2024年高中物理 专项强化3 带电粒子在有界匀强磁场中的运动

专题强化3带电粒子在有界匀强磁场中的运动

［学习目标］1.会分析带电粒子在有界匀强磁场中的运动（重点）。2.会分析带电粒子在有界匀

强磁场中运动的临界问题［难点）。3.了解多解的成因，会分析带电粒子在有界匀强磁场中运

动的多解问题（难点）。

一、带电粒子在有界匀强磁场中的运动

1.直线边界

从某一直线边界射入的粒子，再从这一边界射出时，速度与边界的夹角相等，如图所示。

2.平行边界

3.圆形边界

（I）在圆形磁场区域内，沿半径方向射入的粒子，必沿半径方向射出，如图甲所示。

（2）在圆形磁场区域内，不沿半径方向射入的粒子，入射速度方向与半径的夹角为仇出射速

度方向与半径的夹角也为"如图乙所示。

4.三角形边界

如图所示是等边三角形ABC区域内某带正电的粒子垂直AR方向进入磁场的临界轨迹示意

图，粒子能从AC间射出的两个临界轨迹如图甲、乙所示。

【例1】（2023•宿迂市高二统考期末）如图所示，在边界尸。上方有垂直纸面向里的匀强磁场，

一对比荷相同的正、负离子同时从边界上的O点沿与PQ成。角的方向以相同的速度。射入

磁场中，不计离子重力，则正、负离子（）

A.在磁场中的运动时间相同

B.在磁场中运动的位移相同

C.出边界时两者的速度相同

D,正离子出边界点到。点的距离更大

答案C

解析两离子在磁场中运动周期为7鬻

则知两个离子圆周运动的周期相等。根据左手定则分析可知，正离子逆时针偏转，负离子顺

时针偏转，作出两离子的运动轨迹，如图所示

两离子重新回到边界时，正离子的速度偏向角为2兀一2仇轨迹的圆心角也为2兀一2。，运动

L，r2兀—2。

时间Z|=---2-兀--'

同理，负离子运动时间/2=齐

正、负离子在磁场中运动时•间不相等，故A错误;

根据洛伦兹力提供向心力，则有

由题意可知「相同，根据几何知识可得，重新回到边界的位置与O点距离s=2rsin（9,

八。相同，则s相同，故两离子在磁场中运动的位移大小相同，方向不同，故B、D错误；

两离子在磁场中均做匀速圆周运动，速度沿轨迹的切线方向，根据圆的对称性可知，重新回

到边界时速度大小与方向相同，故C正确。

【例2】在以坐标原点。为圆心、半径为，•的圆形区域内，存在磁感应强度大小为8、方向

垂直于纸面向里的匀强磁场，如图所示。一个不计重力的带电粒子从磁场边界与入轴的交点

4处以速度。沿一工方向射入磁场，它恰好从磁场边界与y轴的交点。处沿+y方向飞出。

（I）请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷*；

（2）若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为〃’，该粒子仍从人处以

相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60。，求磁感应强度

夕的大小及此次粒子在磁场中运动所用时间7。

答案（1）负电荷淙（2）卓8第

解析（1）由粒子的运动航迹（如图），利用左手定则可知，该粒子带负电荷。粒子由A点射入,

由。点飞出，其速度方向改变了90。，则粒子轨迹半径尺==，又如8=〃点，

则粒子的比荷义=白。

inHr

（2）设粒子从。点飞出磁场，运动就迹如图，速度方向改变了60。，故AO弧所对圆心角为

60。，由几何知识可知，粒子做圆周运动的半径R'=T"=小r,又R'=爷~，所以B'

