2025-2026学年高一数学上学期期中复习试题（压轴60题12类题型）（人教A版必修第一册）解析版

高一数学上学期期中复习真题精选

（压轴60题12类题型）

题型归纳

题型1元素与集合的关系题型2集合间的关系中的参数问题

题型3交并补混合运算及其含参问题1题型4集合新定义

题型5利用基本不等式求最值题型6基本不等式的恒成立问题

压轴题型归纳

题型7—元二次不等式恒成立、有解问题一—题型8函数的单调性及其应用

题型9函数中的恒成立、有解问题题型10抽象函数的性质及应用

题型11函数的性质综合■题型12函数新定义

题型1元素与集合的关系（共5小题）

1.（24-25高一上•天津东丽•期中）下列关系中，正确的是（）

A.2eNB.neQ

C.OWND.7GZ

【答案】A

【解题思路】根据元素与集合的关系判断.

【解答过程】A,2是自然数，故A正确：B,TT是无理数，不是有理数，故B错误;

C,（）是自然数，故C错误；D,?是分数，不是整数，故D错误.

4

故选:A.

2.（24-25高一上•河南洛阳,期中）已知集合4=fl,a+9,Q2+研，若6€4,则。二（）

A.-2或3B.-3或2C.2D.-3

【答案】C

【解题思路】分Q+9=6和小+。=6两种情况讨论，注意集合中元素的互异性.

【解答过程】因为A={l,a+9,Q2+Q},6€力，

当a+9=6时，则a=—3,此时F+Q=6,不符题意；

当a2+。=6时，解得a=2或a=—3（舍去），

若a=2,则4={1,11,6},符合题意，

综二所述，Q=2.

故选：C.

3.(24-25高一上•四川•期中)已知集合4={X|/+QX+6VO},若1£4则a的取值范围为()

A.[—7,+8)B.(—7,+8)C.(-a),-7]D.(—8,—7)

【答案】A

【解题思路】依题意可得仔+axl+6>0,解得即可.

【解答过程】由1£力，可得12+axl+6Z0,解得。之一7,

即实数Q的取值范围为[-7,+8).

故选:A.

4.(24-25高一上•四川成都•期中)己知集合4={12,a2+4a,a+10},5€4则。=.

【答案】1

【解题思路】根据给定的元素与集合关系列式，再结合集合元素的互异性求解即可.

【解答过程】由集合力={12,次+4Q,Q+10},5G71,得a+10=5或M+4a=5,

当a+10=5时，a=-5,此时02+4。=5,不符合题意；

当a2+4a=5时，显然aH—5,解得Q=1,

则集合4={12,5,11},符合题意，故a=l.

故答案为：1.

5.(24-25高一上•云南红河•期中)记关于》的方程+ax+b\=2(a,beR)的解集为M,且M恰有3个元

素.

(1)证明：a2-4b=8：

(2)若以M中的元素为边长的三角形恰好为直角三角形，求a力的值.

【答案】(1)证明见解析

(2)。的值为一16力的值为62.

【解题思路】(1)先对原方程进行等价变形；再根据题意、求根公式和两个方程判别式之间的关系可得出

々=0,进而可证得十一46=8.

(2)先根据a2-4b=8求出方程的三个实数根；再根据题意，利用勾股定理列出关于a方程求解即可.

【解答过程】(1)证明：原方程等价于％2+ax+b=2或必+以+匕=-2,

即/+QX+h-2=0或%2+ax+b+2=0.

因为关于x的方程氏2+ax+b\=2（a,beR）的解集为M,且M恰有3个元素,

所以方程/+ax+b—2=。或/+ax+b+2=0均有实数根，

22

-a-Va-464-8v_—a+Va-4b+8

由求根公式可得:X1=-----2----，肛-------2-----

„_-a-Va2-4b-8„_-a+Va2-4b-8

%3-------2-----，M-------2-----

22

由于A]=a—4b4-8>a—4b—8=A2,

所以当A2=0时，M恰有3个元素，即小一4力=8.

（2）由（1）知，匕=//，原方程等价于/+。无+£—4=0或%2+以=0,

444

则两个方程的三个根分别为一>2,/+2,—I

若它们是直角三角形的三边，

则（-+（-尹2丫=（一>2?且a=0

解得：a=-16,b=62.

故a的值为一16,b的值为62.

