2025-2026学年四川省绵阳市三台县九年级上学期1月期末数学试卷【附解析】

/2025-2026学年四川省绵阳市三台县九年级上学期1月期末数学试题一、选择题

1.剪纸是中国的传统文化之一，剪纸图案中一般蕴含着对称美，下列图案中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（

）A. B. C. D.

2.下列各事件，是必然事件的是（

）A.掷一次骰子，向上一面的点数是3B.某同学投篮球，一定投不中C.通常加热到100∘D.经过红绿灯路口时，遇到红灯

3.将拋物线y=2(x−1)A.y=2(x−2)2

4.已知实数a是关于x的一元二次方程x2−3x−A.−4 B.−2 C.2

5.一根钢管放在V形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是30cm，如果VT=60cm，则∠UVW=A.30∘ B.45∘ C.50∘

6.关于x的二次函数y=x2−3x+A.k≥94 B.k≤94

7.如图，一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=ax的图象交于A(1,A.x<0或1<x<4 B.x<1或x

8.正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为4的正六边形ABCDEF，点O是正六边形的中心，则BF的长为（

）

A.8 B.43 C.42

9.如图，Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=8，BC=6，点P从点B出发向终点C以每秒1个单位长度移动，点Q从点C出发向终点A以每秒2个单位长度移动，P,QA.1 B.5 C.1或5 D.2或4

10.石拱桥是中国传统的桥梁四大基本形式之一，是用天然石料作为主要建筑材料的拱桥，以历史悠久，形式优美，结构坚固等特点闻名于世，它的主桥是圆弧形．如图，某石拱桥的跨度AB（AB所对的弦的长）约为36m，拱高CD（AB的中点到弦AB的距离）约为6m，则AB所在圆的半径OA为（

）

A.30m B.27m C.617

11.如图，圆锥的轴截面（过圆锥顶点和底面圆心的截面）是边长为6cm的等边三角形ABC，点D是母线AC的中点，一只蚂蚁从点B出发沿圆锥的表面爬行到点D处，则这只蚂蚁爬行的最短距离是（

）

A.3cm B.33cm C.3

12.如图，是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点，则前n行的所有点的和可能为（

）

A.2016 B.2023 C.2024 D.2025二、填空题

13.方程x2

14.已知点A(2,m)和点B(−2,−3

15.一个不透明的袋子里装有红球和白球共m个，它们除颜色外完全相同，每次搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再放回袋中，经过大量重复实验，发现摸到白球的频率稳定在0.40左右，已知袋子里白球有20个，根据此信息，可估计m的值为______________．

16.如图，⊙O的半径为2，弦AB=23，则⊙O上到直线AB的距离为

17.在体育课上，小颖站在操场上的O点练习掷实心球，发现若不考虑空气阻力，实心球的飞行路线是一条抛物线．如图，已知实心球出手时的高度OA=53米，当飞行到与点O的水平距离为4米时达到最大高度3米，则小颖这次实心球训练的成绩为______________米（即OB的长度）．

18.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=BC=6，以点C为圆心，2为半径作⊙C，过AB上的动点P作⊙C的切线PD，PE，过劣弧DE上一点Q作⊙C的另一条切线分别交三、解答题

19.解方程：2y2−3y=1．

(2)如图，在方格纸上，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上，将△ABC绕点O逆时针旋转90∘后得到△A′B′C′（其中A，B，C

20.随着智能时代的到来，快捷方便的支付方式已被人们认可，生活中除了现金、刷卡支付以外，还有微信、支付宝以及刷脸支付等．星期天，温迪和张亮两人去游乐场玩，到售票处买票时，他俩都想从“刷卡”、“现金”、“微信”、“支付宝”四种支付方式中选择一种方式进行支付．（1）温迪用“微信”支付的概率是______．（2）请用树状图（或列表法），求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．

21.今年某超市以每件30元的进价购进一批商品，当商品售价为每件40元时，9月份销售500件，第10月和第11月这两个月该商品十分畅销，销售量持续上涨，11月份的销售量达到720件．（1）求第10月和第11月这两个月销售量的月平均增长百分率；（2）经市场预测，12月份的销售量将与11月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，若该商品每降价1元，月销售量增加180件，当商品每件降价多少元时，商场12月可以达到最大利润？最大利润是多少元？

