21.3 动点的函数图象问题（压轴题专项讲练）（教师版）

专题21.3动点的函数图象问题思想方法思想方法数形结合思想：所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函数与图象的对应关系；（3所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。典例分析典例分析【典例1】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD=2，CD⊥AB于点D，点E、F、G分别是边CD、CA、AD的中点，连接EF、FG，动点M从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向点A方向运动（点M运动到AB的中点时停止）；过点M作直线MP∥BC与线段AC交于点P，以PM为斜边作Rt△PMN，点N在AB上，设运动的时间为tsA．B．C．D．【思路点拨】本题考查几何动点问题的函数图象，正确分段并分析是解题的关键．根据题意先分段，分为0≤t≤0.5，0.5<t≤1，1<t【解题过程】解：分析平移过程，①从开始出发至PM与点E重合，由题意可知0≤t则BM=2过点M作MT⊥BC于点∵∠B=60°，∴BC=2BD=4，CD∵∠ACB=90°，∴∠ACB∴四边形CTMP为矩形，∴PM=∵∠PMN=∠B∴MN=∴DN=∵E为CD中点，∴DE=∴S=∴S与t的函数关系是正比例函数；②当0.5<t≤1，即从PM与E重合至点M与点由①可得QN=ED=3，DM=2-2∵∠PMN=∠B∴SD=∴ES=∴ER=∴S=此函数图象是开口向下的二次函数；③当1<t≤2，即从点M与点D重合至点由①可得DN=32∵AD=3CD=6∴NG=∴QF=∴PQ=∴HQ=∴S=∴S与t的函数关系是一次函数，综上，只有选项A的图象符合，故选：A．学霸必刷学霸必刷1．（2024·四川广元·二模）如图，在矩形ABCD中，AB=4cm,AD=2cm，动点M自点A出发沿AB方向以每秒1cm的速度向点B运动，同时动点N自点A出发沿折线AD－DC－CB以每秒2cm的速度运动，到达点B时运动同时停止．设

A．

B．C．

D．

【思路点拨】本题考查动点问题的函数图象问题；根据自变量不同的取值范围得到相应的函数关系式是解决本题的关键．根据题意，分三段（0<x<1，1≤x<3，3≤x【解题过程】解：当0<x<1时，M、

