苏教版高二数学上册第五单元竞赛测试卷

苏教版高二数学上册第五单元竞赛测试卷考试时间：120分钟满分：150分姓名：________得分：________班级：________注意事项：1.本试卷分为选择题、填空题、解答题和拓展题四大部分，共四大题，满分150分，考试时间120分钟。2.答题前请将姓名、班级等信息填写完整，书写规范工整，卷面整洁。解答题需写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，拓展题注重思维创新与知识迁移。一、选择题（每小题5分，共40分）1.已知数列{aₙ}是等差数列，且a₂+a₅+a₈=15，a₃a₅a₇=-21，那么数列{aₙ}的公差d的值为（）A.±1B.±2C.±3D.±42.设等比数列{bₙ}的前n项和为Sₙ，若S₃=3，S₆=27，则公比q的值为（）A.2B.-2C.±2D.33.已知数列{aₙ}满足a₁=1，aₙ₊₁=2aₙ+3（n∈N*），则数列{aₙ}的通项公式为（）A.aₙ=2ⁿ⁺¹-3B.aₙ=2ⁿ-3C.aₙ=2ⁿ⁺¹+3D.aₙ=2ⁿ+34.若数列{aₙ}的前n项和Sₙ=n²-2n+3，则a₅+a₆+a₇的值为（）A.18B.21C.24D.275.已知等差数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，若S₁₀=100，S₁₀₀=10，则S₁₁₀的值为（）A.-110B.-100C.-90D.-806.设数列{aₙ}是等比数列，且a₁+a₂+a₃=1，a₂+a₃+a₄=2，则a₆+a₇+a₈的值为（）A.16B.32C.64D.1287.已知数列{aₙ}满足aₙ=n·2ⁿ，则其前n项和Tₙ为（）A.(n-1)·2ⁿ⁺¹+2B.n·2ⁿ⁺¹+2C.(n-1)·2ⁿ-2D.n·2ⁿ-28.对于数列{aₙ}，定义“优值”为Hₙ=(a₁+2a₂+4a₃+…+2ⁿ⁻¹aₙ)/n，若已知数列{aₙ}的“优值”Hₙ=2ⁿ，则a₅的值为（）A.8B.10C.12D.16二、填空题（每小题5分，共30分）9.已知等差数列{aₙ}中，a₁=2，公差d=3，则a₁₀=________，前10项和S₁₀=________。10.等比数列{bₙ}中，b₃=4，b₅=16，则b₇=________，公比q=________。11.已知数列{aₙ}满足a₁=2，aₙ₊₁=aₙ+1/n(n+1)（n∈N*），则a₅=________。12.若数列{aₙ}是等差数列，且a₄+a₇+a₁₀=17，a₄+a₅+…+a₁₃=77，则a₁₁=________。13.已知等比数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，若Sₙ=2ⁿ+k（k为常数），则k=________，a₅=________。14.已知数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，且a₁=1，aₙ₊₁=3Sₙ（n∈N*），则数列{aₙ}的通项公式为aₙ=________。三、解答题（每小题15分，共60分）15.已知数列{aₙ}是等差数列，其前n项和为Sₙ，且a₃=7，S₄=24。（1）求数列{aₙ}的通项公式；（2）若bₙ=1/(aₙaₙ₊₁)，求数列{bₙ}的前n项和Tₙ。________________________________________________________________________________________________________________________________________________16.已知数列{aₙ}满足a₁=1，aₙ₊₁=3aₙ+2ⁿ（n∈N*）。（1）证明：数列{aₙ+2ⁿ}是等比数列；（2）求数列{aₙ}的前n项和Sₙ。________________________________________________________________________________________________________________________________________________17.已知等比数列{aₙ}的公比q>0，且a₁=1，a₃=a₂+2。（1）求数列{aₙ}的通项公式；（2）设bₙ=log₂aₙ，求数列{aₙbₙ}的前n项和Tₙ。________________________________________________________________________________________________________________________________________________18.某企业为了扩大生产规模，决定逐年增加设备投资，2021年年初设备投资为100万元，以后每年年初的设备投资额比上一年年初增加10%，同时每年年初将当年年初设备投资额的30%用于技术研发。