2026年中考数学常考考点之轨迹

2026年中考数学常考考点专题之轨迹

一,选择题（共12小题）

1.（2025•江都区校级模拟）如图，48为。0的直径，且A8=8,点。在半圆上，OC_LA8,垂足为点。，

户为8c上任意一点，过尸点作尸£_LOC于点£,M是△OPE的内心，连接OM、PM,当点尸在弧8c

上从点B运动到点。时，求内心M所经过的路径长（）

A.V2B.2播C.nD.V2n

2.（2025•汇川区四模）如图，摆钟是一种技术与艺术相结合的机械时钟，如图是其钟摆摆动示意图，OA

-24cm,当钟摆从（M摆动到（小时，若摆动角度NA（加=15。，则端点A移动的路径长为（）

A.3cmB.TXCIKC.2ncmD.

3.（2025•荷塘区三模）一颗小球从长为2,宽为1的矩形台球桌的角落被击出，小球撞击桌壁并反弹三次，

然后落入四个角落中的其中一个，如图所示虚线是其中一种可能的路径，则小球可能运动路径的最大长

度是（）

1/\/'、

/'、/'、

AL——V——

A.2后B.2月C.9D.痰

4.（2025•武进区校级模拟）如图，在等腰Rl△人8C中，直角边/W=AC=I,。为8c的中点，E为AB边

上的动点，。凡LOE交4c于点F,M为E/的中点，当点E从点B运动到点A时•，点历所经过的路线

长为（）

A

F

\

Bp）

V2V27T1

A.—nB.—C."D.-

2222

5.（2025•高碑店市三模）如图，矩形ABC。中，4D=6/8,点E在8C边上从点C向点8运动（含端

点），作四边形AECO关于直线A£对称的四边形AECU,点。，C的对应点分别为点。'，C,连接。。

交AE于点、O.

甲：点E不可能落在。。上;

乙：点。运动路径的长度比始终为3.

下列说法正确的是（）

A.甲对，乙错B.甲错，乙对C.甲、乙都错D.甲、乙都对

6.（2025•东海县校级二模）如图，在△A8C中，ZC=90°,NBAC=30。，BC=2,8c边上有一动点Q,

作点“关于直线人Q的对称点*,在点£）从点A运动到点C的过程中，点*的运动路径长为（）

C

7.（2025•玉林模拟）如图，在边长为2的正方形ABC。中，点M是边A8I二一个动点，在延长线上找

一点M使点M和点N关于点4对称，连接CM,ON相交于点£.当动点仞从点A运动到点4时，

点七的运动路径长为（）

DC

8」2025•南明区二模）开窗通风是日常生活中保持室内空气流通的一种方法，图①是平开窗的打开实物图,

图②是平开窗打开的效果图，此时，窗户打开了84。，窗户底边0A长是60,则这扇窗户底边端点A扫

过区域的轨迹长（弧长）是（）

C.28nD.14K

9.（2025•福田区二模）如图，在矩形4BCO中，边AB绕点B顺时针旋转到EB的位置，点力的对应点E

落在CD边的中点，若CE=2,则点A旋转到点E的路径长为（)

2\/3

A.B.-7TC.-7TD.

33

10.（2025•鼓楼区一模）如图，在。中，Z7?=6O°,AC=6,OO是△人"C的外接圆，/）为布上一动

点，过A作直线OD的垂线，垂足为E.在D从A沿祀运动到C的过程中，点E经过的路径长为（)

A

85/37r16V37T

C.D.--------

33

11.（2025•博兴县模拟）如图，在RSA8C中，//WC=90。，NZMC=40。，AC=6.将RsA8C绕AC

的中点。按逆时针方向旋转，点小B,。的对应点分别为点。，E,F.当点E与点C第一次重合时,

点A运动路径的长为（）

33

12.（2025•萨尔图区模拟）如图，在△ABC中，ZACB=900,AC=BC,AB=4cm,C。是中线，点E、F

同时从点。出发，以相同的速度分别沿QC、。/3方向移动，当点上到达点C时，运动停止，直线4E

分别与CKAC相交于G、H,则在点从尸移动过程中，点G移动路线的长度为（）

A.2B.nC.2TTD.----rr

2

二.填空题（共8小题）

13.（2025•深圳模拟）如图，AB是OO的直径，M、N是福（异子4、B）上两点，C是初V上一动点，N4CB

的角平分线交。。于点。，NBA。的平分线交CQ于点E.当点C从点M运动到点N时，则C、E两

点的运动路径长的比是.