此时AM=xcmy=当1≤x<3时，M、

此时AM=xcm，△AMN底边y=当3≤x<4时，M、

此时AM=xcm，△AMN底边y=结合选项，只有A选项符合题意，故选：A．2．（22-23九年级上·安徽合肥·期中）如图，在△ABC中，∠C=135°，AC=BC=22，P为BC边上一动点，PQ∥AB交AC于点Q，连接BQ，设PBA． B．C． D．【思路点拨】过点Q作QE⊥BC交BC延长线于点E，根据【解题过程】解：如图，过点Q作QE⊥BC交BC延长线于点∵AC∴∠∵PQ∥∴∠∴∠∴CQ∵∠∴∠在Rt△CEQ中，∴QE∴y∴当x=2时，故选：C.3．（2024·河北石家庄·二模）如图所示，△ABC和△DEF均为边长为4的等边三角形，点A从点D运动到点E的过程中，AB和DF相交于点G，AC和EF相交于点H，S△BGF+S△FCH为纵坐标y，点A移动的距离为横坐标A． B． C． D．【思路点拨】如图，过G作GK⊥BC于K，过H作HT⊥BC于T，证明四边形ACFD为平行四边形，可得AD=CF=x，【解题过程】解：如图，过G作GK⊥BC于K，过H作HT⊥由题意可得：AD∥CF，∴四边形ACFD为平行四边形，∴AD=∴BF=4-∵△ABC和△DEF均为边长为4的等边三角形，∴∠D=∠DFB∴△BGF同理：△CFH∵HT⊥∴CT=FT=同理可得：GK=∴y=3故选B4．（2023·辽宁铁岭·模拟预测）如图，矩形ABCD中，AB=8cm，AD=12cm，AC与BD交于点O，M是BC的中点．P、Q两点沿着B→C→D方向分别从点B、点M同时出发，并都以1cm/s的速度运动，当点Q到达DA．B．C．D．【思路点拨】本题考查了动点问题函数图象．根据矩形的性质求出点O到BC的距离等于4，到CD的距离等于6，求出点Q到达点C的时间为6s，点P到达点C的时间为12s，点Q到达点D的时间为14s，然后分①0≤t≤6时，点P、Q都在BC上，表示出PQ，然后根据三角形的面积公式列式计算即可；②6<t≤12时，点P在BC上，点Q在CD上，表示出CP、CQ，然后根据SΔOPQ【解题过程】解：∵矩形ABCD中，AB=8cm，AD=12cm，AC与∴点O到BC的距离=12AB=4，到∵点M是BC的中点，∴CM∴点Q到达点C的时间为6÷1=6s点P到达点C的时间为12÷1=12s点Q到达点D的时间为(6+8)÷1=14s①0≤t≤6时，点P、Q都在BC上，△OPQ的面积=②6<t≤12时，点P在BC上，点Q在CP=12-t，SΔ=1=1=1③12<t≤14时，△OPQ的面积=纵观各选项，只有B选项图形符合．故选：B．5．（2023·江苏南通·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E为AB中点，动点P从点B开始沿BC方向运动到点C停止，动点Q从点C开始沿CD→DA方向运动，与点P同时出发，同时停止；这两点的运动速度均为每秒1个单位；若设他们的运动时间为x（s），△EPQ的面积为y，则yA．B．C．D．【思路点拨】先求出点P在BC上运动是时间为6秒，点Q在CD上运动是时间为4秒，再根据中点的定义可得AE=BE=12AB，然后分①点Q在CD上时，表示出BP、CP、CQ，再根据△EPQ的面积为y=S【解题过程】解：∵点P、Q的速度均为每秒1个单位，∴点P在BC上运动的时间为6÷1=6（秒），点Q在CD上运动的时间为4÷1=4（秒），∵E为AB中点，∴AE=①如图1，点Q在CD上时，0≤x则BP=∴△EPQ的面积为y===②如图2，点Q在AD上时，4<x则BP=∴△EPQ的面积为y=1综上所述，y=函数图象为对称轴为直线x=1的抛物线的一部分加一条线段，只有A故选：A．6．（2024·河南开封·一模）如图1，在△ABC中，∠B=60°，点D从点B出发，沿BC运动，速度为1cm/s．点P在折线BAC上，且PD⊥BC于点D．点D运动2s时，点P与点A重合．△PBD的面积Scm2与运动时间tA．23cm B．1+3cm C．【思路点拨】本题考查动点函数图象，二次函数图象性质，三角形面积．本题属二次函数与几何综合题目．先根据点D运动2s时，点P与点A重合．从而求得PD=PB2-BD2=23cm，再由函数图象求得BC=2+23×1=2+23cm，从而求得DC=BC-BD=2+23【解题过程】解：由题意知，点D运动2s时，点P，D的位置如图1此时，在Rt△PBD中，BD=2cm，∴PB=2∴PD=由函数图象得BC=∴DC=∴PD=由题图2点E的位置可知，点P在AC上时，S△当2≤t≤2+23时，点P在AC此时BD=t×1=∴S△∵S△又∵-1∴当t=1+3时，此时PD=故选：B．7．（2024·安徽·一模）如图，在四边形ABCD中，∠A=60°，CD⊥AD，∠BCD=90°,AB=BC=4，动点P，Q同时从A点出发，点Q以每秒2个单位长度沿折线A-B-C向终点C运动；点P以每秒1个单位长度沿线段AD向终点D运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动.

