【提升版】浙教版八年级数学上册 三角形全等的判定 同步练习

【提升版】浙教版数学八上1.5三角形全等的判定同步练习

一'选择题

1.根据下列已知条件，能唯一画出4ABC的是()

A.AB=3.BC=4,AC=8B."=60°,NB=45°,AB=4

C.AB=4,BC=3/A=30°D.ZC=90°,AB=6

2.如图，AD,BE是4ABC的高线,AD与BE相交于点F.若4O=BC=6,且^ACD

的面积为12,则AF的长度为()

D.3

3.小举在探究全等三角形判定方法，已知如图,△ABC,他通过尺规作图、裁剪、重合的操作，证

实一种判定方法.以下是小举的操作过程:

第一步：尺规作图.

作法：(1)作射线B'M；

(2)以点B为圆心，任意长为半径画弧分别交BA,BC于点E,D；

(3)以点『为圆心，BD长为半径画弧，交B'M于点P；

(4)以点P为圆心，DE长为半径画弧,在B，M的上方交(3)中所画弧于点Q；

(5)过点Q作射线B'N；

(6)以点£为圆心，BC长为半径画弧，交B，M于点O；

(7)以点B'为圆心，BA长为半径画弧，交B'N于点4；

（8）连接/c'.

第二步：把作出的△剪下来，放到AABC上.

第三步：观察发现△AB'C'和AABC重合.

AABC三AA'B'C.

根据小举的操作过程可知，小举是在探究（）

A.基本事实SSSB.基本事实ASAC.基本事实SASD.定理AAS

4.如上图，点B、F、C、E都在一条直线上，AC=DF,BC=EF,添加下列一个条件后，仍无法判

断△4BCmADEF的是（）

A.ZA=ZD=9O°B.乙ACB=LDFE

C.乙B=乙ED.AB=DE

5.如图，①以点。为圆心，任意长为半径画弧，分别交。40B于点C,D-,②面一条射线。'4'以点

0’为圆心，。。长为半径画弧，交。于点C,；③以点C‘为圆心，CD长为半径画弧，与第②步所画的

弧相交于点£）';④过点。'画射线。‘B’.则有乙4'0'B，=NA0B.其依据是（）

6.如图，RtAABC中，NC=90。，用尺规作图法作出射线AE,AE交BC于点D,CD=5,P为AB

上一动点，则的最小值为（）

A.2B.3C.4D.5

7.如图，在足球场内，A,B,C表示三个足球运动员，为做折返跑游戏，现准备在足球场内放置一

个足球，使它到三个运动员的距离相等，则足球应放置在（）

-热

A.AC,BC两边高线的交点处

B.AC,3c两边中线的交点处

C.AC,BC两边垂直平分线的交点处

D.乙4,乙8两内角平分线的交点处

8.如图，在△ABC中，NABC=60。，4。平分ZB力C交BC于点。，CE平分N4CB交AB于点E,AD,

CE交于点尸.则下列说法正确的有（）

①ZAFC=120°；@LAEF=ACDF；③若AB=2AE,则CE1AB；@CD+AE=AC.

A.1个B.2个C.3个D.4个

二'填空题

9.如图，在△ABC中，Z.B=40°,ZC=50°.通过观察尺规作图的痕迹，可以求得NDAE的大小为

度.

10.要测量河岸相对两点4、3的距离，已知A3垂直于河岸3R先在3尸上取两点C、D,使CD=

CB,再过点。作的垂线段OE,使点A、C、E在一条直线上，如图.若测出DE=20米，则A3

的长为米.

11.如图，已知/ACB=90。，AC=BC,BE_LCE于点E,AD_LCE于点D,AD=3cm,BE=lcm,那

么DE=cm.

c

12.如图，在△ABC中，AB=AC=24厘米，乙ABC=LACB,BC=16厘米，点。为AB

的中点.如果点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段

CA上由C点向A点运动.当点Q的运动速度为厘米/秒时，能够在某一时刻使△

BPD与△CQP全等.

