(完整版)高一数学必修四平面向量基础练习题及答案

(完整版)高一数学必修四平面向量基础练习题及答案一、选择题1.下列说法正确的是（）A.向量$\overrightarrow{AB}$与向量$\overrightarrow{BA}$的长度相等B.两个有共同起点且长度相等的向量，它们的终点相同C.若$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$都是单位向量，则$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}$D.若$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$，则$A$，$B$，$C$，$D$四点构成平行四边形答案：A解析：向量$\overrightarrow{AB}$与向量$\overrightarrow{BA}$是相反向量，长度相等，方向相反，A正确；两个有共同起点且长度相等的向量，方向不一定相同，它们的终点不一定相同，B错误；单位向量的模都为1，但方向不一定相同，所以若$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$都是单位向量，不一定有$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}$，C错误；若$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$，当$A$，$B$，$C$，$D$在同一条直线上时，构不成平行四边形，D错误。2.已知向量$\overrightarrow{a}=(1,2)$，$\overrightarrow{b}=(x,1)$，若$\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}$，则$x$的值为（）A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{1}{2}$C.2D.2答案：A解析：若两个向量$\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)$，$\overrightarrow{b}=(x_2,y_2)$平行，则$x_1y_2x_2y_1=0$。已知$\overrightarrow{a}=(1,2)$，$\overrightarrow{b}=(x,1)$，且$\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}$，那么$1\times12x=0$，解得$x=\frac{1}{2}$。3.已知$\overrightarrow{AB}=(2,3)$，$\overrightarrow{AC}=(3,t)$，$|\overrightarrow{BC}|=1$，则$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=$（）A.3B.2C.2D.3答案：C解析：因为$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\overrightarrow{AB}=(3,t)(2,3)=(1,t3)$，又$|\overrightarrow{BC}|=1$，根据向量模长公式$\vert\overrightarrow{m}\vert=\sqrt{x^2+y^2}$（$\overrightarrow{m}=(x,y)$），可得$\sqrt{1+(t3)^2}=1$，即$1+(t3)^2=1$，解得$t=3$，所以$\overrightarrow{BC}=(1,0)$。则$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=2\times1+3\times0=2$。4.已知向量$\overrightarrow{a}=(1,\sqrt{3})$，$\overrightarrow{b}=(3,m)$，若向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{\pi}{6}$，则实数$m=$（）A.$2\sqrt{3}$B.$\sqrt{3}$C.0D.$\sqrt{3}$答案：B解析：根据向量点积公式$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\vert\overrightarrow{a}\vert\vert\overrightarrow{b}\vert\cos\theta$（$\theta$为$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角）。已知$\overrightarrow{a}=(1,\sqrt{3})$，则$\vert\overrightarrow{a}\vert=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=2$；$\overrightarrow{b}=(3,m)$，则$\vert\overrightarrow{b}\vert=\sqrt{3^2+m^2}=\sqrt{9+m^2}$；$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=1\times3+\sqrt{3}m=3+\sqrt{3}m$，$\theta=\frac{\pi}{6}$，$\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。所以$3+\sqrt{3}m=2\times\sqrt{9+m^2}\times\frac{\sqrt{3}}{2}$，两边同时平方可得$(3+\sqrt{3}m)^2=3(9+m^2)$，展开得$9+6\sqrt{3}m+3m^2=27+3m^2$，化简得$6\sqrt{3}m=18$，解得$m=\sqrt{3}$。5.已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足$\vert\overrightarrow{a}\vert=1$，$\vert\overrightarrow{b}\vert=2$，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为$60^{\circ}$，则$\vert\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\vert=$（）A.$\sqrt{3}$B.$\sqrt{7}$C.3D.7答案：A解析：根据向量模长公式$\vert\overrightarrow{m}\overrightarrow{n}\vert=\sqrt{(\overrightarrow{m}\overrightarrow{n})^2}=\sqrt{\overrightarrow{m}^22\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{n}+\overrightarrow{n}^2}$。已知$\vert\overrightarrow{a}\vert=1$，$\vert\overrightarrow{b}\vert=2$，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为$60^{\circ}$，则$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\vert\overrightarrow{a}\vert\vert\overrightarrow{b}\vert\cos60^{\circ}=1\times2\times\frac{1}{2}=1$。所以$\vert\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\vert=\sqrt{\overrightarrow{a}^22\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}^2}=\sqrt{1^22\times1+2^2}=\sqrt{12+4}=\sqrt{3}$。6.