2023-2025全国高考数学试题汇编：三角恒等变换（人教B版）

2023-2025全国高考真题数学汇编

二角怛等变换（人教B版）

一、单选题

已知a为锐角，cosa=*@，则sin1

1.（2023全国高考真题）=().

42

A3-小B—1+y[5c3—A/5D.T+下

88.44

,COSarrri(兀)

2.（2024全国高考真题）已知----------=J3,贝!!tan|a+二■卜()

cosa-sina<4)

273-1C.B

A.2>/3+1B.D.l->/3

2

3.（2024上海高考真题）下列函数的最小正周期是2兀的是（）

A.sinx+cosxB.sinxcosx

C.sin2x+cos2xD.sin2x-cos2x

4.（2024全国高考真题）已知85（。+尸）=机/211。12114=2,贝Ucos（a-4）=（）

mm

A.—3mB.----C.—D.3m

33

已知siMa-y^uLcosasin^u，，贝ljcos(2a+20=()

5.（2023全国高考真题）

36

1c,-1

A.-B.D.-1

9999

已知Ova〈乃，cosy=^y-,则sin[a—一

6.（2025全国高考真题）

V2「30D.述

A.—B.----c.

105----------------------------1010

7.（2025北京高考真题）设函数/（x）=sin©x+cos5（G＞。），若/（%+兀）=/（%）恒成立，且了（九）在0,：

上存在零点，则。的最小值为（）

A.8B.6C.4D.3

二、多选题

8.（2025全国高考真题）已知VA5C的面积为工，若8524+8525+25m。=2,以）$48550皿。=工，则

44

()

A.sinC=sin2A+sin2BB.AB=y/l

C.sinA+sinBD.AC2+BC2=3

2

三、填空题

9.(2023上海高考真题)已知tani=3,贝|tan2a=.

10.（2024全国高考真题）已知。为第一象限角，夕为第三象限角，tan^+tan/=4,

tanatan力=^2+1,贝!Jsin(a+(3)=.

11.(2024全国高考真题)函数f(%)=sin%-6cos尤在［0,兀］上的最大值是.

四、解答题

12.(2023北京高考真题)设函数/0)=$111。％800+(3003^^0(。〉0,|9|<'|］.

(1)若/(0)=一求。的值.

⑵已知/(无)在区间［-丁TT52兀］上单调递增，(9可71\J=l，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择

一个作为已知，使函数/(X)存在，求0，。的值.

条件①：/5)=血；

条件②：3=

7TTT

条件③：/(尤)在区间上单调递减.

注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个

解答计分.

参考答案

1.D

【分析】根据二倍角公式(或者半角公式)即可求出.

【详解】因为cosa=l-2sin24=l±^5,而a为锐角,

ccqci

【分析】先将一弦化切求得tana,再根据两角和的正切公式即可求解.

cosa-sina

【详解】因为c°sa=布,

cosa-sma

所以---=A/3,=>tana=1-^-，

1-tana3

一一」(兀、tana+1G,

所以tana+—=----------=2^3-1,

I4J1-tana

故选：B.

3.A

【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可.

【详解】对A,sinx+cosx=Ain[x+：],周期7=2兀，故A正确；

19jr

对B,sinxcosx=—sin2无，周期7=—=n,故B错误；

22

22

对于选项C,sinx+Cos^=l,是常值函数，不存在最小正周期，故C错误；

27r

对于选项D,sin2x-cos2x=-cos2x,周期丁=万=兀，故D错误，

故选：A.

4.A

【分析】根据两角和的余弦可求cosccos/7,sinasin分的关系，结合tanatan/的值可求前者，故可求

cos(a-⑶的值.

【详解】因为cos(a+/7)=机，所以cosacos尸一sinasin/7=m,

而tanatan分=2,所以5111251114=28528$/7,

故cosacosp—2cosacos尸二加即cosacos/3=—m,

从而sinasin=-2m,故cos(a-7?)=-3根，

故选：A.