三'作图题

13.如图在网格中，三角形4BC的顶点都在格点上，请仅用无刻度拿个按下列要求作图(保留作图

(2)在图2中，作乙84c的平分线4E,交BC于点E.

四、解答题

14.如图，AB=CB,BE=BF,Z1=Z2,证明：△ABE丝Z^CBF.

15.将两个三角形纸板△ABC和ADBE按如图所示的方式摆放，连接。C.已知NDBA=ZCBE,

乙BDE=/.BAC,AC=DE=DC.

(1)试说明：4ABe=△DBE-,

(2)若乙4CD=72°,求乙BE。的度数.

16.如图，在△ABC中，。是边BC的中点，过点C作CE||AB交20的延长线于点E.

(1)求证：&ABDm公ECD；

(2)若AC=3,CE=5,BD的长是偶数，求BD的长.

五'实践探究题

17.综合与实践

问题情境：数学课上，同学们以等腰三角形和平行线为背景展开探究.如图1,在AABC中，

ZB=是BC边上的中线，过点4作BC的平行线人

独立思考：

(1)在图1中的直线Z上取点E(点E在点4左侧)，使ZE=BD,连接DE交AB于点F,得到图2.试

判断EF与DF的数量关系，并说明理由；

(2)在图1中的直线/上取点G,H(点G,H分别在点Z的两侧)，使4G=4”,连接DG交4B于点

M,连接交AC于点N,得到图3.小宇发现GM=HN,请你帮她说明理由；

合作交流：

(3)同学们在图3的基础上展开了更深入的探究.若ZBAC=4O。，当△力GM是等腰三角形时，直

接写出NGDH的度数.

图1图2图3

18.阅读材料，完成下面问题:

的判定依据；

(2)若乙4BF=60。，AB=4,求线段BD的长.

六'综合题

19.如图1,已知直线点C为直线AB,ED之间(不在直线上)的一个动点，连接CB,

CD,BE平分ZABC,A£)平分和DA交于点F.

(1)证明：ABAD=AADC,

(2)如图2,连接CF,则在点C的运动过程中，当满足/0〃6。,。尸〃43时：

①若ZCFB=5O°,求NBC。的度数；

②若=|N£)CF,求NBCD的度数.

20.如图，在△ABC中，乙4cB=90。，AC=BC,E为AC边的中点，过点A作AD1AB交BE的延长

线于点D,CG平分乙4cB交BO于点G,F为边上一点，连接CF,且乙4CF="BG.求证:

(1)A4FCCGB；

(2)AF=AD.

21.如图，ZBAD=ZCAE=90°,AB=AD,AE=AC,AF_LCB,垂足为F.

(1)求证：AABC义Z\ADE；

(2)求NFAE的度数；

(3)求证：CD=2BF+DE.

答案解析部分

L【答案】B

【解析】【解答】解：A、因为3+4<8,所以不能画出三角形，所以A不符合题意；

B、根据ASA可以判断，这样的三角形是唯一的，所以能唯一画出△ABC,所以B符合题意；

C、根据SSA不能判断满足条件的三角形是唯一的，所以C不符合题意；

D、根据斜边和直角不能确定直角三角形，所以D不符合题意.

故答案为：Bo

【分析】根据三角形三边之间的关系，以及三角形全等的判定方法，即可得出答案.

2.【答案】C

【解析】【解答】解：•.•△ACD的面积为12,AD=6,

1

CDX6=12,

；.CD=4,

AD,BE是4ABe的高线，

ZDBF+ZC=ZDAC+ZC=90°,

AZDBF=ZDAC,

在△BDF和△4DC中

VZDBF=ZDAC,BD=AD,ZBDF=ZADC=90°,

:.&BDF会&ADC,

；.FD=CD=4,

.\AF=AD-FD=6-4=2.

故答案为：C.

【分析】首先根据三角形的面积计算公式可得出CD=4,然后根据ASA可证明ABOF四△4DC,得

出FD=CD=4,进而得出AF=2.