已知向量$\overrightarrow{a}=(2,1)$，$\overrightarrow{b}=(1,2)$，若$m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}=(9,8)$（$m$，$n\inR$），则$mn$的值为（）A.3B.2C.1D.0答案：D解析：因为$\overrightarrow{a}=(2,1)$，$\overrightarrow{b}=(1,2)$，所以$m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}=m(2,1)+n(1,2)=(2m+n,m2n)$。又$m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}=(9,8)$，则可得方程组$\begin{cases}2m+n=9\\m2n=8\end{cases}$，将第一个方程乘以2再加上第二个方程可得：$4m+2n+m2n=188$，即$5m=10$，解得$m=2$，把$m=2$代入$2m+n=9$得$4+n=9$，解得$n=5$。所以$mn=25=3$。7.设向量$\overrightarrow{a}=(x,x+1)$，$\overrightarrow{b}=(1,2)$，且$\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}$，则$x=$（）A.$\frac{2}{3}$B.$\frac{2}{3}$C.$\frac{3}{2}$D.$\frac{3}{2}$答案：A解析：若两个向量$\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)$，$\overrightarrow{b}=(x_2,y_2)$垂直，则$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=x_1x_2+y_1y_2=0$。已知$\overrightarrow{a}=(x,x+1)$，$\overrightarrow{b}=(1,2)$，且$\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}$，那么$x\times1+(x+1)\times2=0$，展开得$x+2x+2=0$，即$3x+2=0$，解得$x=\frac{2}{3}$。8.已知向量$\overrightarrow{a}=(1,2)$，$\overrightarrow{b}=(2,2)$，$\overrightarrow{c}=(1,\lambda)$。若$\overrightarrow{c}\parallel(2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$，则$\lambda=$（）A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{1}{3}$C.$\frac{1}{4}$D.$\frac{1}{5}$答案：A解析：先求$2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$，$2\overrightarrow{a}=2(1,2)=(2,4)$，所以$2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(2,4)+(2,2)=(4,2)$。因为$\overrightarrow{c}=(1,\lambda)$且$\overrightarrow{c}\parallel(2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$，根据向量平行的性质可得$4\lambda2\times1=0$，解得$\lambda=\frac{1}{2}$。9.已知$\overrightarrow{OA}=(1,3)$，$\overrightarrow{OB}=(2,1)$，$\overrightarrow{OC}=(k+1,k2)$，若$A$，$B$，$C$三点不能构成三角形，则实数$k$应满足的条件是（）A.$k=2$B.$k=\frac{1}{2}$C.$k=1$D.$k=1$答案：C解析：若$A$，$B$，$C$三点不能构成三角形，则$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$共线。$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}\overrightarrow{OA}=(2,1)(1,3)=(1,2)$，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}\overrightarrow{OA}=(k+1,k2)(1,3)=(k,k+1)$。因为$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$共线，所以$1\times(k+1)2k=0$，即$k+12k=0$，解得$k=1$。10.已知向量$\overrightarrow{a}=(1,0)$，$\overrightarrow{b}=(0,1)$，$\overrightarrow{c}=k\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$（$k\inR$），$\overrightarrow{d}=\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}$，如果$\overrightarrow{c}\parallel\overrightarrow{d}$，那么（）A.$k=1$且$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{d}$同向B.$k=1$且$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{d}$反向C.$k=1$且$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{d}$同向D.$k=1$且$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{d}$反向答案：D解析：因为$\overrightarrow{a}=(1,0)$，$\overrightarrow{b}=(0,1)$，所以$\overrightarrow{c}=k\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=k(1,0)+(0,1)=(k,1)$，$\overrightarrow{d}=\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=(1,0)(0,1)=(1,1)$。又因为$\overrightarrow{c}\parallel\overrightarrow{d}$，则$k1\times1=0$，解得$k=1$，此时$\overrightarrow{c}=(1,1)=(1,1)=\overrightarrow{d}$，所以$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{d}$反向。二、填空题1.已知向量$\overrightarrow{a}=(1,2)$，$\overrightarrow{b}=(2,2)$，$\overrightarrow{c}=(1,\lambda)$。若$\overrightarrow{c}\parallel(2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$，则$\lambda=$______。答案：$\frac{1}{2}$解析：先求$2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$，$2\overrightarrow{a}=2(1,2)=(2,4)$，$2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(2,4)+(2,2)=(4,2)$。因为$\overrightarrow{c}=(1,\lambda)$且$\overrightarrow{c}\parallel(2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$，根据向量平行性质$4\lambda2\times1=0$，解得$\lambda=\frac{1}{2}$。