2025-2026学年宁夏石嘴山一中高二上学期10月考数学试题含答案

高中石嘴山市第一中学2025-2026学年第一学期高二年级月考数学试题一、单选题：5*8=401.已知直线的倾斜角为，则实数的值为（）A. B. C. D.2.已知，则（）A. B. C. D.3.设直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则（）A. B. C.4 D.104.在空间中，若三个非零向量满足，则的形状一定是（）A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法判断5.下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.在六面体中，一定有D.在空间直角坐标系中，点与点关于平面对称6.不论为何实数，直线过定点（）A. B. C. D.7.空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（）A. B. C. D.8.空间直角坐标系中，已知，，则当点A到平面BCD距离最小时，直线AE与平直BCD所成角的正弦值为（）A. B. C. D.二、多选题：3*6=18分9.已知直线l：，则下列选项中正确的有（）A.直线l在y轴上截距是2 B.直线l的斜率为C.直线l不经过第三象限 D.直线l的一个方向向量为10.下列命题中不正确的是（）.A.若､､､是空间任意四点，则有B.若，则､的长度相等而方向相同或相反C.是､共线的充分条件D.对空间任意一点与不共线的三点､､，若()，则､､､四点共面11.已知直线与圆相交于两点，则（）A.是圆的一条对称轴B.圆的半径为C.圆心到的距离为D.的面积为三、填空题：3*5=15分12.若直线与互相垂直，则__________.13.已知圆与圆相交于两点A，B，则AB的直线方程为________．14.已知函数，若在区间上的值域为，则的取值范围是______.四、解答题：72分.15.已知．（1）求的值；（2）求的值．16.圆经过三点：，，.（1）求圆的方程.（2）求圆与圆:的公共弦的长.17.一高校承办了某届世乒赛志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.（1）求a，b的值；（2）（ⅰ）直接写出这100名候选者面试成绩的中位数所在的分组区间；（ⅱ）估计这100名候选者面试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（ⅲ）在第四、第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率.（3）若落在第四组的平均成绩是80，方差是20，落在第五组的平均成绩为90，方差是5，求这两组成绩的总平均数z和总方差.参考公式：其中为总样本平均数.18.（1）若函数有且仅有一个零点，求的值；（2）若关于不等式在上恒成立，求的取值范围．19.已知圆：与直线交于M、N两点，点P为线段中点，为坐标原点，直线的斜率为.（1）求的值及的面积；（2）若圆C与x轴交于A、B两点，点Q是圆C上异于A、B的任意一点，直线、分别交：于R、S两点.当点Q变化时，以为直径的圆是否过圆C内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由.石嘴山市第一中学2025-2026学年第一学期高二年级月考数学试题一、单选题：5*8=401.已知直线的倾斜角为，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据直线的斜率与倾斜角的关系求解即可.【详解】由题意，.故选：D2.已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由向量减法运算即可求解.【详解】由题意可得．故选：C.3.设直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则（）A. B. C.4 D.10【答案】B【解析】【分析】由题意，即可列方程求解.【详解】因为，所以，则，解得．故选：B.4.在空间中，若三个非零向量满足，则的形状一定是（）A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法判断【答案】A【解析】【分析】根据已知条件推出，得为锐角．同理可得也为锐角．由此可得答案.【详解】，，,所以，即知锐角．同理可知也锐角．故为锐角三角形．故选：．5.下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.在六面体中，一定有D.在空间直角坐标系中，点与点关于平面对称【答案】D【解析】【分析】对于A根据向量的定义即可判断；对于B根据向量模的坐标运算即可判断；对于C举反例正四棱台即可否定；对于D根据两点的坐标特征得到两点关于平面对称即可判断.【详解】对于A，根据向量的定义，向量不能比较大小，故A错误；对于B，由，所以，故B错误；对于C，当六面体为平行六面体时，成立，当六面体不是平行六面体时，上述结论不一定成立，比如对于正四棱台，上述结论就不成立，故C错误；对于D，由点关于平面的对称点为，故D正确；故选：D.6.不论为何实数，直线过定点（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】法一：直线方程可化为，解方程组即可求解；法二：直线方程可化为，解方程组即可求解.【详解】法一：直线方程可化为，令，解得，即定点坐标为.法二：直线方程可化为，则，解得，即定点坐标为.故选：B.7.空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题设给出的材料可得平面的法向量和直线的方向向量，利用公式可求直线与平面所成角的正弦值.【详解】因为平面的方程为，故其法向量为，因为直线的方程为，故其方向向量为，故直线与平面所成角的正弦值为.故选：B.8.在空间直角坐标系中，已知，，则当点A到平面BCD的距离最小时，直线AE与平直BCD所成角的正弦值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用空间向量求点面距离及线面夹角即可.【详解】依题意可得，，.设是平面BCD的法向量，则，即，令，则得.