集合间的关系中的参数问题（共5小题）

6.（24-25高一上•安徽•期中）已知集合4={-2,2},8={-2,—l,a+3},且AG8,则实数a的值为

（）

A.-5B.-4C.-1D.1

【答案】C

【解题思路】根据集合与集合间的关系列方程求解实数a的值即可.

【解答过程】已知集合4={-2,2},B={-2,-U+3},且4G8,

所以Q+3=2,所以Q=-1.

故选：C.

7.（24-25高一上•浙江•期中）已知集合{1以,胃={0以2"+6},则次。24+川024的值为（）

A.0B.1

C.-1D.1或一1

【答案】B

【解题思路】利用集合相等和集合中元素的互异性，以己知的（U为突破口，分类讨论求出a力的值.

【解答过程】集合{1以3}={0以2.+与，两个集合中元素完全相同，

由aH0,则有g=0,得b=0,有a+b=a,

（1=a2

所以，；=0,由集合中元素的互异性，有QH1,得。=-1力=0,

则有次024+b2024=很

故选:B.

8.（24-25高一上•江苏扬州期中）己知a为常数，集合4={X|/+%—6=0},集合B={x|ax—2=0},

且BG4则a的所有取值构成的集合元素个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解题思路】先求出集合人由81儿分8=0与BW0讨论，分别求解的值即可.

【解答过程】集合力={万/+工一6=0},化简求值可得力={-3,2},

当8=0时，BQA,此时集合B无解，即a=0

2

当BH0时，B={—3}时，即一3a-2=0解之得Q=-W，

B={2},即2a—2=0解之可得a=1,

所以根据集合元素的性质可得元素个数为3个.

故选:C.

9.（24-25高一上•海南省直辖县级单位•期中）若集合P={x£Z|-lWx<4},Q={a-l,a+2},且

QQP,则实数Q=.

【答案】0或1

【解题思路】根据题设有P={-l,0,l,2,3},结合包含关系及Q-IVQ+2,讨论参数求对应参数值，并判

断a—l,a+2是否同时属于集合P,即可得答案.

【解答过程】由题设P={-l,0,l,2,3},又。=加-1,。+2},且QGP,

由干a—l<a+2,讨论如下：

当=即Q=0时，a+2=2EP,满足；

当a—1=0,即Q=1时，Q+2=3£P,满足；

而a-1=1或2或3时，Q+2CP,不满足.

所以Q=0或1.

故答案为：0或I.

10.（24-25高一上•四川泸州,期中）已知集合4=kx+g=5},B={x|（a—l）x24-ax+a-1=0）.

（1）若8中恰有一个元素，用列举法表示a的值构成的集合；

（2）若8£4求Q的取值范围.

【答案】（1）{1,2,|}

（2）（-co,U（2,+co）

【解题思路】（1）分Q—l=0与Q—1H0两种情况讨论，当。一1工0时△=（）,即可求出参数的值；

（2）首先解方程求出集合4再分8=0、1WB、4三种情况讨论，分别求出参数Q的范围（值），即可

得解.

【解答过程】（1）若即Q=L则8={0},符合题意.

若a—1X0,即a,1,则由〃中恰有一个元素，得△=a?—4（a—I）?=0,

解得a=2或Q=|.

综上所述，a的值构成的集合为{1,2（}.

（2）由％+：=5,解得工=1或%=4,则4=口,4}.

若B=0,符合B5,则

若1WB,则3a—2=0,解得a=,，则8={1},符合BG4

*5

若4WB,则21。-17=0,解得。=算，则3={4g,不符合85.

综上所述，a的取值范围为（一8,|]u（2,+8）.

题型3交并补混合运算及其含参问题（共5小题）

II.(24-25高一上•天津宁河期中)已知集合(/={1,2,3,456,7),A={2,3,6,7),B={2,3,4,5},则AC(Cu

B)=()

A.{6,7}B.{1,7}C.{1,6}D.{1,6,7}

【答案】A

【解题思路】根据补集、交集的知识求得正确答案.

【解答过程】依题意，CuB={1,6,7）,

所以An(Q/B)={6,7}.

故选:A.

12.(24-25高一上•重庆期中)已知全集U={-2,-1,0,1,234),集合A={xGZ|x2-x<6),8={-2,0,1,3},

给出下列4种方式表示图中阴影部分：①］一1,2)②C(4u8)3③4n(QB)④(QM)n(QB)，正确的有几个？

【答案】C

【解题思路】根据阴影部分对应的集合分别判断①②③④即叱

【解答过程】由图可知阴影部分所表示的集合为C(AU3)&4C(CU8)，故②③正确；

因为<={xGZ|-2<x<3]={-1,0,1,2},QjB={-1,2,4)>

所以为八(58)={—1,2},故①正确：

(CM)n(QB)={4},故④错误.

