2023-2024学年福建省八年级（下）期中数学试卷+答案解析

2023-2024学年福建省福州一中八年级（下）期中数学试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.下列方程是一元二次方程的是（）

A.lr+2=（）B./+『=-2C.+2J•-1=0D.,r=7x

2.正比例函数j/的图象经过的象限是（）

A.第一、三象限B.第二、四象限C.第三、四象限D.第一、二象限

3.如图，在平行四边形488中,已知.OO.l9U,.11Kkin>

Hl）=,则力。的长为（）

A.B.5cmC.6cmD.8cm

4.用配方法解方程J-2,「-3=0时，配方后正确的是（）

A.(z-2)B.(x-IC.(x-If=-2D.|

5.如图是描述某校篮球队员年龄的条形图，则这个篮球队员年龄的众数

和中位数分别为（）

A.14,15

B.15,14

C.15,15

D.15,

6.下列说法正确的是（）

A.对角线互相垂直的平行四边形是矩形B.菱形的对角线相等

C平行四边形的对角线相等D.对角线相等的立行四边形是矩形

7.如图，直线j/=-与直线。2『交于点4点4的横坐标为-1,则不等

式，+力」2：的解集为（）

A.r<

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C.-2<J<-1

D.-I</<2

8.要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排3

天，每天安排12场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则工满足的关系式为（）

A.l）=3x12B.ij（j-1）=3x12

C.«+1）=3x12D.J-（x-0=3x12

9.如图，矩形48CD对角线力C、BO相交于点。,DE平分NADC交4B于点

巴过点4作/〃交DE于尸点，连接R9,若〃/3,则

R7的长为（）

A.I

B.?

3

ci

D.1

4

10.荡秋千不仅可以增进健康，而且可以培养勇敢精神，为人们特别是儿童所喜爱.已知小明某次荡秋千，秋

千离地面的高度加〃门与摆动时间，之间的关系如图所示.结合图象，下列结论正确的有（）

①变量h是变量/的函数；

②秋千静止时，最低点离地面的高度是。，，〃；

③秋千摆第二个来回需2.6、；

④秋下离地面的高度〃随着扭动时间，、的增大而减小.

A.①@③B.①②③④C.①③④D.②③

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

11.已知点S山）,（“m）都在函数“=-和+刚为常数）的图象上，若m,则火小（用

或填空）.

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12.如图,在母「中，£ACB90,8是斜边48上的中线，且二2,则

AB=.

13.一组数据1、2、3、4、5的方差为5。另一组数据0、2、3、4、6的方差为那么S2+填

“>"、"=”或"V"）.

14.已知。是方程/-2x-1=。的一个根，则代数式2/-1〃-1的值为—

15.已知直线/：ykj-以-3,则该直线一定经过第象限.

16.如图，在菱形48CO中，/8=切，.1〃=6,P为边48的中点，Q

为边8c上一动点（不与点8重合），点E是菱形内的一点，且点8

点与E关于直线PQ对称，连接OE、CE,当△「/"为直角三角形时，BQ

的长为.

三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题9分）

解方程：

3r'I;

（2）/+2J-15=0.

18.（本小题9分）

如图，在平行四边形ABCD中，点E,尸分别在BC,力。边上，且OE=0几连接AE,求证：.，1E=CF.

19.（本小题14分）

某校为了解本校学生周末校外体育活动情况，随机对本校100名学生周末某天的校外体育活动时间进行了

调查，并按照体育活动时间分4B，C,D,四组整理如下：

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根据以上信息解答下列问题：

（1M=；

②通过计算，请估计本校学生周末平均每天的校外体育活动时间；

：：“若该校共有1200名学生，请估计该校周末每天校外体育活动时间不少于1小时的学生人数.

