2024冀教版八年级数学上册第十四章《实数》每课时 导学案汇编（含七个导学案）

14.1.1平方根

问题情境：小明家有面积为100近的正方形花阚，花圃周围要用护栏围起来，

则需要护栏多少米？你能帮小明解决这个问题吗？

问题|和的平方等于多少？10和-10的平方等于多少？

问题2：平方等于2的数有哪些？平方等于100的数呢？

25

问题3：满足/=25的x的值是多少？

一、定义：一般地，如果一个数x的平方等于。，即/=〃，那么这个数—就

叫做的平方根，也叫做的二次方根.

如：2的平方根为_和_,100的平方根为—和一,25的平方根为一

25

和.

练习：1.判断下列说法是否正确.

(1)49的平方根是7；()

(2)2是4的平方根；()

(3)-5是25的平方根；()

(4)64的平方根是±8：()

(5)-16的平方根是-4.()

二、平方根的性质：

一个正数有个平方根，它们互为.

。只有一个平方根，是0本身.

没有平方根.

三、平方根的表示方法：

一个非负数4的立方根可记为，读作“”.其中，称为

被开方数.

一个正数a有两个平方根:一个是正数,读作;一个是负数，

读作—.

练习：1.判断下列语句是否正确.

①3是9的平方根.()

②9的平方根是3.()

③・9的平方根是・3.()

④(-3)2的平方根是-3.()

2.已知正数x的两个平方根分别为"2和2〃-8,求x的值.

四、求平方根

观察下图，说一说求一个数的平方运算和求一个数的平方根运算具有怎样的关

系.

例1.求下列各数的平方根:

(1)81；⑵得(3)0.04.

练习

I.旧的平方根是()

9933

A.±-B.-C.±-D.-

4422

2.±Jx+5表示被开方数是

珀勺取值范围是.

3.若/=4,/?2=9,且4〃>0,则a-b=.

课堂练习

1“土的意义是()

A。的平方根B.当e0时，土&是。的平方根C.以上均不正确

2.下列说法正确的有()

©-2是-4的一个平方根；②序的平方根是a；

③2是4的一个平方根；@4的平方根是-2.

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.若2〃?-4与3昨1是同一个数的平方根，则〃2的值是()

A.-3B.-lC.lD.-3或1

4.计算下列各式的值：

(1)79；(2)-7049；(3)土、叵.

巩固提升

1.回答下列问题：

(1)12是144的平方根吗？

(2)169的负的平方根是哪个数？

(3)士0.3是0.9的平方根吗?为什么?

2.求下列各式中x的值.

14.1.2算术平方根导学案

问题情境：学校要举行美术作品比赛，小美想裁出一块面积为9d/的正方形画布，临摹

自己最喜欢的作品参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？

一定义：一个正数的两个平方根互为.我们把一个正数。的—的平方叫作。

的算术平方根.

算术平方根的记法：a(。20)的算术平方根记为—，读作”—二—叫作被开方数.

二、算术平方根的性质：正数的算术平方根为____；。的算术平方根是

负数算术平方根；

算术平方根具有双重非负性：,

做一做

求下列各数的算术平方根：

4

(1)144；(2)0.01；(3)—；(4)(-13)2；(5)(一16):

49

三、"的化简

当时，必=_

当a<0时,存=

因此合起来就是77=(«>0),

(a<0).

语言表述:一个数的平方的算术平方根等于这个数的.

例1计算下列各式:

(4)

(1)>/L69；(2)-V225；(3)品:7y

例2某小区有一块长方形草坪，为了加强保护，小区管理人员准备用篱笆沿草坪边缘将其

围起来.已知该长方形草坪的长是宽的4倍，草坪的面积是900也求所需篱笆的长度.

练习：1.求下列各式的值：（步骤要规范）

(1)7256；(2)^^：(3)土旧;(4)-X/6716；(5)7^00；(6)-j0.0()49.

2.木工师傅把两个小的正方形木板，拼成了一个面积为169dm2的大正方形桌面，已知一

个小正方形木板的边长为5dm,则另一个小正方形木板的边长是多少？

3.拓展

⑴如果y=Jx-5+\j5-x+16,求4x+y的算术平方根.