14.（2025•浙江模拟）△/WC中，/C=9（）c,N八=30。，AB=4cint将△八5c绕点6顺时针旋转至△/VAC

的位置.，如图，A、B、。三点在同一条直线上，则点4所经过的路径长为.

13.（2023•华龙区校级一模）如图，在等腰△AHC'中，NAC*=120。，AC=BC=4,将△A4C绕点8顺时

针旋转至△ABC,使得延长AC交A4于。，点A的运动路径为篇'，则图中阴影部分的面

16,（2025♦二道区校级模拟）如图，"是半径为2的。0的一条弦，NAO8=90。.将绕点A逆时

针旋转，当点。的对应点。第一次落在上时，点8运动的路径长是.（结

果保留TT）

17.（2025•淮安区校级二模）如图，有一块长A3=4c〃?、宽8c=3cm的矩形木板在桌面上按顺时针方向

无滑动地翻滚，木板上顶点A的位置变化为A-AI-A2.其中，第二次翻滚时被桌面上一个小木块挡住,

使木板边沿A2七与桌面成30。角，则点A翻滚到点A2的位置经过的路径长为.

AD

BCE

18.（2025•扬州三模）如图，已知△ABC中，NACB=90。，AC=8,BC=6,点M是线段CB上一动点,

过点M作MNLAM交AB于点N,当点M从点C运动到点B的过程中，点N经过的路径长

是____________________•

19.（2025•金华模拟）如图,在RSABC中,48=8,N3=6C。，点。，E分别是月金4c边上的中点,

点厂在4c的延长线上，连接ERN/=6（尸.点〃从点〃出发，沿〃-4一尸运动到点P,在边EF上

找一点Q,连结PQ,使得N人PQ=N8,则在点P的运动的过程中，点Q的运动路径长

为■

20.（2025•平桥区三模）如图，在菱形ABC。中，AB=273,NABC=120。，把菱形/WCO绕着顶点A

逆时针旋转30。得到菱形AB，CD,点、C的运动轨迹为弧CC,则图中阴影部分的面积

为.（结果保留n）

三.解答题（共5小题）

21.（2025•南山区校级三模）如图1,是一电动门，当它水平下落时，可以抽象成如图2所示的矩形A8CD,

其中AB=3m,AD=\m,此时它与出入口OM等宽,与地面的距离AO=02〃；当它抬起时,变为平行

四边形A夕CO,如图3所示，此时，A夕与水平方向的夹角为60。.

（1）在电动门抬起的过程中，求点。所经过的路径长；

（2）图4中，一辆宽1.7〃?，高1.6〃?的汽车从该人口进入时，汽车需要与4c保持04〃的安全距离，

此时，汽车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由.

（参考数据:75*1.732,-3.14,所有结果精确到0.1）

22.（2025•石家庄模拟）如图1筒车是我国古代利用水利驱动的灌溉工具，筒车上均匀分布着若干个盛水

筒.如图2,筒车OO按逆时针方向转动，与水面分别交于八、B,且4B=4V5m,筒车的轴心。距离

水面的高度。。长为2〃?.

23.（2025•双台子区校级二模）嘉嘉使用桌上书架如图1所示.嘉嘉发现，当书架与桌面的夹角/人04=

150。时，顶部边缘人处离桌面的高度AC的长为llc〃b此时舒适度不太理想.嘉嘉调整书架与桌面的

夹角大小继续探究，最后发现当张角NAOH=108。时（点4是A的对应点），舒适度较为理想.