20.（本小题9分）

某社团准备采购实验材料•，据了解，甲商家对该实验材料的售价根据购买量给予优惠，而乙商家按40元/

件的价格出售该实验材料，设该社团需购买此实验材料x件，在甲商家需付款歹件，y与x之间的函数关系

如图所示：

门I当。•/你」和/…用寸，求y关于x的函数解析式；

3设社团需购买该实验材料。件，经过社团成员小明的计算，发现在甲商家购买更省钱，求。的取值范围.

21.（本小题9分）

关于x的一元二次方程J一（kr+k-1=0.

：h如果方程有实数根，求上的取值范围；

2如果•r，/.是这个方程的两个根，且广「21,求〃的值.

22.（本小题9分）

一间花店因举行七周年店庆：现将原价每支7；元的4种玫瑰花，连续两次降价后每支以I、元的价格销售,

若每次下降的百分率相同.

111求每次下降的百分率；

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，将4、8两种玫瑰花।现售价和进价如下表格I共10支包成一束整体销售，若此花束的成本不超过：，2、元,

如何搭配/、8两种玫瑰花的数量，才能使此花束的利润最大？

A种玫瑰花4种玫瑰花

进价（元）；■2.7

售价（元）1、3.5

23.（本小题9分）

在矩形纸片48CD中，将矩形纸片折叠，使点。与点力重合，折痕交4。于E点，交BC千F点.

小尺规作图：求作折痕

All•<//V

⑵若:…，求"的值.

AD

BC

24.（本小题9分,1

如图1,在边长为5的正方形48CO中，点E是线段8C上的动点，连接力E,过点8作/”,I/交。于

F,垂足为M,连接

当点E为4c的中点时,

①求产。的值;

②求证：ZJ.W/）=ZX/'：

》如图2,若N是。历的中点，连接CM求CN的最小值.

图I图2

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25.（本小题9分I

y

如图I,直线y=1+3与工轴、），轴分别交于小B两点,直线u=2/+IX与x轴交于点C,与“=/♦：，

交干点

1।求点D的坐标；

2

小若点M为直线48上一点，若、…，,：S.，求满足条件的点”的坐标；

5如图2,已知P为四边形EOC7）内一点，连接P4、尸B、PC、尸力，记PAU、•/'「/）的面积分别为、：」、

SAPKII

、/”,若点尸的坐标为廿•L&I,则、是否为定值？若是定值，请求出这个定值；若不是，请说

明理由.

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答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：："+2=()是一元一次方程，故不符合题意：

/十/=一2是二元二次方程，故不符合题意；

〃二十21-1二0是二元三次方程，故不符合题意：

J=7.r是一元二次方程，符合题意.

故选：/).

根据一元二次方程的定义进行判断即可.

本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的次数是2的整式方程是一元二次方

程是解题的关键.

2.［答案】B

【解析】解：

•.正比例函数”:「的图象经过第二、四象限，

故选B.

根据正比例函数的图象即可得到结论.

本题主要考查了正比例函数的图象，掌握当Iu时，正比例函数41的图象经过第二、四象限是

解决问题的关键.

3.【答案】A

【解析】解：,「四边形48CZ)是"•行四边形，/IC1仅“I，BD(>»nt

OA-0(()3二OD=\lil)-5”，

Z.ODA90,

/.AD=y/OAi-OD2=4mi.

故选A

由平行四边形48CQ,根据平行四边形的对角线互相平分，可得CMor,OHOD,又由.0。」.W,

根据勾股定理，即可求得4。的长.

此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，解题时还要注意勾股定理的应用.

4.【答案】B

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【解析】解：J-2/-3二0,

八21二3,

r--2x*1=』，

(Z-1)2=4.

故选：B.

先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上1,然后把方程左边写成完全平方的形式即可.

本题考查了解一元二次方程-配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键.

5.【答案】D

【解析】解：这20名篮球队员年绘出现次数最多的是15岁，共出现8次，因此众数是15岁；

将这20名篮球队员的年龄从小到大排列，处在中间位置的2个数是14岁和15岁，因此中位数是

115(岁).

