21.6 投球问题-二次函数的应用（压轴题专项讲练）（教师版）

专题21.6投球问题——二次函数的应用典例分析典例分析【典例1】掷实心球是某市中考体育考试的选考项目，小强为了解自己实心球的训练情况，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立了如图所示的平面直角坐标系，在一次投掷中，实心球从y轴上的点A0,2处出手，运动路径可看作抛物线的一部分，实心球在最高点B的坐标为4,3.6，落在x轴上的点C（1）求抛物线的解析式；（2）某市男子实心球的得分标准如表：得分10095908580767066605040302010掷远（米）12.411.29.69.18.47.87.06.55.35.04.64.2请你求出小强在这次训练中的成绩，并根据得分标准给小强打分；（3）若抛物线经过Mm,y1，Nm+2,y2两点，抛物线在M，N之间的部分为图象H（包括M，【思路点拨】（1）易得抛物线的顶点坐标为B4,3.6，用顶点式表示出抛物线的解析式，进而把A（2）取函数值为0，看球落地时x的值为多少，根据点C的位置，x取正值即为球抛出去的距离，根据所给表格可判断应得分数；（3）根据题意得出y1=-0.1m2+0.8【解题过程】（1）解：由题意可得，抛物线的顶点B的坐标为4,3.6，设该抛物线的解析式为y=∵抛物线经过点A0,2∴a∴a∴该抛物线的解析式为：y=-0.1（2）解：当y=0时，-解得：x1=10，∵点C在x轴的正半轴，∴x∴x1=10∵9.6<10<11.2，∴小强的得分是90分；（3）解：∵抛物线经过两点Mm,y∴yy2由题意可知，图象H上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为15∴有以下四种情况：①如图，当0≤m<2时，y的值随依题意，y2即：-0.1解得：m=2.5这与0≤m②如图，当2≤m<3时，即：3.6--解得：m=4+2或∵m=4+2∴m③如图，当3≤m<4时，即：3.6--解得：m=2+2或∵m=2-2∴m④如图，当m≥4时，y的值随x依题意，y1即：-0.1解得：m=3.5这与m≥4综上所述：m=4-2或学霸必刷学霸必刷1．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用抛物线y=4x-12A．小球落地点与点O的水平距离为7B．当小球抛出高度达到7.5m时，小球与点O的水平距离为C．小球与点O的水平距离超过4mD．小球与斜坡的距离的最大值为49【思路点拨】本题考查了二次函数的性质，令4x-12x2=12x，解得x1=0，x2=7，即可判断A；把y=7.5代入y=4x-12x2得【解题过程】解：令4x-12x∴小球落地点与点O的水平距离为7m，故A把y=7.5代入y=4x解得：x1=3，∴当小球抛出高度达到7.5m时，小球与点O的水平距离为3m或5m∵y=4∴抛物线的对称轴为直线x=4∵-1∴当x>4时，y随x∴小球与点O的水平距离超过4m时呈下降趋势，故C设抛物线上一点A的坐标为a,4作AB⊥x轴交直线y=12，∴AB=4∵-1∴当a=72时，AB∴小球与斜坡的距离的最大值为498m，故故选：B．2．（2024·辽宁鞍山·二模）如图，小明站在原点处，从离地面高度为1m的点A处抛出弹力球，弹力球在B处着地后弹起，落至点C处，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，弹力球第一次着地前抛物线的解析式为y=ax-22+2，弹力球在B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的一半，如果在地上摆放一个底面半径为0.5m，高为0.5A．7 B．9 C．10 D．