（人教A版）必修第一册高一数学上学期期末考点复习训练08函数的应用（一）（解析版）

第4讲：3.4函数的应用（一）(重点题型方法与技巧)目录重点题型一：二次函数模型的应用重点题型二：分段函数模型的应用重点题型三：利用对钩函数求最值或值域重点题型四：恒成立（能成立）问题重点题型五：双变量问题重点题型六：新定义问题重点题型一：二次函数模型的应用典型例题例题1．如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园，已知院墙长为25米，篱笆长50米（篱笆全部用完），设篱笆的一面的长为米．(1)当的长为多少米时，矩形花园的面积为300平方米？(2)若围成的矩形的面积为平方米，当为何值时，有最大值，最大值是多少？【答案】(1)15米；(2)当x为12.5米时，S有最大值，最大值是312.5平方米.（1）设篱笆的一面AB的长为x米，则，由题意得，，解得，，，，所以，的长为15米时，矩形花园的面积为300平方米；（2）由题意得，时，S取得最大值，此时，，所以，当x为12.5米时，S有最大值，最大值是312.5平方米．例题2．首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本(元)与月处理量(吨)之间的函数关系可近似的表示为，且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？【答案】(1)400吨；(2)不获利，需要国家每个月至少补贴40000元才能不亏损.（1）由题意知，平均每吨二氧化碳的处理成本为；当且仅当，即时等号成立，故该当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低为200元.（2）不获利，设该单位每个月获利为S元，则，因为，则，故该当单位每月不获利，需要国家每个月至少补贴40000元才能不亏损.同类题型演练1．重庆朝天门批发市场某服装店试销一种成本为每件元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于成本的.经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合函数，且时，；时，.（1）求函数的解析式；（2）若该服装店获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定为多少元时，服装店可获得最大利润，最大利润是多少元？【答案】（1）；（2），销售价定为每件元时，可获得最大利润是元.【详解】（1）因为，所以，由题意得：，解得：，所以函数的解析式为：，（2）由题意知：利润为，因为，所以当时，取得最大值，最大值是.所以利润与销售单价之间的关系式为，销售价定为每件元时，可获得最大利润是元.2．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的函数关系式可以近似表示为，已知此生产线年产量最大为210吨，若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？【答案】年产量为210吨时，可获得最大利润，最大利润是1660万元.【详解】解:设可获得的总利润为万元，则∵在上是增函数，∴当时，.∴年产量为210吨时，可获得最大利润，最大利润是1660万元.重点题型二：分段函数模型的应用典型例题例题1．第四届中国国际进口博览会于2021年11月5日至10日在上海举行.本届进博会有4000多项新产品､新技术､新服务.某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2022年与该跨国公司合资生产此款空调.生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，生产千台空调，需另投入资金万元，且.经测算，当生产10千台空调时需另投入的资金万元.现每台空调售价为0.9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完.(1)求2022年该企业年利润（万元）关于年产量（千台）的函数关系式；(2)2022年产量为多少时，该企业所获年利润最大？最大年利润为多少？注：利润=销售额-成本.【答案】(1)(2)当2022年产量为100千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为8990万元（1）由题意知，当时，，所以a=300.当时，；当时，.所以，（2）当时，，所以当时，W有最大值，最大值为8740；当时，，当且仅当，即x=100时，W有最大值，最大值为8990.