考研严选题数二做题本

第1页，共105页 2 第2页，共105页①xsin.②sin.③.④xsinx.3.设有数列{xn}与{yn}，以下结论正确的是（）(B)若xnyn=∞，则必有xn=∞或yn=∞.(C)若xnyn有界，则必(D)若xnyn无界，则必第3页，共105页4.设xnyn=∞，则下列结论错误的是（)(A)xn=∞与yn=∞至nn→∞n→∞n→∞n→∞第4页，共105页，第5页，共105页，10.设f(x)连续，，且当x→0时dt第6页，共105页13.当x→0+时，下列无穷小量中最高阶的无穷小量是（）x在第7页，共105页第8页，共105页18.设f，则f(x)()，第9页，共105页第10页，共105页25.设xn，则xn=________.第11页，共105页27.确定常数a,b，使x→0时f=ex为x的三阶无穷小。28.当x→0时，1-cosx.cos2x.cos3x与axn为等价无穷小，求n与a的值。，第12页，共105页第13页，共105页第14页，共105页37.已知函数f(x)在x=0的某邻域内可导，且，试求f(0),f'(0）第15页，共105页第16页，共105页41.求函数f(x的间断点并指出类型。，第17页，共105页，，第18页，共105页n48.设f(x)在[0,2a](a>0)上连续，且f(0)=f(2a)求证存在ξ∈[0,a]使f(ξ)=f(ξ+a).第19页，共105页，第20页，共105页4.若f(x)在点x0处的左、右导数都存在，则f(x)在点5.已知f(x)在x=0处连续，，6.设f(x)有连续一阶导数，f(0)=0，若当x→0时，dt与4x2为等价无穷第21页，共105页7.函数f(x)=x-x2(ex-1)+sinx-2不可导点的个数为()，第22页，共105页，，第23页，共105页，,(A)x=0是f(x)的极值点，但（0,f(0)）不是曲线y=f(x)的拐点。(B)x=0不是f(x)的极值点，但（0,f(0)）是曲线y=f(x)的拐点。(C)x=0是f(x)的极值点，且（0,f(0)）是曲线y=f(x)的拐点。(D)x=0不是f(x)的极值点，且（0,f(0)）不是曲线y=f(x)的拐点。第24页，共105页15.设f(x)满足f,(0)=0,f,(x)+f(x)3=x2，则()第25页，共105页18.设曲线y=f(x)与y=x2-x在点（1,0)处有公共切线，则nf，第26页，共105页22.设函数f(xy=f，则x=e=________.第27页，共105页25.设f，则f(n)(x)=________.26.函数f(x)=ln(x-1)(x-2)(x-n)的驻点个数为________.27.已知方程x4+2x3-3x2-4x+a=0有两个重根，则a=________.第28页，共105页29.设f(x)为连续函数，t)dt，当x→0时Fx2与bxk为等价无穷小，其中常数b≠0,k为某正整数。求k与b的值及f(0),f,(0).第29页，共105页,33.设函数dt，其中f(x)是连续函数，且f(0)=2第30页，共105页35.设函数由方程2y3-2y2+2xy-x2值点。第31页，共105页第32页，共105页x.第33页，共105页，，试证至少存在一点ξ∈(0,1)，使f，第34页，共105页，，,存在，证明：，第35页，共105页证明：存在，使得f,(ξ)+f,(η)=ξ2+η2.51.设f(x)在[0,1]上连续，在（0,1)内可导，且f(0)=f(1).试证存在ξ和η.满足0<ξ<η<1第36页，共105页M>0，证明存在两个不同的点x1,,第37页，共105页）(A)f(x)与g(x)都存在原函数。(B)f(x)与g(x)都不存在原函(C)f(x)存在原函数，g(x)不存在原函数。(D)f(x)不存在原函数，g(x)存在原函数。，x<1,第38页，共105页4.设f(xx2e则Fdt在x=0处（),S2S2S2S2S3.x2x2.(C)2xfxfx2.第39页，共105页7.设f(x)连续，且存在常数a满足5xdt.当x→0时，axf(x)与c(tanx−x)k是dx.(D)ln2dx.第40页，共105页10.设Isindx,Icosdx，则（）I1I2I1.11.设Ilnsinxdx,Jlncotxdx,Klncosxdx.则I,J,K的大小关系为()，I2I3I3I2I3.第41页，共105页第42页，共105页18.设f(x)是连续函数，且f=xdt，则f(x)=_________.第43页，共105页，第44页，共105页24.设f=xcosxdx，则f(x)=25.设f(x)为连续函数，且dt=3x3−xdt，则f(x)=________第45页，共105页第46页，共105页32.