2023-2025北京高考数学试题汇编：圆锥曲线的方程章节综合

2023-2025北京高考真题数学汇编

圆锥曲线的方程章节综合

一、单选题

1.（2025北京高考真题）双曲线f—4/=4的离心率为（）

A."B.好C.-D.V5

224

2.（2023北京高考真题）已知抛物线C:y2=8尤的焦点为尸，点M在C上.若M到直线x=-3的距离为5,

则|〃F|=（）

A.7B.6C.5D.4

二、填空题

3.（2024北京高考真题）抛物线/=16x的焦点坐标为.

4.（2025北京高考真题）已知抛物线/=2.5>0）的顶点到焦点的距离为3,则夕=.

5.（2023北京高考真题）已知双曲线C的焦点为（-2,0）和（2,0）,离心率为近，贝I]C的方程为.

6.（2024北京高考真题）若直线蚱-x-3）与双曲线;一丁=1只有一个公共点，则人的一个取值

为.

三、解答题

22

7.（2023北京高考真题）已知椭圆£：++2=1（a>6>0）的离心率为半，A.C分别是E的上、下顶点，

B,。分别是£的左、右顶点,MC|=4.

（1）求E的方程；

⑵设尸为第一象限内£上的动点，直线尸。与直线3C交于点直线P4与直线>=-2交于点N.求证：

MN//CD.

22

8.（2024北京高考真题）已知椭圆及二+与以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形

ab

是边长为2的正方形.过点（0,4空坞且斜率存在的直线与椭圆E交于不同的两点48,过点A和C（0,l）的

直线/C与椭圆£的另一个交点为D.

（1）求椭圆£的方程及离心率；

（2）若直线BD的斜率为0,求t的值.

9.（2025北京高考真题）已知椭圆氏[+，=1（。>6>0）的离心率为自，椭圆£上的点到两焦点的距离

之和为4.

（1）求椭圆E的方程；

（2）设。为坐标原点，点河（%,为乂//0）在椭圆E上，直线XOX+2JV-4=O与直线>=2,了=-2分别交于

点4B.设△QW与AOBM的面积分别为凡邑，比较1t与黑的大小.

»I06I

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参考答案

1.B

【分析】先将双曲线方程化成标准方程，求出。即可求出离心率.

丫2

【详解】由/一4/=4得,—-/=1,所以〃2=4,/W+〃=5,

-4'

即a=2,c=。，所以e=£=3

a2

故选：B.

2.D

【分析】利用抛物线的定义求解即可.

【详解】因为抛物线C:r=8x的焦点/（2,0）,准线方程为x=-2,点”在C上,

所以M到准线x=-2的距离为|"F|,

又M到直线x=-3的距离为5,

所以|吹|+1=5,故|MF|=4.

故选：D.

3.（4,0）

【分析】形如V=2px,（0/O）的抛物线的焦点坐标为由此即可得解.

【详解】由题意抛物线的标准方程为r=16x,所以其焦点坐标为（4,0）.

故答案为：（4,0）.

4.6

【分析】根据抛物线的几何性质可求。的值.

【详解】因为抛物线的顶点到焦距的距离为号，故］=3,故。=6,

故答案为：6.

【分析】根据给定条件，求出双曲线。的实半轴、虚半轴长，再写出C的方程作答.

【详解】令双曲线。的实半轴、虚半轴长分别为。力，显然双曲线。的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦

品巨。=2,

由双曲线C的离心率为JL得£=夜，解得a=JL则6=户/=收，

a

所以双曲线C的方程为。

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故答案为:=1

22

6.1(或-g,答案不唯一)

【分析】联立直线方程与双曲线方程，根据交点个数与方程根的情况列式即可求解.

(2

X__2=1

【详解】联立了一了一,化简并整理得：(1-4公卜2+24后2工-36左2-4=0,

y=k(x-3)

2

由题意得1—4左2=0或A=(24左2)2+4(36左2+4)(1-4^)=0,

解得左=±;或无解，即左=士;，经检验，符合题意.

故答案为：y(或-;，答案不唯一).

7.(1)—+^=1

94

(2)证明见解析

【分析】⑴结合题意得到£=如，26=4,再结合/-2=从，解之即可；

a3

(2)依题意求得直线2C、尸。与尸/的方程，从而求得点M,N的坐标，进而求得七M再根据题意求得分3,

得到％=自》,由此得解.

【详解】⑴依题意，得e=£=YL贝

a33

又4c分别为椭圆上下顶点，MC=4,所以加=4,即6=2,

54

所以八。?一：%即02一#=#=4,则/=9,

所以椭圆E的方程为片+且=1.