（1）求2023年年初的设备投资额；（2）从2021年年初到2025年年初，该企业累计用于技术研发的资金共多少万元？（结果精确到1万元）________________________________________________________________________________________________________________________________________________四、拓展题（共20分）19.已知数列{aₙ}，{bₙ}满足a₁=1，b₁=2，且aₙ₊₁=2aₙ+bₙ，bₙ₊₁=aₙ+2bₙ（n∈N*）。（1）证明：数列{aₙ+bₙ}是等比数列，数列{aₙ-bₙ}是等比数列；（2）求数列{aₙ}，{bₙ}的通项公式；（3）求数列{(aₙ+bₙ)(aₙ-bₙ)}的前n项和Sₙ。________________________________________________________________________________________________________________________________________________参考答案及评分标准一、选择题（每小题5分，共40分）1.B2.C3.A4.B5.A6.B7.A8.B二、填空题（每小题5分，共30分）9.29，15510.64，±211.11/512.1113.-1，1614.{1,n=1;3×4ⁿ⁻²,n≥2}三、解答题（每小题15分，共60分）15.（1）设等差数列{aₙ}的公差为d，由题意得：（2分）$\begin{cases}a_1+2d=7\\4a_1+\frac{4×3}{2}d=24\end{cases}$，解得$\begin{cases}a_1=3\\d=2\end{cases}$（4分）∴aₙ=3+(n-1)×2=2n+1（5分）（2）由（1）知aₙ=2n+1，∴bₙ=1/[(2n+1)(2n+3)]=(1/2)[1/(2n+1)-1/(2n+3)]（8分）∴Tₙ=(1/2)[(1/3-1/5)+(1/5-1/7)+…+(1/(2n+1)-1/(2n+3))]（12分）=(1/2)(1/3-1/(2n+3))=n/[3(2n+3)]（15分）16.（1）证明：∵aₙ₊₁=3aₙ+2ⁿ，∴aₙ₊₁+2ⁿ⁺¹=3aₙ+2ⁿ+2ⁿ⁺¹=3aₙ+3×2ⁿ=3(aₙ+2ⁿ)（4分）又a₁+2¹=1+2=3≠0，∴数列{aₙ+2ⁿ}是以3为首项，3为公比的等比数列（5分）（2）由（1）知aₙ+2ⁿ=3×3ⁿ⁻¹=3ⁿ，∴aₙ=3ⁿ-2ⁿ（8分）∴Sₙ=(3¹-2¹)+(3²-2²)+…+(3ⁿ-2ⁿ)=(3¹+3²+…+3ⁿ)-(2¹+2²+…+2ⁿ)（12分）=[3(3ⁿ-1)/(3-1)]-[2(2ⁿ-1)/(2-1)]=(3ⁿ⁺¹-3)/2-2ⁿ⁺¹+2=(3ⁿ⁺¹)/2-2ⁿ⁺¹+1/2（15分）17.（1）设等比数列{aₙ}的公比为q（q>0），由a₃=a₂+2得a₁q²=a₁q+2（2分）∵a₁=1，∴q²-q-2=0，解得q=2或q=-1（舍去）（4分）∴aₙ=1×2ⁿ⁻¹=2ⁿ⁻¹（5分）（2）由（1）知bₙ=log₂aₙ=log₂2ⁿ⁻¹=n-1（7分）∴aₙbₙ=(n-1)×2ⁿ⁻¹，∴Tₙ=0×2⁰+1×2¹+2×2²+…+(n-1)×2ⁿ⁻¹（8分）2Tₙ=0×2¹+1×2²+…+(n-2)×2ⁿ⁻¹+(n-1)×2ⁿ（10分）两式相减得：-Tₙ=2¹+2²+…+2ⁿ⁻¹-(n-1)×2ⁿ=[2(2ⁿ⁻¹-1)/(2-1)]-(n-1)×2ⁿ=2ⁿ-2-(n-1)×2ⁿ（13分）∴Tₙ=(n-1)×2ⁿ-2ⁿ+2=(n-2)×2ⁿ+2（15分）18.（1）2021年年初设备投资100万元，2022年年初投资100×(1+10%)=110万元（2分）2023年年初投资100×(1+10%)²=100×1.21=121万元（5分）（2）2021年年初研发资金：100×30%=30万元；2022年年初：100×1.1×30%=33万元（7分）2023年年初：100×1.1²×30%=36.3万元；2024年年初：100×1.1³×30%=39.93万元（9分）2025年年初：100×1.1⁴×30%=43.923万元（11分）累计研发资金：30+33+36.3+39.93+43.923=183.153≈183万元（15分）四、拓展题（共20分）19.（1）证明：∵aₙ₊₁=2aₙ+bₙ，bₙ₊₁=aₙ+2bₙ，∴aₙ₊₁+bₙ₊₁=3(aₙ+bₙ)（2分）又a₁+b₁=3≠0，∴{aₙ+bₙ}是以3为首项，3为公比的等比数列（3分）同理，aₙ₊₁-bₙ₊₁=(2aₙ+bₙ)-(aₙ+2bₙ)=aₙ-bₙ（5分）又a₁-b₁=-1≠0，∴{aₙ-bₙ}是以-1为首项，