⑵一个数的算术平方根为2x-4,平方根为土（x-1）,求这个数.

课堂练习

1.填一填

（1）9的算术平方根是________；

（2）囱的算术平方根是；

（3）0.01的算术平方根是；

（4）10力的算术平方根是________；

（5）（-4/的算术平方根是;

（6）10的算术平方根是________.

2.若则下列结论中正确的是（）

A.1«?<3B.l<a<4C.2<a<3D.2<a<4

3.若Vx-l+Jy+1=0,求x2019+y2020的值.

4.如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和9,那么图中阴影部分的面积为

三、课堂小结

算术平方根的定义一个正数a的正的平方根F叫做Q的算术平方根.

算术平方根的表示方法狙（谑0）（即非负数有算术平方根）

表示一个数的平方的算术平方根,它等于这个数的绝对

值.即：

，亚的意义

p（a>0）,

=|a|=0（a=0）,

-a（a<0）.

注意的问题

⑴只有非负数有算术平方根;（2）算术平方根具有双重非负性，一个是被开方数是非

负数,二是结果是非负数;（3）内（g0）的最小值是0.

当堂检测

1.下列说法中不正确的是（）

A.-a是2的平方根B.近是2的平方根C.2的平方根是&D.2的

算术平方根是友

2.若a、b、c为三角形的三条边，则J（a+b-c『+|b-a-c|=（）

A.2b-2cB.2aC.2（a+b-c）D.2a-2c

3.下列整数中，与回最接近的是（）

A.4B.5C.6D.7

4.下列说法：①36的平方根是6；②±9的平方根是±3；③9=±4；④0.01

是0.1的平方根；⑤42的平方根是4；⑥81的算术平方根是±9.

其中正确的说法是（）

A.0B.1C.3D.5

5..如果一个正数的平方根是Q+3及2。-15,那么这个正数是（）

A.441B.49C.7或21D.49或441

6..已知2〃-1与-〃+2是一个正数的平方根，则这个正数的值是（）

A.1或9B.3C.1D.81

7.如果一个自然数的算术平方根是，，则下一个自然数的算术平方根是()

A.n+1B.zr+1C.+1D.+1

8.如果J/=4,那么x等于()

A.2B.±2C.4D.±4

9.若J(l-2x)2=2x—1,则x的取值范围是.

10.已知实数Q,b,C在数轴上的对应点的位置如图所示，+yl(b-c)2=

ca0b

u.判断下列说法是否正确：

(1)5是25的算术平方根；

(2)，是§的一个平方根；

(3)(-钎的平方根是T；

(4)(4)0的平方根与算术平方根都是0.

12.(1)若a,b满足&=屈工+衣工+7,求d的值.

(2)已知+h—4+(4々一/〜2尸=0,求3(-2加丫

13.已知加+1的平方杈是±3,5。+»-2的算术平方根是%求助-助的平方根.

14.已知|2020・m|+、/〃7-2O2l=m,求m・20202的值.

15.若4-2o与3a+l是同一个正数的两个平方根.

⑴求。的值；⑵求这个正数.

16.(1)观察被开方数a的小数点与算术平方根G的小数点的移动规律:

a0.00010.01110010000

0.01X1y100

填空:x=_______

⑵根据你发现的规律填空:

①已知出之1.414,WJV200=,7(X02=

记/0000,〃的整数部分为X,则，=

②册=0.274,

14.2立方根导学案

问题情境：如图，已知小正方体的棱长为2,那么它的体积是多少？反过来，如

果大正方体的体积V=27,你能不能求出它的棱长工呢？

做一做：求满足下列各式的工的值：

(l)x3=8;(2)x3=-64;(3)%3=0.027;(4)%3=---

一、立方根

(1)定义：一般地，如果一个数X的立方等于小即r=4那么这个数就

叫做的立方根.(也叫做方根)

(2)表示方法：数。的立方根用符号表示(“3”绝对不能省略)，读作“三

次根号其中是被开方数，是根指数.

例如：-64的立方根为,0.027的立方根为,一上的立方根为.

