2025年线性代数深度学习中的线性代数试题

2025年线性代数深度学习中的线性代数试题一、填空题（本题总计20分，每小题2分）设矩阵A为3阶方阵，且|A|=5，则|2A|=40。已知向量组α₁=(1,2,3)ᵀ，α₂=(2,4,t)ᵀ，α₃=(3,6,9)ᵀ的秩为2，则t=6。设A为n阶正交矩阵，则|A|=±1。二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+2x₂²+3x₃²+4x₁x₂的矩阵为$\begin{pmatrix}1&2&0\2&2&0\0&0&3\end{pmatrix}$。设A为5阶矩阵，且R(A)=4，则齐次线性方程组Ax=0的解空间维数为1。行列式$\begin{vmatrix}1&2&3\4&5&6\7&8&9\end{vmatrix}$的值为0。设A为n阶矩阵，A²=A，则A的特征值只能是0或1。向量α=(1,2,3)ᵀ与β=(4,5,k)ᵀ正交，则k=-14。设矩阵A=$\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix}$，则A的伴随矩阵A*=$\begin{pmatrix}4&-2\-3&1\end{pmatrix}$。设3阶矩阵A的特征值为1,2,3，则|A³-2A+E|=12。二、选择题（本题总计10分，每小题2分）设A,B为n阶方阵，下列运算正确的是（）A.(AB)ᵀ=AᵀBᵀB.|A+B|=|A|+|B|C.(A+B)²=A²+2AB+B²D.|AB|=|BA|答案：D若非齐次线性方程组Ax=b有唯一解，则系数矩阵A的秩R(A)与增广矩阵$\widetilde{A}$的秩R($\widetilde{A}$)满足（）A.R(A)=R($\widetilde{A}$)=nB.R(A)<R($\widetilde{A}$)C.R(A)=R($\widetilde{A}$)<nD.R(A)>R($\widetilde{A}$)答案：A设A为n阶可逆矩阵，λ为A的特征值，则A⁻¹的特征值为（）A.λB.-λC.1/λD.λ²答案：C下列矩阵中不是正交矩阵的是（）A.$\begin{pmatrix}0&1\-1&0\end{pmatrix}$B.$\begin{pmatrix}1&0\0&-1\end{pmatrix}$C.$\begin{pmatrix}1&1\1&1\end{pmatrix}$D.$\begin{pmatrix}\cosθ&-\sinθ\\sinθ&\cosθ\end{pmatrix}$答案：C设向量组α₁,α₂,α₃线性无关，则下列向量组线性相关的是（）A.α₁+α₂,α₂+α₃,α₃+α₁B.α₁,α₁+α₂,α₁+α₂+α₃C.α₁-α₂,α₂-α₃,α₃-α₁D.α₁,2α₂,3α₃答案：C三、计算题（本题总计60分，1-3每小题8分，4-7每小题9分）计算n阶行列式Dₙ=$\begin{vmatrix}a&b&b&\cdots&b\b&a&b&\cdots&b\b&b&a&\cdots&b\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\b&b&b&\cdots&a\end{vmatrix}$。解：将第2至n列加到第1列，得Dₙ=$\begin{vmatrix}a+(n-1)b&b&b&\cdots&b\a+(n-1)b&a&b&\cdots&b\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\a+(n-1)b&b&b&\cdots&a\end{vmatrix}$=[a+(n-1)b]$\begin{vmatrix}1&b&b&\cdots&b\1&a&b&\cdots&b\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\1&b&b&\cdots&a\end{vmatrix}$将第1行乘-1加到其余行，得Dₙ=a+(n-1)bⁿ⁻¹设矩阵A=$\begin{pmatrix}1&0&1\0&2&0\1&0&1\end{pmatrix}$，且AB=E+A²-B，求矩阵B。