（人教A版）必修第一册高一数学上学期期末考点复习训练07函数的基本性质（奇偶性）（解析版）

第3讲函数的基本性质（奇偶性）(重点题型方法与技巧)目录重点题型一：用定义法判断函数的奇偶性重点题型二：分段函数奇偶性的判断重点题型三：抽象函数的奇偶性重点题型四：函数奇偶性的应用角度1：求函数值角度2：求函数解析式角度3：求参数的值或取值范围角度4：求函数的值域或最值角度5：解不等式重点题型五：函数性质的综合应用重点题型一：用定义法判断函数的奇偶性典型例题例题1．判断下列函数的奇偶性：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)偶函数(2)奇函数(3)奇函数(4)非奇非偶函数（1）的定义域为，它关于原点对称.，故为偶函数.（2）的定义域为，它关于原点对称.，故为奇函数.（3）的定义域为，它关于原点对称.，故为奇函数.（4），故，故为非奇非偶函数.同类题型演练1．）判断下列函数的奇偶性．(1)；(2)；(3)【答案】(1)非奇非偶函数(2)奇函数(3)偶函数(1)函数f(x)的定义域为，不关于原点对称，所以是非奇非偶函数．(2)f(x)的定义域为，关于原点对称．，所以为奇函数．(3)的定义域为，且关于原点对称，当时，，则；当时，，则，故是偶函数．重点题型二：分段函数奇偶性的判断典型例题例题1．判断下列函数的奇偶性．【答案】奇函数．【详解】的定义域为，,，所以是奇函数.同类题型演练1．判断下列函数的奇偶性：.【答案】奇函数【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称.①当时，，所以，，所以；②当时，，所以；③当时，，所以.综上，可知函数为奇函数.重点题型三：抽象函数的奇偶性典型例题例题1．已知函数的定义域为，对于任意的，都有，且．(1)求．(2)证明：．【答案】(1)；(2)证明见解析.(1)在中，令，可得，因为，所以．(2)在中，令，得，因为，所以，即，由于y的任意性，则．例题2．已知定义在上的函数，满足：①；②任意的，，.（1）求的值；（2）判断并证明函数的奇偶性.【答案】（1）1；（2）偶函数，证明见解析.【详解】（1）依题意，.（2）由（1）知，∴，即，∴，又因为的定义域为，所以函数为偶函数.同类题型演练1．已知函数满足．(1)求的值；(2)求证：；【答案】(1)(2)证明见解析(3)(1)解：因为，令，则，所以；(2)解：因为，令，则，又，所以，即；2．定义在上的函数是单调函数，满足，且，.(1)判断的奇偶性，并证明；【答案】(1)奇函数，证明见解析(1)取，得，即，，取，得，移项得函数是奇函数；重点题型四：函数奇偶性的应用角度1：求函数值典型例题例题1．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则(

)A．－12 B．12 C．9 D．－9【答案】B【详解】，因为函数是定义在上的奇函数，所以，故选：B.例题2．已知函数为上的奇函数，当时，，则等于（

）A． B． C．1 D．3【答案】C【详解】因为函数为R上的奇函数，当时，，所以．而，∴．故选：C．例题3．已知，且，那么___________【答案】【详解】设，则，易得定义域为R，又，所以函数为奇函数，又因为，即，可得，所以，则.故答案为：.同类题型演练1．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则___________.【答案】2【详解】由题意得：，因为函数是定义在R上的偶函数，所以故答案为：22．已知是上的奇函数，且当时，，则的值为___________.【答案】【详解】因为是R上的奇函数，且当时，，所以，所以故答案为：3．函数，若，则＝________．【答案】【详解】解：令，由，得，因为，所以函数为奇函数，所以，所以.故答案为：.4．已知函数为奇函数，当时，，求．【答案】【详解】因为为奇函数，故.角度2：求函数解析式典型例题例题1．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】时，，，∴，故选：C.例题2．已知是定义在上的偶函数，当时，，则当时，（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且当时，设，则，,故选：B．例题3．已知是定义在上的奇函数，当时，，则当时，______．【答案】【详解】时，，是奇函数，此时故答案为：同类题型演练1．若函数是定义域为的奇函数，且当时，，则当时，（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】当时，，由奇函数的定义可得.故选：D.2．已知是偶函数，当时，，则当时，_________．【答案】【详解】由，则，且函数是偶函数，故当时，故答案为：3．已知函数是定义在上的奇函数，当时，．则函数的解析式为_________．【答案】【详解】设-3<x<0，则3>-x>0，则有，又因为，所以，又，所以故答案为：角度3：求参数的值或取值范围典型例题例题1．若函数是奇函数，则实数的值为___________.【答案】1【详解】若是奇函数，则有.当时，，则，又当时，，所以，由，得，解得a=1.故答案为：1.例题2．函数是偶函数，且它的值域为，则__________．【答案】【详解】解：为偶函数，所以，即或，当时，值域不符合，所以不成立；当时，，若值域为，则，所以.故答案为：.例题3．已知函数为偶函数，求的值．【答案】【详解】解：根据题意，函数为偶函数，则有，即，即，即，所以，解得；同类题型演练1．设函数在区间上为偶函数，则的值为___________.【答案】1【详解】解：因为函数在区间上为偶函数，所以，解得.又为偶函数，所以，即，解得：.此时，，满足题意．所以.故答案为：2．已知函数是定义在上的奇函数，则______.【答案】【详解】依题意函数是定义在上的奇函数，所以，，，恒成立，所以，所以.故答案为：3．已知函数是奇函数.(1)求实数m的值：【答案】(1)(1)∵又为奇函数，∴，即∴.角度4：求函数的值域或最值典型例题例题1．若偶函数在区间上是增函数且最小值是，则在上是（