【anJUqts

=坐8,此次粒子在磁场中运动所用时间/=77'=7X^^—=坐芸。

二、带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题

解决带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题的关键,通常以题目中的“恰好”“最

大，，“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据匀强磁场边界和题设条件画好

轨迹，建立几何关系求解。

⑴刚好穿出或刚好不能穿出匀强磁场的条件是带电粒子在匀强磁场中运动的轨迹与边界相

切。

⑵当以•定的速率垂直射入匀强磁场时，运动的弧长越长、圆心角越大，则带电粒子在有

界匀强磁场中的运动时间越长。

⑶比荷相同的带电粒子以不同的速率。进入磁场时，圆心角越大的，运动时间越长。

【例3】如图所示，真空中狭长区域内的匀强磁场的磁感应强度为从方向垂直纸面向里，区

域宽度为d,边界为CD和EF,速度为。的电子从边界CO外侧垂直于磁场方向射入磁场，

入射方向与C。的夹角为仇已知电子的质量为机、带电荷量为e,为使电子能从另一边界

EF射出，电子的速率应满足的条件是（）

BedBed

・V>m（1+cos0）•"7（1+cos0）

BedBed

'V'〃?（1+sin0）'V'//?（!+sin0）

答案A

解析由题意可知，电子从边界E尸射出的临界条件为到达边界历时，速度方向与£尸平

行，即运动轨迹与E/7相切，如图所示。由几何知识得：

八用如

R+Rcos-d,Rf,

解得&=小,当。>如时，电子能从边界石尸死出，故A正确。

【例4】（2020•全国卷III）真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为。和3〃的同轴圆

柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示。一速率为。的电子从圆心沿半径方

向进入磁场。已知电子质量为，〃，电荷量为e,忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中

实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为（）

A.eqB.eqC.eqD.eq

答案C

解析磁感应强度取最小值时对应的电子的运动轨迹临界状态如图所示，设也子在磁场中做

圆周运动的半径为r,由几何关系得《尸+户=（3〃一「）2,根据洛伦兹力提供向心力有evB=nr^,

联立解得“=骁，故选C。

=|,所以当离子运动轨迹的半径小于盹寸满足约束条件：由牛顿第二定律得卯8=后，所

以应满足丛＞」竺，选项C正确，D错误。

m61如图所示，边长为,的等边三角形4CO内、外分布着方向相反的匀强磁场，磁感应

强度大小均为瓦顶点A处有一粒子源，能沿NC4。的平分线方向发射不同速度的粒子，

粒子质量均为，〃，电荷量均为+9，不计粒子重力。则粒子以下列哪一速度发射时不能通过

。点()

A.eqB.eqC.eqD.eq

答案C

解析粒子带正电，且经过。点，其可能的轨迹如图所示；

所有圆弧所对的圆心角均为60。，所以粒子运动的半径为，•=:(〃=1,2,3,•••):粒子在匀强磁

场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得依归=〃,，解得。=等=

^(77=1,2,3,…)，故选C。

专题强化练

训练1带电粒子在有界匀强磁场中的运动

基础强化练

1.如图所示，在第I象限内有垂直纸面向里的匀强磁场，一对质量与电荷量都相等的正、负

粒子分别以相同速率沿与X轴成30。角的方向从原点射入磁场，不计粒子重力，则正、负粒

子在磁场中运动的时间之比为()