故选：D.

根据中位数、众数的定义进行计算即可求解.

本题考查中位数、众数，掌握中位数、众数的计算方法是正确判断的关键.

6.【答案】D

【解析】解：/、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项力不符合题意；

8、矩形的对角线相等，菱形的互相垂直平分，故选项8不符合题意；

C、平行四边形的互相平分，故选项C不符合题意；

D、对角线相等的平行四边形是矩形，故选项。符合题意；

故选：D.

由矩形的判定、菱形的判定以及平行四边形的性质分别对各个选项进行判断即可.

本题考查了矩形的判定、菱形的判定以及平行四边形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键.

7.【答案】A

【解析】解：观察图象可知，

,「当.一I时，直线廿一*f,在直线。的上方，

.;不等式-)+力，力的解集为…1.

故选：.工

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不等式；；.十人，的解集，就是指直线」，，在直线”2」的上方的自变量的取值范围.

•»•>

本质考查一次函数与一元一次不等式，利用数形结合思想解决问题是解题的关键.

8.【答案】B

【解析】解:根据题意得：'--II3-12

故选：B.

根据参赛的每两个队之间都要比褰一场结合总共36场，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解.

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键.

9.【答案】C

【解析】解：•,•四边形48CO是矩形，

=NO4£=g(r，.IB二「。二3,DO=B()，

•/〃：平分乙I”,

,\LADE15,

「.六「是等腰直角三角形，

/.ADDv2-v22，

,\AE-AD-2,

.・.HE=.IB-.4E=3-2=E

•.△V"是等腰直角三角形，IrDE,

ID"，

・.是./»〃的中位线，

・•」'()=-BE=i

22

故选：(\

由矩形的性质推出..DM!M),AB(D3，DOB()，由角平分线定义得到

-^ADC=45%又判定△40F、是等腰直角三角形，求出AD=V2FD=2,

得到.1/A1)2,求出〃/—.14W-321,由等腰三角形的性质推出尸〃卜：卜,推出竹

是」〃〃的中位线，得到/X\fil

本题考查三角形中位线定理，矩形的性质，等腰直角三角形，角平分线定义，关键是由矩形的性质推出0E

是力的中位线.

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10.【答案】A

【解析【解：①由图象可知，秋千离地面的高度力随摆动时间，的变化而变化，

,.变量方是变量/的函数，

.•・①正确；

②力的最小值是05〃,

.・.秋千静止时，最低点离地面的高度是。X〃，

.,.②正确；

5.12K2.61>1,即秋千摆第二个来回需2.6z,

.二③正确；

由图象可知，秋千离地面的高度扪加।并非随着摆动时间，、，的漕大而一直减小，

④不正确.

综匕①②③正确.

故选：A.

①根据变量与函数的定义判断即可；

②③④根据图象直接判断即可.

本题考查一次函数的应用，掌握变量与函数的定义、从图象获得有关信息是解题的关键.

11.【答案】<

【解析】解：一3<(),

.7随x的增大而减小，

又一点I/：.如)，都在函数一；Lr-Mb为常数)的图象上，且:「，.，

断<Vi*

故答案为：<.

由人•一3<(h利用一次函数的性质，可得出y随工的增大而减小，再结合即可得出出〈阴.

本题考查了次函数的性质，牢记“当人•,0时，歹随x的增大而增大；当k时，y随K的增大而减小”

是解题的关键.

12.【答案】4

【解析】解：•.•在母「中，Z.1CB90,CO是斜边上的中线，且「0:2,

,AU2CD1,

故答案为：I.

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利用直角三角形斜边上的中线性质即可解答.

本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键.

13.【答案】<

【解析】解：•.第1组数据的平均数为(1+2*3*4*5)+53,

则其方差、」-I3『+(23);(33)--(I3)、(53)1+5:2；

笫2组数据的平均数为叫+2+3-I-?