2.已知向量$\overrightarrow{a}=(3,1)$，$\overrightarrow{b}=(1,3)$，$\overrightarrow{c}=(k,7)$，若$(\overrightarrow{a}\overrightarrow{c})\parallel\overrightarrow{b}$，则$k=$______。答案：5解析：$\overrightarrow{a}\overrightarrow{c}=(3,1)(k,7)=(3k,6)$，因为$(\overrightarrow{a}\overrightarrow{c})\parallel\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{b}=(1,3)$，根据向量平行性质可得$3\times(3k)1\times(6)=0$，即$93k+6=0$，$153k=0$，解得$k=5$。3.已知向量$\overrightarrow{a}=(1,2)$，$\overrightarrow{b}=(x,1)$，$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{v}=2\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}$，且$\overrightarrow{u}\parallel\overrightarrow{v}$，则实数$x$的值为______。答案：$\frac{1}{2}$解析：$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}=(1,2)+2(x,1)=(1+2x,4)$，$\overrightarrow{v}=2\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=2(1,2)(x,1)=(2x,3)$。因为$\overrightarrow{u}\parallel\overrightarrow{v}$，所以$3\times(1+2x)4\times(2x)=0$，展开得$3+6x8+4x=0$，$10x5=0$，解得$x=\frac{1}{2}$。4.已知$\vert\overrightarrow{a}\vert=2$，$\vert\overrightarrow{b}\vert=3$，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为$60^{\circ}$，则$\vert\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\vert=$______。答案：$2\sqrt{13}$解析：根据向量模长公式$\vert\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}\vert=\sqrt{(\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n})^2}=\sqrt{\overrightarrow{m}^2+2\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{n}+\overrightarrow{n}^2}$。$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\vert\overrightarrow{a}\vert\vert\overrightarrow{b}\vert\cos60^{\circ}=2\times3\times\frac{1}{2}=3$。则$\vert\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\vert=\sqrt{\overrightarrow{a}^2+4\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+4\overrightarrow{b}^2}=\sqrt{2^2+4\times3+4\times3^2}=\sqrt{4+12+36}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$。5.已知向量$\overrightarrow{a}=(1,2)$，$\overrightarrow{b}=(m,1)$，若$\overrightarrow{a}\parallel(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$，则实数$m$的值为______。答案：$\frac{1}{2}$解析：$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(1,2)+(m,1)=(m+1,1)$，因为$\overrightarrow{a}\parallel(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$，$\overrightarrow{a}=(1,2)$，根据向量平行性质可得$1\times12\times(m+1)=0$，即$12m2=0$，$2m1=0$，解得$m=\frac{1}{2}$。6.已知向量$\overrightarrow{a}=(1,\sqrt{3})$，$\overrightarrow{b}=(3,m)$，若$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{\pi}{6}$，则实数$m=$______。答案：$\sqrt{3}$解析：由向量点积公式$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\vert\overrightarrow{a}\vert\vert\overrightarrow{b}\vert\cos\theta$，$\vert\overrightarrow{a}\vert=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=2$，$\vert\overrightarrow{b}\vert=\sqrt{3^2+m^2}=\sqrt{9+m^2}$，$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=1\times3+\sqrt{3}m=3+\sqrt{3}m$，$\theta=\frac{\pi}{6}$，$\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。所以$3+\sqrt{3}m=2\times\sqrt{9+m^2}\times\frac{\sqrt{3}}{2}$，两边平方后求解得$m=\sqrt{3}$。7.已知$\overrightarrow{OA}=(1,2)$，$\overrightarrow{OB}=(3,1)$，$\overrightarrow{OC}=(a,b)$。若$A$，$B$，$C$三点共线，则$a$，$b$的关系为______。答案：$2a+b=4$解析：$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}\overrightarrow{OA}=(3,1)(1,2)=(2,3)$，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}\overrightarrow{OA}=(a,b)(1,2)=(a1,b2)$。因为$A$，$B$，$C$三点共线，所以$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$共线，根据向量平行性质可得$2\times(b2)(3)\times(a1)=0$，展开得$2b4+3a3=0$，即$3a+2b=7$，变形可得$2a+b=4$。8.已知向量$\overrightarrow{a}=(2,1)$，$\overrightarrow{b}=(1,2)$，若$m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}=(9,8)$（$m$，$n\inR$），则$mn$的值为______。