3.【答案】C

【解析】【解答】解：•••根据小举的操作过程可得：第一步是作一个角等于已知角，再作出夹这个角

的两条边分别对应相等，从而利用“SAS”即可证出三角形全等，再利用全等三角形的性质可得答案，

.♦.可得出小举是在探究基本事实SAS,

故选：C

【分析】根据作图步骤可得出小举在探究全等三角形判定方法为SAS.

4.【答案】C

【解析】【解答】解：A选项，乙4=2。=90°时，ABC和DEF为直角三角形，故由AC=DF,BC=

FFWAABC=AD£T(HL),A正确；

B选项，^ACB=NDFE结合AC=DF,BC=EF得△ABC=△DEF(SAS),B正确；

C选项，若ZB=NE,不能判断两三角形全等，为“边边角”；

D选项，AB=DE,结合AC=DF,BC=EF,可得△ABC三△DEF(SSS),D正确；

故答案为：C.

【分析】分别判断每一个选项中的条件，能否证明三角形全等，即可.

5.【答案】A

【解析】【解答】解：由作图步骤可知，OC=OD=OC=C)D，，CD=C'D',

在40co和小。£7/中，

■OC=OC,OD=O'D',CD=CD,

•••AOCDaAO'C'D'(SSS),

.-.ZO=ZO',

即乙4'0'B'=乙408.

故答案为：A.

【分析】先根据作图步骤得到OC=OD=OC=OD,CD=C'D',利用“SSS”证明△OCDO'C'D',得

出NO=NO;据此可知判定依据为SSS.

6.【答案】D

【解析】【解答】解：根据题意得，PDLAB时，PD取最小值，

：AD平分NCAB,ZC=90°,PD_LAB,

二PD=CD=5.

故答案为：D.

【分析】根据垂线段最短，角平分线的尺规作图和角平分线的性质，即可求得.

7.【答案】C

【解析】【解答】解：由题意可得足球所在的位置到△ABC三个顶点的距离相等，而到A、C两点距

离相等的点在线段AC的垂直平分线上，到B、C距离相等的点在线段BC的垂直平分线上，所以足

球应该放到AC,BC两边垂直平分线的交点处.

故答案为：C.

【分析】根据到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，可求解.

8.【答案】C

【解析】【解答】解：①在△ABC中，^ABC=60°,

：.^ACB+/.CAB=120°,

;力。平分4C,CE平分

ii

・Z(L4="ACB,/.FAC="CAB,

：./-AFC=180°-^FCA+Z.FAC}

1

=180°-1^ACB+乙CAB)=120°,

故①正确，符合题意；

②若△力EF=ACDF,

：.AF=CF,

：.^CAF=乙4CF,

C.^LACB=乙CAB,

而由已知条件无法证明4C4R=^LACF,

故②错误，不符合题意；

③如图，延长CE至G,使GE=CE,连接3G,

：.AE=BE,

在aACE^OABGE中，

'AE=BE

乙AEC=(BEG,

、GE=GE

C.LACE皂△BGE(SZS),

Z.ACE=Z-G,

・・・CE为角平分线，

J.^LACE=乙BCE,

Z.BCE=乙G,

：.BC=BG,

VCE=GE,

：.CELAB,

故③正确，符合题意；

④如图，作乙4FC的平分线交4c于点G,

由①得NAFC=120°,

1

."AFG=乙CFG=^AFC=60。，4AFE=乙CFD=60°,

：.AAFG=乙CFG=AAFE=乙CFD=60°,

VzFXF=AGAF,乙DCF=乙GCF,

：.△AEFAGF（力SA）,ACDFCGF（4S力），

-,-AE=AG,CD=CG,

：.CD+AE=CG+AG=AC,

故④正确，符合题意；

故答案为：C.

