2025年线性代数人类学中的文化演化模型试题

2025年线性代数人类学中的文化演化模型试题一、基础概念与矩阵表示文化基因的向量空间定义设某原始部落的文化系统由3个核心文化基因（语言符号、祭祀仪式、工具制作）构成，每个文化基因的演化状态可用三维向量表示。已知该部落第t代的文化状态向量为xₜ=[aₜ,bₜ,cₜ]^T，其中aₜ为语言符号复杂度指数，bₜ为祭祀仪式规范化程度，cₜ为工具制作技术水平。若文化基因的代际传递满足线性变换xₜ₊₁=Axₜ，其中矩阵A为：[A=\begin{bmatrix}1.2&0.3&0\0.1&1.3&0.2\0&0.1&1.1\end{bmatrix}]（1）计算该文化系统的特征值λ₁、λ₂、λ₃，并判断系统是否具有长期稳定性（特征值模长<1为稳定，>1为扩张）；（2）若初始状态x₀=[1,1,1]^T，求第5代的文化状态向量x₅（结果保留2位小数）。文化传播的马尔可夫链模型某地区存在A、B、C三个文化社群，个体在社群间的迁移概率矩阵P为：[P=\begin{bmatrix}0.8&0.1&0.1\0.2&0.7&0.1\0.1&0.2&0.7\end{bmatrix}]其中P[i][j]表示从社群i迁移到j的概率。（1）证明该马尔可夫链存在平稳分布π=[π₁,π₂,π₃]^T，并求解π；（2）若初始人口分布为[0.5,0.3,0.2]，计算经过3代迁移后的人口分布。二、文化演化的动力学方程文化创新的微分方程组假设某文明的“科学认知”（x）与“技术应用”（y）满足如下耦合微分方程组：[\begin{cases}\frac{dx}{dt}=0.5x-0.2xy\\frac{dy}{dt}=-0.3y+0.4xy\end{cases}]（1）求系统的平衡点（x*,y*），并通过雅可比矩阵判断平衡点的稳定性；（2）当x(0)=2,y(0)=1时，用欧拉法（步长Δt=0.1）计算t=0.3时的（x,y）值。文化多样性的降维分析对10个原始部落的6项文化特征（饮食、服饰、语言、艺术、宗教、习俗）进行测量，得到数据矩阵X（10×6），其协方差矩阵S的特征值为λ₁=5.2,λ₂=3.8,λ₃=1.5,λ₄=0.8,λ₅=0.3,λ₆=0.2。（1）计算前2个主成分的累计贡献率，并解释其文化人类学意义；（2）若第一主成分载荷向量为[0.8,0.7,0.6,0.5,0.4,0.3]，说明该主成分可能代表的文化维度（如“物质文化”或“精神文化”）。三、文化冲突与融合的博弈模型文化策略的矩阵博弈两种文化群体在资源竞争中可选择“合作”（C）或“竞争”（D）策略，收益矩阵如下（行玩家为群体A，列玩家为群体B）：[\begin{bmatrix}(3,3)&(0,5)\(5,0)&(1,1)\end{bmatrix}]（1）求解该博弈的纳什均衡，并判断是否存在帕累托最优解；（2）若群体A采用混合策略（以概率p选择C，1-p选择D），群体B采用混合策略（以概率q选择C，1-q选择D），求进化稳定策略（ESS）的（p*,q*）。文化融合的最小二乘拟合考古发现某遗址的陶器纹饰随时间（t=1~5）呈现演化趋势，测量得到纹饰复杂度指数为[2.1,3.5,4.2,5.8,7.3]。假设复杂度符合二次曲线模型y=at²+bt+c：（1）用最小二乘法估计参数a、b、c；（2）预测t=6时的纹饰复杂度，并计算残差平方和SSE。四、复杂文化系统的网络模型文化基因的网络传播某文化网络包含5个节点（文化基因），邻接矩阵A如下（A[i][j]=1表示基因i影响j，0表示无影响）：[A=\begin{bmatrix}0&1&1&0&0\1&0&0&1&0\1&0&0&1&1\0&1&1&0&1\0&0&1&1&0\end{bmatrix}]（1）计算各节点的度中心性和介数中心性，并指出网络中的“文化枢纽”节点；（2）若节点3因外部冲击失效，计算此时网络的连通分量个数及最大连通子图的节点数。文化演化的非线性动力学考虑文化认同度x（0≤x≤1）的Logistic增长模型：dx/dt=rx(1-x)-kx，其中r为文化传播率，k为外部文化压制系数。（1）当r=2.5,k=0.5时，分析系统是否存在周期震荡；（2）绘制分岔图（k从0到1变化），说明压制系数对文化存续的影响阈值。五、综合应用题文明兴衰的系统动力学模拟某古文明的演化涉及农业产出（A）、人口规模（P）、技术水平（T）三个变量，其关系如下：A=0.1TP^0.5（农业产出依赖技术和人口）dP/dt=0.03P-0.001A（人口增长受农业制约）dT/dt=0.02T+0.01A（技术进步依赖农业剩余）（1）将系统转化为无量纲微分方程组（令a=A/A₀,p=P/P₀,τ=t/t₀）；（2）用数值模拟（如四阶龙格-库塔法）预测100年内的人口变化趋势，判断文明是否会出现“马尔萨斯陷阱”（人口崩溃）。跨文化比较的张量分解对5个大陆（亚洲、非洲、欧洲、美洲、大洋洲）的8个文化维度（价值观、亲属制度、经济模式等）进行3层张量测量，得到三阶张量X（5×8×3）。（1）用CP分解将X表示为三个矩阵的外积和：X≈Σλᵢ(Uᵢ⊗Vᵢ⊗Wᵢ)，解释各矩阵的人类学含义；（2）计算不同大陆在第一特征向量上的得分，判断文化演化的“欧亚大陆中心论”是否成立（得分差异<10%为不成立）。注：所有计算需保留过程，涉及数值