答案：$3$解析：$m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}=m(2,1)+n(1,2)=(2m+n,m2n)$，由$m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}=(9,8)$可得$\begin{cases}2m+n=9\\m2n=8\end{cases}$，解方程组得$m=2$，$n=5$，所以$mn=25=3$。9.已知向量$\overrightarrow{a}=(1,2)$，$\overrightarrow{b}=(x,1)$，$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{v}=2\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}$，且$\overrightarrow{u}\parallel\overrightarrow{v}$，则$x=$______。答案：$\frac{1}{2}$解析：$\overrightarrow{u}=(1+2x,4)$，$\overrightarrow{v}=(2x,3)$，因为$\overrightarrow{u}\parallel\overrightarrow{v}$，所以$3\times(1+2x)4\times(2x)=0$，解得$x=\frac{1}{2}$。10.已知$\overrightarrow{a}=(2,3)$，$\overrightarrow{b}=(1,2)$，若$m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}2\overrightarrow{b}$共线，则$\frac{m}{n}=$______。答案：$\frac{1}{2}$解析：$m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}=m(2,3)+n(1,2)=(2mn,3m+2n)$，$\overrightarrow{a}2\overrightarrow{b}=(2,3)2(1,2)=(4,1)$。因为$m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}2\overrightarrow{b}$共线，所以$(2mn)4\times(3m+2n)=0$，即$2m+n12m8n=0$，$14m7n=0$，$2m+n=0$，则$\frac{m}{n}=\frac{1}{2}$。三、解答题1.已知向量$\overrightarrow{a}=(1,2)$，$\overrightarrow{b}=(3,4)$。（1）求$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}$的夹角；（2）若$\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}$垂直，求实数$k$的值。解：（1）$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(1,2)+(3,4)=(4,2)$，$\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=(1,2)(3,4)=(2,6)$。设$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}$的夹角为$\theta$，根据向量点积公式$\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{n}=\vert\overrightarrow{m}\vert\vert\overrightarrow{n}\vert\cos\theta$，则$\cos\theta=\frac{(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}\overrightarrow{b})}{\vert\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\vert\vert\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\vert}$。$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}\overrightarrow{b})=4\times(2)+(2)\times6=812=20$。$\vert\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\vert=\sqrt{4^2+(2)^2}=\sqrt{16+4}=2\sqrt{5}$，$\vert\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\vert=\sqrt{(2)^2+6^2}=\sqrt{4+36}=2\sqrt{10}$。所以$\cos\theta=\frac{20}{2\sqrt{5}\times2\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，又因为$0\leqslant\theta\leqslant\pi$，所以$\theta=\frac{3\pi}{4}$。（2）$\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}=(1,2)+k(3,4)=(1+3k,24k)$，因为$\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}$垂直，所以$(\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}\overrightarrow{b})=0$。即$(1+3k)\times(2)+(24k)\times6=0$，展开得$26k+1224k=0$，$1030k=0$，解得$k=\frac{1}{3}$。2.已知向量$\overrightarrow{a}=(\cos\alpha,\sin\alpha)$，$\overrightarrow{b}=(\cos\beta,\sin\beta)$，$\vert\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\vert=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。（1）求$\cos(\alpha\beta)$的值；（2）若$0\lt\alpha\lt\frac{\pi}{2}$，$\frac{\pi}{2}\lt\beta\lt0$，且$\sin\beta=\frac{5}{13}$，求$\sin\alpha$的值。解：（1）$\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=(\cos\alpha\cos\beta,\sin\alpha\sin\beta)$，因为$\vert\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\vert=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，所以$\vert\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\vert^2=(\frac{2\sqrt{5}}{5})^2=\frac{4}{5}$。根据向量模长平方公式$(\overrightarrow{m}\overrightarrow{n})^2=\overrightarrow{m}^22\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{n}+\overrightarrow{n}^2$，则$(\cos\alpha\cos\beta)^2+(\sin\alpha\sin\beta)^2=\frac{4}{5}$，展开得$\cos^2\alpha2\cos\alpha\cos\beta+\cos^2\beta+\sin^2\alpha2\sin\alpha\sin\beta+\sin^2\beta=\frac{4}{5}$。