图1图2

（1）书架在旋转过程中，求顶部边缘A点到A走过的路径长.

（2）如图2这个平面图形，如果嘉嘉的眼睛在七处.当她看书上距离桌面高度为205?的点尸时，她

向下看的俯角为18。，眼睛到桌面高度E8=25cm,求此时眼睛到厂点的距离，即E尸的长度.（结果精

确到lc〃?；参考数据：sinI80-0.31,cosl8cM）.95,tan180M.32）

24.（2024•鲁山县三模）桔棒俗称“吊杆”“称杆”，如图1,是我国古代农用工具，桔棒始见于（墨子•备城

门），是一种利用杠杆原理的取水机械.如图2所示的是桔棒示意图，0M是垂直.于水平地面的支撑杆，

A3是杠杆，且A3=5.4米，OA：OB=2：1.当点A位于最高点时，ZAOM=\21°；当点A从最高点

逆时针旋转54.5。到达最低点4.（结果精确到0.1加；参考数据：sin370M.6,sinl7.5°=0.3,:an37°~0.8）

（I）求此时水桶B所经过的路径长；

（2）求此时水桶B上升的高度.

25.（2024•遂平县一模）电动切割机以其高效、准确和便捷的特点，成为现代工作中不可或缺的工具，图

I是从电动切割机抽象出来的几何模型，CW为固定台，切割片OA与摆臂0W相切于点/>,图2是切

割机完成工作时候的模型图，此时切割片08与ON相切.已知切割片的半径为30cm,转釉04长是

60cm,NMON=90。（此次切割片在工作时候的磨损忽略不计）.

（1）求图2中点B到0M的距离；

（2）求砂轮工作前后，圆心A运动轨迹长度.

2026年中考数学常考考点专题之轨迹

参考答案与试题解析

一,选择题（共12小题）

题号12345678910H

答案DCDBDCBCBBA

题号12

答案D

一.选择题（共12小题）

I.（2025•江都区校级模拟）如图，A8为的直径，且48=8,点C在半圆上，OCLAB,垂足为点O,

P为BC上任意一点,过户点作PE_LOC于点E,M是AOPE的内心，连接OM、PM,当点尸在弧BC

上从点B运动到点。时，求内心M所经过的路径长（）

A.V2B.2V2C.nD.V271

【考点】轨迹；圆周角定理；三角形的内切圆与内心.

【专题】圆的有关概念及性质.

【答案】D

【分析】首先证明NCMO=NPMO=135。，推出当点P在孤BC上从点B运动到点C时.点M在以

0。为弦，并且所对的圆周角为135。的劣弧上（丽），利用弧长公式计算即可解决问题；

【解答】解：•''△OPE的内心为

,NM0P=4MoC,/MP0=/MPE,

：.NPM0=180。-NMPO-ZA/OP=180°-1（NEOP+NOPE）,

VPEIOC,即/PEO=90°,

ii

；・NPM0=180。（NEOP+NOPE）=180。-寺（180。-90。）=135°,

VOP=OC,OM=OM,

而/MOP=NMOC,

MOPMqAOCM,

JZCMO=/PMO=135°,

所以当点P在弧8C上从点8运动到点C时，点M在以0C为弦，并且所对的圆周角为135。的劣弧上

（OWC）,

点M在扇形BOC内时，

过C、M、。三点作OO，，连。C,0。，

在优弧CO取点D,连D4,DO,

*：ZCMO=\35°,

AZCD0=180°-135°=45°,

・・・NCO'O=9()。，而OA=2c、〃?，

••・O'O=辱OC=孝x4=2V2,

弧OMC的长=9。羽/”=&7T(cm),

故选：D.

【点评】本题考查了弧长的计算公式：/=鬻，其中/表示弧长，〃表示弧所对的圆心角的度数.同时

考杳了三角形内心的性质、三角形全等的判定与性质、圆周角定理和圆的内接四边形的性质，解题的关

健是正确寻找点M的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题.