22.如图，△ABC为等边三角形，点D为BC延长线上一动点，连接AD，将线段AD绕点A顺时针旋转120∘得到AE，直线CE与AB交于点F．过点E作EG∥AC交AB的延长线于点G（1）若∠BAE=45（2）求证：BD=

23.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在反比例函数y=kx(k>0,x>0)第一象限的图象上，点C在x轴的正半轴上，以OA（1）求k的值；（2）过点B作BF⊥x轴于点F，BC，BF分别与反比例函数y=kx(k

24.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F为CE上一点，DF=DB，连接BF并延长交⊙O于点G，过点G作MN∥BD，分别交DC，BA的延长线于点M,N,连接BM交⊙O（1）求证：∠CHM（2）求证：MN是⊙O（3）若BDCD=58，

25.如图1，抛物线y=ax2−2x+c(a≠0)与x（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线BC下方时，过点A作AD∥BC交抛物线于点D，连接AP，DP，DP与BC相交于点E．当△APE的面积最大时，求点P（3）如图2，连接AP，BP，直线BP交y轴于点N，过点B作直线BM∥AP交y轴于点M，求

参考答案与试题解析2025-2026学年四川省绵阳市三台县九年级上学期1月期末数学试题一、选择题1.【答案】B【考点】轴对称图形中心对称图形【解析】此题暂无解析【解答】解：A中图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

B中图形既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意；

C中图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

D中图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意，

故选：B．2.【答案】C【考点】事件的分类【解析】根据事件发生的可能性大小判断即可．

本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．【解答】解：A、掷一次骰子，向上一面的点数是6，是随机事件，不符合题意；

B、某同学投篮球，一定投不中，是随机事件，不符合题意；

C、通常加热到100∘C时，水沸腾，是必然事件，符合题意；

D、经过红绿灯路口时，遇到红灯，是随机事件，不符合题意；

故选：3.【答案】B【考点】二次函数图象的平移规律【解析】本题考查了二次函数图象和结合变换，熟练掌握抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键．

根据抛物线的平移规律得到新抛物线的解析式y=【解答】解：∵拋物线y=2(x−1)2+2的图象先向左平移1个单位，再向下平移24.【答案】D【考点】已知式子的值，求代数式的值【解析】本题考查了应用二次方程的解，代数式求值，熟练掌握方程的解的定义是解题的关键．

根据题意得到a2−3【解答】解：∵实数a是关于x的一元二次方程x2−3x−1=0的根，

∴a2−5.【答案】D【考点】全等的性质和HL综合（HL）切线的性质解直角三角形的相关计算【解析】本题考查了全等三角形的判断与性质，切线的性质，解直角三角形，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先证明△TWV≅△TUV，结合半径是30cm，VT=【解答】解：依题意，∠TWV=∠TUV=90∘,UT=TW,TV=TV，

∴△TWV≅△TUV，

∴∠UVW=2∠TVW6.【答案】D【考点】抛物线与x轴的交点【解析】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，会运用根的判别式去求参数是解题的关键．运用根的判别式Δ=b【解答】解：∵y=x2−3x+k的图象与x轴有两个不同的交点，

7.【答案】C【考点】一次函数与反比例函数的交点问题【解析】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，正确从函数图象获取信息是解题的关键．

根据函数图象得到当0<x<1或x>【解答】解：∵一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=ax的图象交于A(1,m)，B(4,n)两点，

∴根据还是图象可知当0<x<8.【答案】B【考点】含30度角的直角三角形勾股定理的应用正多边形的内角问题【解析】本题根据正多边形性质得到∠A，AF=AB，利用等腰三角形性质和三角形内角和求得∠AFB=∠ABF=30∘，作AM⊥BF【解答】解：解：由题知，AF=AB=4，

∠A=180∘−360∘6=120∘，

∴∠AFB=∠ABF=30∘，

作AM⊥BF9.【答案】A【考点】一元二次方程的应用——几何问题【解析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列方程是解题的关键．