函数y在区间上的平均值为________第47页，共105页与极轴所围成的图形的面积为_________.35.（数学三不要求）曲线ytantdt的弧长s=_________.第48页，共105页36.（数学三不要求）一根长为1的细棒 37.计算dx，其中fdt.第49页，共105页40.设f(x)为非负连续函数，且fdt=sin4x，求f(x)在上的平均值。第50页，共105页x2ln(1+x)，求f(x).43.设函数Scostdt,第51页，共105页45.设f(x)在[0,1]上连续，在（0,1)内可导，且满足f=kxe1-xfdx证明至少存在一点ξ∈(0,1)使得f,(ξ)=(1-ξ-1)f(ξ).第52页，共105页46.设函数f(x)在[0,3]上连续，在（0,3)内存在二阶导数，且2fdx=f+ff(a-ξ)=-f(ξ).f(x)>0且单调减少，则这种ξ是唯一的。第53页，共105页x0,1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积；（2）又设f(x)在区间（0,1）内可导，且f,证明（1）中的x0是唯一的。使fdx第54页，共105页第55页，共105页53.设函数f(x)在区间[0,1]上可导，且f,(x)<M，证明dx54.设f(x)满足f=1,f,，试证x存在且不超过第56页，共105页55.（数学三不要求）一容器的内侧是由图中x2+y2=2y与x2+y连接而成。（，56.（数学三不要求）设曲线L的方程为ylnx.横坐标。第57页，共105页57.求曲线y=3-x2-1与x轴围成的封闭图形绕直线y=3旋转所得的旋转体体积。58.设有抛物线Γ:y=a-bx2(a>0,b>0)，试确定常数a,b的值，使得（2）Γ与x轴所围图形绕y轴旋转所得旋转体体积最大。59.设曲线y与直线y=x及y=2所围区域为D,（1）求区域D分别绕x轴和y轴旋转所得旋转体的体积；第58页，共105页60.求曲线y=x2与直线y=x所围区域D绕直线y=x旋转一周所得旋转体的体积。第59页，共105页，(Ax+B)e-x.(C)(Ax+B)xe-x.(D)(Ax+B)x2e-x.3.具有特解y1=e-x,y2(A)y,-y,-y,+y=0.(B)y,(C)y,-6y,+11y,-6y=0.(D)y,-2y,-y,+2y=0.第60页，共105页(C)Ae2x+xe2x(Bcos2x+Csin2x).(A)y,-y,-2y=3xex.(B)y,-y,-2y=3ex.(C)y,-y,-4y,+4y=0.(D)y,-y,+4y,-4y=0.第61页，共105页7.微分方程y,-λ2y=eλx+e-λx(λ>0)的特eλxeλx+e-λxx2第62页，共105页第63页，共105页13.设函数y(x）满足y,+(x-1)y,+x2y=ex，且y,(0)=1.若a，则a=_________.14.二阶常系数非齐次线性微分方程y,-4y,+3y=2e2x15.三阶常系数线性齐次微分方程y,-2y,+y,-2y=0的通解为_________.第64页，共105页1在该点的切线重合，求函数y=y(x).y22,y3x是某二阶线性非齐次方程的三个特解，求该微分方程及第65页，共105页21.设函数f(x)具有连续的一阶导数，且满足ff,dt+x2.求f(x)的表达式。22.设f(x)连续，且满足dt=xdt，求f(x).23.设f(x)为连续函数，且满足f=第66页，共105页25.设f(x)连续，且f2+y2≤t2dxt4，求f(x).26.设f(x)在(-∞,+∞)上有定义，f,(0)=2，对任意的x,y有f(x+y)=exf(y)+eyf(x)求f(x).第67页，共105页28.设函数u(x,y)的全微分du=ex+f,(x)ydx+f(x)dy，其中f具有二阶连续的导数，且29.求过原点的曲线y=y(x)使曲线上任一点P的法线段PQ(Q是过P点作曲线法线与x轴的交点）的中点位于抛物线2y2=x第68页，共105页30.设函数f(x)在[0,1]上连续，在（0,1)内大于零，且满足微分方程=fax2.曲线y=f(x)与直线x=1,y=0所围成区域D的面积为2，求：（2）使D绕x轴旋转一周而成旋转体体积为最小的a.31.设曲线L位于xOy平面的第一象限内，L上任一点M处的切线与y轴总相交，，，第69页，共105页（线与x轴平行。33.设L是一条平面曲线，其上任意一点P(x,y)(x>0)到坐标原点的距离，恒等于该点处(1)的切线在y轴上的截距，且L经过点|(2(1)（2）设L位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L最小。