因为，所以当2022年产量为100千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为8990万元.例题2．某企业为抓住环境治理带来的历史性机遇，决定开发生产一款大型净水设备．生产这款设备的年固定成本为万元，每生产台需要另投入成本（万元），当年产量不足台时，万元，当年产量不少于台时，万元．若每台设备的售价为万元，经过市场分析，该企业生产的净水设备能全部售完．(1)求年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式；(2)年产量为多少台时，该企业在这一款净水设备的生产中获利最大？最大利润是多少万元？【答案】(1)；(2)当年产量为台时，该企业在这款净水设备的生产中获利润最大，最大为万元．(1)当，时，；当，时，；综上所述：.(2)当，时，，则当时，的最大值为；当，时，（当且仅当，即时等号成立）；当年产量为台时，该企业在这款净水设备的生产中获利润最大，最大为万元．例题3．某店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件，市场调查反映；调整价格时，售价每涨1元每月要少卖10件，售价每下降1元每月要多卖20件，为了获得更大的利润，现将商品售价调整为（元/件）（即售价上涨，即售价下降），每月商品销量为（件），月利润为（元）.(1)直接写出与之间的函数关系式；(2)当销售价格是多少时才能使月利润最大？求最大月利润？(3)为了使每月利润不少于6000元应如何控制销售价格？【答案】(1)(2)销售价格为65元时，利润最大，最大利润为6250元；(3)将售价控制在55元到70元之间（含55元和70元）（1）由题意，每件最多涨元，最多降价元，故.当时，，当时，，所以y与x之间的函数关系式.（2）当时，，因为，，所以当时，取得最大值，最大值为6250；当时，，因为，，所以当时，取得最大值，最大值为6125，综上，当时，月利润最大，最大利润为6250元，即当销售价格为65元时，利润最大，最大利润为6250元；（3）分析可得：当时，，即，解得；当时，由，即，解得；综上可得，当时，得所以将售价控制在55元到70元之间（含55元和70元）才能使每月利润不少于6000元.同类题型演练1．今年，我国某企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x（千部）手机，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.(1)求2023年的利润（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式；(2)2023年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)(2)2023年产量为100（千部）时，企业所或利润最大，最大利润是8000万元(1)当时，；当时，；∴；(2)若，，当时，万元；若，，当且仅当即时，万元.答：2023年产量为100（千部）时，企业所或利润最大，最大利润是8000万元.2．某地政府为增加农民收入，根据当地地域特点，积极发展农产品加工业，经过市场调查，加工某农品需投入固定成本2万元，每加工万千克该农产品，需另投入成本万元，且.已知加工后的该农产品每千克售价为6元，且加工后的该农产品能全部销售完.(1)求加工该农产品的利润（万元）与加工量（万千克）的函数关系；(2)当加工量小于6万千克时，求加工后的农产品利润的最大值.【答案】(1)；(2)万元.(1)当时，，当时，，故加工该农产品的利润（万元）与加工量（万千克）的函数关系为；(2)当加工量小于6万千克时，，当时，农产品利润取得最大值万元.3．2021年，小林经过市场调查，决定投资生产某种电子零件，已知固定成本为6万元，年流动成本（万元）与年产品产量x（万件）的关系为，每个电子零件售价为12元，若小林加工的零件能全部售完．(1)求年利润（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；(2)求当年产量x为多少万件时年利润最大？最大值是多少？【答案】(1)；(2)万件时最大利润为18万元.(1)由题设，，所以.(2)当时，故时最大利润为12万元；当时，当且仅当时等号成立，此时最大利润为18万元；综上，当万件时最大利润为18万元.重点题型三：利用对钩函数求最值或值域典型例题例题1．已知，则的最大值是_________【错解】，故答案为：.【正解】【详解】，令，在上单调递增，当时，原式例题2．函数的最小值为______.