（人教A版）必修第一册高一数学上学期期末考点复习训练13三角函数的图象与性质（解析版）

第2讲：三角函数的图象与性质(重点题型方法与技巧)目录类型一：解三角不等式类型二：三角函数的周期问题类型三：三角函数的奇偶性问题类型四：三角函数的对称性问题类型五：三角函数的单调性问题类型六：正弦函数、余弦函数的最大(小)值问题角度1：利用三角函数的有界性和单调性求值域或最大(小)值角度2：换元法求值域或最大(小)值(可化为一元二次函数型）角度3：分式型求值域或最大(小)值类型七：新定义问题类型一：解三角不等式典型例题1．函数的定义域为_____________．【答案】【详解】由题意得：，故，则故答案为：2．函数的定义域是___________．【答案】，【详解】由得：，所以，.故答案为：，3．函数的定义域为___________.【答案】【详解】由题意，.故答案为：.类型二：三角函数的周期问题典型例题1．下列函数中，最小正周期为的奇函数是（

）．A． B．C． D．【答案】C【详解】A选项，为偶函数，故A错误；B选项，，则，故为偶函数，故B错误；C选项，，最小正周期，且为奇函数，故C正确；D选项，为奇函数，最小正周期，故D错误．故选：C．2．函数的最小正周期是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为

所以，故选:B.3．函数的最小正周期为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：，所以的最小正周期．故选：C．4．下列函数中，以为最小正周期的偶函数为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】对于A，，定义域关于原点对称，，为偶函数，又，所以周期为，故正确；对于B，，定义域关于原点对称，，为偶函数，但，不是周期函数，故错误；对于C，，定义域关于原点对称，，为奇函数，故错误；对于D，，定义域关于原点对称，，为偶函数，又周期为，故错误；故选：A.5．给出下列函数：①；②；③；④．其中最小正周期为的有（

）A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③【答案】A【详解】对于①，，其最小正周期为;对于②，结合图象，知的最小正周期为．对于③，的最小正周期．对于④，的最小正周期．故选：A．同类题型演练1．函数的最小正周期为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，所以．故选：C2．下列函数中，最小正周期为的奇函数是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】对于A：最小正周期为，故A错误；对于B：，最小正周期，且为奇函数，故B正确；对于C：，最小正周期为的偶函数，故C错误；对于D：，则，故为偶函数，故D错误.故选：B3．下列函数最小正周期为的是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】解：对于A，的最小正周期，故A错误；对于B：的最小正周期，故B正确；对于C：的最小正周期，故C错误；对于D：的最小正周期，故D错误；故选：B4．下列函数中最小正周期为的函数的个数是（

）①；②；③；④A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】对于①，由正弦函数的图像和性质可知其周期为；对于②，，其周期；对于③，其周期为；对于④，，其周期．所以共有2个函数的周期为．故选：B．类型三：三角函数的奇偶性问题典型例题1．函数的图像关于轴对称的充分必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由三角函数的性质可知若的图象关于轴，则，即，，故函数的图象关于轴对称的充分必要条件是，，故选：C．2．已知是周期为的奇函数，则可以是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】令，对于A，，，为偶函数，A错误；对于B，，，为偶函数，B错误；对于C，，，不是的周期，C错误；对于D，，，为奇函数；又的最小正周期，满足题意，D正确.故选：D.3．下列函数中，最小正周期为的奇函数是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】对于A，函数，最小正周期为，且是偶函数；不满足题意对于B，函数，最小正周期为，不满足题意；对于C，函数，最小正周期为，不满足题意；对于D，函数，最小正周期为，且是奇函数.故选：D.4．若是奇函数，则常数的一个取值为___________.【答案】（答案不唯一）【详解】依题意，是奇函数，函数是奇函数，所以是奇函数，所以.故答案为：（答案不唯一）5．已知函数（，为常实数），且，则______．【答案】【详解】因为，定义域关于原点对称，设，，则是奇函数，因为，所以，所以．故答案为：.同类题型演练1．下列函数是偶函数的是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：对于A：为奇函数，故A错误；对于B：定义域为，且，故为奇函数，即B错误；对于C：定义域为，且，所以为奇函数，故C错误；对于D：定义域为，且，故为偶函数，故D正确；故选：D2．已知函数为偶函数，则(