8【思路点拨】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握利用待定系数法求得二次函数的解析式，建立直角坐标系是解题的关键，根据点A的坐标求出第一次着地前的抛物线解析式，可得到点B的坐标，再根据B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的一半，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，可得到第二次着地前抛物线的解析式，再根据圆柱形的高为0.5m，可求出当弹力球恰好砸中筐的最左端、最右端时，n的值，进而得到n【解题过程】解：由题可知：弹力球第一次着地前抛物线的解析式为y=ax-2∴a=-∴解析式为：y=-当x=2时，y的最大值为2令y=0，则-解得：x1∴B2+2∵B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的一半，∴其最大高度为：2×1∵弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，设处着地后弹起的抛物线解析式为：y=-将点B2+22，解得：h=2∴该抛物线的解析式为：y=-∴对称轴为：x=2∵点B的坐标为2+22，0，则点C∵圆柱形的高为0.5m当y=0.5时，则-解得：x=4+32或∴当弹力球恰好砸中筐的最左端时，n=4+3∵筐的底面半径为0.5m，直径为1∴当弹力球恰好砸中筐的最右端时，n=4+3∴3+32∴选项B，n=8故选：D．3．（23-24九年级上·河北邢台·期中）如图，嘉嘉用计算机编程模拟抛出的弹跳球落在斜面上反弹后的距离，当弹跳球以某种特定的角度从点P0,1处抛出后，弹跳球的运动轨迹是抛物线L，其最高点的坐标为4,5．弹跳球落到斜面上的点A处反弹后，弹跳球的运动轨迹是抛物线L'，且开口大小和方向均与L相同，但最大高度只是抛物线L最大高度的（1）抛物线L的解析式为；（2）若点A与点P的高度相同，且点A在抛物线L'的对称轴的右侧，则抛物线L'的对称轴为直线【思路点拨】（1）设抛物线L的解析式为y=ax-h12（2）设抛物线L'的解析式为y=mx-h22+k2，由对称性可得点A8,1，由抛物线L'，且开口大小和方向均与L相同，但最大高度只是抛物线L【解题过程】解：设抛物线L的解析式为y=ax由题意得，该抛物线的顶点坐标是4,5，∴y=∵该抛物线经过点P0,1∴1=解之，得a=-1y故答案为：y=-（2）设抛物线L'的解析式为若点A与点P的高度相同，则点A与点P关于直线x=4∴点A8,1∵抛物线L的解析式为y=-∴最高点的高度为5，∵抛物线L'，且开口大小和方向均与L相同，但最大高度只是抛物线L最大高度的2则m=-14∴y=-将点A8,1代入可得1=-解得：h2=10或∵h2∴h即抛物线L'的对称轴为直线x故答案为：x=64．（23-24九年级上·浙江湖州·期末）如图，乒乓球桌桌面是长AB=2.7m，宽AD=1.5m的矩形，E，F分别是AB和CD的中点，在E，F处设置高HE=0.15m的拦网．一次运动员在AD端发球，在P点击打乒乓球后经过桌面O点反弹后的运行路径近似二次项系数a=-427的抛物线的一部分．已知本次发球反弹点O在到桌面底边AD的距离为0.1m，到桌面侧边AB的距离为0.1m处．若乒乓球沿着正前方飞行（垂直于BC），此时球在越过拦网时正好比拦网上端GH高0.1m，则乒乓球落在对面的落点Q到拦网EF的距离为m；若乒乓球运行轨迹不变，飞行方向从O点反弹后飞向对方桌面，落点Q在距离【思路点拨】①如图，以点O为原点建立平面直角坐标系，根据题意可得I1.25,0.25，利用待定系数法求出抛物线解析式，再求出点Q②由题意可得Q2.4,0，由yO=yQ=0得到点O和点Q关于抛物线的对称轴对称，即Q点距AB也是0.1m本题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式，正确建立平面直角坐标系，用待定系数法求出二次函数解析式是解题的关键．