A．

B．

C．

D．

【思路点拨】分当0≤x<2时，点Q在AB上和当2≤x≤4时，点【解题过程】解：过Q作QN⊥AD于N，当0≤x<2时，点

∵∠A∴∠∴AN=1∴QN=∴y=当2≤x≤4时，点Q在BC上，过点B作BM⊥

∵BM⊥AD∴∠∴AM=1∴BM=∵CD⊥AD，∴QN∥CD∴∠∵BM⊥AD,∴四边形BMNQ是矩形，∴QN=BM=y=综上所述，当0≤x<2时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，当故选：D．8．（23-24九年级上·浙江温州·期末）某兴趣小组开展综合实践活动：在Rt△ABC中，∠C=90°，CD=2，D为AC上一点，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF，设点P的运动时间为ts，正方形DPEF的面积为S，当点P由点C运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2A．3 B．349 C．4 D．【思路点拨】由题意可得：CD=2，CP=t，当点P在BC上运动时S=t2+2，由图可得，当点P与点B重合时，S=6，求出t=2，即BC=2，当P在BA上时，由图可得抛物线过点2，6，顶点为4，2，求出抛物线解析式为S=t-22+2【解题过程】解：由题意可得：CD=2，当点P在BC上运动时，S=由图可得，当点P与点B重合时，S=6∴t∴t=2或∴BC当P在BA上时，由图可得抛物线过点2，6，顶点为则抛物线的表达式为S=将2，6代入得：∴a∴抛物线的表达式为：S=从两个函数表达式看，两个函数a相同，都为1，若存在3个时刻t1，t2，t3t1<t∴t1+∵t由①③③解得t1∴S故选：A．9．（22-23九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BC=6，点O为AC中点，点DA． B．C． D．【思路点拨】如图:过O作OE⊥AB,垂足为E，先根据直角三角形的性质求得AB=12,AC=63，再根据中点的定义求得OA【解题过程】解：如图:过O作OE⊥AB,∵∠∴∠∵BC∴AB=2∴AC∵点O为AC中点∴OA∵∠∴OE∴AE∴DE∴OD2=当x=0时，当x=15当x=12时，则函数图像为．故选C．10．（2024·广东深圳·三模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=8，点D和点E分别是AB和AC的中点，点M和点N分别从点A和点E出发，沿着A→C→B方向运动，运动速度都是1个单位/秒，当点N到达点B时，两点间时停止运动．设△DMN

A．

B．

C．

D．

【思路点拨】本题主要考查动点问题，依托三角形面积考查二次函数的图象和分类讨论思想，取BC的中点F,连接DF根据题意得到DF和DE，分三种情况讨论三角形的面积：（1）当0<t≤6时，得MN=AE=6，结合三角形面积公式求解即可；（2）当6<t≤12时，得AM，MC，CN和BN，结合S=SΔABC-SΔADM【解题过程】解：如图，取BC的中点F，连接DF，

∴DF∥∵点D、E是中点，∴DE=12∵∠C∴四边形DECF为矩形，当0<t≤6时，点M在AE上，点N在EC上，∴S如图，当6<t≤12时，点M在EC上，点N在

∵AM∴MC=12-t，CN∴==1如图，当12<t≤14时，点M、N都在

∴S综上判断选项A的图象符合题意．故选：A．11．（2024·河南南阳·二模）如图是一种轨道示意图，其中A、B、C、D分别是菱形的四个顶点，∠A=60°．现有两个机器人(看成点)分别从A，C两点同时出发，沿着轨道以相同的速度匀速移动，其路线分别为A→B→CA．B．C．D．【思路点拨】设菱形的边长为2，根据菱形的性质求出关于两个机器人之间的距离d2【解题过程】解：①设AD=2∵移动时间为t，∠A∴CK=1，FT∴AE=t，∴FK=2-∴ET=2-∴在Rt△EFT中，②设AD=2∵移动时间为t，∠A∴BM=t-2，CM=2-∴MQ=∴在Rt△LMQ中，∴函数图像为两个二次函数图象；③当从A出发的机器人在B点，从C出发的机器人在D点，此时距离是BD；从A出发的机器人在A点，从C出发的机器人在C点，此时距离是AC；∵设AD=2，∠∴BD=2，AE∴AC=2∴BD<∴函数图象的起点和终点高于中间点；综上所述：A项符合题意；故选A．12．（2024·山东聊城·二模）如图，等边△ABC与矩形DEFG在同一直角坐标系中，现将等边△ABC按箭头所指的方向水平移动，平移距离为x，点C到达点F为止，等边△ABC与矩形DEFG重合部分的面积记为S，则S关于xA．B．C．D．【思路点拨】本题主要考查了动点问题的函数图象，二次函数的图象，等腰三角形的性质等知识，如图，作AQ⊥BC于点Q，可知AQ=3．分当0<x【解题过程】解：如图①，设AC与DE交于点H，∵△ABC∴∠过点A作AQ⊥BC于点Q∴AQ=∵四边形DEFG是矩形，∴∠当0<x在Rt△HCE∴∠∴HC=2∴HE∴S=所以，S关于x的函数图象是顶点为原点，开口向上且在0<x当1<x设AB与DE交于点P，∵EC∴BE同理可得，PE=∴S=所以，图象为1<x当2<xS=此时的函数图象是在2<x≤3范围内的一条线段，即故选：C13．（2024·河南·模拟预测）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，BD是AC边上的中线，将△BCD沿射线BA方向匀速平移，平移后的三角形记为△B1C1D1，设△B1C1D1与△ABD重叠部分的面积为A． B．C． D．【思路点拨】本题考查了二次函数与几何图形的综合，涉及等腰直角三角形，平移的性质，二次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些性质，学会分类讨论．过点D作DM⊥AB于M，由△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°，可设AB=BC=2，可得AD=CD=【解题过程】解：过点D作DM⊥AB于∵△ABC为等腰直角三角形，∠∴AB=设AB=∴AD=CD=当0<x≤1时，设B1D1交AC于点G，B∴AB由平移知B1G∥∴△A∴S△又∵S△ABD∴S=当x=-12×-3当1<x≤2时，B1D1交AC于点G，B∵B1∴∠B又∵∠D∴△B∵∠A∴AB∴B1∴S=即当1<x≤2时，函数图像为开口向上的抛物线，故排除故选：D．14．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如图，菱形ABCD的边长为3cm，∠B=60°，动点P从点B出发以3cm/s的速度沿着边BC-CD-DA运动，到达点A后停止运动；同时动点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达点A后停止运动．设点