二、立方根的性质

请问：2的立方等于多少？是否有其他的数的立方也是8?所以8的立方根只有

一个，它是一,即o

一3的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是一27?所以一27的立方根

只有一个，它是______，即。

立方根的性质：

①正数的立方根只有，仍是______；

②0的立方根就是；

③负数的立方根只有，仍是.

注意：（1）任何数都有立方根。（2）立方根是它本身的数是.

平方根与立方根的区别

完成下列填空（学生自主完成）

被开方数平方根立方根

正数

负数

零

三、开立方

定义：求一个数的的运算叫做作开立方，开立方与立方互为

例1求下列各数的立方根：

⑴上；Q）-黑；⑶-0.008.

27

四、立方根的化简

（1）完成下列问题，并说出你的发现.

）；V（Z27=（卜妒=（）；V=o7=（卜竹=（）.

得出结论：#/=.

（2）完成下列问题，并说出你的发现.

口=()；-%=()；^/=64=(b-病=()；V^125=()；-病=().

得出结论：々=.

例2求下列各式的值：

⑴；⑵/上•

V210

练习：求下列各数的立方根.(按要求写步骤)

Q97

⑴罚⑵0.008；(3)-125；(4)-.

拓展：

1.夜不与;/5口互为相反数，贝收+y=.

2.1/23JX2.872,。23700工28.72,则。0.0237«.

3.-8的立方根与旧的平方根之和是____.

课堂练习

1.判断下列说法是否正确.

Q7

(1)。的立方根是±-；(2)25的平方根是5；(3)-64没有立方根;

273

(4)・4的平方根是±2；(5)0的平方根和立方根都是0.

2.求下列各式的值：

⑴痫；(2)^125；(3)^1.

T431实数导学案

自主学习：

问题1：如图⑴所示，在纸上画一个两条直角边都是2cm的直角三角形ABC,然后

剪下这个直角三角形，再沿斜边上的高CD剪开后，拼成如图(2)所示的正方形.那么，

这个正方形的边长是多少呢？

aDB

(1)(2)

问题2.1：(-3『=，(一21=，(-1)2=，o2=,I2=,

22=,32=.

整数的平方是_____,弥认为有平方后等于2的整数吗?立是整数吗？

问题2.2：或是分数吗?一［一］3的平方等于2吗?

33322333

你认为有平方后等于2的分数吗？

分数的平方是,有平方等于2的分数吗？应是分数吗？

归纳：&既不是整数也不是分数，因此不是有理数.

借助计算器可以得到：41=1.414213562373095048801688724209698078569­,

它是一个小数.

类似地，我们早就认识的兀，也是一个小数，

71=3.1415926535897932384626433832795028841971-.

问题3.1：将下列分数写成小数形式：

1_1_22_-1_

-=»—二，一二，一O一二

2-----------3-------------7-----------------8---------------

任意一个分数都能写成小数或小数.

问题3.2：将下列有限小数或无限循环小数写成分数形式：

0.5=,0.81=,-0,3=,0.6=

任意一个小数或小数都能写成分数的形式

归纳：有理数包括整数和分数.总可以表示成有限小数或无限循环小数.

反过来，有限小数或无限循环小数也都是有理数.

V2、71都是小数.这样的数有很多，如：啦S,停，-若，

0,0.3737737773……（每两个3之间7的个数逐次多1）.

叫做无理数.无理数包括和

归纳：无理数存在的三种形式

1）开方开不尽的数。如蚯、S等.

2）看似循环,实际上不循环的小数.如0,0.3737737773……（每两个3之间7的

个数逐次多1）

3）圆周率兀及一些含n的数.如n、工、3兀等.

2

一般地，如果。是一个正无理数，那么-a是一个―无理数.

我们把_____和—统称实数.

练习：

1.下列说法正确的有.

①无理数都是实数；②实数都是无理数；③无限小数都是有理数；

④带根号的数都是无理数；⑤不带根号的数都是有理数.

2.下列说法正确的有.

（1）一:是有理数；（2）年是分数；

（3）3.131131113...（每两个3之间依次多一个1）是有理数；

（4）兀是无理数.