)A．0 B． C． D．【答案】C【详解】∵f(x)定义域为R，且为偶函数，∴，，．当时，为偶函数满足题意．故选：C．3．已知函数，若，则（

）A．5 B．3 C．1 D．0【答案】A【详解】依题意，令，则是奇函数，，于是得，所以.故选：A4．函数是偶函数，则____________．【答案】【详解】因为是偶函数，故,解得，，所以.故答案为：.类型四：三角函数的对称性问题典型例题1．函数的一个对称中心是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】在函数中，由得，，所以函数的对称中心是，显然B，D不满足，A不满足，当是，对称中心为，C满足.故选：C2．已知函数图象的一条对称轴为直线，则的最小值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【详解】因为，所以，解得，又，所以当时，取得最小值3.故选：B3．关于函数，有下述四个结论：①的一个周期为；

②的图象关于直线对称；③的一个零点为；

④在上单调递增．其中所有正确结论的编号是（

）A．①③ B．①④ C．②③ D．③④【答案】A【详解】，①正确；，则的图象关于对称，②错误；，，③正确；由可得，单调递减，④错误.故选：A.4．（多选）曲线的对称中心可能是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【详解】由，，得，，当时，，故D正确；当时，，故B正确；当时，，故C正确；由得，故A不正确.故选：BCD5．写出一条直线的方程，使得曲线与曲线都关于该直线对称：____________．【答案】（答案不唯一）【详解】令，解得，所以曲线的对称轴为①，令，解得，所以曲线的对称轴为②，是①②公共解中的一个.故答案为：（答案不唯一）.同类题型演练1．若函数对任意的，有，则（

）A．2 B．1 C．0 D．2【答案】A【详解】因为，所以函数图像关于对称，因此有，所以，故选:A.2．函数的图象的一个对称中心为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由，可得，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，所以为图象的一个对称中心，故选：D3．（多选）将函数图象向左平移个单位后，所得图象关于原点对称，则的值可能为(

)A． B． C． D．【答案】BD【详解】平移后得到函数解析式为，∵g(x)图象关于原点对称，即g(x)是奇函数，∴，∴，∴．当k＝0时，φ＝；当k＝1，φ＝．故选：BD．4．写出函数的一个对称中心__________.【答案】（只需满足即可）.【详解】解：令，可得，所以，函数的对称中心坐标为.故答案为：（只需满足即可）.类型五：三角函数的单调性问题典型例题1．同时具有以下性质：“①最小正周期是π：②在区间上是增函数”的一个函数是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】解：对于A，函数的最小正周期，故A不符合题意；对于B，函数的最小正周期，当，，所以函数在区间上是增函数，故B符合题意；对于C，函数的最小正周期，当，，所以函数在区间上是减函数，故C不符题意；对于D，函数的最小正周期，当，，所以函数在区间上不具有单调性，故D不符题意.故选：B.2．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】由题意有，可得，又由，必有，可得.故选：A3．函数的单调递增区间是（

）A．， B．C． D．【答案】B【详解】因为函数，令，，解得，．所以函数的单调递增区间是.故选：B4．（多选）若函数在上单调，则的取值可以为（

）A． B． C． D．【答案】ABC【详解】若，则，依题意可得，则．对照四个选项：ABC符合题意.故选：ABC5．（多选）若函数在区间上单调，则的取值可以是（

）A． B． C． D．【答案】AC【详解】方法一：当时，，在区间上单调，或，或；由得：；又，；，又，，，又，；由得：；又，，，又，，，即；综上所述：.方法二：，当时，；在上单调，，；由，知：或，解得：或，.故选：AC.6．已知函数，.求函数的单调递增区间.【答案】由的单调递增区间为，且，则，解得，函数的单调递增区间为.同类题型演练1．函数f（x）＝cos（x∈[0，π]）的单调递增区间为（）A． B．C． D．【答案】C【详解】由，解得：∵x∈[0，π]，∴，∴函数f（x）在[0，π]的单调递增区间为.故选：C.2．已知函数，则（