所以正确的有3个.

故选：C.

13.(24-25高一上•重庆•期中)已知全集〃=(2,3,456,7,8}/加是U的两个子集，且4GR（5Mn（Q8）

={2,3,6},则(QM)U8=()

A.[4,7,8}B.{4,5,7,8}C.{2,3,5,6}D.{3,5,6}

【答案】B

【解题思路】根据题意分析可知4={235,6},再结合补集和并集运算求解.

【解答过程】因为4nB=[5],AA(CyB)={2,3,6},可知力={235,6},QM={4,7,8),

且5eB,2e8,3比8,6也B,所以《")U8={4,5,7,8}.

故选：B.

14.(24-25高一上•海南三亚•期中)已知全集U=/uB={xeN|0WxW5},4n(Q8){1,3,5},则

B=.

【答案】{0,2,4}

【解题思路】根据集合的交并补运算性质计算即可.

【解答过程】由题意,U=AuB={xWN|0，xM5}={0,1,234,5},

因为An(QB)={1,3,5},

所以1G4364564,1至8,3CB,5W8,

即8={0,2,4).

故答案为:[0,2,4).

15.(24-25高一上•天津南开期中)已知全集为R,集合4=&比〈一1或x>6},B=

{x\l—m<x<1+m}.

(1)若m=2,求(CR8)U4；

(2)若(CRA)UB=CR4求实数m的取值范围.

【答案】(1)(CR8)UA={x\xVT或%13)；

(2)(-8,2].

【解题思路】(1)先求出当m=2时的集合。，再根据补集和并集定义即可计算求解.

(2)先由题意求得BcQRA,接着求出CR力，再分8=。和B*0两种情况讨论即可求解.

【解答过程】(1)若m=2,则3={无|1一血工无工l+m}=团一14x43},

所以CRB={x\x<—1或%>3},又集合力={x\x<—1或%>6},

所以(CRB)U4=[x\x<-1或%>3].

(2)因为(CR4)UB=CR4所以BECRA,

因为CRn={x|-1<x<6],B={x\l—m<x<1+m},

所以当8=0时符合题意，此时即m<0：

当BH0时，要使

1—m<1+m

则，1—m>—1,解得0<TH<2,

14-m<6

综上所述，实数血的取值范围为(-8,2].

题型4集合新定义(共5小题)0

16.(24-25高一上•重庆•期中)定义集合运算4O8={m|m=%—y,xWA,yW8}.已知非空集合力和8,

且WU8G{1,234,5},若AOBGB,则满足题意的不同的8的个数为()

A.1B.4C.7D.8

【答案】D

【解题思路】结合集合新定义，讨论B中元素个数即可;

【解答过程】由题意力。8={m|m=%—y,xeWB},

又非空集合力和4,且力U81{L2,3,4,5},若AOBGB,

当B中有一个元素时：

B={1},A={2}；B={2},A={4}；

当8中有两个元素时：

B={1,2}»A=(3)；B={1.3},A={4}；B={1,4},4={5}：B={2.3},A=(5)；

当6中有三个元素时：

B={1,2,3},4={4}；

当B中有四个元素时：

B={1,2,3,4},A={5}：

当B中有五个元素时，集合4不存在，

所以满足条件的不同的8的个数为8个，

故选：D.

17.(24-25高一上•福建莆田•期中)非空集合力GR,且满足如下性质：

性质一：若a、则Q+6W4性质二：若QW4则一aw.4则称集合4为一个“群”.

以下叙述正确的个数为()

①若A为一个“群”，则4必为无限集；

②若力为一个“群”，且服bEA,则

③若4、B都是“群”,则4nB必定是“群”;

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【脩题思路】根据性质，运用特例法逐一判断即可.

【解答过程】对于①，设集合4={0}，显然0+0=0,符合性质一，

同时也符合性质二，因此集合力={0}是一个群，但是它是有限集，故本叙述不正确；

对干②，根据群的性质，由匕£4可得：一匕€4因此可得a—力£4故本叙述正确；

对于③，设4nB=C,

若c£C,一定有C",CeB,

因为4、B都是“群"，所以一c64-CEB,

因此一cWC,若d€C,所以d€/4,dGB,c4-dGC»故本叙述正确.