【解题过程】解：①如图，以点O为原点建立平面直角坐标系，由题意可得，AE=∴xI=1.35-0.1=1.25，设抛物线的解析式为y=-427x20=0+0+c解得b=∴抛物线的解析式为y=-把yQ=0代入得，解得x1=0（不合，舍去），∴xQ∴落点Q到拦网EF的距离为135故答案为：1.35；②由题意可得，xQ∴Q2.4,0∵yO∴点O和点Q关于抛物线的对称轴对称，∴Q点距AB也是0.1m设x轴交BC于点J，连接CQ，∵BC∥x轴，四边形∴QJ=0.2m，∴CJ=∴CQ=故答案为：2．5．（2024·贵州贵阳·一模）小明和小亮参加了一次篮球比赛，篮球传出后的运动路线为如图所示的抛物线，以小明站立的位置为原点O建立平面直角坐标系，篮球在O点正上方1.8m的点P处出手，篮球的高度ym与水平距离xm（1）求c的值；（2）求篮球在运动过程中离地面的最大高度；（3）小明传球给小亮，小亮手举过头顶在对方球员后方接球，已知小亮跳起后，手离地面的最大高度为BC=2.8【思路点拨】本题考查了二次函数的实际应用．（1）将点P的坐标代入y=-18（2）先得出该抛物线的解析式，再将其化为顶点式，即可解答；（3）求出y=2.8时x的值，结合“在下落过程中接住球”【解题过程】（1）解：由题意得点P的坐标为0,1.8，将P0,1.8代入y=-1（2）解：由（1）知c=1.8∴y∵a=-∴当x=4时，y有最大值3.8∴篮球在运动过程中离地面的最大高度为3.8m（3）解：当y=2.8时，2.8=-解得：x1∵4-22∴x=4+2∴在球下落过程中小亮离小明的距离至少4+226．（2024·湖北武汉·模拟预测）海豚是生活在海洋里的一种动物，它行动敏捷，弹跳能力强．海豚表演是武汉海昌极地海洋公园最吸引人的节目之一．在进行跳水训练时，海豚身体（看成一点）在空中的运行路线可以近似看成抛物线的一部分．如图，在某次训练中以海豚起跳点O为原点，以O与海豚落水点所在的直线为x轴，垂直于水面的直线为y轴建立平面直角坐标系．海豚离水面的高度y（单位：m）与距离起跳点O的水平距离x（单位：m）之间具有函数关系y=ax2+2x，海豚在跳起过程中碰到（不改变海豚的运动路径）饲养员放在空中的离（1）求海豚此次训练中离水面的最大高度是多少m?（2）求当海豚离水面的高度是163m时，距起跳点O（3）在海豚起跳点与落水点之间漂浮着一个截面长CD=6m，高DE=4m的泡沫箱，若海豚能够顺利跳过泡沫箱（不碰到），求点【思路点拨】本题考查二次函数的实际问题，数形结合并熟练掌握运用待定系数法求抛物线的解析式是解题的关键．（1）利用待定系数法求函数解析式然后配方得到最大值即可；（2）令y=（3）令y=4，解出x【解题过程】（1）由抛物线y=ax得4.5=9a∴=-=-∴海豚此次训练中离水面的最大高度是6m．（2）依题意得：y解得x答：海豚距起跳点O的水平距离是8m或4m．（3）若海豚恰好接触到纸箱边缘，则点F或点E在抛物线上，令y=4，则-解得x1当点F在抛物线上时，D点的横坐标n为12-23当点E在抛物线上时，D点的横坐标n为6+23∴n的取值范围是12-27．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）为适应2024年武汉市体育中考改革，学校购入一台羽毛球发球机，羽毛球飞行路线可以看作是抛物线的一部分，如图，建立平面直角坐标系，发球机放置在球场中央离球网水平距离3m的点O处，球从点O正上方1.15m的A处发出，其运行的高度ym与运行的水平距离xm满足关系式y=a(（1）若h=2.75①求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；②如果小明的身高为1.65m（2）如果小明的身高为1.75m，并且能在原地有效击球，直接写出a【思路点拨】本题考查了二次函数的应用；（1）①利用待定系数法求解即可；②令x=6（2）由题意得：有效击球点的纵坐标的取值范围为：2.35≤y≤2.55，将点(6,2.35)、(6,2.55)分别代入解析式求出熟练运用二次函数的性质解决实际问题是关键．