）A．的最小正周期为 B．的定义域为C．的图象关于对称 D．在上单调递增【答案】D【详解】对于A，由正切函数性质知：的最小正周期，A错误；对于B，由得：，的定义域为，B错误；对于C，令，解得：，又，的图象关于点对称，C错误；对于D，当时，，此时单调递增，D正确.故选：D.3．函数在上的单调递减区间为______.【答案】【详解】令，解得，令得，所以函数在上的单调递增区间为.故答案为：.4．函数的单调递增区间为___________.【答案】【详解】，令，得，所以函数的单调递增区间为.故答案为：5．已知函数单调递增区间为________.【答案】【详解】令，解得，故的单调递增区间为．故答案为：．6．设函数．(1)求的最小正周期和单调增区间；(2)当时，求的最大值和最小值．【答案】(1)，，(2)最大值2，最小值（1）∵函数，∴的最小正周期为，令，，求得，故函数的单调增区间为，．（2）当时，，∴，故当，即时，函数取得最大值2，当，即时，函数取得最小值为．类型六：正弦函数、余弦函数的最大(小)值问题角度1：利用三角函数的有界性和单调性求值域或最大(小)值典型例题1．已知函数.(1)求函数的单调递增区间；(2)求函数的值域.【答案】(1)(2)(1)∵∴，即所求单调递增区间为：；(2)，其中，即.2．已知函数，且函数的最小正周期为.(1)求的解析式，并求出的单调递增区间；(2)将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，求函数的最大值及取得最大值时x的取值集合.【答案】(1)，;(2)，.（1）由函数的最小正周期为,则，故，令，解得，故的单调递增区间为.（2），则的最大值为，此时有，即，故，解得，所以当取得最大值时的取值集合为.3．已知函数.(1)求的值及函数的最小正周期；(2)设，当时，求的值域.【答案】(1)，最小正周期(2)（1）解：函数，，最小正周期；（2）解：，，，，的值域为.4．某同学用“五点法”作函数（，，）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，见下表：000(1)根据上表数据，直接写出函数的解析式，并求函数的最小正周期和在上的单调递减区间.(2)求在区间上的最大值和最小值.【答案】(1)答案见解析(2)最大值为，最小值为（1）根据五点法的表格，所以所以的最小正周期令，解之得又，所以或即在上的单调递减区间为，（2）由于所以所以所以当即时，函数的最小值为;当即时，函数的最大值为.5．已知函数．(1)求函数的单调递增区间；(2)先将的图象向左平移个单位，再保持纵坐标不变，将每个点的横坐标缩短为原来的一半，再将函数图象向上平移个单位，得到函数的图象．求函数在上的值域．【答案】(1)(2)（1）化简得：令，，解得，，所以函数的增区间为．（2）将的图象向左平移个单位，再保持纵坐标不变，得，再将每个点的横坐标缩短为原来的一半，得，再将函数图象向上平移个单位，得到函数，令，则的取值范围是，则的取值范围是，所以的取值范围是．同类题型演练1．已知函数的最大值为．（1）求常数的值．（2）求函数的单调递减区间．（3）若，求函数的值域．【答案】（1）；（2）单调递减区间为，；（3）【详解】.（1）由，解得.（2）由，则，，解得，，所以函数的单调递减区间为，，（3）由，则，所以，所以，所以函数的值域为.2．已知函数．(1)求的单调递增区间；(2)将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在区间内的值域．【答案】(1)；(2)．（1）因为，令，解得，则的单调递增区间是；（2）由（1）可得．因为，所以，所以，所以，即在区间内的值域为．3．已知函数，.(1)求的单调递增区间；(2)求在区间上的最大值和最小值.【答案】(1)(2)最大值为，最小值为（1）令，解得,所以的单调递增区间为（2）当时，则，故当时，取最大值，为，当时，取最小值，为，4．）已知函数.(1)求的值；(2)若，求的最大值和最小值.【答案】(1)(2)最大值为，最小值为（1）=.（2）.因为，所以，所以，所以所以的最大值为，最小值为.5．已知函数f(x)＝2sinxcosx＋2sin2x－1，x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，再把所得到的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，求函数y＝g(x)在区间上的值域.【答案】(1)最小正周期为π，，k∈Z(2)[－1,2]（1）因为f(x)＝2sinxcosx＋2sin2x－1＝sin2x－cos2x＝2sin，∴函数f(x)的最小正周期为T＝π，由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，∴－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，∴f(x)的单调递增区间为，k∈Z.（2）函数y＝f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，得到y＝2sin；再把所得到的图象向左平移个单位长度，得到g(x)＝2sin＝2sin＝2cos4x，当时，，所以当x＝0时，g(x)max＝2，当x＝－时，g(x)min＝－1.∴y＝g(x)在区间上的值域为．角度2：换元法求值域或最大(小)值(可化为一元二次函数型）典型例题1．函数的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】，令，则．因为在上单增，所以当时，．故选：C．2．函数的值域是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】函数，因为，所以当时，函数取得最小值，当时，函数取得最大值，故函数的值域为，故选：A．3．已知函数，则的最大值为___________.【答案】【详解】设，则，，，∴时，，即．故答案为：．4．函数，在区间上的最大值是_____.【答案】##【详解】，由于，所以当时取得最大值.故答案为：5．已知函数．(1)求；(2)求函数的最值及相应的x值．【答案】(1)(2)，时，或，时，(1).(2)因为，所以当，即，时，当，即或，时，6．已知函数．(1)若方程有解，求实数的取值范围；(2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)（1）由，得,又，所以当时，取得最小值；当时，取得最大值,所以实数的取值范围为．（2）由,恒成立，得,恒成立．设，,所以当时，取得最小值4，所以；设，,所以当时，取得最大值3，所以,综上，实数的取值范围为．7．已知，求函数的最值．【答案】，．【详解】因为，令，则．因此，当时，该函数取得最小值；当时，该函数取得最大值．同类题型演练1．函数（）的最大值是（