故选：c.

18.(24-25高一上•上海•期中)已知有限集A=…,%｝(于22,nWN),如果《中元素%(i=1,2，…,n)满

足%+a2+•••+册=%xa?x…xan,就称A为“完美集”

①集合｛-1一次,一1+b｝不是院美集”，

②若Qi，。2是两个不同的正数，且｛%,做｝是“完美集“，则。】，见至少有一个大于2；

③有且仅有两个元素的“完美集''只有有限多个；

④若由€Z+(i=1,2,-,n),则“完美集Z有且只有一个,且"=3

其中正确结论的个数有()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解题思路】由“完美集”的定义即可判断①错误；由“完美集”的定义可知与血可以看成一元二次方程为2

-tx+t=。的两正根，则4>。可得>4,则可判断②正确；③错误；设<a2<a3,由“完美集”的

定义可知2a3=+。2+a3V3a3，结合QtWZ+，可知a[=1以2=2,a3=3,由此即可判断④正确.

【解答过程】由题意，

对于①：(-l-V3)+(-l+V3)=-2,(一1一遍)x(-1+6)=-2,

故(-1—V3)+(-1+\/3)—(一1-V3)x(-1+V3)»

所以集合｛一1一百，一1+遍｝是“完美集"，故①错误；

对于②:集合｛%©｝是“完美集是设+。2==£>0，

则。1，。2可以看成一元二次方程/一比+t=0的两正根，

则4二步一及>0,解得：£<。(舍)或£>4,

即因为田以2为正数，若田,。2都小于等于2,则。逆2W4,所以。1，。2至少有一个大于2,故②正

确；

对于③：由B可知，一元二次方程/一5+£=0当£取不同值时，

%,。2的值是不同的，因而二元“完美集”有无穷多个，故③错误；

对于④：设即<a2<a3<•••<an,则以xa2x…xan=ara2+…+an<na„,

所以由x例x…x即_1V九，又/WZ+，

当九24时，aixa2x-x>n,此时“完美集”不存在，

当71=2时，<2,则=1以述2W+。2，不合题意，

当71=3时，aya2<3,所以只能是由=1,。2=2,

由S+。2+。3=。1。2。3，代入解得。3=3,

所以此时“完美集”只有一个，为口,2,3｝,故④正确.

综上，正确结论的个数有2个.

故选：B.

19.(24-25高一上•北京•期中)给定数集M,若对于任意a、bEM,有a+b€M,月。一/?€例，则称集合

M为闭集合，则下列所有正确命题的序号是.

①集合M=｛—2,—1,0,1,2｝是闭集合：

②正整数集不是闭集合；

③集合M=｛n\n=3k,k£Z｝是闭集合；

④若集合力1、%为闭集合，则&U/为闭集合.

【答案】②③

【解题思路】对于①，令。=-2,b=-l,即可判断；对于②，两个正整数的差可能是负整数，即可判断；

对于③，任取小，n2GM,则m=3口，n2=3k2,自，/C2GZ,结合新定义即可判断；对于④，令4=

(n\n=3k,kGZ),A2=｛n|n=2k,kGZ),结合新定义即可判断.

【解答过程】对于①，因为一2WM,-1GM,但是一2+(—1)=—3WM,

所以时=｛-2,—1,0,1,2｝不是闭集合，故①错误；

对于②，对于正整数集N*,因为1WN*,2WN*,

但是l-2=-lCN*,所以正整数集不是闭集合，故②正确；

e

对于③，任取"1，nz^M,则九1=3的，n2=3/c2»的，^2Z,

则ki+攵2EZ,k[—k?WZ,k?-k\WZ,

所以?11+几2=3(自+A2)€M,=3(&i—12)€M，九2+=3(/Q—的)6M,

所以M=｛川九=3k,k€Z｝是闭集合，故③正确；

对于④，由③可得4=｛川九=3k,kWZ｝是闭集合，42=｛用几=2k,k€Z)是闭集合，

所以41142=｛九|n=3k或71=2女/€2｝,则有2,3WA1U42，

但2+3=564042,则&Ua不是闭集合，故④错误.

故答案为：②③.

20.(24-25高一上•四川眉山・期中)已知集合A是实数集R的非空子集，若V%y€4%+yE-yE4则

称集合力为闭集合.