设移动时间为t秒，因为8÷2=4秒，所以【解答】解：设移动时间为t秒，

∵8÷2=4秒，

∴0≤t≤4，

根据题意得12×2t×(6−t)=5，

10.【答案】A【考点】勾股定理的应用垂径定理【解析】本题考查了垂径定理的推论以及勾股定理，点O圆心，连接OA、OB，由垂径定理的推论可得【解答】解：如图，点O圆心，连接OA、OB，

由题意可得，CD=6m，AD=12AB=18m，OD⊥AB，

∴∠ADO=90∘，

设圆的半径为xm，则OD=(x11.【答案】C【考点】求圆锥侧面积勾股定理的应用——求最短路径【解析】根据圆锥的轴截面是边长为4cm的等边三角形可知，展开图是半径是4的半圆．点B是半圆的一个端点，而点D是平分半圆的半径的中点，根据勾股定理就可求出两点B和D在展开图中的距离，就是这只蚂蚁爬行的最短距离．

【解答】解：∵圆锥的底面周长是6π，则6π=nπ×6180，

∴n=180∘即圆锥侧面展开图的圆心角是180∘，

∴在圆锥侧面展开图中AD=3，AB=6，∠12.【答案】A【考点】规律型：数字的变化类解一元二次方程-因式分解法根的判别式【解析】本题考查了一元二次方方程的应用，先求出前n行的点数之和，再分别求出该代数式的值分别为2016、2023、2024、2025时n的值是否为整数，再判断即可得解．【解答】解：由题意可得：前n行的点数之和为1+2+3+…+n=12n(n+1)，

若前n行的点数之和为2016，则12n(n+1)=2016，

∴n2+n−4032=0即(n+64)(n−63)=0，

解得：n=−64（舍去）或n=63，即前63行的点数之和为2016，故A符合题意；

若前n行的点数之和为2023，则12n(n+1)=2023，

∴n2+n−二、填空题13.【答案】x1=【考点】解一元二次方程-因式分解法【解析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可，解题的关键是熟记常见的解法，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法及正确掌握一元二次方程的解法．【解答】解：x2=3x

x2−3x=0

x(x14.【答案】【考点】由反比例函数图象的对称性求点的坐标【解析】本题考查了反比例函数的图象与性质，关于原点对称的点的坐标特征，熟练掌握相关知识点是解题的关键．

根据题意得出点A(2,m)【解答】解：∵点A(2,m)和点B(−2,−3)都在反比例函数y=k15.【答案】【考点】已知概率求数量利用频率估计概率【解析】本题考查了概率公式，利用概率公式求出球的总个数即可解题．【解答】解：m=20÷0.4016.【答案】【考点】点到直线的距离勾股定理的应用利用垂径定理求值【解析】本题考查了垂径定理，勾股定理以及点到直线的距离，解题的关键是先求出圆心到直线AB的距离，再结合圆的半径判断圆上到直线AB距离为1的点的个数．先作OC⊥AB于点C，交⊙O于点F，利用垂径定理求出AC的长度，再在Rt△OAC中，根据勾股定理求出OC的长度，最后根据OC及CF的长度，圆的半径与1【解答】解：过O作OC⊥AB于C，交⊙O于点F，连接OA，过O作OD // AB交⊙O与E、D两点，

∵OC⊥AB,OC过圆心O,AB=23，

∴AC=BC=3，∠OCA=90∘,

由勾股定理得：

OC=OA217.【答案】【考点】二次函数的应用——投球问题待定系数法求二次函数解析式【解析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．

根据题意可知点A的坐标为0,53，顶点坐标为(4,3)【解答】解：根据题意可知点A的坐标为0,53，顶点坐标为(4,3)，

设抛物线解析式为y=a(x−4)2+3，

将0,53代入y=a(x−4)2+3得a18.【答案】2【考点】垂线段最短勾股定理的应用应用切线长定理求解【解析】本题考查切线长定理，勾股定理，垂线段最短，先根据切线长定理得到△PMN的周长为2PE，然后连接PE，CE，则∠CEP=90∘，即可得到当PC⊥【解答】解：∵PD，PE，MN是⊙C的切线，