【解题过程】（1）解：①当h=2.75时，y∵它过(0,1.15)，∴1.15=a∴a∴y②他能在原地有效击球；理由如下：由（1）可知，y=-令x=6得y解得：y∵2.35-1.65=0.7m∴0.6∴能在原地有效击球；（2）由题意得：有效击球点的纵坐标的取值范围为：2.35≤y当抛物线y=a(x-1.15=a0-42当抛物线y=a(x-1.15=a0-42∴-7∴a的取值范围：-8．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）在平面直角坐标系中，从原点O向右上方沿抛物线L发出一个小球P，当小球P达到最大高度3时，小球P移动的水平距离为2．（1）求抛物线L的函数解析式；（2）求小球P在x轴上的落点坐标；（3）在x轴上的线段AB处，竖直向上摆放着若干个无盖儿的长方体小球回收箱，已知OA=3，且每个回收箱的宽、高分别是0.5、0.3，当小球P【思路点拨】本题考查了二次函数的应用．（1）由题意知，抛物线L的顶点坐标为2,3，再利用待定系数法求解即可；（2）对于y=-34（3）由题意先求出，当x=3和x=3.5时，求得对应y的值，再设竖直摆放的回收箱有m个，根据题意得出关于m的不等式组，求出【解题过程】（1）解：∵从原点O向右上方沿抛物线L发出一个小球P，当小球P达到最大高度3时，小球P移动的水平距离为2，∴顶点坐标为2,3，∴设抛物线L对应的函数解析式为y=把0,0代入得0=a解得a=-∴抛物线L对应的函数解析式为y=-（2）解：对于y=-令y=0，则0=-解得x1=0，∴小球P在x轴上的落点坐标为4,0；（3）解：∵OA=3，AB∴OB=3.5，对于y当x=3时，y当x=3.5时，y设竖直摆放的回收箱有m个，则1116解得5524∵m是正整数，∴m可以是3或4或5或6或7，答：竖直摆放的回收箱的个数为3个或4个或5个或6个或7个．9．（2024·河南漯河·二模）2023年10月7日晚，杭州第19届亚运会女子排球比赛落幕．中国女排在决赛中以3:0击败日本队，成功卫冕，斩获队史亚运第9冠．爱思考的小芳在观看比赛时发现一个有趣的现象：排球被垫起后，沿弧线运动，运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，于是她和同学小华一起进行了实践探究．经实地测量可知，排球场地长为18m，球网在场地中央且高度为2.24m．建立如图所示的平面直角坐标系，A为击球点．记排球运动过程中距地面的竖直高度为y（单位：m），距击球点的水平距离为x（单位：小华第一次发球时，测得y与x的几组数据如下表：水平距离x04681112竖直高度y2.002.712.802.712.242.00（1）根据表格数据，求排球运动过程中距地面的竖直高度y与距击球点的水平距离x近似满足的函数关系式．（2）通过计算，判断小华这次发球能否过网，并说明理由．（3）小华第二次发球时，假设她只改变击球点高度，排球运动轨迹的抛物线形状不变，在点O处上方击球，既要过球网，又不出边界（排球压线属于没出界）时，问小华的击球点高度h（单位：m）的取值范围是多少？【思路点拨】本题考查二次函数的应用，熟练掌握用待定系数法求抛物线解析式，抛物线的图象性质是解题的关键．（1）根据题意，设y与x的函数关系式为y=a(（2）将x=9代入抛物线解析式，求得y值与2.24（3）设只改变击球点高度后抛物线的表达式为y=-【解题过程】（1）解：由表格，可知抛物线顶点坐标为(6,2.8)；设y与x之间的函数关系式为y=将(0,2)代入，得2=a(0-6)解得a=-经检验，表格中其他数据(x∴排球运动过程中距地面的竖直高度y与距击球点的水平距离满足的函数表达式为：y=-（2）能，理由如下：当x=9时，y∵2.6>2.24，∴小华这次发球能过网；（3）设只改变击球点高度后抛物线的表达式为：y=-把x=9，y=2.24代入解得k=2.44∴y把x=0代入y解得y=1.64把x=18，y=0代入解得k=3.2∴y把x=0代入y解得y=2.4∴小华的击球点高度h的取值范围是1.64<h≤10．