）A．增函数，最大值是 B．增函数，最小值是C．减函数，最小值是 D．减函数，最大值是【答案】C【详解】任取、且，即，则，由题意可得，由偶函数的性质可得，且对任意的，，由题意可得，则，因此，在上是减函数，最小值是.故选：C.例题2．已知是定义在上的奇函数，且时，，则在上的最大值为(

)A．1 B．8 C． D．【答案】C【详解】∵是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，又∵，，∴，∴时，，设，则，则，则，即当x＞0时，，∴f(x)在上单调递减，∴f(x)在上的最大值为.故选：C.同类题型演练1．若函数的图像关于直线对称，则的最大值是（

）A． B． C．或 D．不存在【答案】B【详解】由函数的图像关于直线对称，知是偶函数，，即，整理得总成立，得，，令，则，当时，有最大值，即的最大值是．故选：B．2．已知是定义在R上的奇函数，且时，，则在上的最大值为_____.【答案】【详解】∵是定义在R上的奇函数，∴，又∵，，∴，∴时，，设，则，则，则，即当x＞0时，，∴f（x）在上单调递减，∴在上的最大值为．故答案为：角度5：解不等式典型例题例题1．定义在上的奇函数在上单调递增，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：因为奇函数在上单调递增，所以在上单调递增，因为，所以，所以，解得．故选：C.例题2．已知偶函数的定义域为，当时，，则的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】，在上单调递减，又为偶函数，，，，解得：或，的解集为.故选：D.例题3．已知定义在上的函数在上单调递增，且为偶函数，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】∵为偶函数，∴，即函数关于对称，又函数在上单调递增，∴函数在上单调递减，由，可得，整理得，，解得或.故选：B.例题4．已知函数是定义在上的偶函数，若，，且，都有成立，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】令，因为函数是定义在R上的偶函数，所以，即是定义在R上奇函数．又，，且，都有成立，所以在上单调递减，又是定义在R上奇函数，所以在R上单调递减，所以，即，所以，解得．故A，B，D错误.故选：C．同类题型演练1．设为实数，定义在上的偶函数满足：①在上为增函数；②，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】因为为定义在上的偶函数，在上为增函数，由可得，∴，解得.故选：B.2．定义在上的偶函数在区间上单调递减，若，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】∵是偶函数，，故可变形为，∵在区间上单调递减，故.故选：C.3．若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是____________.【答案】【详解】解：因为偶函数在上单调递减，所以在上单调递增，又，所以，所以当时，则不等式等价于，解得，所以原不等式的解集为.故答案为：4．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，，则不等式x·f(x)＞0的解集为_______________.【答案】【详解】因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，，所以，且在上单调递增．因此，当时，，当时，，当时，，当时，，所以x·f(x)＞0的解集为．故答案为：．重点题型六：函数性质的综合应用典型例题例题1．已知函数．(1)若，判断的奇偶性并加以证明．(2)当时，先用定义法证明函数在[1，）上单调递增，再求函数在[1，）上的最小值．(3)若对任意恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)奇函数；证明见解析(2)证明见解析；最小值为(3)（1）因为，定义域为关于原点对称，且，所以为奇函数.（2）当时，，且，有．所以，函数在上单调递增，函数在上的最小值为．（3）若对任意恒成立，则，所以，问题转化为大于函数在上的最大值．且函数在上单调递减，所以最大值为，故实数的取值范围是例题2．已知函数是定义在上的奇函数，且.(1)求函数的解析式；(2)判断函数在上的单调性，并用定义证明；(3)解不等式：.【答案】(1)；(2)函数在上单调递增，证明见解析；(3).（1）解：因为函数是定义在上的奇函数，则，即，可得，则，所以，，则，因此，.（2）证明：函数在上是增函数，证明如下：任取、且，则，因为，则，，故，即.因此，函数在上是增函数.（3）解：因为函数是上的奇函数且为增函数，由得，由已知可得，解得.因此，不等式的解集为.例题3．函数是定义在上的奇函数，且．(1)确定的解析式；(2)判断在上的单调性，并用定义证明．【答案】(1)(2)增函数，证明见解析（1）解：因为函数是定义在上的奇函数，所以，解得．经检验，当时，是上的奇函数，满足题意．又，解得，所以．（2）解：在上为增函数．证明如下：在内任取且，则，因为，，，，所以，即，所以在上为增函数．同类题型演练1．已知函数在区间上的最小值为．（1）求函数的解析式．（2）定义在上的函数为偶函数，且当时，．若，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【详解】（1）因为，所以当时，，此时；当时，，此时函数在区间上单调递减，所以．综上，（2）因为时，，所以当时，，易知函数在上单调递减，因为定义在上的函数为偶函数，且，所以，解得或，所以实数t的取值范围为．2．设是定义在上的奇函数，且当时