(1)若集合48均是闭集合.求证：力八8是闭集合：

（2）若集合4B均是闭集合.集合力UB一定是闭集合吗？如果是请证明，如果不是请举出反例;

（3）若48均是闭集合，且4B都是R的真子集.求证：存在常数CWR,但cW4UB.

【答案】（1）证明见解析

（2）不一定，举例见解析

（3）证明见解析

【解题思路】（1）根据闭集合定义及集合交集运算即可证明；

（2）根据闭集合定义及集合并集运算即可判断：

（3）根据闭集合定义、真子集及集合并集运算即可证明.

【解答过程】⑴且48为闭集知：{：?菖，{:成立，

故而蕤m从而命题成立.

（2）取4={x|x=2k,keZ},B={x\x=3k,keZ},

2+3=5C4U8知4UB不〜定是闭集合.

（3）若或且48均是R的真子集，命题显然成立,

故不妨设存在工£砧满足{：：3且存在yeR满足{：Ig,

Wc=x+丫知。=%+yWAU8,否则y=x+y—xE/4

或者%=%+y-yW8而得出矛盾，故命题成立.

题型5利用基本不等式求最值（共5小题）

21.（24-25高一上•福建南平•期中）已知八y6（0,+oo）,且满足］+/=2,那么％+2y的最小值为（）

A.4B.2C.1+yD.1-日

【答案】B

【解题思路】将代数式％+2y与+相乘，展开后利用基本不等式可求得％+2y的最小值.

【解答过程】因为知不、yG（0,+oo）,且满足5+/=2,

2y=+2y)&+/)=/2+§+§对(2+2^^)=

所以，x+2,

二二之

2yx（X=1

当且仅当（1+±=1时，即当）时，等号成立,

2y（y-2

1%>0,2y>0

因此，x+2y的最小值为2.

故选:B.

22.(24-25高一上•重庆•期中)已知实数a>0,b>0,满足a+2b=4,则-7+搭的最小值是()

a+1匕+2

A,42ClD.2

【答案】C

【解题思路】变形得到号+誓2=1,由基本不等式“1”的妙月求出最小值.

【解答过程】实数a>0,b>0,满足a+2b=4,故a+1+2屹+2)=9,

呜1+竽=1,

故J-+三.2)3+123+2)]_1+f+2(a+l)2(/)+2)

以a+1+H2-+淑儿丁十一-9十9+93+2)+9(a+l)

2/2(a±l)<2(h±2)=S4=

一9丁飞9(b+2)9(a+l)99

当且仅当貌武=微翳，即a=2/=1时，等号成立，

故的最小值为1.

故选：C.

23.(24-25高一上•四川•期中)已知Q>0,h>0,a+h=l,则下列说法不正确的是()

A.Qb的最大值为3

B.乐的最大值为近

C.。2+炉的最小值为()

D.驾■的最小值为百+1

Zab

【答案】C

【解题思路】利用基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案.

2

【解答过程】A选项，ab<=、当且仅当a-6-点时等号成立，A选项正确.

B选项，Va+VF<2x=应，当且仅当Q=匕=g时等号成立，B选项正确.

C选项，由于a6都是正数，所以C选项错误.

c否2a2+1alaa+ba.1,1

D毯项，2oab.=rb+—2ab=b?+T2Tab=工b+2宝b+丁2a

aa+ba+baa11b

=—+——+-----=―++-+|-

b2b2ab2b222a

=他+1?2后+1=8+1,

当且仅当|^=/山=6。=手时等号成立，所以D选项正确.

LbLa2

故选:C.

24.（24-25高一上•浙江杭州•期中）若两个正实数％,y满足4x+y=2xy,则％+（的最小值为

【答案】2

【解题思路】依题意可得:+会=1，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得.

【解答过程】因为正实数无，y满足4x+y=2%y,所以：+5=1,

所以"”々+以；+3=1+£+言“+2廊=2,

当且仅当年=*,即％=1,y=4时取等号.

故答案为：2.

25.（24・25高一上•四川眉山•期中）求最值:

（1）已知％>0,y>0,且满足xy=4,求9x+y的最小值；

（2）已知不<1,求'=%+三的最大值；

（3）已知x>0,y>0,且满足2x+y=xy,求x+8y的最小值.