（2024·湖北武汉·模拟预测）乒乓球是我国国球，球台长为2.8m，中间处球网的高度为1.5dm．现有一台乒乓球发球器，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，从第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线，乒乓球第一次接触台面在球网左侧，越过球网（擦网不影响球运动轨迹）后，第二次接触台面在球网右侧为成功发球．乒乓球大小忽略不计．如图，当发球器放在球台左端时，通过测量得到球距离台面高度y（单位：dm）与球距离发球器出口的水平距离x（单位：dm）的相关数据，如下表所示：x02468101214…y3.362.521.680.8401.402.403…（1）直接写出球从发球器出口到第一次接触台面时y关于x的函数解析式；（写出自变量的取值范围）（2）求乒乓球第二次接触台面时与发球器出口的水平距离；（3）发球器有一个滑轨，可以让发球口向右平移，若要成功发球，发球口最多向右平移多少dm？【思路点拨】本题考查二次函数的应用．理解发球口最多平移的距离是球台的一半长减去刚好擦网时得到的距离发球器出口的水平距离是解决本题的难点．（1）易得球从发球器出口到第一次接触台面时y关于x的函数为一次函数，设y=kx+b(k≠0)，把表格中的前两组数据代入可得k（2）观察表格中的数据和所给函数图象可得当x>8时，函数图象为二次函数，设二次函数的表达式为一般式，把表格中的从8开始的三组数据代入可得二次函数的解析式；取y=0，求得相应的（3）取y=1.5，代入抛物线解析式，求得对应的x的值；易得球台长28dm，那么球台的一半长14dm【解题过程】（1）解：∵球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，∴设y=∵经过点(0,3.36)，(2,2.52)．∴k=-0.42∴球从发球器出口到第一次接触台面时y关于x的函数解析式为：y=-0.42（2）解：当x>8时，设抛物线的解析式为：y∴64a解得：a=-0.05∴y当y=0时，0=-0.05整理得：x2(x解得：x1=24，答：乒乓球第二次接触台面时与发球器出口的水平距离为24dm；（3）解：∵2.8m∴球台的一半长14dm当y=1.51.5=-0.05x整理得：x2解得：x1=16+34∴14-16-∵28-24=4，34-∴发球口最多向右平移34-11．（23-24九年级上·河北唐山·阶段练习）在嘉嘉的一次投篮中，球出手时离地面高2米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米．篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3米．（1）经计算此球________（填写“能”或“不能”）投中．（2）若出手的角度、力度和高度都不变的情况下，求嘉嘉朝着篮球架再向前平移多少米后跳起投篮才能将篮球投入篮圈中？（3）若出手的角度、力度和高度都发生改变的情况下，但是抛物线的顶点等其他条件不变，求嘉嘉出手的高度需要增加多少米才能将篮球投入篮圈中？（4）若出手的角度、力度都改变，出手高度不变，篮圈的坐标为6,3.44，球场上方有一组高6米的电线，要想在篮球不触碰电线的情况下，将篮球投入篮圈中，直接写出二次函数解析式中a的取值范围．【思路点拨】本题考查了二次函数的应用；（1）待定系数法求得解析式，当x=7（2）设y=-18（3）设y=a(x（4）分别求得临界点时的解析式，即可求解；设y=a(x-b)2+6，代入点(0,2)【解题过程】（1）解：因为抛物线的顶点为(4,4)，设抛物线的解析式为y=∵过点(0,2)，∴2=16a∴a=-18当x=7时，y故答案为：不能．