A.I：2B.2：1

C.I：小D.1：1

答案B

解析由洛伦兹力提供向心力有94二爸2,又丁=邛，解得「=鬻，则正、负粒子在磁

场中的运动周期相等，正、负粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，正粒子在磁场中的运动就

迹对应的圆心角为120°,负粒子在磁场中的运动轨迹充■应的圆心角为60°,故时间之比为

2：1,B正确。

2.如图所示，平行线PQ、之间有方向垂直纸面向里的无限长匀强磁场，电子从。点沿

平行于PQ且垂直于磁场方向射入磁场，当电子速率为为时与MN成6（）。角斜向右下方射出

磁场；当电子速率为6时与成30。角斜向右下方射出磁场（出射点都没画出），5：6等

A.1：(2一5)B.(2—5)：I

C.2：1D.小：I

答案B

解析设电子射出磁场时速度方向与MN之间的夹角为伍做匀速圆周运动的半径为「，两

平行线之间的距离为4由几何关系可知cose=Ly

解得电子做匀速圆周运动

八mV-rqB

qvB=---,。=一*-8

1rm

联立可得3：6=（2-小j：1,故B正确。

3.如图所示，空间有•圆柱形匀强磁场区域，该区域的横截面的半径为R,磁场方向垂直于

横截面。一质量为〃h电荷量为虱4〉0）的粒子以速率勿沿横截面的某直径射入磁场，离开

磁场时速度方向偏离入射方向60。。不计粒子重力，该磁场的磁感应强度大小为（）

A.cqB.cq

C.eqD.eq

答案A

解析粒子的运动轨迹如图所示,

粒子做圆周运动的就道半径

根据洛伦兹力提供向心力得

qgB="曾，解得8=中曹,故A正确。

，rJQK

4.（多选）如图所示，直角三角形ABC中存在一匀强磁场，比荷相同的两个带电粒子沿4B方

向射入磁场，分别从AC边上的P、Q两点射出，不计粒子重力，则（）

A.从尸射出的粒子速度大

B.从Q射出的粒子速度大

C.从P射出的粒子在磁场中运动的时间长

D.两粒子在磁场中运动的时间一样长

答案BD

解析作出两带电粒子各自的运动就迹，如图所示，根据圆周运动特点知，两粒子分别从P、

Q点射出时，速度方向与AC边的夹角相等，故可判定两粒子从P、Q点射出时，半径RER。,

故由/?=答可知从。点射出的粒子速度大，A错误，B正确；由T=第=缥得,两粒子

bqVqo

在磁场中做圆周运动的周期相等，根据图示，可知两就迹对应的圆心角相等，由得

2虱

两粒子在磁场中的运动时间相等，C错误，D正确。

5.（2022•青岛市高二期末）空间存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，图中的正方形为其边

界。一细束由两种粒子组成的粒子流沿垂直于磁场的方向从0点入射。这两种粒子带同种

电荷，它们的电荷量、质量均不同，但其比荷相同，且都包含不同速率的粒子，不计重力。

下列说法正确的是（）

A.入射速度不同的粒子在磁场中的运动时间一定不同

B.入射速度相同的粒子在磁场中的运动轨迹一定相同

C.在磁场中运动时间相同的粒子，其运动轨迹一定相同

D.在磁场中运动时间越长的粒子，其轨迹一定越长

答案B

解析根据周期争，得，=瑞,丁=等

这两种粒子带同种电荷，比荷相同，则周期相同，若不同速度粒子都从左边界离开磁场，圆

心角均为180。，运动时间一定相同，但运动轨•迹不同，故A、C错误；

mv

根据qvB=〃r^,在磁场中运动半径r=不

运动圆弧对应的半径与速率成正比，入射速度相同的粒子在磁场中的运动航迹一定相同，故

B正确；

如图，运动轨迹为1的粒子的运动时间较长，但轨迹长，更比2的短，故D错误。

能力综合练

6.如图所示的扇形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为从AO

与06垂直，圆弧的半径为我。一个质量为「〃、电荷量为“的带负电的粒子从圆心O点以大

小为誓的速度射入磁场，结果粒子刚好从43弧的中点C射出，不计粒子的重力，贝!下列

说法正确的是（）

A.粒子在磁场中运动的时间为益

B.粒子从0点射入速度与80边的夹角为30。

C.只改变粒子射入磁场时速度的方向，使粒子从人。段圆弧射出，则粒子在磁场中运动时

间变长

D.只改变粒子射入磁场时速度的方向，使粒子从C8段圆弧射出，则粒子在磁场中运动时

间变短

答案A

解析粒子在磁场中运动的半径厂=写=式，则由几何关系可知，粒子在磁场中转过的角度

为60°,运动的时间为/=燃尸7'=，=寺方，选项A正确；由几何关系可知粒子从。点射入

速度与30边的夹角为75。，选项B错误；只改变粒子射入磁场时速度的方向，使粒子从AC

段圆弧射出，则粒子在磁场中转过的角度仍为60。，粒子在磁场中运动时间不变，选项C错

误；只改变粒子射入磁场时速度的方向，使粒子从BC段圆弧射出，则粒子在磁场中转过的

角度仍为60。，粒子在磁场中运动时间不变，选项D错误。

7.如图所示，在圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，乃是圆的直径。一带电粒子从。

点射入磁场，速度大小为功、方向与必成30。角时;恰好从〃点飞出磁场，且粒子在磁场

中运动的时间为人若同•带电粒子从。点沿他方向射入磁场，也经时间/飞出磁场，则其

速度大小为（）

A.ecpiB.ecpiC.eqyiD.eqPi

答案C

解析画出两种情况下带电粒子的运动跳迹如图所示，由题意，同一粒子在磁场中偏转时间

均为/,则两种情况下带电粒子的偏转角均为60。；设圆的半径为R,由几何关系可以确定带

电粒子在两种情况下做匀速圆周运动的半径分别为八=2R,r2=Man60。=6R,由洛伦兹

力提供向心力有卯8=稔，则速度则放=言=赤所以当粒子沿出?方向射入时，

1^2=A、B、D错误，C正确。

8.（2019•全国卷II）如图，边长为/的正方形"cd内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B,方