【分析】首先根据三角形内角和求得乙4CB+a4B=120。，再根据角平分线的定义求得：（NACB+

ACAB）=60°,进一步根据三角形内角和定理，即可求得乙4FC=120。；即可得出①正确；假定△

AEFCDF,即可得出乙4cB=NCAB,根据条件无法证明ZACB=ZC4B,故②不正确；如图，

延长CE至G,使GE=CE,连接BG,可根据SAS证明△ACEdBGE,从而得出NACE=NG,进一

步得出ZBCE=ZG,从而得出△BCG是等腰三角形，再根据EG=EC,即可得出CE1AB,故而得出

③正确；如图，作乙4FC的平分线交4c于点G,可证明AAEF三AAGF,ACDF三ACGF,从而得出

AE=AG,CD=CG,进而得出CD+AE=CG+AG=AC,故而得出④正确，综上即可得出说法正

确的由3个。

9.【答案】25

【解析】【解答】解：由作图可得：DF是AB的垂直平分线，AE是NDAC的平分线，

；.BD=AD,ZDAE=ZCAE=|ZDAC,

；.NDAB=NB,

VZB=40o,ZC=50°,

ZBAC=180°-ZB-ZC=180o-40°-50o=90°,

ZDAC=ZBAC-ZBAD=90°-40°=50°,

ZDAE=ZCAE=|ZDAC=lx50°=25°.

故答案为：25.

【分析】由作图可得：DF是AB的垂直平分线，AE是NDAC的平分线，由线段的垂直平分线的性

质可得BD=AD,由角的平分线的性质可得NDAE=/CAE=*/DAC,由三角形内角和定理求出

ZBAC的度数，由角的构成NDAC=NBAC-NBAD求出NDAC的度数，贝！|

ZDAE=ZCAE=|ZDAC可求解.

10.【答案】20

【解析】【解答】解：由题意得：ABLBD于B,EDLBD于D,

.".ZB=ZD=90°,

在^ABC和^EDC中

ZB=ZD=90°

BC=DC

Z-BCA=Z-DCE

?.△ABC^AEDC(ASA)

1•AB=DE,

VDE=20,

・・・AB=20.

故答案为：20.

【分析】由题意，用角边角可证△ABC丝△£口€：,由全等三角形的性质“全等三角形的对应边相等”

可得AB=DE可求解.

11.【答案】2

【解析】【解答】解：•.•/ACB=90。，BELCE于点E,ADJ_CE于点D,

ZACD+ZBCE=90°,ZACD+ZCAD=90°,

ZCAD=ZBCE,

在小CDA^ABEC中，

2CDA=乙BEC

/.CAD=乙BCE,

、AC=BC

.*.△CDA^ABEC(AAS),

二•CD=BE,CE=AD,

TDE=CE-CD,

二•DE二AD-BE,

AD=3cm,BE=1cm,

DE=3-1=2(cm),

故答案为：2.

【分析】根据AAS证明△CDA四△BEC,可得CD=BE,CE=AD,从而得出DE=CE-CD=AD-BE,

据此即可得解.

12.【答案】4或6

【解析】【解答】解：当BD=CP时，ABPD名△CQP,

为AB的中点，

；.BD=iAB=12cm,

VBD=CP,

/.BP=BC—CP=16_12=4cm,

•.•点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，

运动时间为1s,

VABPD^ACQP,

；.BP=CQ=4cm,

...点Q的运动速度为x=4+l=4(cm/5)；

当BD=CQ时，ABDP丝ZXCQP,

VBD=1AB=12cm,PB=PC,

/.CQ=BD=12cm,

VBC=16cm,

/.BP=8cm,

•.•点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动,

，运动时间为8+4=2(s),

.•.点Q的运动速度为x=12+2=6(cm/s).

故答案为：4或6.

【分析】由于NB=NC=60。，若ABPD与ACQP全等，分两种情况：①当BD=CP时，

△BPD丝△CQP,②当BD=CQ时，△BDP冬ZkCQP,据此分别求出BP的长，然后根据速度=路程

小时间解答即可.

13.【答案】(1)解：如图所示：

BC即为所求；

(2)解：如图所示:

4E即为所求.

【解析】【分析】(1)根据正方形的对角线性质，取格点O,连接B0并延长，交AC于D即可作出

图形；

(2)由勾股定理可得AC的长，根据对称性作图，取格点D,使CD=CA,取格点O,可得

OA=OD,连接0C,由对称性可知NOAC=NODC,网格中△AM。三△DN。，贝！JNMAO=NODC,

从而得到NOAC=/OAM,延长AO交BC于点E即可作出图形.