2.（2025•汇川区四模）如图，摆钟是一种技术与艺术相结合的机械时钟，如图是其钟摆摆动示意图，OA

=24cm,当钟摆从04摆动到。8时，若摆动角度NAOB=15。，则端点A移动的路径长为（）

A.3cniB.nc//»C.2ncmD.3ncm

【考点】轨迹；解直角三角形的应用.

【专题】几何图形；运算能力.

【答案】C

【分析】根据弧长计算公式，计算即可.

【解答】解：根据弧长计算公式，端点A移动的路径长=斗啰=2〃（51）,

故选：C.

【点评】本题考查弧K的计算，熟练掌握弧K计算公式是解观的关键.

3.（2025•荷塘区三模）一颗小球从长为2,宽为1的矩形台球桌的角落被击出，小球撞击桌壁并反弹三次，

然后落入四个角落中的其中一个，如图所示虚线是其中一种可能的路径，则小球可能运动路径的最大长

度是（）

D|―_|C

1/'、/'、

/\/\

AL------\L------

A.2A/5B.2x^10C.9D.V65

【考点】轨迹；生活中的轴对称现象；勾股定理.

【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；几何直观；推理能力.

【答案】D

【分析】先解读题意，再进行分类讨论，并且作图，结合矩形的性质与判定，勾股定理列式计算，再比

较大小，即可作答.

【解答】解：第〜种情况：分别过R,U,丫作UTVAB,YGLAB,如图1：

•・•台球桌是矩形,

••・NO=NDAW=90°,

YG1.AB,

工四边形AWRD，AGY。都是阴形,

同理得四边形WRYG都是矩形，

•・•一颗小球从长为2,宽为1的矩形台球桌的角落被击出，小球撞击桌壁并反弹三次,

故AW=TW=TG=GB=2xi=RW=YG=AD=BC=1,

*乙

在RlZkARW中，AR=y/AW2+AD2==^,

则4X亭=2V5,

・••小球运动路径为2通;

YG1AD,如图2：

图2

•・•台球桌是矩形，

，NO=NDAB=ZB=90°,

yRWLAD,YGLAD,

・•・四边形AWR8,AGY8都是矩形，同理得四边形WRYG是矩形，

：.WR=GY=2,

•••一颗小球从长为2,宽为1的矩形台球桌的角落被击出，小球撞击桌壁并反弹三次，

故。W=VVT=GT=G4=1xHDC=RW=GY=BA=2,DR=>/DW2+DC2=&+4=亨,

则4x粤=V65,

V2V5=V20<V65,

・••小球可能运动路径的最大长度是很，

故选；D.

【点评】本题考查了轨迹，生活中的轴对称现象，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键.

4.（2025•武进区校级模拟）如图，在等腰RS4BC中，直角边4B=4C=1,。为8C的中点：E为AB边

上的动点，交AC于点凡M为E尸的中点，当点E从点8运动到点A时•，点M所经过的路线

长为（）

A

F

\

BD)

V2V27T1

A.—nB.—C."D.-

2222

【考点】轨迹：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形.

【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形：矩形菱形正方形：推理能力；应用意识.

【答案】B

【分析】过点。作。G_LAC,DH上BC,如图，证明四边形QGC〃为正方形，再证明△

(SAS).推出。正=QF.△EZ)尸为等腰直角三角形，可得结论.

【解答】解：如图，过点。作。G_L48,DH1AC,

•・・OG_LAB,AC±BA,

:,DG〃AC.

,。是边CB中点，

:・DG=^AC,

同理：DH=^AB,

*：AC=BA,

:.DG=DH.

J四边形QGC〃为正方形,

；・NGDH=90。.

；・NGDF+/FDH=90°,

ZEDF=90°,

AZGDF+ZEOG=90°.

：,ZEDG=ZFDH.

在△£。6和4FDH中,

LEGD=Z.FHD

GD=HD,

乙EDG=乙FDH

:,△EDG/BDH(SAS).

：,DE=DF.