22

3.在实数3.1415,V64,-V20,y,0,口中：

无理数有个；

有理数有个；

正数有个；

分数有个；

整数有个.

4.如图，若开始输入的x的值为512,则最后输出的结果为___.

是

输出

结果

课堂检测

1.判断：

（1）实数不是有理数就是无理数.（）

（2）无理数都是无限不循环小数.（）

（3）无理数都是无限小数.（）

（4）无理数一定都带限号.（）

（5）两个无理数之积不一定是无理数.（）

（6）两个无理数之和一定是无理数.（）

2.以下各正方形的边长不是有理数的是（）

A.面积为25的正方形B.面积为16的正方形

C.面积为8的正方形D.面积为1.44的正方形

3.把下列各数填入相应的大括号内：

-7,0.323,3.4,0,aJoiOl0010001…（相邻两个1之间0的个数逐渐加1）,

K

-2-

z

有数

理u

数/

无

理J

I

数

实

正Z

J

I

数

实

14.3.2实数的性质及分类导学案

自主学习：

问题1：如图⑴所示，将面积分别为2和3的两个正方形放置在数轴上，使得正

方形的一个顶点和原点0重合，一条边恰好落在数轴正方向上，其另一个顶点

分别为数轴上的点A和点B.

OAB

------1----------------1~~MP-------Q->

-10123

⑴线段OA,OB的长分别是多少？

(2)点A,B在数轴上对应的数分别是哪两个数?

思考：在数轴上怎样表示-金，-V3?

问题2：如图，设一枚5角硬币的直径为1个单位长度，将这枚硬币放置在平面

内一条数轴上，使硬币边缘上的一点P与原点重合.让这枚硬币沿数轴的正方向

无滑动滚动一周.这时点P转到数轴上点P的位置.

⑴线段0,的长是多少？

⑵在数轴上与点P'对应的数是哪个数？

思考：在数轴上怎样表示-7T?

探究新知

探究一实数与数轴

每个或都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的

点表示的数是或.

实数与数轴上的点的关系：实数和数轴上的点是的.

即：每一个.都可以用数轴上的一个点来表示；数轴上的每一个点都

表示一个.

实数是由和组成的，我们可对实数作如下分类:

整数

或

有理数0

有限小数或无限分数

循环小数

无理数V

（无限不循环小数）I

例1把下列各数分别填在相应的括号内.

--,13-12,+6,-,0,0.8,4-,-4.2.

386

正数：｛

负数：｛

正整数：｛

正分数：｛

负整数：｛

负分数：｛,…}.

探究二实数的相反数、绝对值、倒数

问题3：下列各组实数与所对应的数轴上的点如图所示.

①4,-4；②V5,q；③心一炳.

卡与64

♦L*4---*―»

—

一2101234

（1）这些点到原点的距离分别是多少？

（2）类比有理数的绝对值的定义，谈谈实数的绝对值的意义.

归纳:

绝对值：在数轴上,,称为这个实数的绝对值.实数Q的

绝对值记为

相反数：对于不同而相等的两个，我们称其中一个数是另一

个数的相反数，也称这两个数互为相反数。的相反数可以表示为.4和

—互为相反数；8和互为相反数；和-而互为相反数

倒数：如果两个实数的，则这两个实数互为倒数.曲勺倒数是.

填空：表示的点到原点的距离是，我们就说-花的绝对值是

,记作;6与-亦，两个数符号，绝对值______，我们就说

一㈠是通的，或通是.遥的，即而与.6互为；V5x

蠢;,我们就说后与专互为.

注意：0的相反数是_____,0倒数.

例2求下列各数的相反数、倒数、绝对值.

（1）区（2）皿；（3）1.2.

练习：

1.在数轴上，到原点的距离为G的点所表示的数是______.

2]x\=x/5-h则x=.

3.4的倒数是,绝对值是，相反数是.