14.【答案】证明：

；.N1+/FBE=N2+NFBE,即NABE=NCBF

在小ABE^ACBF中，

'AC=CB

^ABE=乙CBF

.BE=BF

；.△ABE^ACBF(SAS).

【解析】【分析】掌握全等三角形SAS的判定方法。

15.【答案】(1)证明・・・4。»4=4CBE

：.^DBA+^ABE=(CBE+Z.ABE

即乙DBE=Z.ABC

(/.ABC=乙DBE

在△力3c和ADBE中，jz.BAC=^BDE

、AC=DE

：.AABC=^DBE(AAS)

(2)解：V△ABC=LDBE

：.BA=BD,乙BCA=乙BED

(DC=AC

在△DBC和△力BC中，\CB=CB

BD=BA

:.XDBC=△ABC(SSS)

i

：ZBCD=乙BCA=^ACD=36°

"BED=乙BCA=36°

【解析】【分析】(1)证明4=利用全等三角形判定定理AAS证明即可；

(2)根据全等三角形的性质，得到=利用SSS证明△D8C三△43C,得至此BCD=

A.BCA=^ACD=36°,即可得到答案.

16.【答案】(1)证明：・・・。是边的中点，

1

..・BD=CD=^BC,

・・・CE||AB,

••・Z-B=Z-DCE,Z-E=Z.BAD,

在aABD^Vh.ECD中,

ZB=(DCE

乙BAD=乙E

、BD=CD

A.BD=△ECD(<AAS')；

(2)解：由(1)可知△4三△EC。，

・•.AB=CE=5,

在△力BC中，AB-AC<BC<AB+AC,

・•・2<BC<8,

1

/.1<|BC<4,

1

又BD=^BC,

.-1<BD<4,

•••BD的长是偶数，

••・BD-2.

【解析】【分析】(1)根据全等三角形的判定AAS证出即可.

(2)先根据全等三角形的性质得到AB=CE,再根据三角形三边关系求出即可.

17.【答案】解：(1)EF=DF；理由如下：

:直线2IIBC,

:.乙AEF=ABDF,ZFAE=ZFBD

y.'：AE=BD,

MAFEexBFD(ASA).

：.EF=DF.

(2)-：AB=AC,AD是BC边上的中线

AAD±BC,ZBAD=ZCAD.

•..直线IIIBC,直线1_LAD

ZDAG=ZDAH=90°

ZDAG-ZBAD=ZDAH-ZCAD.即ZMAG=ZNAH

"：AG=AH,

AAD是GH的垂直平分线.

：.DG=DH.：.^AGD=AAHD.

：.△AGM三XAHN(ASA).

:.GM=HN.

(3)40°或70°或100°

【解析】【解答】解:(3)VAB=AC,ZBAC=40°,

ZB=ZC=70°.

:直线IIIBC,

.\ZMAG=ZB=70°,

当△AGM是等腰三角形时，可分三种情况：

当NMGA=NM4G=70。时，

V△AGM三AAHN,

・•・NMGA=NNAH=70。，

.・・ZGDH=180°-ZMGA-ZNHA=40°；

当心GAM=4GM4=70。时，

NMGA=180°-ZGAM-ZGMA=40。

•・•△力GM任AHN,

・・.NMGA=NNAH=40。，

JZGDH=180°-ZMGA-ZNHA=100°；

当ZTIGM=44MG时,

VZMAG=70°,NBAD=NCAD

1

."力GM=Z力MG=宏(180。-70°)=55°

V△AGM"AHN,

ZMGA=ZNAH=55°.

ZGDH=180°-ZMGA-ZNHA=70°

综上所述：ZGDH为40。或70。或100。.