5.B

【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出sin(a+£),再利用二倍角的余弦公式计算作答.

111

【详解】因为sin(a-/)=sinacos〃一cosasin/?=—,而cosasin£=—,因此sinacos，=—,

362

2

贝Usin(cr+4)=sinacos[3+cosasinj3=—,

2i

所以cos(2a+2/3)=cos2(a+y0)=l-2sin2(cr+y0)=l-2x(—)2=—.

故选：B

【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法

(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关

系.解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数.

(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角

相同或具有某种关系.

(3)“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得

的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围.

6.D

34

【分析】利用二倍角余弦公式得cosa=-贝ijsina=],最后再根据两角差的正弦公式即可得到答案.

因为0<a<»,则贝1Jsina=—cos?a='1一[一gJ=g，

.(吟.n.万4忘(3)忘7点

贝mi！lJsina=sinacoscos。sin—=一x——x=.

14)4452(5)210

故选：D.

7.C

【分析】由辅助角公式化简函数解析式，再由正弦函数的最小正周期与零点即可求解.

【详解】函数/'(x)=sin0x+cos0x=&sin(ox+：[(0>°),

设函数/(x)的最小正周期为T,由『(尤+兀)=/(%)可得上T=eN*),

所以T=&=?,(%eN*),即0=2%,亿eN*)；

又函数小)在0，z上存在零点，且当XC0,-时，0X+片-

所以詈无'即

综上，。的最小值为4.

故选：C.

8.ABC

TT

【分析】对cos2A+cos23+2sinC=2由二倍角公式先可推知A选项正确，方法一分情况比较A+3和；的

大小，方法二亦可使用正余弦定理讨论解决，方法三可结合射影定理解决，方法四可在法三的基础上，利

用和差化积公式，回避讨论过程；，然后利用cosAcosBsinC=J算出取值，最后利用三角形面积求出

三边长，即可判断每个选项.

【详解】cos2A+cos2B+2sinC=2,由二倍角公式，l-2sin2A+l-2sin2B+2sinC=2,

整理可得，sinC-sin2A+sin2B-A选项正确；

由诱导公式，sin(A+B)=sin(7t-C)=sinC,

展开可得sinAcosB+sinBcosA=sin2A+sin2B,

即sinA(sinA-cosB)+sinB(sinB-cosA)=0,

下证C=g.

2

方法一：分类讨论

IT

若A+B=5，贝!IsinA=cos氏sinB=cosA可知等式成立；

TTIT

若A+3<5，即由诱导公式和正弦函数的单调性可知，sinA<cosB,同理sin^vcosA,

XsinA>0,sinB>0,于是sinA(sinA-cosB)+sinB(sinB-cosA)<0,

与条件不符，则A+不成立；

2

TTTT

若A+5>—,类似可推导出511171(511124—853)+51113(51118—8524)>0,则A+5>—不成立.

22

TTTT

综上讨论可知，A+B=~,即。=.

2：27

方法二：边角转化

sinC=sin?A+sir?3时，由Ce(0,7t),则sinCe(0,l],

于是lxsinC=sin2A+sin2B>sin2C,

由正弦定理，a2+b2>c2,

TT

由余弦定理可知，cosC>0,则CE(0,—I，

2

若Cw(0,5),JU)]A+B>—,注意到cosAcos5sinC=a,则cosAcos_B>。,

于是cosA>0,cos3>0(两者同负会有两个钝角，不成立)，于是4,8€(0,今)，

结合A+B>工oA>二一8,而A,四-8都是锐角，则sinA>sin|g-B|=cos8>。，

222V2)

于是sinC=sin?A+sin?8>cosn8+sin?8=1,这和sinC<l相矛盾，

故Ce(O,会不成立，则C=]

方法三：结合射影定理(方法一改进)