所以点A到平面BCD的距离，当时，d取得最小值，此时，所以直线AE与平面BCD所成角的正弦值为.故选：C二、多选题：3*6=18分9.已知直线l：，则下列选项中正确的有（）A.直线l在y轴上的截距是2 B.直线l的斜率为C.直线l不经过第三象限 D.直线l的一个方向向量为【答案】ACD【解析】【分析】根据直线的截距，斜率，方向向量等特征直接判断.【详解】对于A，直线方程可变为，截距是2，故A正确；对于B，斜率，故B错误；对于C，由直线方程可知，故直线l不经过第三象限，故C正确；对于D，该直线的一个方向向量为，与平行，故D正确；故选：ACD10.下列命题中不正确的是（）.A.若､､､是空间任意四点，则有B.若，则､的长度相等而方向相同或相反C.是､共线的充分条件D.对空间任意一点与不共线的三点､､，若()，则､､､四点共面【答案】ABD【解析】【分析】本题考查向量的概念与性质，需按个选项分析，A选项考察向量加法的意义，B选项考察向量的模的性质，C选项可以两边平方计算，D选项考察四点共面的性质.【详解】A选项，而不是，故A错，B选项，仅表示与的模相等，与方向无关，故B错，C选项，，即，即，与方向相反，故C对，D选项，空间任意一个向量都可以用不共面的三个向量､､表示，∴､､､四点不一定共面，故D错，故选ABD.11.已知直线与圆相交于两点，则（）A.是圆的一条对称轴B.圆的半径为C.圆心到的距离为D.的面积为【答案】BD【解析】【分析】根据圆的方程可得圆心和半径，知A、B正误；利用点到直线距离公式和垂径定理可求得C、D正误.【详解】对于AB，由圆方程知：圆心，半径，B正确；直线不过圆心，不是圆的对称轴，A错误；对于C，圆心到直线的距离，C错误；对于D，，，D正确.故选：BD.三、填空题：3*5=15分12.若直线与互相垂直，则__________.【答案】##【解析】【分析】根据垂直关系列出方程，求解即可.详解】由题意得，解得.故答案为：13.已知圆与圆相交于两点A，B，则AB的直线方程为________．【答案】【解析】【分析】两圆方程相减后可得公共弦的方程.【详解】由题设可得的方程为：，整理得：，故答案为：14.已知函数，若在区间上的值域为，则的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】先通过三角恒等变换化简函数，然后利用可得，再由三角函数图像性质可得，解不等式即可求得的取值范围.【详解】，因为，可得，显然当时，可得，由值域为，利用三角函数图像性质可得，解得，即的取值范围是.故答案为：四、解答题：72分.15.已知．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用两角和的正切公式求得.（2）结合同角三角函数的基本关系式、诱导公式、二倍角公式求得正确答案.【小问1详解】，解得．【小问2详解】.16.圆经过三点：，，.（1）求圆的方程.（2）求圆与圆:的公共弦的长.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设圆为：，代入点坐标求出，即可求出圆的方程.；（2）联立，求出交点坐标，即可求出公共弦的长.【详解】（1）设圆为：，代入，，，有，∴圆的方程为.（2）联立，即，解得：交点为，，故弦长.17.一高校承办了某届世乒赛志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.（1）求a，b的值；（2）（ⅰ）直接写出这100名候选者面试成绩的中位数所在的分组区间；（ⅱ）估计这100名候选者面试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（ⅲ）在第四、第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率.（3）若落在第四组的平均成绩是80，方差是20，落在第五组的平均成绩为90，方差是5，求这两组成绩的总平均数z和总方差.参考公式：其中为总样本平均数.【答案】（1）（2）；；（3）【解析】【分析】（1）根据第三、四、五组的频率之和为列方程可解，再根据第一、二组的频率之和为列方程可解；（2）（ⅰ）根据频率分布直方图，得位于区间的频率和位于区间的频率，即可判断中位数所在的分组区间；（ⅱ）根据频率分布直方图得频率，再利用加权平均数公式计算即可；（ⅲ）根据频率确定比例，可得第四组志愿者人数为4，第五组志愿者人数为1，利用古典概型计算概率即可；（3）根据总样本平均数和总方差公式即可求解.【小问1详解】由题意有，所以；【小问2详解】（ⅰ）因为位于区间的频率为，位于区间的频率为，所以中位数所在的分组区间为；（ⅱ）平均数为；（ⅲ）在第四、第五两组志愿者分别有20人，5人，故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为，第五组志愿者人数为1，设为．考虑从这5人中选出2人的试验，其样本空间可记为共10种情况；记事件为“选出的两人来自不同组”，则共4种情况，所以；【小问3详解】由题意有：第四、第五两组志愿者分别有20人，5人，所以，.18.（1）若函数有且仅有一个零点，求的值；（2）若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）讨论不成立，当时令求解即可；（2）根据恒成立确定最高次项系数和，解不等式组即可.【详解】解：（1）当时，无零点；当时，有且仅有一个零点，则，即：，解得：或（舍），所以.（2）当，恒成立，所以成立；当时，，解得：.故.19.已知圆：与直线交于M、N两点，点P为线段的中点，为坐标原点，直线的斜率为.（1）求的值及的面积；（2）若圆C与x轴交于A、B两点，点Q是圆C上异于A、B的任意一点，直线、分别交：于R、S两点.当点Q变化时，以为直径的圆是否过圆C内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由.【答案】（1），（2）过定点，【解析】【分析】（1）先确定直线的方程，联立直线方程求得点坐标，利用垂径定理及两直线垂直的斜率关系计算可得；根据点到直线的距离公式、弦长公式计算求面积即可；（2）设直线方程，含参表示直线方程，求出坐标，从而求出以为直径的圆的方程，利用待定系数法计算即可.【小问1详解】由题意可知直线的方程为，则联立与可求出点坐标为，又因点