第三节一元一次不等式（组）及其应用

第二章方程（组）与不等式（组）第一部分数与代数第三节一元一次不等式（组）及其应用1

不等式的有关概念种类定义不等式一般地，用符号“

”“

”或“

”表示大小关系的式子叫做不等式

不等式的解使不等式成立的

叫做不等式的解

不等式的解集一般地，一个含有未知数的不等式的

，组成不等式的解集

解不等式求不等式的解集的过程叫做解不等式＞＜≠未知数的值所有的解例1

（2025·金东）在浙江金华地区，清明期间人们有做清明粿的习俗，青绿色的粿皮代表着自然的生机，暗含对生命轮回的敬畏.在糯米做成清明粿的过程中，由于水分增加，会使得质量增加10%，现有糯米x斤，若做成清明粿质量超过20斤，则可列出不等式（

）A.x＋10%x＜20B.x＋10%x≤20 C.（1＋10%）x＞20 D.（1＋10%）x≥20C析解：由题知，x斤糯米做成清明粿的质量为（1＋10%）x斤，则（1＋10%）x＞20.故选C.本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，能根据题意建立关于x的不等式是解题的关键.

C2.（2025·南京）已知代数式4x，10－x，x2.（1）比较4x与10－x的大小；解：令4x－（10－x）＝0，得x＝2，当x＞2时，4x＞10－x，当x＝2时，4x＝10－x，当x＜2时，4x＜10－x.（2）当x2＜4x＜10－x时，直接写出x的取值范围.

解不等式①，得0＜x＜4，解不等式②，得x＜2，所以不等式组的解集为0＜x＜2.2

不等式的性质性质1不等式两边都加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向

.

即：如果a＞b，那么a±c

b±c

性质2不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向

.

即：如果a＞b，c＞0，那么ac

bc

性质3不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向

.

即：如果a＞b，c＜0，那么ac

bc

不变＞不变＞改变＜例2

A析解：由题意，得a＞b，∴a＋n＞b＋n.∴图中两人的对话体现的数学原理是若a＞b，则a＋n＞b＋n.故选A.本题考查了不等式的性质.要弄清不等式的性质与等式的性质的异同，特别是在不等式两边同乘（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变.3.（2025·广西）有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有a克水、b克水（a＞b）.都加入c克水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是（

）A.a＋c＞b＋c B.a＋c＝b＋c

C.a＋c＜b＋c D.a－c＜b－cA3

一元一次不等式及其解法定义只含有

个未知数，且未知数的次数是

的不等式，叫做一元一次不等式，其一般形式为ax＋b＞0或ax＋b＜0（a≠0）

步骤（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1一1例3

（2025·石家庄）有一个数学游戏，如图，一个实数从A，B，C三个位置中任选一个位置出发，按照通道内标注的要求进行运算后到下一个位置.例如：将3按照B→C（或C→B）的顺序进行运算，是将数据3经过“乘－2”的运算得出结果－6.（1）将－3按照A→B→C→A的顺序进行运算，列出算式并求出运算结果；分析：根据题意列式计算即可；解：2×（－3＋1）－3＝－2×（－2）－3＝4－3＝1；（2）输入一个整数按照A→C→B→A的顺序进行运算，发现运算结果不大于2.则输入数字的最小值为多少?分析：设输入的整数为x，根据题意列不等式为－2（x－3）＋1≤2，解不等式并确定x的最小整数解即可.解：设输入的整数为x，根据题意，得－2（x－3）＋1≤2，解得x≥2.5，则x的最小整数解为3，即输入数字的最小值为3.本题考查解一元一次不等式、有理数的混合运算，理解题意并列得正确的算式及不等式是解题的关键.

B0（答案不唯一）

2（x＋1）－6≤3（2－x），2x＋2－6≤6－3x，2x＋3x≤6＋6－2，5x≤10，x≤2.其解集在数轴上表示如下：4

一元一次不等式组定义含有

的若干个一元一次不等式合起来，组成一个一元一次不等式组

一般步骤解不等式组：（1）分别求出不等式组中

不等式的解集；（2）利用数轴或口诀确定解集的

.即求出这个一元一次不等式组的解集

相同未知数各个公共部分例4

分析：解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集.

解不等式①，得x＞－3，解不等式②，得x＜1，∴原不等式组的解集为－3＜x＜1.解一元一次不等式组的步骤：①标序号：每个不等式写上序号；②求出每一个不等式的解集；③把每一个不等式的解集标在数轴上；④在数轴上画出解集公共部分；⑤写出解集.

C

m≤3

（1）求被墨迹覆盖的系数；解：∵x＜3，∴－5x＞－15.∴x－6x＞－15，即x＋15＞6x.∴被墨迹覆盖的系数为6.（2）答案的第四步应用的性质为

（填序号）；

A.等式的性质B.不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变C.不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变D.不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变C解：观察解答过程可知，第四步应用的性质为不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，故答案为C.（3）求该不等式组的解集.解：由不等式①，得x＜3，由不等式②，得x≤1，∴不等式组的解集为x≤1.5

一元一次不等式的应用步骤（1）找出实际问题中的不等关系，设定未知数，列出不等式；（2）解不等式；（3）从不等式的解集中求出符合题意的答案例5

（2025·湖南）同学们准备在劳动课上制作艾草香包，需购买A，B两种香料.已知A种材料的单价比B种材料的单价多3元，且购买4件A种材料与购买6件B种材料的费用相等.（1）求A种材料和B种材料的单价；分析：设A种材料的单价为x元，则B种材料的单价为（x－3）元，根据购买4件A种材料与购买6件B种材料的费用相等，列出一元一次方程，解方程即可；解：设A种材料的单价为x元，则B种材料的单价为（x－3）元.根据题意，得4x＝6（x－3），解得x＝9，∴x－3＝6.答：A种材料的单价为9元，B种材料的单价为6元.（2）若需购买A种材料和B种材料共50件，且总费用不超过360元，则最多能购买A种材料多少件?分析：设能购买A种材料m件，则能购买B种材料（50－m）件，根据总费用不超过360元，列出一元一次不等式，解不等式即可.解：设能购买A种材料m件，则能购买B种材料（50－m）件.根据题意，得9m＋6（50－m）≤360，解得m≤20.答：最多能购买A种材料20件.本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式.10.（2025·盐池）某商店将进价为80元的某种商品，以120元的标价出售，商店准备回馈客户进行打折促销，但要保证利润不低于10元，则至多可打

折.

七五

甲工程队工作时间乙工程队工作时间甲工程队改造道路的长度乙工程队改造道路的长度解：∵城建部门计划对某村一段长300米的道路进行改造，甲工程队每天改造15米，乙工程队每天改造10米，且这两个工程队共用时25天，∴宁宁所列方程组中的x表示甲工程队工作时间，y表示乙工程队工作时间.夏