由sinC=sin2A+sii?与，结合正弦定理可得，c=asinA+bsmB,由射影定理可得c=〃cosB+bcosA,于

是asinA+Z?sinB=acosB+bcosA,

TT

贝iJa(sinA—cos5)+6(sin5—cosA)=0,可同方法一种讨论的角度，推出A+B=],

方法四：和差化积(方法一改进)

续法三：

cz(sinA-cosB)+b(sinB-cosA)=0,可知sinA-cos3,sin5-cosA同时为0或者异号，即

(sinA-cosB)(sinB-cosA)<0,展开可得，

sinAsinB-sinAcosA—cosBsinB+cosAcosB<0,

BPcos(A-B)-1(sin2A+sin2B)<0,结合和差化积，cos(A-B)(1-sin(A+B))<0,由上述分析，

A,BE[。,,],则A—2，,],则cos(A—5)20,则1—sin(A+8)W0,即sinCZl,于是sinC=l,可

知C=K

2

1711

由cosAcos5sinC=—=cosAcos5,由A+5=—,则cos5=sinA,即sinAcosA=—,

424

贝|sin2A」，同理sin2B=L由上述推导，A,Be|0,5|,贝12A,23e(0,兀)，

22I

7TSirTVSir

不妨设A<B,则2A=F，22=^,即A=N，B=?，

661212

由两角和差的正弦公式可知sin—+sin—=巫-诋+后+后=",C选项正确

1212442

由两角和的正切公式可得，tan1^=2+0，

设BC=f,AC=(2+道/，则AB=(0+n)f,

由工ABC=B(2+6)/=：，贝卜第]，贝卜="，

k72

于是AB=(巫+拒)t=0,B选项正确，由勾股定理可知，AC2+BC2=2,D选项错误.

c

(2+73)/

B

g+娓)t

故选：ABC

【分析】由正切的倍角公式求解

2tan。2x33

【详解】已知tana=3,贝ijtan2a=

1-tan2a1-324

故答案为：-：3

4

10.

3

【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得tan(a+£)=-2及，再缩小a+£的范围，最后结合同角的

平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.

tanor+tan4

由题意得tan(a+0==-2五

【详解】法一:1-tanatan(31-(A/2+1)

因为a£12bi,24兀+曰卜4w12mn+兀,2mn+3兀j,k,meZ,

2

贝Ija+尸£((2%i+2左)兀+兀,(2m+2左)兀+2兀)，k,meZ,

又因为tan(a+4)=一2五<0,

则月((

a+ef2m+2^)7i+,2m+2k)7i+2Kj,k,meZ,贝(Jsin(a+/?)<0,

则::Db-28,联立sin2(a+p)+cos2(a+p)=l,解得sin(a+£)=-半.

法二：因为a为第一象限角，£为第三象限角，贝i]cosa>0,cos£<0,

cosa1ncos/-1

Vsin2cr+cos2avl+tan2a^/sin2f3+cos2/3^/1+tan2(3

贝Usin(cr+/3)=sinacos(3+cosasin6=cosacos/?(tana+tanp)

_An_-4_—4__4_2J

=4coscccosp——/厂=r=-/=•=-/，)=-------

A/1+tan2+tan2/3^/(tana+tan/?)2+(tanatanp-1)2v42+23

故答案为：-汉1.

3

11.2

【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.

【详解】/(X)=sinX-A/3cosX=2sin-y,当xe[0,兀]时，x-ye-

当=!时,即x冷时，/(X)3=2.

故答案为：2

71

12.(D^=-j.

jr

(2)条件①不能使函数/(x)存在；条件②或条件③可解得。=1,夕=-+.

7T

【分析】(1)把尤=0代入/'(X)的解析式求出sin。，再由|夕|<金即可求出。的值；

jr27r

(2)若选条件①不合题意；若选条件②，先把/'(x)的解析式化简，根据/(X)在-§,彳上的单调性及

函数的最值可求出T,从而求出。的值；把。的值代入了。)的解析式，由