第70页，共105页34.设y=y(x)是区间（-π,π)内过点的光滑曲线。当-π<x<0时，曲的法线都过原点；当0≤x<π时，函数y(x)满足y,+y+x=0.求函数y(x)的表35.已知曲线L，其中函数f(t)具有连续导数，且f(0)=0,f,(t.若曲线L的切线与x轴的交点到切点的距离恒为1，求函数f(t)的表达式，并求以曲线L及x轴和y轴为边界的区域的面积。第71页，共105页36.在xOy坐标平面上，连续曲线L过点M(1,0)其上任意点P(x,y)(x≠0)处的切线斜率与直（（1）求L的方程；8(2）当L与直线y=ax所围成平面图形的面积为时，确定a的值。83第72页，共105页，2.设函数z=f(x,y)在点（x0,y0)处有fx'(x0,y0)=a,fy'(x0,y0)=b，则下列结论正确的是()(A)f(x,y)存在，但f(x,y)在(x0,y0)处不一定连续。y→y0(D)f(x,y0)及f(x0,y)都存在且相等。第73页，共105页4.设f(x,y则f(x,y)在（05.设函数f(x,y)可微，且对任意x,y都有，则使不等式f(x1,y1)<f(x2,y2)成立的一个充分条件是()x2,y1>y2.x2,y1>y2.第74页，共105页6.设可微函数f(x,y)满足f(0,0)=0，则下列结论正确的是()，第75页，共105页，，，第76页，共105页13.设函数f(x)具有二阶连续导数，且f(x)>0,f,(0)=0，则函数z=f(x)l0,0)处取得极小值的一个充分条件是（),,,,,,,,第77页，共105页15.设F(x,y)具有二阶连续偏导数，y=y(x)是由方程F(x,y)=0所确定的在点（x0,y0)附近的隐函数，则x0是函数y=y(x)的极小），，第78页，共105页xy2，y，，第79页，共105页22.设u=x2eyz3，其中z=z(x,y)由方程x3+y3+z3-3xyz=0所确定，则dux=-1,y=0=_________23.设z=f(x,y)满足x+y，且f(x,0)=x,f(0,y)=y2，则f(x,y)=_________.24.设u(x,y)有连续二阶偏导数，且u(x,2x)=x,u1(x,2x)=x2，则uEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(''),1)1(x,2x)=______.第80页，共105页26.已知x,y)(x0,y0)=2dx+dy27.已知函数z=f(x,y)连续且满足________.第81页，共105页28.设zxy-tdt,0≤x≤1,0≤y≤1其中f(x)为连续函数，则zEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up5(''),x)x+zEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up5(''),y)y=_________.29.设u=f(x,y,z),z=ln，求，其中f有二阶连续偏导数。30.设函数z=f(x,y)在点（1,1)处可微且f=f第82页，共105页exy-xy=2和exdt确定。求.33.设函数f(u)有连续一阶导数，f(0)=2，且zyf满足求z的表达式。第83页，共105页34.设函数f(x,y)有连续二阶偏导数。满足且在极坐标系下可表示成f(x,y)=g(r)其中r，求f(x,y).35.设z=f具有二阶连续偏导数，且z=x2+y2，z的表达式。36.求函数f(x,y)=x4+y4-(x+y)2第84页，共105页38.设函数z=f(xy,yg(x))，其中f函数具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导且在f(x,y)).求.第85页，共105页41.设f(x,y)有二阶连续偏导数，g(x,y)=f(exy,x2+y2)，且f(x,y)=1-x-y+，小值。第86页，共105页第87页，共105页角形面积最小，并求面积的最小值。（（半轴之长。第88页，共105页49.已知px,y>0.求证：xy.52.设f(x,y)在圆域x2+y2≤1上有连续一阶偏导数，且f(x,y)≤1.求证在单位圆内至第89页，共105页1.(1)设函数f(x,y)连续，则dxf()(2)设函数f(x,y)连续，则二次积分dxinxf(x,y)dy等于()第90页，共105页(2)累次积分cosrcosθ,rsinθ)r3.设f(x,y)为连续函数，则f(rcosθ,rsinθ)rdr等于()第91页，共105页4.设f(x