94

22

(2)因为椭圆E的方程为女+?=1,所以4(0,2)«(0,-2),2(-3,0),。(3,0),

22

因为P为第一象限E上的动点，设尸(%,")(0<〃?<3,0<〃<2),则q_+?=L

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日,日.0+222

易俗左5c二工一7j,贝U直线8c的方程为y=-：x-2,

—j—u

7n-0n

k-------=-------则直线PD的方程为y=」(x-3),

m-3m-3m-3

2c3(3〃-2加+6)

y=——x-2x—

3〃加即“3(3/2-2m+6)-12/2、

联立,解得3+2-6

n/—12〃’3n+2m-6'3〃+2加一6)'

x—y—

3〃+2加一6

"一

而L=y=2—n—2,贝IJ直线尸月的方程为"nU—2x+2,

m-0mm

rj—2—4"7-4m

令>=一2,贝ij_2==x+2,解得x=Y，即N理厂2

mn-2

又日+W=1,则/=9_g,8疗=72-18万,

944

—12〃「

--------------+2

3n+2m—6(一6〃+4机—12)(〃一2)

所以ecv

3(3w-2m+6)-4m(9n—6m+18)(«-2)+4m(3n+2m-

3n+2m-6n-2

-6n*234+4mn-8m+24-6n2+4mn-8m+24

9n2+8m2+6mn-12m-369n2+72-1Sn2+6mn-12m-36

-6n2+4mn-8m+242(-3〃2+2加〃一4冽+12)2

-9n2+6mn-12m+363(—3〃2+2加〃一4加+12)3

T-T70+22口口7

又kcD=7；—八二不，即&W

3—U3

显然，MN与CD不重合，所以MN"CD.

Q小>272

8.(1)—+—=l,e=——

422

(2"=2

【分析】(1)由题意得b=c=VL进一步得。，由此即可得解;

(2)设48=kx+t,\k^0,/>，/(西,弘),8(9,%),联立椭圆方程，由韦达定理有

〃

-4kt2—4,而NZ):y=/L(%-西)+%，令工=0,即可得解.

121+2左2'122左2+1

%!+X2

【详解】(D由题意b=c=*=0，从而a=，炉+°2=2,

所以椭圆方程为《+己=1,离心率为0=变

422

(2)直线斜率不为0,否则直线与椭圆无交点，矛盾,

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从而设/g：>=kx-^-tAk^O,t>

土匕=1

联立42一，化简并整理得（1+2左2卜2+竹a+2〃-4=0,

y=kx+t

由题意公=16/d-8（2左2+1）/-2）=8（4抬+2-/2）>0,即匕f应满足4r+2-/>0,

2产-4

所以X[+X?=],X]X=

22F+1

若直线位）斜率为0,由椭圆的对称性可设,

所以J'2（x-X|）+%,在直线方程中令x=0,

xx+x2

为(3+%)+、2(g+/)2g9+《毛+耳4左’之一2)2

得％二口±自-----------------------------=------------------------=---------------+t=-

项+x2xx+x2xx+x24kt

所以t=2,

4p+?_/2-4t2-?>0A?n

此时左应满足，n",即左应满足左〈一火或上〉史,

*/022

综上所述，:2满足题意，此时上<_走或心变.

22

22

9.(哈+?=]

【分析】（1）根据椭圆定义以及离心率可求出a，c,再根据凡上。的关系求出b,即可得到椭圆方程；

—OAS、\AM\

（2）法一：联立直线方程求出点42坐标，即可求出访，再根据甘=扇，即可得出它们的大小关系.

法二：利用直线的到角公式或者倾斜角之间的关系得到=,再根据三角形的面积公式即可解

出.

【详解】⑴由椭圆可知，2a=4,所以"2,又°=工=也，所以c=VLb2=a2-c2=2,

a2

22

故椭圆E的方程为土+匕=1;

42

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xox+2yo7-4=O/y

（2）联立《+Ji，消去x得，上乎+2/=4,

.T+T-\x«J

整理得，（2x；+4必2―1整提+16-4x；=奠），

22

又巫+及=1,所以2无;+4/=8,16-4尺=8只，

42

故①式可化简为8/-16JV+8/=0,即（了-%『=0,所以'=%,

所以直线工/+2%»-4=0与椭圆相切，M为切点.

，、，、S,OA

设4国，%），8（工2，%）,易知，当西=》2时，由对称性可知，—=—

（JD

易知县」瓦-尤。=网_.0

故设/<玉

S2\BM\|X2-X0X0-X2

T一…解得——

联立

联立尸+*一4=。，解得％=①,％=_2,

b=-2%

4-4%/

所以反「X]=x04一仇一年

4+42

邑X。f_Zo,X0-4v0-4

人0

2y；4yo二2一典

_2,；_4比2+y0

2-盟

+为o

，、，、S,OA

法二：不妨设/（七,必）同芍/2）,易知，当再=工2时，由对称性可知，—=~

故设/<x0<xl,

联立产；2~4=。，解得寸口,％=2,

[v=2x0

联立产+"-4=。,解得％,

[V=-2X。

若再=0,贝1]%=1,%=士&户2=±48，

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由对称性,不妨取％=血.2=4行，则/(0,2),式4^,-2),川叵1),

V2V2

-----1-----

tanABOM=夜，tanABOM