【错解】4【详解】，所以的最小值为4，故答案为：4【正解】【详解】，令，原式等于（）在上单调递增，所以当时，点评，在例题1,2中，错解主要使用基本不等式，基本不等式使用时一定要满足一正，二定，三相等，例题1,2中都不满足“三相等”这个条件，从而造成错解，此时应改用对钩函数解题.重点题型四：恒成立（能成立）问题典型例题例题1．已知幂函数的定义域为全体实数.(1)求的解析式；(2)若在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)（1）∵是幂函数，∴，∴或2.当时，，此时不满足的定义域为全体实数R，∴m＝2,∴.（2）即，要使此不等式在上恒成立，令,只需使函数在上的最小值大于0.∵图象的对称轴为，故在上单调递减，∴，由，得，∴实数k的取值范围是.例题2．已知函数.(1)当时，写出的单调区间（不需要说明理由）；(2)若存在，使得，求实数的取值范围.【答案】(1)增区间为、，减区间为(2)或(1)解：当时，，所以，函数的增区间为、，减区间为.(2)解：因为存在，使得，等价于存在，使得成立，即，所以，或在上有解，即或在上有解，所以，或，.因为、在上均为增函数，则在上为增函数，所以，，当时，，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，则.综上所述，或.同类题型演练1．已知函数．(1)判断的奇偶性；(2)若当时，恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)偶函数(2)(1)函数的定义域为，关于原点对称，又，所以函数为偶函数；(2)因为在上单调递增，故函数在上单调递减，所以，因为当时，恒成立转化为，即可，所以，则实数的取值范围为．重点题型五：双变量问题典型例题例题1．已知______，且函数.①函数在定义域上为偶函数；②函数在上的值域为.在①，②两个条件中，选择一个条件，将上面的题目补充完整，求出，的值，并解答本题.(1)判断的奇偶性，并证明你的结论；(2)设，对任意的R，总存在，使得成立，求实数的取值范围.【答案】(1)选择条件见解析，a＝2，b＝0；为奇函数，证明见解析；(2).（1）选择①.由在上是偶函数，得，且，所以a＝2，b＝0.所以.选择②.当时，在上单调递增，则，解得，所以.为奇函数.证明如下：的定义域为R.因为，所以为奇函数.（2）当时，，因为，当且仅当，即x＝1时等号成立，所以；当时，因为为奇函数，所以；当x＝0时，，所以的值域为.因为在上单调递减，所以函数的值域是.因为对任意的，总存在，使得成立，所以，所以,解得.所以实数c的取值范围是.例题2．已知函数的定义域为，且，，当且时恒成立．(1)判断在上的单调性；(2)解不等式；(3)若对于所有，恒成立，求的取值范围．【答案】(1)在上单调递增(2)(3)（1），，则当时，，；当时，；当时，；在上单调递增.（2）由（1）知：，解得：，的解集为.（3）由（1）知：，对于任意恒成立；令，当时，不成立，不合题意；当时，在上单调递减，，解得：（舍）或；当时，在上单调递增，，解得：或（舍）；综上所述：的取值范围为.例题3．已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数．(1)已知，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域；(2)对于（1）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的范围．【答案】(1)的增区间，减区间是，值域是．(2)．(1)由题意在上递减，在上递增，，又，，所以的增区间，减区间是，值域是．(2)由题意知在上递减，，所以，时，，对任意，总存在，使得成立，则，所以，所以．例题4．已知函数有如下性质：若常数，则该函数在上单调递减，在上单调递增．(1)已知，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域；(2)对于（1）中的函数和函数，，若对任意，总存在，使得成立，求实数的值．【答案】(1)的单调递减区间为，单调递增区间为，值域为．(2)（1）．设，，则，．由已知性质，得当，即时，单调递减，所以的单调递减区间为；当，即时，单调递增，所以的单调递增区间为．由，，，得的值域为．（2）因为在上单调递减，所以．由题意，得的值域是的值域的子集，所以，所以．同类题型演练1．已知函数．(1)根据函数单调性的定义，证明在区间上单调递减，在区间上单调递增；(2)令，若对，，都有成立，求实数的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)(1)证明：设，，且，则，当时，∴，，∴，∴，即，∴函数在上单调递减．