向垂直于纸面（出"/所在平面）向外。必边中点有一电子发射源O,可向磁场内沿垂直于必

边的方向发射电子。已知电子的比荷为鼠则从两点射出的电子的速度大小分别为（）

•・B••

B.eqkBl,

D.eqkBh^kBl

解析电子从。点射出时，其运动轨迹如图线①，轨迹半径为小=，由洛伦兹力提供向心

义.=k,解得％=等；电子从d点射出时，运动轨迹如图线②，由几何关系有1=r+（口

一1）2,解得：&='斗，由洛伦兹力提供向心力，有eVdB=〃¥，又!=&,解得加=1咨,选

项B正确。

9.（2023•温州市高二统考期末）如图所示，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，。为圆心，

A、C、D为圆形区域边界上的三点，ZAOC=90°,407）=60。。现有一对质量相等、电

荷量不等的正、负粒子，从A点沿A。方向以相同大小的速度垂直磁场射入，一个从。点

离开磁场，另一个从。点离开磁场，粒子的重力及相互作用力均不计。求：

（I）从C点离开磁场的粒子的电性；

⑵从C点和。点离开磁场的两个粒子的电荷量之比；

（3）从。点和。点离开磁场的两个粒了•在磁场中运动的时间之比。

答案（1）负电⑶平

解析（1）若粒子从C点离开磁场，其在A点受到的洛伦兹力必水平向左，根据左手定则可

知，粒子带负电;

（2）设磁场圆的半径为心带电粒子的运动轨迹如图所示

根据洛伦兹力提供向心力,

可得L器

由图可知rc=R

^=tan30°

A

所哮艺=当

（3）带电粒子在磁场中运动的时间为，=言7；7=羿,

所以上=*上=芈

tD4ru4

训练2带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界和多解问题

基础强化练

1.如图所示，△ABC为与匀强磁场垂直的边长为〃的等边三角形，比荷为5的电子以速度加

从八点沿A8边入射，欲使电子经过8c边，磁感应强度8的取值范围为（

A.4n2WP0

B.B<

aeae

D.B4

c.aeae

答案D

解析由题意可知，包子正好经过C点时的运动枕迹如图所示，此时圆周运动的半径/?=

a

2V34要想电•子从边经过，位子做圆周运动的半径要大于乎出由带电粒子在

cos3003

磁场中做圆周运动的半径广=气有半4卅能，即D项正确。

qii5eiiae

2.（2022♦天津双菱中学高二期末）如图所示，宽为4的带状区域内有垂直纸面向外的匀强磁

场，磁感应强度大小为B,一质量为加、电荷量为e的质子从4点出发，与边界成60。角进

入匀强磁场，要使质子从左边界飞出磁场，则质子速度的最大值为（）

A.cqB.cq

C.eqD.eq

答案A

解析质子速度最大的临界状态是批迹与PQ相切时，如图所示

由几何知识可得r+“os60。=乩解得，=多/,质子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提

供向心力卬8=干，解得啜,故选A。

3.直线OM和宜线ON之间的夹角为30。，如图所示，直线OM上方存在匀强磁场，磁感应

强度大小为从方向垂直于纸面向外。一带电粒子的质量为机，电荷量为僦4>0）。粒子沿纸

面以大小为。的速度从OM上的某点向左上方射入磁场：方向与OM成30。角。已知该粒子

在磁场中的运动轨迹与ON只有一个交点，并从OM上另一点射出磁场，不计粒子重力。粒

子离开磁场的出射点到两直线交点O的距离为（）

A.eqB.eqC.eqD.eq

答案D

解析带电粒子在磁场中做圆周运动的航迹半径为r=缘。由题意可知，轨迹与ON相切，

___CD___

画出粒子的运动轨迹如图所示，由几何知识得C。'。为一直线段，。。=”;而=2CO=

dillJU

4mv

故正确。

4r=qB-f,D

4.（多选）（2022•临沂市高二期末）如图所示，在平面直角坐标系。口的笫一、二象限内，存

在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为瓦大量质量为〃h电荷量为q的相同粒子

从），轴上的P（0,L）点,以相同的速率在纸面内沿不同方向先后射入磁场。当沿x轴正方向

射入时，粒子垂宜x轴离开磁场，不计粒子的重力，则（）

•*.p\-v•B•

OX

A.粒子一定带正电

B.粒子入射速率为誓1

C.粒子在磁场运动的最短时间为赣

D.粒子离开磁场的位置到O点的最大距离为小L

答案ACD

解析根据题意，当粒子的速度沿入轴正方向射入时，粒子运动的就迹如图甲所示，由此可

知，粒子带正电，故A正确：

■II

,・r：・

O~~X

甲

根据洛伦兹力提供向心力，则/必=〃后r=L,解得。=噜,故B错误：

当粒子在磁场中运动时间最短时，粒子运动枕迹如图乙所示，根据几何关系可得。=全粒

7T

子运动的时间为/=令/平=就故C正确；

当粒子离开磁场的位置与尸点连线是轨迹圆的直径时，位置最远，如图丙所示，由图丙可

知PQ=2L,PQ2=OP2+OQ2,解得0。=小故D正确。

5.（多选）如图所示，长为/的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B,板

间距离也为/,极板不带电。现有质量为〃?、电向量为《的带止电粒子（不计重力），从两极

板间边界中点处垂直磁感线以速度。水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法

是（）

/

XXXI

+夕一”/

X”x]