（2）解：设向前平移h米，由题意可得y=-18得3=-18(7-4-根据实际情况3-22，即向前平移3-2（3）解：设y=因为投中篮筐，即代入x=7，y=3得解得a=-19当x=0时，y=209，（4）解：设y=a(x-b)解得a=-设y=∵过点(0,2)代入得2=36a得a=-12512．（2024·贵州贵阳·一模）如图是身高为1.75m的小明在距篮筐4m处跳起投篮的路线示意图，篮球运行轨迹可近似看作抛物线的一部分，球在小明头顶上方0.25m的A处出手，在距离篮筐水平距离为1.5m处达到最大高度3.5m（1）求篮球运行轨迹所在抛物线的表达式；（2）当小明按照如图方式投篮出手时，小刚在小明与篮筐之间跳起防守，已知小刚最高能摸到2.7m（3）当小明不起跳直接投篮时，篮球运动的抛物线形状与跳起投篮时相同．若他想投中篮筐，则应该向前走多远？(投篮时，球从下方穿过篮筐无效)【思路点拨】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．（1）依据题意，设抛物线的函数表达式为y=a(x-m)（2）令y=2.7，求得x1=4.5（3）依据题意，设球出手时，小明跳离地面的高度为hm，则球出手时，球的高度为h+1.75+0.25=(h+2)m，代入抛物线，从而可得h，故球出手时，小明跳离地面的高度是0.25m，再结合当小明不起跳直接投篮时，篮球运动的抛物线形状与跳起投篮时相同，可得小明不起跳直接投篮时，篮球运动的抛物线为y+0.25=-0.2【解题过程】（1）解：由题意，设抛物线的函数表达式为y=∵m∴抛物线为y=由于抛物线过(4,3.05)，∴a∴a∴抛物线的函数表达式为y=-（2）解：令y=2.7，则2.7=-0.2解得x1=4.5，∵此时小明与篮筐的距离为4m∴x=0.5∴小明投篮出手时，小刚与小明的距离在0.5m（3）解：设球出手时，小明跳离地面的高度为hm，则球出手时，球的高度为h∵抛物线y=-0.2(x-∴h+2=-0.2∴h=0.25∴球出手时，小明跳离地面的高度是0.25m∵当小明不起跳直接投篮时，篮球运动的抛物线形状与跳起投篮时相同，∴小明不起跳直接投篮时，篮球运动的抛物线为y+0.25=-0.2∴y当y=3.05时，-解得x1=1.5，∴小明与篮筐的距离为3.5m或1.5∴他应该向前走4-3.5=0.5m或4-1.5=2.5∴若小明想投中篮筐，则应该向前走0.5m13．（2024·浙江·模拟预测）篮球是一项广受喜爱的运动．学习了二次函数后，小江同学打篮球时发现，篮球投出时在空中的运动可近似看作一条抛物线，于是建立模型，展开如下研究：如图，篮框距离地面3m，某同学身高2m，站在距离篮球架L=4m处，从靠近头部的（1）求抛物线C的表达式；（2）研究发现，当球击在篮框上方0.2m及以内范围的篮板上时，球会打板进框．若该同学正对篮框，改用跳投的方式，出手点O位置升高了0.5m，要能保证进球，求【思路点拨】本题考查了二次函数的应用，涉及了利用待定系数法求二次函数解析式的知识，解答本题的关键是建立直角坐标系，将实际问题转化为数学模型．（1）以点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知，抛物线的顶点坐标为4,1，则设其表达式为y=（2）由（1）可设抛物线C'的表达式为y'=-116x-h2+k，结合题意可知抛物线C'的抛球点位t,0.5，k=1+1.5=1.5，t计算出y'=1，y'=1.2时，【解题过程】（1）解：以点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知，抛物线的顶点坐标为4,1，则设其表达式为y=将O0,0代入，可得：16∴a=-∴抛物线C的表达式为y=-（2）解：由（1）可设抛物线C'的表达式为y∵改用跳投的方式，出手点O位置升高了0.5m则抛物线C'的最高点抛物线C的基础上升高0.5∴抛物线C'的抛球点位t,0.5，k=1+1.5=1.5，将其代入y'=-1解得：t-h由球的运动可知，最高点在抛出点的右侧，则h>∴t-h=-4，则∴y∵当球击在篮框上方0.2m∴当x=4时，4-3≤y'若y'=1，则-1此时距离蓝框的距离L=4-t=4-2若y'=1.2，则-1此时距离蓝框的距离L=4-t=4-即：4-22≤亦即：1.2≤L≤1.8或14．