解：由AB=E+A²-B得(A+E)B=A²+E=(A+E)(A-E)因为A+E=$\begin{pmatrix}2&0&1\0&3&0\1&0&2\end{pmatrix}$可逆，故B=A-E=$\begin{pmatrix}0&0&1\0&1&0\1&0&0\end{pmatrix}$求向量组α₁=(1,2,1,3)ᵀ，α₂=(4,-1,-5,-6)ᵀ，α₃=(1,-3,-4,-7)ᵀ，α₄=(2,1,-1,0)ᵀ的秩及一个最大无关组，并将其余向量用该最大无关组线性表示。解：构造矩阵A=(α₁,α₂,α₃,α₄)，作初等行变换：A=$\begin{pmatrix}1&4&1&2\2&-1&-3&1\1&-5&-4&-1\3&-6&-7&0\end{pmatrix}$→$\begin{pmatrix}1&4&1&2\0&-9&-5&-3\0&-9&-5&-3\0&-18&-10&-6\end{pmatrix}$→$\begin{pmatrix}1&4&1&2\0&9&5&3\0&0&0&0\0&0&0&0\end{pmatrix}$秩R(A)=2，最大无关组为α₁,α₂，且α₃=-$\frac{5}{9}$α₁+$\frac{1}{9}$α₂，α₄=-$\frac{1}{3}$α₁+$\frac{1}{3}$α₂设线性方程组$\begin{cases}x₁+x₂+x₃=1\x₁+2x₂+ax₃=2\x₁+4x₂+a²x₃=4\end{cases}$，讨论a为何值时方程组无解、有唯一解、有无穷多解，并在有无穷多解时求通解。解：增广矩阵$\widetilde{A}$=$\begin{pmatrix}1&1&1&1\1&2&a&2\1&4&a²&4\end{pmatrix}$→$\begin{pmatrix}1&1&1&1\0&1&a-1&1\0&0&(a-1)(a-2)&1\end{pmatrix}$当a=1时，R(A)=2≠R($\widetilde{A}$)=3，方程组无解；当a=2时，R(A)=R($\widetilde{A}$)=2<3，方程组有无穷多解，通解为x=(0,1,0)ᵀ+k(1,-1,1)ᵀ（k∈R）；当a≠1且a≠2时，R(A)=R($\widetilde{A}$)=3，方程组有唯一解。设矩阵A=$\begin{pmatrix}2&-1&-1\-1&2&-1\-1&-1&2\end{pmatrix}$，求正交矩阵P，使P⁻¹AP为对角矩阵。解：特征方程|λE-A|=(λ-3)²λ=0，特征值λ₁=λ₂=3，λ₃=0λ=3时，由(3E-A)x=0得基础解系α₁=(1,1,0)ᵀ，α₂=(1,0,1)ᵀ，正交化得β₁=(1,1,0)ᵀ，β₂=($\frac{1}{2}$,-$\frac{1}{2}$,1)ᵀ；λ=0时，由(0E-A)x=0得基础解系α₃=(1,-1,-1)ᵀ；单位化后得P=$\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{3}}\\frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{6}}&-\frac{1}{\sqrt{3}}\0&\frac{2}{\sqrt{6}}&-\frac{1}{\sqrt{3}}\end{pmatrix}$，P⁻¹AP=$\begin{pmatrix}3&0&0\0&3&0\0&0&0\end{pmatrix}$设二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+2x₂²+3x₃²+4x₁x₂-4x₂x₃，求正交变换x=Py将其化为标准形，并判断该二次型是否正定。