球（内切球、外接球）的表面积与体积小题专练-2026届高三数学一轮复习

-2-球（内切球、外接球）的表面积与体积小题专练一、单选题1．（2025·四川眉山·模拟预测）已知某圆锥的轴截面是边长为6的等边三角形，则该圆锥的内切球的表面积为（）A．B．C．D．2．若三棱锥的四个面都为直角三角形，且平面，，，则其外接球的表面积为（）A．B．C．D．3．（25-26高二上·河北·期中）空间两定点，，动点满足，则点P围成的几何体体积为（）A．B．C．D．4．（25-26高三上·广东深圳·月考）已知球O内切于正四棱台（即球与该正四棱台的上、下底面以及侧面均相切），且该正四棱台的上、下底面棱长之比为，则球O与该正四棱台的体积之比为（）A．B．C．D．5．（25-26高三上·山东青岛·期中）已知圆台的上下底面半径之比为1∶2，它的内切球（与圆台的上下底面以及每条母线都相切的球）表面积为；则该圆台的体积为（）A．B．C．D．6．已知三棱锥中，平面平面，且，，若，，则三棱锥的外接球的表面积为（）A．B．C．D．7．（25-26高三上·江西·月考）已知正三棱柱所有的顶点都在球的球面上，记球的体积为，正三棱柱的体积为，则的最小值为（）A．3B．C．D．8．（25-26高三上·山东聊城·开学考试）瓷器是由瓷石、高岭土、石英石、莫来石等烧制而成的，其外表施有玻璃质釉或彩绘.通过在窑内的高温烧制，瓷器表面的釉色会因为温度的不同从而发生各种化学变化.某瓷器可近似地看作由一个半球、一个圆柱和一个圆台构成的组合体，如图所示，该瓷器的体积为（）A．556πB．900πC．732πD．588π二、多选题9．（25-26高三上·广东广州·月考）已知正四棱台（上下底面都是正方形的四棱台）.下底面边长为2，上底面边长为1，侧棱长为，则正确的是（

）A．它的表面积为B．侧棱与下底面所成的角为C．它的外接球的表面积为D．它的体积比棱长为的正方体的体积大10．（25-26高三上·广东揭阳·期中）如图，正三棱柱的每条棱的长度均为为棱的中点，底面，点在平面的上方，且，则（

）A．平面平面B．四面体外接球的表面积为C．直线与直线相交D．四面体与正三棱柱的公共部分的体积为11．（25-26高二上·浙江嘉兴·期中）在正四棱台中，是正方形的中心，，，，则（

）A．平面B．正四棱台的体积为C．正四棱台的外接球的表面积为D．正四棱台存在内切球三、填空题12．（25-26高二上·广东惠州·期中）在空间直角坐标系中，四面体各顶点坐标分别为，则该四面体外接球的表面积是.13．（25-26高三上·重庆·月考）在正三棱柱中，，则该三棱柱的外接球表面积为.14．（25-26高三上·江西南昌·期中）在Rt中，，是的中点，把沿翻折到，使得二面角的平面角为，则三棱锥外接球表面积是．参考答案1．C【详解】如图，设该圆锥内切球的球心为，半径为，球切该圆锥的母线于点，为该圆锥底面圆的圆心，则，，因为，所以，又，，则，解得，故该圆锥的内切球的表面积为.故选：C2．B【详解】构造如图所示的长方体，设其外接球的半径为R，则2R=PC=，所以外接球的表面积为：.故选：B3．C【详解】因为，所以.因为，所以，化简得：.配方得.这是球的标准方程，球心坐标为，半径为2.所以该几何体的体积为.故选：C.4．C【详解】如图为该几何体的轴截面，其中圆O是等腰梯形ABCD的内切圆，

设圆O与梯形的腰相切于点P，Q，与上、下底面分别切于点，，不妨设正四棱台上、下底面的棱长为，，则，，，故在直角梯形中，过点C作，垂足为E，所以，在中，，为棱台的高，也是球的直径，所以半径为，所以球的体积为，棱台体积为，故球与棱台的体积比为.故选：C.5．A【详解】由于圆台的内切球表面积为，设其内切球半径为，所以，解得，所以圆台的高度，设圆台上底面半径为，则下底面半径为，圆台轴截面如下图：为球心，为上下底面圆圆心根据切线长定理，圆台的母线长，由母线长与圆台上下底面半径，、高度关系可得：，所以，可得，则该圆台的体积为.故选：A.6．C【详解】因为平面平面，且，平面平面，面，所以平面，将三棱锥补成直三棱柱，则直三棱柱的外接球即为三棱锥的外接球.设外接球的球心为，的外心为，则，又由正弦定理，得到，所以外接球的半径，表面积，