当时，∴，，∴，∴，即，∴函数在上单调递增．综上，函数在上单调递减，在上单调递增．(2)解：由题意知，令，，由（1）可知函数在上单调递减，在上单调递增，∴，∵函数的对称轴方程为，∴函数在上单调递减，当时，取得最大值，，当时，取得最小值，，所以，，又∵对，，都有恒成立，∴，即，解得,又∵，∴k的取值范围是．2．已知函数.(1)求证：函数在区间上是单调增函数；(2)若对，满足不等式成立，求实数的取值范围.【答案】(1)证明见解析；(2).（1）由，令，则，所以，故在区间上是单调增函数.（2）令，则问题转化为在，上有，由在上递增，故，当时，在上递增，则，所以，可得.当时，则，符合题设；当时，在上递减，则，所以，可得.综上，.3．已知函数满足．(1)求的解析式，并求在上的值域；(2)若对，且，都有成立，求实数k的取值范围．【答案】(1)，(2)（1）因为①，所以②，联立①②解得.当时为增函数，时为减函数，因为所以（2）对，，，都有，不妨设，则由恒成立，也即可得函数在区间（2，4）递增；当，即时，满足题意；当，即时，为两个在上单调递增函数的和，则可得在单调递增，从而满足在（2，4）递增，符合题意；当，即时，，其在递减，在递增，若使在（2，4）递增，则只需；综上可得：4．已知函数f(x)＝x2－4x＋a，g(x)＝ax＋5－a．(1)若函数y＝f(x)在区间[－1，0]上存在零点，求实数a的取值范围；(2)若对任意的x1∈[-1，3]，总存在x2∈[-1，3]，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)[－5，0](2)(1)因为函数f(x)的对称轴是x＝2，所以y＝f(x)在区间[－1，0]上是减函数，因为函数y＝f(x)在区间[－1，0]上存在零点，则必有即解得－5≤a≤0．故所求实数a的取值范围[－5，0]．(2)若对任意的x1∈[-1，3]，总存在x2∈[-1，3]，使得f(x1)＝g(x2)成立，只需当x∈[-1，3]时函数y＝f(x)的函数值组成的集合为函数y＝g(x)的函数值组成的集合的子集．f(x)＝x2－4x＋a在区间x∈[-1，3]的函数值组成的集合为[a－4，a＋5]，①当a＝0时，g(x)＝5为常数，不符合题意，舍去；②当a>0时，g(x)在区间[-1，3]的值域为[5－2a，5+2a]，所以，解得．③当a<0时，g(x)在区间[-1，3]的值域为[5+2a，5－2a]，所以，．综上所述，实数a的取值范围为．5．已知函数对任意实数､恒有f（x+y）=f（x）+f（y），当时，，且.(1)判断的奇偶性；(2)证明函数单调性并求在区间上的最大值；(3)若对所有的恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)奇函数(2)证明见解析，最大值为(3)(1)取，则，取，则对任意恒成立为奇函数(2)证明：任取且，则又为奇函数故为上的减函数故在上的最大值为(3)在上是减函数，对所有恒成立恒成立即恒成立令，则，即解得或实数的取值范围为重点题型六：新定义问题例题1．已知函数，利用函数图象解决下列问题．(1)若，试比较与的大小．(2)若函数在区间D上的值域也为D，则称函数具有较好的保值性，这个区间称为保值区间，保值区间有三种形式：，，．试问是否具有较好的保值性？若具有，求出保值区间．【答案】(1)；(2)具有较好的保值性，保值区间是，，．（1）由的图象，如下图所示．由图知：当时，．（2）具有较好的保值性，由的图象知：的值域是．当时，趋向，不符合题意；当时，要使值域为，则，所以m，n是方程的两个根，解得m＝1，n＝2，所以保值区间是；当时，要使值域为，则，解得m＝1或m＝2，所以保值区间是，．综上，具有较好的保值性，保值区间是，，．例题2．若存在常数，使得对定义域内的任意，，都有成立，则称函数在其定义域上是“－利普希茨条件函数”．(1)请写出一个“－利普希茨条件函数”（要求明确函数的表达式、的值及定义域）；(2)若函数是“－利普希茨条件函数”，求常数的取值范围．【答案】(1)，定义域，k＝3（答案不唯一）；(2)（1），定义域，k＝3（答案不唯一）；（2）若函数是“k－利普希茨条件函数”，则对于定义域内的任意，，都有成立．不妨设，则恒成立，因为，所以，所以，所以的取值范围是．例题3．对于函数，若存在，使，则称是的一个“伸缩倍点”.已知二次函数.(1)当时，求函数的“伸缩2倍点”；(2)当函数有唯一一个“伸缩3倍点”时，求二次函数的最大值.【答案】(1)－1和4(2)当时，最大值为；当时，最大值为（1）当a＝1时，，设是的“伸缩2倍点”，则，得，解得或，∴函数的“伸缩2倍点”是－1和4.（2）∵函数有唯一一个“伸缩3倍点”，∴方程有唯一