A．

B．

C．

D．

【思路点拨】根据题意可知分情况讨论，分别列出当点P在BC上时，点P在CD上时，点P在AD上时表达式，再画图得到函数解析式，即可得到本题答案．【解题过程】解：设点P的运动时间为x(s)，△①当0≤x≤1时，点P在过点P作PE⊥

，∵根据题知：∠B=60°∴BE=32∴y=②当1<x≤2时，点P在过点P作PH⊥

，∵根据题知：∠B=60°∴PH=∴y=③当2<x≤3时，点P在过点P作PF⊥BA交DA延长线于

，∵根据题知：∠B=60°∵BC+CD+∴AP=(9-3∴PF=∴y=∴结合三种情况，图像如下所示：

，故选：D．15．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A在y轴的正半轴上，顶点B、C在x轴的正半轴上，D2,3，P-1,-1．点M在菱形的边AD和DC上运动（不与点A，C重合），过点M作MN∥y轴，与菱形的另一边交于点N，连接PM，PN，设点M的横坐标为x，△PMN的面积为y

A．

B．

C．

D．

【思路点拨】先根据菱形的性质求出各点坐标，分M的横坐标x在0∼1，1∼2，2∼3之间三个阶段，用含x的代数式表示出△PMN【解题过程】解：∵菱形ABCD的顶点A在y轴的正半轴上，顶点B、C在x轴的正半轴上，∴AB=AD=2∴OB=∴OC=∴A0,3，B1,0设直线AB的解析式为y=kx+b，将k+解得k=-∴直线AB的解析式为y=-∵MN∥∴N的横坐标为x，（1）当M的横坐标x在0∼1之间时，点N在线段AB上，△PMN中MN上的高为1+∴Nx∴MN=∴S△∴该段图象为开口向上的抛物线；（2）当M的横坐标x在1∼2之间时，点N在线段BC上，△PMN中MN=3，MN∴S△∴该段图象为直线；（3）当M的横坐标x在2∼3之间时，点N在线段BC上，△PMN中MN上的高为1+由D2,3，C3,0可得直线CD∴Mx,-3∴MN=-3∴S△∴该段图象为开口向下的抛物线；观察四个选项可知，只有选项A满足条件，故选A．16．（22-23九年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A2,0，点B0,23，点C-3,3，点P从点O出发沿O→A→B路线以每秒1个单位的速度运动，点Q从点O出发沿O→C→A． B．C． D．【思路点拨】先分析各个线段的长，在Rt△OAB中，可知，OA=2，OB=23，AB=4，∠BAO=60°，过点C作CM⊥y轴于点M，易得△OBC是等边三角形，OC=BC=OB=23，点P在OA上运动用时2s，在AB上运动用时4s，点Q在OC上运动用时2s，在OC上运动用时2s，则点P和点Q共用时4s，可排除D选项；再算出点P在OA上时，y的函数表达式，结合选项可得结论．【解题过程】解：如图，∵点A（2，0），点B（0，23），∴OA=2，OB=23，∴AB=4，∠BAO=60°，过点C作CM⊥y轴于点M，则OM=BM=3，CM=3，∴OC=BC=23，∴△OBC是等边三角形，∠BOC=60°，∴点P在OA上运动用时2s，在AB上运动用时4s，点Q在OC上运动用时2s，在OC上运动用时2s，即点P和点Q共运动4s后停止；由此可排除D选项．当点P在线段OA上运动时，点Q在线段OC上运动，过点Q作QN⊥x轴于点N，由点P，点Q的运动可知，OP=t，OQ=3t，∴QN∴PN∴y即当0＜t＜2时，函数图象为抛物线，结合选项可排除A，C．故选：B．17．（2022·辽宁·中考真题）如图，在等边三角形ABC中，BC＝4，在Rt△DEF中，∠EDF＝90°，∠F＝30°，DE＝4，点B，C，D，E在一条直线上，点C，D重合，△ABC沿射线DE方向运动，当点B与点E重合时停止运动．设△ABC运动的路程为x，△ABC与Rt△DEF重叠部分的面积为S，则能反映S与x之间函数关系的图象是（）

