2023-2025年内蒙古中考数学试题分类汇编：三角形综合（原卷版）

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专题01三角形综合

考点01全等三角形

1.（2023•呼伦贝尔兴安盟•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点8坐标（8,4）,连接08,将08绕点O

逆时针旋转90。，得到。8',则点"的坐标为.

2.12023•呼市•中考真题）如图，在RtZ\48C中，48C=90。，AB=BC,力。=4及，点夕为4C边上的

中点，尸M交的延长线于点M,PN交8c的延长线于点N,且PM上PN.若BM=\,则APMN的面

积为（）

13

D.

C.8~2

手工课堂上，老师给每个制作小组发放把花折伞和制作花折伞的材料及工具.同学们认真观察后，组装

了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞而，制作出精美的花折伞.

AB

AD

DN

机AoC

B'Cc

图1图2图3

【模型建立】

(1)如图I,从花折伞中抽象出“伞形图”.AM=AN,DM=DN.求证：ZAMD=/AND.

【模型应用】

(2)如图2,△4WC中，的平分线/。交MC于点。.请你从以下两个条件:

①/4WZ)=2/C；②/C=4W+MQ中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明

过程.(注：只需选择一种情况作答)

【拓展提升】

(3)如图3,4c为。。的直径，.耘=元，/8/1C的平分线4)交8。于点£,交。。于点。，连接CO.求

证：AE=2CD.

考点02相似三角形

1.(2025•内蒙古•中考真题)如图，在平面直角坐标系中，△048的顶点坐标分别是。(0,0),4(2,1),8(1,2),

以原点O为位似中心，在第三象限画△045'与△的/位似，若△CM'6'与△Q48的相似比为2:1,则点A的

对应点4的坐标为()

A.(-2,-1)B.(-4,-2)C.(-1-2)D.(-2,-4)

2.12024•呼伦贝尔兴安盟•中考真题)如图，点力(0,-2),4(1,0),将线段48平移得到线段QC,若

48C=90。，8c=2川？，则点。的坐标是.

O

ID

3.12023•包头•中考真题）如图，在RtZ\48C中，N4C8=90。"。=3,8C=1,将V48C绕点才逆时针方向

AD

旋转90。，得到△力8C'.连接8V,交4c于点D,则等的值为.

4.12023响头•中考直撅）如图，力CMDCE是•正五动形/8CQE的对角线,力。与CE相交干点尸.下列结

论：

①b平分4CD；②〃'=2。尸；③四边形力4c产是菱形；④4B2=ADEF

其中正确的结论是.（填写所有正确结论的序号）

5.（2024•赤峰•中考真题）数学课上,老师给出以下条件,请同学们经过小组讨论，提出探究问题.如图1,

在V44C中，/18=4C,点力是,4C上的一个动点，过点D作DE1BC于点E,延长£。交员1延长线于点

F.

图1图2

请你解决下面各组提出的问题：

(1)求证：AD=AFi

Q）探究器与监的关系;

廿一d4-AQEMzAD1DF2AD4,DF8

某小组探究发现，当•^■=7时，——当:二二=n时，——

DC3DE3DC5DE5

请你继续探究:

AD7.DF

①当而二时'直接写出言的值;

DE

②当段=%时,DF

猜想方的值，用含，…，的式子表示）’并证明,

DCn

（3）拓展应用：在图I中，过点尸作FP_L力。，垂足为点P,连接CF,得到图2,当点。运动到使ZACF=AACB

时，若空=巴，直接写出纸的值（用含，〃，〃的式子表示）.

DCnAD

考点03三角形综合

1.12023•通辽・中考真题）如图，将△ABC绕点力逆时针旋转到AADE,旋转角为0（0°<a<180。），点〃

的对应点。恰好落在"C边上，若O£_L/C,=24。，则旋转角a的度数为（）

A.24°B.28°C.48°D.66°

2.（2024•赤峰•中考真题）如图，4ABC中,AB=BC=\,2。=72。.将AABC绕点4顺时针旋转得到△43'C',

点方与点4是对应点，点U与点。是对应点.若点。'恰好落在4c边上，下列结论：①点8在旋转过程

中经过的路径长是:小②B'A〃BC；③BD=C'D；④喂=族.其中正确的结论是（）

3ACBD

A.①②③④B.①②③C.①③④D.②④

3.（2023・通辽・中考真题）如图，等边三角形/出。的边长为6cm,动点P从点4出发以2cm/s的速度沿48向

点B匀速运动，过点尸作。。工交边力。于点0,以PQ为边作等边三角形PQD,使点4。在。。异

侧，当点。落在8c边上时，点P需移动s.