课堂练习

1.下列说法正确的是（）

A.正实数和负实数统称实数

B.正数、零和负数统称有理数

C.带根号的数和分数统称实数

D.无理数和有理数统称实数

2.舛的绝对值是（）

A.2B.-2C.-4D.4

3.-指是"的（）

A.相反数B.倒数C.负平方根D.绝对值

4.2-行的绝对值是（）

A.2-石B.6-2C.2+石D.±（2-石）

5.如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到点8,再爬到点C停止.

已知点人表示-&，点C表示2,设点8所表示的数为m,则m=.

ABC

-3-2-101234

1432实数大小比较导学案

旧知回顾

回忆有理数中比较大小的方法：

1.利用数轴，在数轴上—的点表示的数总大于—的点表示的数.

2.正数―0,负数—0,正数—一切负数；

两个正数作比较，绝对值大的数—；

两个负数作比较，绝对值大的反而.

探究新知

探究一与带根号的无理数比较大小

问题1：在上节课问题情境中，由两个正方形的面积（3和2）的大小，能不能比较

它们边长（V5和/）的大小?

OAB

----1------------1：4」-----1~衿

-10123

问题2：将面积分别为Q和b（a>b）的两个正方形，按上图所示的方式摆放，它们

的边长和历的大小关系是怎样的？

思考：通过探究，在实数的大小比较方面，你能得到什么结论？

一般地，已知两个正数。和b,如果a〉b,那么①般反过来，如果

y[a>4b,那么ab.

例1比较下列各组数中两个数的大小:

(1)22和振(2)-加和—兀：

3

总结：实数的大小比较方法

(1)数轴比较法：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数

(2)法则比较法：正数—0,0—负数；正数—一切负数；两个负数比较，

绝对值大的反而;

(3)平方比较法(带有根号的数)：

①计算两数的平方；②比较两数的平方；

③比较两数的算术平方根；④得出两数的大小

探究二估算无理数的范围

例2判断下列各实数在哪两个相邻的整数之间：

(Dx/5；⑵-舟.

问题3：鱼究竟有多大呢？

教师指导：因为12=1,22=4,1<2<4,所以<V2<；

取1与2之间的一个数，如1.5,1.52=2.25,而1<2<2.25,所以<V2<；

取1与1.5之间的一个数，如1.3,1.32=1.69,1.69<2<2.25,所以5V

取1.3与1.5之间的一个数，如1.4,1.42=1.96,而1.96<2<2.25,所以—<V2<一,

如果精确到0.1,取1.4与1.5之间的一个数,如1.45,1.452=2.1025,

而1.96<2<2.1025,所以1.4<V2<1.45,那么企<.

练习：

⑴比一比，看谁找得快.

判断瓦，后，-而，-扃在哪两个整数之间.

⑶-M与瓜之间的整数是__________________.

总结：无理数的估算：先估算无理数的平方在哪些整数之间，再开平方估算无

理数在哪两个整数之间

实数的大小比较常用的方法：（1）平方比较法；（2）作差比较法；（3）倒数比较法；

⑷估算法

课堂检测

1.在夜，-1,-3,0这四个实数中，最小的是（

A.0B.-lC.-3D.0

2.计算十3|的结果是（）

A.-lB,-5C.1D.5

3.估计/+1的值（）

A.在1和2之间B.在2和3之间

C.在3和4之间D.在4和5之间

4.将下列各式中的绝对值符号化去:

(1)匠可⑵*;

14.4近似数

自主学习：

节日期间，小明欲对客厅的圆形画框用彩带做装饰，即用彩带绕画框一周.

已知圆形画框的半径是0.4米，则小明最少需要买多长的彩带？

1.近似数

我们来看看生活中存在的类似的情况：

下面是小亮两次测量身高情况的示意图:

问题1：根据左图读出的数据，小亮的身高是1.63m；根据右图读出的数据，小

亮的身高是1.628m.这两个数据都是准确的吗？

问题2：1.63中的三个数字，哪些数字是准确的，哪个数字不一定准确?对于1.628

中的四个数字，哪些数字是准确的，哪个数字不一定准确？

近似数：接近实际的数或在计算中按要求所取的与某个准确数接近的数，称为近

似数.

注意：不要误认为整数就是准确数，分数和小数是近似数.如一辆车拉了50t货

物，5