【分析】(1)用ASA证明三△BFD.从而可得结论；

(2)证明NBAD=NCAD,直线1LAD,可得NMAG=NNAH,证明AD是GH的垂直平分线，可得

DG=DH,ZAGD=NAHD,证明△AGM三△AHN,从而可得答案；

(3)可由AB=AC,ZBAC=40°,以及直线］||BC,得出/MAG=/B=70。；当△ZGM是等腰三角形时，

分三种情况讨论：当NMGA=ZMAG时，当ZG力M=ZGMA时，当乙4GM=NAMG时，再结合等腰三

角形的性质与三角形的内角和定理可得答案.

18.【答案】(1)解：SSS

(2)解：过点A作2HlBD,由作图得

：.BD=2BH,

平分NABF,

・"ABH=^ABF=30°,

4

在RtAABH中，AB=4,

:.BH=AB-cos30°=2百，

：.BD=2BH=4V3

【解析】【解题】(1)由作图可知BM=BN,CM=CN,BC=BC,

.-.AMBC"NBCCSSS)，

•••乙MBC=乙NBC,

：.BC平分ZABF,

【分析】(1)根据全等三角形的判定和性质即可求解；

(2)过点A作根据作图与角平分线的性质求得乙4BH乙4BF=30。,进而得到

BH=2V3，BD=2BH=473从而得出结论.

19.【答案】(1)证明：:ZM平分ZCDE,

Z.ADE=Z.ADC,

•・.AB//ED,

•••Z-ADE=匕BAD,

・•・乙BAD=/.ADC;

(2)解：(l)vCF//ABf^CFB=50°,

・•・乙CFB=^ABF=50°,

•••BE平分(ABC,

・・・乙ABC=2么ABF=100°,

•・.CF//AB,

・•・乙ABC+乙BCF=180°,

・・・乙BCF=80°,

•・.AD//BC,

・・・乙DFC=乙BCF=80°,

・・・AB//ED,CF//AB,

・•・ED//CF,

Z.EDF—Z.DFC-80°,

•:AD平分乙CDE

••・UDE=2Z,EDF=160°,

・・・ED//CF,

・•・乙EDC+(DCF=180°,

LDCF=20°,

・・・ED//CF,

②设ZDCF=x,则4CF3=

•・.CF//AB,

3

••・乙ABF=Z.CFB=yzx,

乙

v乙43。的平分线交直线ED于点E,

•••Z-ABC-2/.ABF—3x,

•・.AD//BC,

・・・^ABC+^DAB=18。°/BCD+乙FDC=180°,

vZ-DAB=Z-EDF=Z.FDC,

Z.ABC+乙FDC=180°,

・•・Z-BCD=乙ABC=3x,

v/-DAB=乙EDF=Z.FDC,

・・・CF//AB,

・•・乙ABC+乙BCF=180°,

・,・3%+2%=180°,

x—36,

・•・乙BCD=3x=108°.

【解析】【分析】⑴根据DA平分“DE,AB//ED,内错角相等证明即可；

(2)①由题意得ZCFB=ZABF=50",由BE平分乙ABC,CF〃AB,AD“BC有乙DFC=ABCF=

80°,又因为/£)^^。。£1,ED//CF,AEDC+乙DCF=180",所以ZDCF=20",即ED〃CF；

②设NDCF=久，贝！J“FB=|x,"BF=ZCFB=|kABC=2NABF=3%,由ZO//BC,

有N4BC+Z.DAB=180°,zBCD+ZFDC=180°,又由NDAB=乙EDF=NFDC,有/BCD=^ABC=

3久，根据Z£MB=乙EDF=乙FDC,CF//AB,得乙ABC+乙BCF=180",即3%+2x=180°,则x=36",所以

Z-BCD=3x=108°.

20.【答案】(1)证明：vZ.ACB=90°,AC=BC,

・・・Z.CAB=ACBA=45°,

•・•CG平分乙ACB,

1

・•.Z.ACG=乙BCG=^Z,ACB=45°，

•••乙CAB=乙BCG,

在RAFC与4CGB中，

Z.CAF=乙BCG

AC=BC，

/ACF=乙CBG

AFC=△CGB(ASA)；

(2)