解：二次型矩阵A=$\begin{pmatrix}1&2&0\2&2&-2\0&-2&3\end{pmatrix}$，特征值λ₁=2，λ₂=5，λ₃=-1标准形为2y₁²+5y₂²-y₃²，因存在负特征值，二次型不正定。设A为m×n矩阵，证明：R(AᵀA)=R(A)。证明：只需证Ax=0与AᵀAx=0同解。若Ax=0，则AᵀAx=0；若AᵀAx=0，则xᵀAᵀAx=0，即(Ax)ᵀ(Ax)=0，故Ax=0。因此Ax=0与AᵀAx=0同解，从而R(AᵀA)=R(A)。四、证明题（本题总计10分）设A是n阶正定矩阵，B是n阶反对称矩阵，证明：A-B²是正定矩阵。证明：因为Bᵀ=-B，所以(A-B²)ᵀ=Aᵀ-(B²)ᵀ=A-(Bᵀ)²=A-B²，即A-B²是对称矩阵。对任意x≠0，xᵀ(A-B²)x=xᵀAx-xᵀB²x=xᵀAx+xᵀBᵀBx=xᵀAx+(Bx)ᵀ(Bx)因为A正定，所以xᵀAx>0；又(Bx)ᵀ(Bx)≥0，故xᵀ(A-B²)x>0，即A-B²正定。五、深度学习应用分析题（本题总计20分）在神经网络中，输入向量x∈Rⁿ经过线性变换Wx+b得到输出向量y∈Rᵐ，其中W是m×n权重矩阵，b是偏置向量。若输入层有100个神经元，隐藏层有50个神经元，输出层有10个神经元，求权重矩阵W₁（输入层到隐藏层）和W₂（隐藏层到输出层）的维度，并计算前向传播中矩阵乘法的运算量（按乘法次数计）。解：W₁维度：50×100，运算量：50×100×样本数；W₂维度：10×50，运算量：10×50×样本数；总运算量：(50×100+10×50)×样本数=5500×样本数。在卷积神经网络中，卷积操作可表示为Y=X*K+b，其中X是输入矩阵，K是卷积核，*表示互相关运算。设X是32×32×3的彩色图像（高×宽×通道数），K是3×3×3×64的卷积核（高×宽×输入通道×输出通道），步长为1，padding=1，求输出特征图Y的尺寸，并解释卷积操作中线性代数的核心思想。解：输出特征图尺寸：(32-3+2×1)/1+1=32，即32×32×64；核心思想：通过卷积核与输入矩阵的局部内积运算，实现特征提取与参数共享，降低模型复杂度。在PCA降维中，设样本矩阵X∈Rᵐⁿ（m个样本，n个特征），协方差矩阵C=XᵀX/(m-1)。若C的特征值为λ₁≥λ₂≥…≥λₙ，对应的单位特征向量为p₁,p₂,…,pₙ，取前k个主成分，求降维后的样本矩阵Y，并说明选择前k个主成分的依据。解：降维矩阵Y=XP，其中P=(p₁,p₂,…,pₖ)∈Rⁿᵏ；依据：前k个主成分对应的特征值之和占总特征值之和的比例（贡献率）最高，能最大限度保留原始数据的信息。在循环神经网络（RNN）中，隐藏状态更新公式为hₜ=tanh(Wₕₕhₜ₋₁+Wₕₓxₜ+bₕ)，其中hₜ是t时刻的隐藏状态，Wₕₕ是隐藏层权重矩阵。若hₜ∈Rᵈ，xₜ∈Rᵏ，求Wₕₕ和Wₕₓ的维度，并分析矩阵Wₕₕ的条件数对RNN训练稳定性的影响。解：Wₕₕ维度：d×d，Wₕₓ维度：d×k；条件数cond(Wₕₕ)=||Wₕₕ||·||Wₕₕ⁻¹||，条件数越大，矩阵越病态，梯度反向传播时易出现梯度爆炸或消失，影响训练稳定性。六、综合计算题（本题总计20分）设矩阵A=$\begin{pmatrix}1&2&0\0&2&0\-1&2&1\end{pmatrix}$，求A的特征值与特征向量；判断A是否可对角化，若可对角化，求可逆矩阵P及对角矩阵Λ；计算A¹⁰⁰。解：特征方程|λE-A|=(λ-1)²(λ-2)=0，特征值λ₁=λ₂=1，λ₃=2λ=1时，由(E-A)x=0得基础解系α₁=(0,0,1)ᵀ，特征向量为k₁α₁（k₁≠0）；λ=2时，由(2E-A)x=0得基础解系α₂=(2,1,2)ᵀ，特征向量为k₂α₂（k₂≠0）。因为A只有2个线性无关的特征向量，故A不可对角化。