则的取值范围为______.【答案】【详解】解：依题意显然，因为对任意，总存在，使得，所以存在，使得，故在上有解，即在上有解.设，其图象的对称轴为，若，即，则此时，故不成立；若，即，此时需在上，即，故，解得.故答案为：例题5．设函数.(1)若对于一切实数，恒成立，求