则其方差、:，：(>3『卜(23『・|33!；-I3『卜件3Jr51；

/.5;<.S;,

故答案为：•.

根据方差的定义分别计算出两组数据的方差即可.

本题考杳了方差的意义，解题的关键是观察数据，找到波动较小的就方差小，也可以分别求得方差后再比

较，难度不大.

14.【答案】1

【解析】解：是方程J-2r-1=0的一个根，

/-勿—1»

=2(a2-2o)-1

=2x1-1

■L

故答案为：I.

因为a是方程/-2/-1二。的一个根，所以/-2〃「I，那么代数式2J-Ui-1可化为2(<J-2a)-

然后把“2-2〃=1代入即可.

本题考查了一元二次方程的解以及代数式求值，注意解题中的整体代入思想.

15.【答案】一

【解析】解：.":M3)7,

当了一3时，</3,

图象一定过(3.3J，是第一象限的点，

:该直线•定经过第一象限.

故答案为：一.

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将函数解析式转化为。hr-.13,函数图象过定点153）即可判断.

本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数性质是关键.

16.【答案】3或:人再3

【解析】解：•.•四边形力8C。是菱形，一口「，

:.AB=BC=CD=AD=AC,AABC与AADC均为等边三角形,

当Z0EC90时,如图1所示,

图I

设CQ的中点为点H,连接ER,

­./.DEC9J，火为8的中点，

-3,

,点尸为边的中点,

.・.A〃NB〃*/8・3.

由点4点与七关于直线夕。对称可得『EBP3,

・・・A〃〃"，IP=07?二3，

•.四边形APRD是平行四边形，

PRAD6，

PE4-ER=3+3=G,

-PR,

:.点、P、E、R三点共线，

•.四边形/PR。是平行四边形，

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/.AD

I，加’，

•/1li稹J，

：.^BPE120,

由点4点与E关「直线PQ对称可得，川'Q,

,,.m,Q=/QPE=皿r,

•「/〃二BPQ60,

是等边三角形，

:.BQBP3；

当./(/)90，如图2所示，连接CP,

图2

：,LBCD⑵，

为等边三角形，点P为边48的中点,

,min,

•/ZB-60»

=1800-90"・町・90\

/.Z/:(D—90,

ZW/12119030,

第13页，共23页

,\P>C、E三点共线，

过点E作F/二or于点R设8QJ,

由点4点与E关于直线。0对称可得BQ，「iQ，〃7，。，

;/BCE3U，

LCEF60，

,ZQEF-IM）-GOGO—60,

/.LEQF-30,

;QF—CF,

'：QEJr,£/'=：/，

由勾股定理可得：Qi'：「，

・.・CF・QF,争，

•「li（'—Ab6,

C、代A

,/i•iI,xb，

io4t

解得：r-3\3-3，即〃Q3\33,

当工加时，点E在菱形外部，不合题意，

综上，50的长为3或3（t3

故答案为：3或3\33

分为三种情况讨论，①当NOEC-90时，设CZ）的中点为点心连接ER,由直角三角形的性质可得

I1（-\（I）-3,证明四边形4PHO是平行四边形，根据/N-/〃—3-3—七一PR,可得点P、E、R

三点共线，可证得/"<"I,由轴对称的性质可得，.QPl\证得是等边三角形，可得

UQBP3；②当一脚,连接CP,证明P、C、£三点共线，过点E作上了于点凡设。Q「，

由含30度角直角三角形的性质和勾股定理Q/、，一由三线合一得「/.Qi、:，构造方程求解；③

当，（“加时，点£在菱形外部，不合题意.

本题考查了轴对称的性质、菱形的性质、三点共线、平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质、

勾股定理、直角三角形的性质；本题综合性强，解答本题的关键是分类讨论的使用.

17.【答案】解：⑴"3：r'I,

x-3:3

第14页，共23页

.f\r:1；

|2M+Zr-15-0,

Ij+51(/-3)=I),

—I)或r-3-0,

.r।5,x>-3.