【答案】（1）12

⑵-3

⑶25

【解题思路】（1）利用基本不等式9无+yN2麻；即可；

（2）利用基本不等式求1—工+士的最小值，再求、=一［1一彳+三）+1的最大值即可；

<3）先化简得5+9=1,再利用1的妙用化简即可.

JX

【解答过程】（1）因为％>0,y>0,且xy=4,所以9%+yN2同方=6折=12,

当且仅当9%=y,即x=*y=6时取等号，

所以当％=§,y=6时，9x+y有最小值，最小值为12；

（2）因为x<l,则1—x>0,所以1—x+工2=4,

当且仅当1一%=工，即％=—1时取等号,

所以y=x+-^-=%—1+<+1=­[1—x+—]+1<—44-1=-3,

X-1X—1L1—X」

所以当％=—1时，y=%+六有最大值，最大值为一3；

21

（3）因为2x+y=xy,所以三+二=1,

因为％>Q,y>0,所以%+8y=（x4-8y）（：+，=17+y+y>17+2J,=25,

当且仅当§=%即x=2y,即％=52=%寸取等号，

故当％=5,y=5时，x+8y有最小值，最小值为25.

题型64基本不等式的恒成立问题（共有画

26.（24-25高一上•四川・期中）已知a>。，h>0,若不等式言〈嘴”亘成立,则实数m的最大值为

()

A.64B.25C.13D.12

【答案】B

【解题思路】将不等式变形为mW（曙）（。+切，利用基本不等式即可得出答案.

【解答过程】Q>0,b>0,则Q+b>0,

不等式捻工智恒成立,即加工（誓）伍+匕）恒成立,

（誓）（。+b）=G+*+3=13+与+筌13+2厢=25.

当且仅当华=y,即b=|a时等号成立，

所以mW25,即实数机的最大值为25.

故选：B.

27.（24-25高一上•安徽•期中）已知x>0,y>0,且x+y=5,若士+贵工2m+1恒成立：则实数m的

X十1）*T■乙

取值范围是（）

A.（―8,得]B.（—co,1]C.（—co,1]D.（—oo,4]

【答案】A

【解题思路】由己知条件得出（丫41）+（y+2）=8,将代数式£■+‘三与:[（Y+1）+（y+2）]相乘，展开后

利用基本不等式求出5T+康的最小值，根据题意可得出关于m的不等式，解之即可.

【解答过程】因为x>0,y>0,且％+y=5,则无+l+y+2=8,

娜翳>。墨>。，

所％1+康=氏1+素）旧】）+。+2）］=翡+等+氏

，4Q+2)x+l1=

5+29

>dx+1y+zj8

4(y+2)_x+1

当且仅当（％+日；3,周=8时，

^x>0,y>0

即当％=£,y=:时，所以去+意的最小值为，

O«5Xtl.

因为小++22m+1恒成立，所以2m+l&，解得m4白,

X十JLZ*O1O

所以实数m的取值范围是（一8,4

故选:A.

28.（24-25高一上•江苏•期中）若正实数达歹满足x+y=3,且不等式;+^>|m—1|+4恒成立，则实数

m的取值范围是（）

A.{m|—3<TH<1}B.{m|mV-3或m>1}

C.{m|-1<m<3}D.{m|mV—1或m>3}

【答案】C

【解题思路】利用代换1法，结合均值不等式求出最小值，再解绝对值不等式即可求出选项.

【解答过程】因为正实数X,），满足x+y=3,

所听+；=哭+9（、+/=氐2+8+§+9号（10+2杼1）=6,

当且仅当§=墨即y=2%=2时取等号，

又由不等式|加一1|+4恒成立，

所以6>|血一1|+4,解得：一l<mv3,

故选:C.

29.（24-25高一上・贵州•期中）己知%>\,y>3,且（x-l）（y-3）=2x+3y-ll,若不等式2%+y-m>0

恒成立，则实数m的取值范围为.

【答案】m<13+473

o2

【解题思路】由已知条件可得：W+/=L因不等式2%+、一m>0恒成立，则需

2。-1)+8-3)>m-5恒成立，则需要m-5V(2(%—1)+。-3))mm，利用力的妙用”,求出

2。-1)+(y—3)的最小值，即可得到m的取值范围.

【解答过程】将(x-l)(y-3)=2x+3y-11化为：(x-l)(y-3)=2(x-l)+3(y-3),

即：告+备=1,不等式2x+y-m>0化为：2(x-1)4-(y-3)>m-5,

上述不等式要恒成立，则m-5小于2(%—1)+(y—3)的最小值.