A

4.（2023•呼伦贝尔兴安盟•中考真题）如图，在AABC中,ZJBC=90°,45/0=60呼以点A为圆心，以”

的长为半径画弧交4c于点。，连接8Q,再分别以点8,。为圆心，大于;勿的长为半径画弧，两弧交于

点P，作射线力尸交8。于点交BC于点、E,连接QE,则乂3或：5«球的值是（）

A.1:2B.l：x/3C.2:5D.3:8

5.12024•呼伦贝尔兴安盟•中考真题）如图，在△ABC中，ZC=90°,Z5=30°,以点A为圆心，适当长为

半径画弧分别交/14MC于点M和点N,再分别以点”,N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于

点尸，连接力户并延长交3C于点O.若△/C。的面枳为8,则△月8D的面积是（）

6.12024•呼市•中考真题）如图，在△力〃力中，48。=30。，24=105。，将沿40翻折180。得到

△CBD,将线段。。绕点。顺时针旋转30。得到线段。歹，点七为的中点，连接E凡ED.若EF=l,

则AAEO的面积是（）

1+V32+x/3厂2+6「1+石

-----OR.-----v.-----1J.-----

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考点04锐角三角函数的应用

1.12023•赤峰・中考真题）为发展城乡经济,建设美丽乡村，某乡对A地和8地之间的一处垃圾填埋场进行

改造，把原来A地去往4地需要绕行到。地的路线，改造成可以直线通行的公路48.如图，经勘测，AC=6

千米，NCAB=60°,NC84=37°,则改造后公路48的长是干米（精确到0.1千米；参考数据:

sin37°p（）.6O,cos37°«0.80,tail37°«0.75,百。1.73）.

2.12023•呼市•中考真题）如图所示，小明上学途中要经过A,8两地，由于A,8两地之间有一片草坪，

所以需要走路线4C,C8.小明想知道A,4两地间的距离，测得4C=50m,4=45。，N8=40。，请

帮小明求出两地间距离力A的长.（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）

3.12025•内蒙古•中考真题）如图，因地形原因，湖泊两端A,8的距离不易测量，某科技小纽需要用无人

机进行测量.他们将无人机上升并飞行至距湖面90m的点。处.从C点测得A点的俯角为60。，测得"点的

俯角为30。（A,B,。三点在同一竖直平面内），则湖泊两端A,8的距离为m（结果保留根号）.

…吸米了

力七三三三三2

4.12024•呼伦贝尔兴安盟•中考真题）综合实践活动中，数学兴趣小组利用无人机测量大楼的高度.如图，

无人机在离地面40米的。处，测得操控者A的俯角为3（）。，测得楼4。楼顶。处的俯角为45。，又经过人工

测量得到操控者A和大楼之间的水平距离是80米，则楼8c的高度是多少米？（点4B，C,。都在同

一平面内，参考数据：J3=L7）

D

一元FF科一

，/'、、C

/、1

.

/

X.✓

AB

5.12024•赤峰・中考真题）综合实践课上，航模小组用无人机测量古树43的高度.如图，点。处与古树底

部,4处在同一水平面上，且力。=10米，无人机从C处竖直上升到达。处，测得古树顶部4的俯角为45。，

古树底部力的俯角为65。，则古树的高度约为米（结果精确到0.1米；参考数据：sin65°«0.906,

cos65°«0.423,tan65°»2.145）.

%--

7、

:\、、、

I\'、、

1!\、\、4

I：\\、B

I\

i\

C：-------U

6.12023・包头•中考真题）为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动.如图，A

点为出发点，途中设置两个检查点，分别为8点和。点，行进路线为8点在A点的南偏

东25。方向3夜km处，。点在A点的北偏东80。方向，行进路线和8c所在直线的夹角/ABC为45。.

⑴求行进路线和C力所在直线的夹角4c力的度数；

（2）求检查点〃和。之间的距离（结果保留根号）.

7.[2023•通辽•中考真题）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东72。方向，距离灯塔100nmiIe的4处，它沿

正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东40。方向上的B处.这时，B处距离灯塔P有多远

（结果取整数）？

（参考数据:sin72°«0.95,cos7200.31,tan72°«3.08,sin40°«0.64cos40°=0.77,tan4004）.84.）

8.12023•呼伦贝尔兴安盟•中考真题）某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度。.如图所示，

架水平飞行的无人机在A处测得河流左岸C处的俯角为口,无人机沿水平线AF方向继续飞行12米至8处，

测得河流右岸力处的俯角为30。，线段力M=24百米为无人机距地面的铅直高度，点C,。在同一条

直线上，其中tana=2.求河流的宽度8（结果精确到1米，参考数据：百=1.7）.

9.12024・包头・中考真题）如图，学校数学兴趣小组开展“实地测量教学楼力8的高度”的实践活动.教学楼

周围是开阔平整的地面，可供使用的测量工具有皮尺、测角仪（皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点

间的距离；测角仪的功能是测量角的大小）.

（1）请你设计测量教学楼的高度的方案，方案包括画出测量平面图，把应测数据标记在所画的图形上（测

出的距离用血〃等表示,测出的角用生川等表示），并对设计用行说明;

（2）艰据你测量的数据，计算教学楼的高度（用字母表示）.

10.（2024•通辽・中考真题）在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵杨树的高度.如图，从。点测得

杨树底端〃点的仰角是30。，8C长6米，在距离。点4米处的。点测得杨树顶端力点的仰角为45。，求杨

树45的高度（精确到0.1米，AB，BC，8在同一平面内，点C,。在同一水平线上.参考数据：73«1.73）.

11.（2024•呼市・中考真题）虫验是培养学生创新能力的重要途径.如图是小亮同学安装的化学实验