【脩析】h利用解一元二次方程-直接开平方法进行计算，即可解答；

2利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答.

本题考查了解一元二次方程■因式分解法，直接开平方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键.

18.【答案】证明：•.四边形48CD是平行四边形，

HC,A!)",

。.•点七，户分别在4C,边上，BE=DF，

AD-DIBC-HE,即1“_CF,

Xv.m

四边形4ECT是平行四边形，

AE=CE.

【解析】先证明四边形4EC/是平行四边形，从而得到.IE_「尸，从而即可得出结论.

本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法，证明四边形是平行四边形是解决

问题的关键.

19.【答案】50

【解析】解：I”由题意得，—100析)1050,

故答案为：50；

15-10I15•W)♦7'.--.11♦105x八一

121-------------------------..............63分钟J,

答：估计本校学生周末平均每天的校外体育活动时间月63分钟；

I3II2IMI­7211人I,

答：估计该校周末每天校外体育活动时间不少于1小时的学生人数大约为720人.

”根据样本容量为100解答即可；

②根据平均数的计算方法进行计算即可；

⑶样本估计总体，求出样本中每天校外体育活动时间不少于1小时的学生占比即可.

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本题考查算术平均数以及用样本估计总体，掌握各种统计图的特点以及加权平均数的计算方法是正确解答

的前提.

20.【答案】解：I〉当60时,设y关于x的函数解析式为“二人31儿为常数，且曲

将坐标（60.261。）代入y=Ar,

得［川卜।-2GI0,

解得】II,

J/11「；

当Ti”时，设y关于x的函数解析式为"J”-“，」为常数，且人廿⑴.

将坐标■，但2M"）和17）.3川川代入“；।"b,

（CM,+6=2filO

得（MlAjyb=34IH>,

解得《,汁,

I〃・JbO

“=3Kr+3tto.

44了(。CxC60)

综上，y关于x的函数解析式为V二

+360">60)'

2设该社团需购买此实验材料件，在乙商家需付款y元，丁与x之间的函数关系为。I。r,其图象如图

所示:

•购买该实验材料。件，在甲商家购买更省钱,

/.a>180.

【解析】，利用待定系数法求解并写成分段函数即可；

:，粮据“在乙商家购买需付款金额=价格•数量”写出在乙商家购买y与戈之间的函数关系式，根据甲的

函数值小于乙的函数值列不等式并求解即可.

本题考查一次函数的应用和一元一次不等式的应用，掌握待定系数法求函数关系式和一元一次不等式的解

法是解题的关键.

21.【答案】解：（1）・.,方程有实数根，

..△=（-6IA-1）>n,

解得：A•l（h

I?八，「是这个方程的两个根,

了|+了2=6，X\JT2

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,/J-f+7；+：口心=21,

十/q21，

心+K-1=2』，

解得：A-11.

【解析】h利用根的判别式进行求解即可；

2由根与系数的关系可得，J.=6,r,r.kI,再整理所求的式子，代入相应的值运算即可.

本题主要考查根的判别式，根与系数的关系,明确王，公是一元二次方程"」二4打7()(〃上山的两根时,

4+小=-」，/心=£是解答的关键.

<1<1

22.【答案】解：1।由题意，设每次下降的百分率为K，

.・.7.5(1-］尸=18

」•II2或.r\>\舍去：.

•.每次下降的百分率为2厂.

多设力中玫瑰花的数量为。支，利润为w,则8种玫瑰花的数量为111)支，

.・.3.7。+2.7(10-。)W32.5.

a65.5.

由题意得，利润M1>3,7：n.3.5-2.7|1).4一、

又.•0.3>0,

.,.当〃=5时，利润卬最大.

/.1()-41=5.

搭配/、8两种玫瑰花的数量各为5支时，利润最大.