因为％>l,y>3,贝ij

2(x—l)+(y—3)=[2(x-l)+(y—3)信+m=8+登+答>8+2.lg)=8+4

后

当且仅当个子=9■子，即％=4+遮且y=5+28时，取“=”，

所以m-5<8+4V^,即mvl3+4VT

故答案为：m<13+4旧.

30.(24-25高一上•广东深圳•期中)求下列代数式的最值：

(1)已知%>1,求y=%+£的最小值；

o1

(2)已知x>o,y>0,且满足2+;;=1.求3+2y的最小值；

(3)当0V%V《时，不等式§+告一mNO恒成立，求实数m的最大值.

【答案】(1)最小值为5

(2)最小值为18

(3)最大值为9.

【解题思路】(1)利用基本不等式求最值；

(2)利用基本不等式“1”的妙用求最小值；

(3)将；+恒成立问题转化为=+七的最值问题，然后利用基本不等式求最值即可•

X1-QXX1-QX

【解答过程】(1)因为X>1,贝k-1>0,由基本不等式得，

y=(%-1)+小+1N2•一1).占+1=5,

当日仅当“一1=工，即％=3时，等号成立.

故y=X+W的最小值为5.

(2)因为x>0,y>0,

所以x+2y=(%+2y)g+；)=10+-^+^>10+2严?|=18,

当且仅当?=：,即a12,y=3时等号成立，

故4+2y的最小值为18.

(3)不等式;+七一mN0恒成立化为血工：+七亘成立，

又因为0cxV；,所以1-4%>0,因此

工+：=田+1_轨)口+，)=5+号+925+24x3=9,

X1-4X'八X1-4〃l-4xx5一4xx

当且仅当言；=W"，即％=*时，等号成立，

所以m<9,

即实数m的最大值为9.

-元二次不等式恒成立、有解问题(共5小题)。

31.(24-25高一上•四川成都•期中)不等式化F+/cx+l工0对一切实数x都成立，则实数A的取值范围是

()

A.(—on,0]U[4,4-on)B.(—m,0)U(4,+m)

c.[0,4]D.(0,4)

【答案】C

【解题思路】对不等式的二次项系数进行分类讨论，结合二次函数的性质进行求解即可.

【解答过程】当k=0时，原不等式变为1之0,显然对一切实数都成立；

当AX0时，由L=k纥/W0,解得0<k"，

综上所述，实数〃的取值范围是[0,4].

故选：C.

32.(24-25高一上•河北石家庄•期中)若存在％WR,使得不等式告三22成立，则实数加的取值范围为

()

A.{m\m>2}B.{m\m<0}C.{m\m<2}D.[m\m<2}

【答案】C

【解题思路】把问题转化成“一机大于或等于2(炉一4%+3)的最小值”，再利用配方法求2(/一4%+3)的最

小值即可.

【解答过程】因为/-2工+3=Q-1尸+2>0,

4“一

22

所以X」2X+322=4x—m>2(^—2x+3)=-m>2(x—4x+3).

问题“存在％eR，使得不等式若鼻>2成立”转化为“一m大于或等于2(/一4%+3)的最小值”.

因为2(/-4%+3)=2(x-2)2-2>-2,当％=2时取“=

所以一mN—2=>m<2.

故选：C.

33.(24-25高一上•江苏南通•期中)Vxe(—L+8),x2+(i—kA+i-ZN0恒成立，则实数k的取值范

围为()

A.(—co,—1]B.(—8,0]C.(—3,1]D.(—8,1]

【答案】D

【解题思路】转化问题为kW交答■对于无€(—1,+8)恒成立，进而由受等■=%+1+小一1结合基本不

等式求解即可.

【解答过程】由d+(1-k)x+l—kzo,得女工三尸，

则问题转化为k<%1对于工£(—1,+8)恒成立，

又—^……2历正口=1.

当且仅当％+1=《7,即％=0时等号成立，

所以kWl,即实数k的取值范围为(一8,1].

故选：D.

34.(24-25高一上•重庆•期中)已知关于“的不等式好一依一忆+3>0在区间[0,2]有解，则实数k的取值范

围为.

【答案】(一8,3)

【解题思路】分离参数，然后将不等式有解转化为最值问题即可.