A．

B．

C．

D．

【思路点拨】分三种情形∶①当0＜x≤2时，重叠部分为△CDG，②当2＜x≤4时，重叠部分为四边形AGDC，③当4＜x≤8时，重叠部分为△BEG，分别计算即可．【解题过程】解：过点A作AM⊥BC，交BC于点M，

在等边△ABC中，∠ACB＝60°，在Rt△DEF中，∠F＝30°，∴∠FED＝60°，∴∠ACB＝∠FED，∴AC∥EF，在等边△ABC中，AM⊥BC，∴BM＝CM＝12BC＝2，AM＝3BM＝23∴S△ABC＝12BC•AM＝43①当0＜x≤2时，设AC与DF交于点G，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为△CDG，

由题意可得CD＝x，DG＝3x∴S＝12CD•DG＝32x②当2＜x≤4时，设AB与DF交于点G，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为四边形AGDC，

由题意可得：CD＝x，则BD＝4﹣x，DG＝3（4﹣x），∴S＝S△ABC﹣S△BDG＝43﹣12×（4﹣x）×3（4﹣x∴S＝﹣32x2+43x﹣43＝﹣32（x﹣4）2+4③当4＜x≤8时，设AB与EF交于点G，过点G作GM⊥BC，交BC于点M，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为△BEG，

由题意可得CD＝x，则CE＝x﹣4，DB＝x﹣4，∴BE＝x﹣（x﹣4）﹣（x﹣4）＝8﹣x，∴BM＝4﹣12在Rt△BGM中，GM＝3（4﹣12x∴S＝12BE•GM＝12（8﹣x）×3（4﹣1∴S＝34（x﹣8）2综上，选项A的图像符合题意，故选：A．18．（2023·山东聊城·三模）如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒，设P，Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t

A．AB:AD=4:5 B．当C．当t=294时，BQPQ=53 D．当△BPQ的面积为【思路点拨】先由图2中的函数图像得到当t=5时，点Q到达点C，即BC=5cm，然后由5<t<7时，y=10可知△BPQ的面积是定值10cm2、BE=5cm,ED=2cm,y=25t2得到y=2.5cm2，过点P作PH⊥BC于点H，根据y=12BQ·H11,0,N7,10，确定直线HN的解析式，分别计算可得到当t=294>284=7时，故点Q在DC【解题过程】解：设抛物线的解析式为y=当t=5时，y∴10=25a解得a=∴y=由图2中的函数图像得当t=5时，点Q到达点C，即BC∵5＜t＜∴△BPQ的面积是定值10cm2当t=7时点P到达点D∴AE=5-2=3∴AB:故A正确，不符合题意；当0<t∵y=25∴BP=BQ=2.5

过点P作PH⊥BC于点∴y解得PH=2设QH=xcm∴2.52解得x=1,∴QH=1∴PQ=故B正确，不符合题意；根据AB=∴再运动4秒到达C点即H11,0设直线HN的解析式为y=根据题意，得11k解得k=-∴直线HN的解析式为y=-∵△BPQ的面积为4故4=25解得t=10,故D正确，不符合题意；∵t=294>28当t=2941解得PQ∴BQPQ故C错误，符合题意．故选：C．19．（2023·辽宁·中考真题）如图，∠MAN=60°，在射线AM，AN上分别截取AC=AB=6，连接BC，∠MAN的平分线交BC