（2024·贵州黔西·一模）如图，一小球M从斜坡OA上的O点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，斜坡可以用一次函数y=12（1）求抛物线的表达式；（2）求小球M在飞行的过程中离斜坡OA的最大高度（垂直于地面）；（3）将小球的运动路线所在抛物线平移得到抛物线y=a(x-h)2+k【思路点拨】本题主要考查了二次函数的应用，其中涉及到两函数图象交点的求解方法，二次函数顶点坐标的求解方法，待定系数法求一次函数的解析式，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键．（1）依据题意，设抛物线的表达式为y=a(（2）依据题意，根据二次函数的性质即可得到结论；（3）依据题意，由平移后的抛物线与直线OA仅有一个交点，从而平移后抛物线与直线OA相切，进而设将OA向上平移m个单位与二次函数y=-12(x-4)2+8相切，进而可得m=498，此时切点为72,638，反过来，将抛物线y=-12(x-4)2+8向下平移49【解题过程】（1）解：由题意，∵小球到达的最高的点坐标为(4,8)，∴设抛物线的表达式为y=把(0,0)代入得，0=a解得：a=-∴抛物线的表达式为y=-（2）由题意，小球M在飞行的过程中离斜坡OA的高度h=-∴小球M在飞行的过程中离斜坡OA的最大高度为498（3）由题意，∵平移后的抛物线与直线OA仅有一个交点，∴平移后抛物线与直线OA相切．设将OA向上平移m个单位与二次函数y=-∴y=12x+∴m=49∴反过来，将抛物线y=-12(x即y=-12(x又y=∴x=0y=0∴A∵切点在OA之间移动，即切点72,74由∴切点变化到O时，横坐标减去72，纵坐标减去74；切点变化到A时，横坐标加上72∴顶点(4,15∴根据以上点的平移规律得，顶点(4,158)应该是由4-72,15∴12故答案为：1215．（2024·河南周口·模拟预测）如图，排球运动场的长为18m，球网在场地中央，高度为2.24m，排球在空中的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分．小乐在场地左侧边界处（距球网7m）练习发球，某次发球，击球点的高度为2m，当排球飞行的水平距离为5m时达到最大高度2.5m（1）求此抛物线的解析式（不写自变量的取值范围）．（2）通过计算判断此球是否能够过网．若能过网，请进一步判断是否会出界．（3）小乐继续按同样的高度、角度和力度发球，要使球既能过网又不出界，请直接写出发球点距离球网的距离d的取值范围．（结果保留根号）【思路点拨】本题考查二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数图象性质是解题的关键．（1）根据排球飞行的水平距离为5m时达到最大高度2.5m，求出抛物线的顶点坐标为（2）计算当x=0时，y的值，与2.24比较；再根据右边界的坐标为(9,0)，令y=0，求出x值与（3）小乐继续按同样的高度、角度和力度发球，设击出的排球轨迹为y=-【解题过程】（1）解：∵当排球飞行的水平距离为5m时达到最大高度2.5m，∴抛物线的顶点坐标为(-2,2.5)，设抛物线的解析式为y=∵点(-7,2)在抛物线上，∴2=a(-7+2)2∴y=-（2）解：当x=0时，y∴此球能够过网；根据题意得右边界的坐标为(9,0)∴当y=0时，-解得x1=55∵55∴不会落在界内，会出界．