【解答过程】法一：原不等式可亿为kV落，因为不等式在[0,2]有解，所以(凿)max；

令t=%+le[l,3],则k=胃=仁？2+3=£+力；

•JLvV

4

令/(t)=t+f—2，易知/(£)在［1,2］单调递减，在［2同单调递增，/1(t)max=max{/(l),/(3))=3,所以

k<3.

法二：令f(x)=/-kx-k+3,则f(%)max>0即可;

由二次函数在闭区间上的最值可知，/(x)max=max{/(0)/(2)},

所以;■(())>0或/(2)>0,解得k<3或所以k<3.

故答案为：(一8,3).

35.(24-25高一上•北京•期中)已知二次函数〃%)的最小值为I,且/'(())=/(2)=3.

(1)求/(%)的解析式；

(2)解关于x的不等式：/(x)+2ax-3>0,其中QW［3a,a+1］；

(3)当时，/。)>2无+2血+1恒成立，试确定实数机的取值范围.

【答案】(1)/(盼=2/-钛+3

(2)(-8,0)U(2—Q,+8)

(3)(_8,_1)

【解题思路】(1)根据题意，设/a)=Q(x—l)2+l(QH0),根据/•(OjuB,求得a=2,即可得到函数的

解析式；

(2)原不等式等价于%2+9—2户>0,进一步确定a的范围即可得解.

(3)依题意可得不等式相</一3丫+1在区间［-1,1］上恒成立.令0(%)=/一3、+1,结合二次函数的性

质，即可求解.

【解答过程】(1)由题意,函数f(x)是二次函数,且/(0)=/(2),可得函数/(%)的对称轴为x=函

又由最小值为1,可设/'(X)=Q(无一1)2+l(a=0),

又"0)=3,即ax(0—1尸+1=3,解得Q=2,

所以函数的解析式为/(无)=20—1)2+1=2x2-4x+3.

(2)/(x)+2ax-3>0=2/+(2a-4)x>0<=>x2+(a-2)x>0,

a>3a

因为Q€［3Q,Q+1］,所以a<a+1=>a<0,

.3a<a+1

所以%2+①—2)x>Oox<0或x>2—a,

所以若QW］3a,Q+1］,则关于x的不等式：f(x)+2a%-3>0的解集为(一8,0)u(2-a,+8).

(3)因为当之€［T1］时,f(x)>2%+2m+l恒成立,

即当%e［-1,1］时，2x2-4x+3>2x+2m+1恒成立,

即当工€［—1,1］时，m</-3x+l恒成立，

设函数g(x)=必-3x+1,xe［-1,1］,

则g(©在区间［-1,1］上单调递减,

.•・9(无)在区间［-1,1］上的最小值为9(1)=一1,

•,•TH<—1,

故实数m的取值范围为：(一8,—1).

题型8函数的单调性及其应用(共5小题)

(<

36.(24-25高一上•江西•期中)已知函数/(%)={%2-2«7+60-3,%>2在R上单调递增，则实数Q的取值

范围为()

uG用口.加

【答案】C

【解题思路】先保证每段函数都是增函数，再考虑断点处函数值的关系，解不等式组即可.

【解答过程】当XV2时，函数y=(2a-1)X单调递增，则即

二次函数y=X2-2ax+6a-3的图象开口向上，对称釉为直线工=a,

Q

当x22时，函数y=/-2数+6a-3单调递增，则W2,

1

-

2

«>2

由函数/(%)在R上单调递增，有，a<解得TVa4万.

(2(2a-l)<4-+6a—3.

故选：C.

37.(24・25高一上,河北邯郸•期中)已知定义在R上的函数/(x)满足/(1一%)=/(3+无)，且在(一8,2］上单

调递增，a=/(K).b=/(V3),c=/(O),则()

A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.c<a<b

【答案】D

【解题思路】由题意确定对称轴为％=2,进而确定函数单调性，由单调性即可判断.

【解答过程】由己知得函数/(乃的图象关于直线x=2对■称，

所以〃工)在(一8,2］上单调递增，在［2,+8)上单调递减，

所以/'(0)</(遍).又2VUV4,所以f(ir)>f(4)=/(0).

因为爪一2>2—乃，所以/'(IT)</(△).

故/(。)</(2</(逐)，即cVQ<b.

故选:D.

38.(24・25高一上•山西•期中)已知定义域为(0,+8)的增函数/(%)满足/(%+y)=/(%)+/&),且

=L则不等式"％+3)+/(x2-4)>2的解