因为$\sin^2x+\cos^2x=1$，所以$22(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta)=\frac{4}{5}$，即$22\cos(\alpha\beta)=\frac{4}{5}$，解得$\cos(\alpha\beta)=\frac{3}{5}$。（2）因为$\frac{\pi}{2}\lt\beta\lt0$，$\sin\beta=\frac{5}{13}$，根据$\sin^2\beta+\cos^2\beta=1$，可得$\cos\beta=\sqrt{1\sin^2\beta}=\sqrt{1(\frac{5}{13})^2}=\frac{12}{13}$。又因为$0\lt\alpha\lt\frac{\pi}{2}$，$\frac{\pi}{2}\lt\beta\lt0$，所以$0\lt\alpha\beta\lt\pi$，由$\cos(\alpha\beta)=\frac{3}{5}$，可得$\sin(\alpha\beta)=\sqrt{1\cos^2(\alpha\beta)}=\sqrt{1(\frac{3}{5})^2}=\frac{4}{5}$。$\sin\alpha=\sin[(\alpha\beta)+\beta]=\sin(\alpha\beta)\cos\beta+\cos(\alpha\beta)\sin\beta=\frac{4}{5}\times\frac{12}{13}+\frac{3}{5}\times(\frac{5}{13})=\frac{4815}{65}=\frac{33}{65}$。3.已知向量$\overrightarrow{a}=(1,2)$，$\overrightarrow{b}=(x,1)$，$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{v}=2\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}$，且$\overrightarrow{u}\parallel\overrightarrow{v}$，求$x$的值。解：$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}=(1,2)+2(x,1)=(1+2x,4)$，$\overrightarrow{v}=2\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=2(1,2)(x,1)=(2x,3)$。因为$\overrightarrow{u}\parallel\overrightarrow{v}$，根据向量平行性质，若$\overrightarrow{m}=(x_1,y_1)$，$\overrightarrow{n}=(x_2,y_2)$平行，则$x_1y_2x_2y_1=0$。所以$3\times(1+2x)4\times(2x)=0$，展开得$3+6x8+4x=0$，$10x5=0$，解得$x=\frac{1}{2}$。4.已知$\overrightarrow{OA}=(1,2)$，$\overrightarrow{OB}=(3,1)$，$\overrightarrow{OC}=(a,b)$。（1）若$A$，$B$，$C$三点共线，求$a$，$b$的关系；（2）若$\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OA}\overrightarrow{OB}$，求点$C$的坐标。解：（1）$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}\overrightarrow{OA}=(3,1)(1,2)=(2,3)$，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}\overrightarrow{OA}=(a,b)(1,2)=(a1,b2)$。因为$A$，$B$，$C$三点共线，所以$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$共线，根据向量平行性质可得$2\times(b2)(3)\times(a1)=0$，展开得$2b4+3a3=0$，即$3a+2b=7$。（2）因为$\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OA}\overrightarrow{OB}$，$2\overrightarrow{OA}=2(1,2)=(2,4)$，所以$\overrightarrow{OC}=(2,4)(3,1)=(1,5)$，所以点$C$的坐标为$(1,5)$。5.已知向量$\overrightarrow{a}=(1,3)$，$\overrightarrow{b}=(2,5)$，$\overrightarrow{c}=(2,1)$。求：（1）$\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c})$；（2）$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot(2\overrightarrow{a}\overrightarrow{b})$。解：（1）先计算$\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}=2\times2+5\times1=4+5=9$，则$\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c})=9\overrightarrow{a}=9(1,3)=(9,27)$。（2）$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(1,3)+(2,5)=(3,8)$，$2\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=2(1,3)(2,5)=(2,6)(2,5)=(0,1)$。所以$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot(2\overrightarrow{a}\overrightarrow{b})=3\times0+8\times1=8$。6.已知向量$\overrightarrow{a}=(3,4)$，$\overrightarrow{b}=(2,1)$，若向量$\overrightarrow{a}+x\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{b}$垂直，求$x$的值。解：$\overrightarrow{a}+x\overrightarrow{b}=(3,4)+x(2,1)=(3+2x,4x)$，$\overrightarrow{b}=(2,1)$。因为$\overrightarrow{a}+x\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{b}$垂直，所以$(\overrightarrow{a}+x\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{b})=0$。即$(3+2x)\times(2)+(4x)\times1=0$，展开得$64x+4x=0$，$25x=0$，解得$x=\frac{2}{5}$。7.已知向量$\overrightarrow{a}=(1,2)$，$\overrightarrow{b}=(2,3)$。若向量$\overrightarrow{c}$满足$(\overrightarrow{c}+\overrightarrow{a})\parallel\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}\perp(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$，求$\overrightarrow{c}$的坐标。解：设$\overrightarrow{c}=(x,y)$，则$\overrightarrow{c}+\overrightarrow{a}=(x+1,y+2)$，$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(1,2)+(2,3)=(3,1)$。因为$(\overrightarrow{c}+\overrightarro