∴PD=PE，MD=MQ，NQ=NE，

∴△PMN的周长为PM+MN+PN=PM+MD+PN+NE=PD+PE=2PE，

连接PE，CE，则∠CEP=90∘，

∵⊙C的半径不变，

∴PE长随着PC的变化而变化，

即当PC最小时，PE最小，△PMN的周长最小；

三、解答题19.【答案】y1=3+174【考点】解一元二次方程-公式法求某点的弧形运动路径长度生活中的旋转现象【解析】此题暂无解析【解答】本题考查解一元二次方程，画旋转图形，求弧长，掌握这些知识点是解题的关键：

(1)利用公式法解一元二次方程即可；

(2)①根据网格结构找出点A、B、C旋转后的对应点A′、B′、C′的位置，然后顺次连接即可；

②利用勾股定理列式求出OA的长，再根据弧长公式列式计算即可得解．

解：(1)移项，得2y2−3y−1=0．

∵a=2，b=−3，c=−1，

∴Δ=b2−20.【答案】1树状图见解析，1【考点】根据概率公式计算概率列表法与树状图法【解析】（1）温迪在四种支付方式中选择“微信”支付，属于四种方案中的一种；（2）先画出所有可能，再找出其中两人使用同种支付方式的次数，再求概率．【解答】（1）解：∵选择任意一种支付方式的概率相同，

∴温迪选择“微信”支付的概率为14，

故答案为：1（2）设刷卡为1，现金为2，微信为3，支付宝为

树状图如下：

两人选择的支付方式所有等可能的结果共有16种，其中两人恰好选择同一种支付方式的情况有4种，故P（两人恰好选择同一种支付方式）=41621.【答案】20当每件商品降价3元时，商场12月份可以达到最大利润，最大利润为8820元【考点】一元二次方程的应用——增长率问题二次函数的应用——销售问题【解析】（1）设第十，十一这两月销售量的月平均长率为x，根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解；（2）设该商品每件减价m元，商场第12月份的利润为w元．根据题意列出二次函数关系式，根据二次函数的性质求得最值，即可求解．【解答】（1）解：设第十，十一这两月销售量的月平均长率为x．

根据题意，得500(1+x)2=720，

化简，得(1+x)2=（2）设该商品每件减价m元，商场第12月份的利润为w元．

由题意得，w=(40−30−m)(720+180m)，

即w=−180(m−3)2+22.【答案】45见解析【考点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）等边三角形的性质【解析】（1）根据等边三角形的性质得到AB=AC，然后根据∠BAE+∠CAD（2）先根据AAS证明△EAG≅△ADB，即可得到EG【解答】（1）解：证明：∵△ABC为等边三角形，

∴∠BAC=∠ABC=60∘，AB=AC．

∵∠DAE=（2）∵EG∥AC，

∴∠G=∠BAC=∠ABC=60∘．

在△EAG和△ADB中，

∠BAE=∠D，∠G=∠ABD，AE=AD， 

∴△23.【答案】9x【考点】反比例函数综合题利用平行四边形的性质求解根据矩形的性质与判定求线段长一次函数与反比例函数的交点问题【解析】（1）过点A作AG⊥x轴于点G，在Rt△AOG中，根据含30度角的直角三角形的性质得到AG=33（2）根据题意得到四边形ABFG为矩形，BF=AG=33，则EF=334，OC=AB=GF【解答】（1）解：过点A作AG⊥x轴于点G，

在Rt△AOG中，∠AOG=60∘，

∴∠OAG=30∘，

∴OG=1（2）解：由(1)可得反比例函数解析式为y=93x，

∵四边形OABC为平行四边形，

∴AB∥x轴，

∴四边形ABFG为矩形，

∴BF=AG=33，

∵BE=3EF，

∴EF=14BF=334，

在y=93x中，令y=334，即334=93x，

解得x=12，即OF=12，

∴OC=24.【答案】见解析见解析9【考点】勾股定理的应用圆周角定理证明某直线是圆的切线已知圆内接四边形求角度【解析】（1）连接AD，根据圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，圆内接四边形等知识即可得到结论；（2）连接OG，由DF=DB，得∠DBF=∠DFB，由MN∥BD，得∠MGF=∠DBF，进而得（3）连接OD，OM，设BD=5a，则DF=BD=5a，CD=8a，DE=4a，EF=a，BE=BD2−DE2=3a．BF【解答】（1）解：证明：如图，连接AD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90∘，

∴∠