故选：C.7．D【详解】设正三棱柱的底面棱长为，高为，则；由正三棱柱的性质可知球心位于上下底面中心连线的中点处，设半径为，则，所以,.令，则，代入上式可得.令，则，其中；令得，当时，，为减函数，当时，，为增函数，所以的最小值为，所以的最小值为.故选：D8．D【详解】由题图可知，半球和圆柱的半径为6，圆柱的高为8，圆台的上底面半径为2，下底面半径为6，高为9，所以该瓷器的体积为,故选：D9．ABD【详解】对于A，由题意得，上底面的面积，下底面的面积，侧面为等腰梯形，过､分别作的垂线，垂足为､，如图所示，所以.则，所以，所以梯形的面积为，所以正四棱台的表面积，故A正确；

对于B，连接，，且交于点，连接，交于点，连接，则垂直底面，过作于，则底面，则四边形为矩形，由题意得，所以，同理，又，所以，在中，，所以，即侧棱与下底面所成的角为，故B正确；对于C，.连接，在中，，所以点到､､､､､､､的距离相等，均为，所以点即为正四棱台外接球的球心，且外接球半径.所以外接球的表面积，故C错误；对于D，正四棱台的体积为，棱长为的正方体的体积，所以，所以，所以正四棱台的体积比棱长为的正方体的体积大，故D正确.故选：ABD.10．AB【详解】对于A，正中，因为为棱的中点，所以，.因为正三棱柱中，侧棱平面，平面，所以.平面，所以平面.因为平面，所以平面平面.所以A正确.对于B，四面体中，底面.因为，所以是直角三角形，所以其外接圆半径为.所以四面体的外接球半径.所以四面体外接球的表面积为.所以B正确.对于C，因为侧棱平面，底面，所以平行于.因为平面，平面，所以平面.所以平面平面.若直线与直线相交，记交点为M，则，又，直线与直线有两个公共点，所以重合，显然不成立，所以直线与直线不相交.所以C错误.对于D，如图，记，连接，交于点H.连接，交于点G，连接.四面体与正三棱柱的公共部分为三棱台.因为.所以所以.四面体与正三棱柱的公共部分的体积为.故D错误.故选：AB.11．AC【详解】对于A，连接，四边形，均为正方形，，，，，；平面平面，平面，平面，平面，平面平面，；四边形为平行四边形，，平面，平面，平面，A正确；对于B，设为正方形的中心，作出截面梯形，作，垂足为，如下图所示，，，，又，，正四棱台的高，正四棱台的体积，B错误；对于C，记正四棱台外接球的球心为，外接球半径为，若球心在正四棱台内部，作出截面梯形，连结，如下图所示，设，则，，解得：，，正四棱台外接球表面积；若球心在正四棱台外部，作出截面梯形，连结，如下图所示，设，则，，解得：（舍）；综上所述：正四棱台外接球表面积，C正确；对于D，若正四棱台存在内切球，球心为，则内切球半径；分别取中点，作，垂足为，作出截面，如下图所示，平面，平面，，又，，平面，平面，若正四棱台存在内切球，则内切球半径，，，，，，，，，与假设矛盾，正四棱台不存在内切球，D错误.故选：AC.12．【详解】将该四面体补成长方体，如图，建立空间直角坐标系，则，易知四面体和该长方体同外接球，长方体的体对角线的长.所以外接球半径为，所以该四面体外接球的表面积.

故答案为：13．【详解】由正弦定理，底面正三角形的外接圆半径，又正三棱柱的高的一半，则外接球的半径，所以表面积，故答案为:.14．/【分析】根据给定条件，结合二面角的定义及球面的性质确定球心，进而求出球半径及球的表面积.【详解】在Rt中，，则，，由是的中点，得