（3）解：小乐继续按同样的高度、角度和力度发球，∴设击出的排球轨迹为y=-当该轨迹经过球网的顶端坐标(0,2.24)时，-150h2+∴y=-此时当y=2时，解得：x=5-13∴d=5+当该轨迹经过右边界的坐标(9,0)时，-1解得h=-9+5∴y=-此时当y=2时，x=4-55∴d=5经过分析，若排球既能过网（不触网），又不出界（不接触边界），5516．（2024·河南濮阳·二模）濮阳杂技是一项非常古老的传统民间艺术．起源于春秋，兴盛于明清，发展于现代，以功力深厚、技艺精湛著称于世．如图（1），“空中飞人”是杂技表演的压轴节目，表演惊险刺激，极具观赏性，深受观众好评．如图（2），演员从浪桥的旋转木梯点F处抛出（将身体看成一点，身体摆动忽略不计）飞到吊下的平台AB上，其飞行路线可看作是抛物线的一部分．下面有一张平行于地面的保护网MN，以保护表演的演员安全．建立如图的平面直角坐标系，已知：点A的坐标为0,8，OC=11.5m，CE=2m，EF=（1）当抛物线过点B，且与y轴交于点H0,6（2）在（1）的条件下，若点N的坐标为8,72，为使演员在演出时不受伤害，求保护网MN（3）设该抛物线的关系式为y=ax2-8ax【思路点拨】本题主要考查了二次函数的综合应用，等腰直角三角形的判定和性质等知识点，（1）过点F作FK⊥x轴，过点E作EJ⊥FK，先求出（2）由MN平行于x轴，点N的坐标为8，72，得出点M（3）由发射点F不变，得出抛物线一定经过F10,3.5，然后分再经过A0,8，【解题过程】（1）过点F作FK⊥x轴，过点E作∵∠FEC∴∠∴△FEJ∴FJ=∵EF=∴FJ∴FJ=∴OC=11.5m，∴OK=11.5-1.5=10，FK∴点F的坐标为10，∵AB=1m，点A的坐标为∴点B的坐标为1，∵抛物线y轴交于点H0∴设抛物线的表达式为y=将点B1，8和点Fa解得：a=-∴抛物线的表达式为y=-（2）∵MN平行于x轴，点N的坐标为8，∴点M纵坐标为72当y=72解得：x1=10（舍去），∴MN=8--1=9，即保护网MN（线段（3）由（1）知：A0,8，B1,8，∵发射点F不变，∴抛物线一定经过F10,3.5∴当抛物线经过A0,8，F代入y=ax∴a=-当抛物线经过B1,8，F代入y=ax∴a=-∵抛物线必经过平台AB，∴-917．（2024·河北邯郸·模拟预测）将小球（看作一点）以速度v1ms竖直上抛，上升速度随时间推移逐渐减少直至0，此时小球达到最大高度，小球相对于抛出点的高度ym与时间ts的函数解析式为y（1）求小球上升的高度y与时间t的函数关系式（不必写范围），并写出小球上升的最大高度；（2）向上抛出小球时再让小球在水平方向上匀速运动，且速度为v2ms，发现小球运动的路线为一抛物线，其相对于抛出点的高度ym与时间ts的函数关系式与（1①若v2=4m/s，当t②在①的条件下求小球上升的高度y与小球距抛出点的水平距离x之间的函数关系式；③在小球的正前方的墙上有一高1m的小窗户PQ，其上沿P的坐标为4,3，若小球恰好能从窗户中穿过（不包括恰好击中点P,Q【思路点拨】本题主要考查二次函数的应用，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，读懂题意，理解小球的水平距离和竖直距离是解题关键．（1）将v1=8m/s，代入解析式，再根据当t=1时，小球达到最大高度，得到对称轴为直线（2）①把t=12代入（1）中解析式，求出小球的纵坐标，用v②根据水平距离等于4t，即：x=4t，得到t=x4代入（③分别求出小球击中点P和点Q的时间，进而求出对应的v2的值，即可得出v【解题过程】（1）解：将v1=8m/s∵当t=1∴-8∴a=-4∴y=-4∴当t=1时，y∴小球能够上升的最大高度为4米；（2）①∵y=-4∴当t=12∴小球的纵坐标为3，∵小球的运动的水平距离为：v2⋅∴小球的横坐标