由A=E+B，其中B=$\begin{pmatrix}0&2&0\0&1&0\-1&2&0\end{pmatrix}$，且B³=0，得A¹⁰⁰=(E+B)¹⁰⁰=E+100B+$\binom{100}{2}$B²=$\begin{pmatrix}1&200-99&0\0&2^{100}&0\-99&198-99×98&1\end{pmatrix}$七、拓展应用题（本题总计10分）在推荐系统中，用户-物品评分矩阵R∈Rᵘˣᵢ常存在稀疏性问题。矩阵分解模型假设R≈UVᵀ，其中U∈Rᵘˣᵏ，V∈Rⁱˣᵏ，k为隐因子维度。目标函数为min||R-UVᵀ||²+λ(||U||²+||V||²)，用梯度下降法推导U和V的更新公式，并说明正则化项λ(||U||²+||V||²)的作用。解：损失函数L=Σᵤ,ᵢ(Rᵤᵢ-UᵤᵀVᵢ)²+λ(Σᵤ||Uᵤ||²+Σᵢ||Vᵢ||²)对Uᵤ求导：∂L/∂Uᵤ=2Σᵢ(Vᵢ(VᵢᵀUᵤ-Rᵤᵢ))+2λUᵤ，更新公式Uᵤ←Uᵤ-η(ΣᵢVᵢ(VᵢᵀUᵤ-Rᵤᵢ)+λUᵤ)对Vᵢ求导：∂L/∂Vᵢ=2Σᵤ(Uᵤ(UᵤᵀVᵢ-Rᵤᵢ))+2λVᵢ，更新公式Vᵢ←Vᵢ-η(ΣᵤUᵤ(UᵤᵀVᵢ-Rᵤᵢ)+λVᵢ)正则化项作用：限制U和V的范数，防止过拟合，提高模型泛化能力。八、编程实践题（本题总计10分）用Python实现如下线性代数操作：生成3×3随机矩阵A和3阶单位矩阵E，计算A+E、A×E、A⁻¹（若可逆）；求矩阵A的特征值和特征向量；对向量组α₁=(1,2,3)ᵀ，α₂=(4,5,6)ᵀ，α₃=(7,8,9)ᵀ进行正交化。参考代码：importnumpyasnpfromscipy.linalgimportorth#1.矩阵运算A=np.random.rand(3,3)E=np.eye(3)print("A+E:\n",A+E)print("A×E:\n",A@E)ifnp.linalg.det(A)!=0:print("A⁻¹:\n",np.linalg.inv(A))#2.特征值与特征向量eigenvalues,eigenvectors=np.linalg.eig(A)print("特征值:",eigenvalues)print("特征向量:\n",eigenvectors)#3.正交化alpha=np.array([[1,4,7],[2,5,8],[3,6,9]]).T#列向量组Q=orth(alpha)print("正交化后向量组:\n",Q)九、深度学习数学原理分析题（本题总计15分）在Transformer模型的自注意力机制中，注意力权重矩阵计算公式为Attention(Q,K,V)=softmax($\frac{QKᵀ}{\sqrt{d_k}}$)V，其中Q,K,V分别为查询、键、值矩阵，d_k是键向量维度。解释$\sqrt{d_k}$的作用，并从矩阵乘法的角度分析注意力计算的时间复杂度。解：$\sqrt{d_k}$的作用：防止QKᵀ的元素值过大，导致softmax函数梯度消失；时间复杂度：设序列长度为n，Q,K,V∈Rⁿˣᵈᵏ，计算QKᵀ的复杂度为O(n²d_k)，softmax为O(n²)，与V相乘为O(n²d_k)，总复杂度为O(n²d_k)。在生成对抗网络（GAN）中，判别器D和生成器G的目标函数分别为：min_Gmax_DV(D,G)=Eₓ~p_data(x)[logD(x)]+E_z~p_z(z)[log(1-D(G(z)))]用梯度下降法更新参数时，需计算∇ᵥV(D,G)和∇ᵤV(D,G)（v为D的参数，u为G的参数）。从矩阵求导的角度，说明如何计算判别器对输入x的梯度∇ₓD(x)，并分析其在训练稳定中的作用。解：设D(x)=σ(Wᵀx+b)，则∇ₓD(x)=σ'(Wᵀx+b)W，其中σ为激活函数；作用：通过梯度惩罚（如WGAN-GP）限制∇ₓD(x)的范数，确保判别器Lipschitz连续，避免训练崩溃。十、工程实践