A.使粒子的速度。甯

B.使粒子的速度

C.使粒子的速度。:当

D.使粒子的速度瑞＜。＜^黑

答案AB

解析如图所示，带电粒子刚好打在极板右边缘时，有rJ=S—g）2+/2,又"=詈;所以

；粒子刚好打在极板左边缘时，有‘2=（=需，。2=鬻，综合上述分析可知，选项

A^B正确。

能力综合练

6.（多选）如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，磁感应强度为从MM'和NM是它的两条

边界线，现有质量为〃?、电荷量为，/的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入，粒子重力不计，

要使粒子不能从边界NM射出，粒子入射速率。的最大值可能是（）

A.eqB.eq

C.eqD.eq

答案BD

解析设带电粒子在磁场中运动的凯迹半径为R,粒子在磁场中做圆周运动时由洛伦兹力提

供向心力，由牛顿第二定律可得平心=〃至，解得R=~^。带电粒子速率越大，轨迹半径越

大,当轨迹恰好与边界MV'相切时，粒子恰好不能从边界NN'射出，对应的速率最大。

若粒子带负电，临界轨迹如图甲所示，由几何知识得R+Rcos45°=d,

解得R=（2—陋）乩

对应的速率。=0一£）建。

若粒子带正电，临界枕迹如图乙所示，

由几何知识得：/?-/?cos45°=（/,

解得R=（2+让）”

川■产AA浦玄（2+圾曲M注Dn

对应的速率。=---------，故选B、Do

m

7.（多选）（2022・湖北卷）在如图所示的平面内，分界线S尸用宽度为心的矩形区域分成两部分，

一部分充满方向垂直纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁

感应强度大小均为6,S尸与磁场左右边界垂直。离子源从S处射入速度大小不同的正离子，

离子入射方向与磁场方向垂直且与Sk成30。角。已知离子比荷为化不计重力。若离子从0

点射出，设出射方向与入射方向的夹角为仇则离子的入射速度和对应0角的可能组合为

（）

A.cq姐L。。B.eq姐乙。°

C."60。D.2kBL6U°

答案BC

解析若离子通过下部分磁场直接到达尸点，如图,

L

根据几何关系则有R=L,由qvB=??,可得v=%=kBL,根据对称性可知出射速度与

SP成30。角向上，故出射方向与入射方向的夹角为。=60。。

当离子在两个磁场均运动一次时，如图，因为两个磁场的磁感应强度大小均为6,则根据对

称性有R=、，根据洛伦兹力提供向心力，有qvB=i端,可得v=g^=；kBL,此时出射方

向与入射方向相同，即出射方向与入射方向的夹角为。=0。。通过以上分析可知当离子从下

部分磁场射出时，需满足力法L上如〃=123,…),此时出射方向与入射方向

的夹角为0=60。；当离子从上部分磁场射出时，需满足。=骞=?姐L(〃=l,2,3,-I,此

时出射方向与入射方向的夹角为。=0。。故B、C正确，A、D错误。

L

8.如图所示，一足够长的矩形区域abed内存在一方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为B

的匀强磁场，在ad边中点。，沿垂直磁场方向射入一速度方向与ad边夹角9=30。、大小

为如(未知量)的带正电粒子，已知粒子质量为〃?，电荷量为/4d边长为L,a〃边足够长，

粒子重力不计，求：

(1)若粒子恰好不能从磁场下边界射出，求粒子的入射速度大小如-

⑵若粒子恰好沿磁场上边界切线射出，求粒子的入射速度大小的2；

(3)若带电粒子的速度次)大小可取任意值，求粒子在磁场中运动的最长时间。

答案⑴警(2鬣⑶瑞

解析(1)和(2)两种临界情况的运动轨迹如图所示，

若粒子速度大小为的，则

n加MqqBR

解得：vo='^-o

(1)设圆心在。|处对应圆弧与cd边相切，对应速度大小为Vol

由几何关系得:/?isin0=~解得R1=L