）A． B． C． D．1【答案】A【详解】．令，则．而在上单增，所以当时，．故选：A．2．函数的值域为___________.【答案】【详解】；令，则故答案为：．3．函数的最大值为___________.【答案】【详解】，当时，.故答案为：.4．函数的值域是_____.【答案】【详解】，令，所以原式，当时，能取到最小值，当时，能取到最大值，所以值域为.故答案为：.5．函数，的值域是______．【答案】【详解】，故答案为：6．函数的值域为____________【答案】【详解】解：因为令，则所以，所以，故函数的值域为故答案为：7．已知，求的值域．【答案】【详解】令，又，∴，故函数化为，且对称轴为．∴当时，．当时，．∴的值域为．角度3：分式型求值域或最大(小)值典型例题1．函数的值域为______.【答案】【详解】，，设，得：，即，化得：，即，（其中）.化得：，解此不等式得：.故答案为：2．函数的值域为_____________．【答案】【详解】令，，则，即，所以，又因为，所以，即函数的值域为．故答案为：.3．函数的最大值为________．【答案】##【详解】解：∵，∴，由题意得，当且仅当，即时取等号，故的最大值为．故答案为：4．函数的定义域为_________，值域为_________.【答案】

；

.【详解】解：由题意可得，即，所以且，即.所以函数的定义域为；令，则，当时，=，当，即时，等号成立；当时，=，当，即时，等号成立；所以函数的值域为：.故答案为：；.类型七：新定义问题典型例题1．在国际气象界，二十四节气被誉为“中国的第五大发明”.一个回归年定义为从某年春分到次年春分所经历的时间，也指太阳直射点回归运动的一个周期.某科技小组以某年春分为初始时间，统计了连续400天太阳直射点的纬度平均值（太阳直射北半球时取正值，直射南半球时取负值）.设第x天时太阳直射点的纬度平均值为y，该小组通过对数据的整理和分析，得到y与x近似满足，则四个回归年对应的天数约为（参考数据：，结果精确到个位）（

）A．1461 B．1459 C．1430 D．1427【答案】A【详解】解：因为最小正周期