【解析】h依据题意，设每次卜降的百分率为x,从而可得方程7AlnI、，解方程计算即可得解;

2依据题意，设片中玫瑰花的数量为。支，利润为w,则8种玫瑰花的数量为II。支，从而可得

对一。)W：1；，进而求出a的范围，又利润，=6.、3.77I"，IKU-H,

再结合一次函数的性质，即可判断得解.

本题主要考查了•元二次方程及•次函数的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出方程是关键.

第17页，共23页

23.【答案】解：(1)如图,E尸即为所求.

(2)•.•四边形488是矩形,

ID*,

设,4C与以'交十点。

由题意可得，.1。=((),

,・.△H"一〃II、，

AE(F,

•.四边形"TE是平行四边形.

由折叠可知，.IE—CE，

•.四边形力“片是菱形.

・・・尔")，or:OF:/，

AO3

•.而=T

设I8=3x,八。二4一

u=y/AB2+=

4。£=/。・呵，"I。〃h

•.AU)L^\.\IX,

AOOE

ADCL)"

工”，

4x3ar

第18页，共23页

/=20E=铲，

1/1/二y/AG+OE2=-

8

【解析】h直接作线段力C的垂直平分线即可.

2)根据矩形的性质得到A，求得乙"F=C77,E=.FC儿设NC与E尸交于点0,根

据全等三角形的性质得到CF,推出四边形力尸CE是菱形.得到.10「卜，()1'//,设

.1〃3.r,A/)Lr,根据勾股定理得到、1〃」-1/Mu，求得I。:，根据相似三角形的

判定和性质定理即川得到结论.

本题考查作图-轴对称变换，翻折变换।折叠问题I、矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理，相似三角

形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

24.【答案】11①解：.•正方形/8CO的边长为5,E为8。的中点，

,AU13C5,HE=2.5»/.ABC=ZC=9().

,.ZRKI^BEA90,

—

,\^DEAi£CBF90,

LCBF=£BAE,

在一「〃/•和〃」/.中，

(ZCBF=£BAE

<HC-.4/?,

(IABC=ZC

,「/〃工HAI

：.CEBE2.5；

②证明：延长8”交力。的延长线于点G,如图，

由①知:CF-BE，

♦.•点石为8C的中点，

..BE；BC；CD,

BC

第19页，共23页

CfCD,

在7和上中，

ZC=£CDG=90°

Ch=DF，

!ZCFH=£DFG

HC〃(；，

.•ADD(；,

11/(；90，

.MD-AD=DG=\.U；,

,\£AMD=DAM.

/.IDHC,

：.£D\MW7h

..乙U/D-jli

12)解：取45的中点G,连接EG,DG,取OG的中点〃，过点，作〃片LJG于点K,延长KH交CD于

点、L,连接，MCH,如图，

则1(；：IR-2.7,

,HKIAB^\Dl/r

/.HK\l),

,”为DG的中点,

,h.〃为LCI〃的中位线，

AK=KG,GH=DH,KH-1J4D-

///VlJ/h,1/)1，.

.，.四边形力KLO为矩形，

,DLAK,

KG=DL.

在Z；〃和」/)〃中,

第20页，共23页

（£GKL=，DLH=9（1

<£KH（；=£LHD，

\GH=DH

K（；H^IDHi\⑸,

：.HKHL2.5，KG—DL,

5

/.AK=KG=

DLAA-：，

,.CLCDDL:

・・・。〃・，〃〃+—"乌

4

•/Z.4.W090,W二（；8,

/.MG・#8■25

•ZGHDH，DV=V.V，

i5

.」/N=-MG=

.・.CNCN・

44

.GV的最小值为”］：

【解析】：1I①利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可；

②延长8月交力。的延长线于点G,利用全等三角形的判定与性质，直角三角形的斜边上的中线的性质，等

腰三角形的性质解答即可；

（21取力8的中点G,连接£G,DG,取