・•・△ED广为等腰直角三角形，

当点E从点B运动到点A时，Eb的中点M所经过的路径为AB,AC中点的连线,

即M所经过的路径为｝CB,

*：AB=AC=\,ZC=90°,

:・CB=V2,

；・EF的中点M所经过的路径长为年.

故选:B.

【点评】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，等腰直角三

角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型.

5.（2025•高碑店市三模）如图，矩形48CO中，AD=6AB,点E在BC边上从点C向点B运动（含端

点），作四边形AECO关于直线AE对称的四边形AECD,点。，。的对应点分别为点。'，C,连接

交AE于点O.

甲：点七不可能落在。/7上；

乙：点。'，。运动路径的长度比始终为

A.甲对，乙错B.甲错，乙对C.甲、乙都错D.甲、乙都对

【考点】轨迹；轴对称的性质；矩形的性质.

【专题】几何图形；运算能力.

【答案】D

【分析】由/4。。=90。，那么点。在以A。为直径的半圆上，该半圆与没有交点，而点E在BC

上，点。与点E不会重合，即点E不可能落在。。上；从点E在点。位置开始，点。，。运动路径的

氏度为以点A为圆心，分别以A。，，AC为半径的弧长，旦AC与转过的角度相等，那么点C

ADr

运动路径的长度比始终保持与•致，据此即可得出答案.

ACr

【解答】解：如图，连接AC,AC,

由题意可得：AC=AC,AD=AD\

・•・乙4。。=90。，

・••点。在以AO为直径的半圆上，该半圆与8c没有交点，而点E在8。上，

.••点。与点E不会重合，即点£不可能落在。。上，故甲对；

由题意可得：AB=CD,NAOC-90。，

'：AD=心AB,

：.AD=V3CD,

：.AC=+m=2CD,

.AD__百CD_V3

''AC-2CD-2'

从点E在点C位置开始，点），C运动路径的长度为以点A为圆心，分别以A。，AC为半径的弧长,

且4C与转过的角度相等，

..也ADV3

*ACi~AC~2'

・•・点。，。运动路径的长度比始终为故乙对；

故选：

【点评】本题主要考查了轴对称的性质、90。的圆周角所对的弦是直径、弧长计算，核心素养表现为几

何直观和推理能力.

6.（2025•东海县校级二模）如图，在△48C中，ZC=90°,N/MC=30。，BC=2,8C边上有一动点。,

作点8关于直线AQ的对称点夕，在点。从点8运动到点C的过程中，点用的运动路径长为（）

B

【考点】轨迹；轴对称的性质；含3()度角的直角三角形.

【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；与圆有关的计算；运算能力；推理能力.

【答案】C

【分析】延长8c到点E,使EC=3C,连接AE、A夕，由AC垂直平分8E,N4CB=90。，N84C=30。,

得AE=A8=2BC=4,则NEAC=/84C=30。，所以N8AE=60。，由点6与点8关于直线4。对称,

得当点。与点C重合时，则点夕与点E重合，所以点夕的运动路径为以点A为圆心,

半径为4的圆上的一段弧，即既，根据弧长公式求得，配=竽，于是得到问题的答案.

【解答】解：延长8。到点£使EC=8C,连接AE、AB',

VZACB=90°,NB4C=30。，BC=2,

・・・AC垂直平分BE

：.AE=AB=2BC=4,

••・NE4C=N84C=30。，

・・・N84E=2N84C=60。，

,/点夕与点B关于直线AD对称，

・•・直线AQ垂直平分6夕，

：.AB,=AB=4,

••・点9在以点人为圆心，半径为4的圆上运动，

•・•当点。与点C重合时，则点次与点E重合，

••・点£的运动路径为以点A为圆心，半径为4的圆上的一段弧，即既，

..,_607rx4_47r

"g二'HLSO-二丁

4n

工点£的运动路径长为w，

故选：C.

B

【点评】此题重点考查直角三角形中3（）。角所对的直角边等于斜边的一半、轴对称的性质、弧长公式、

轨迹问题的求解等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键.

7.（2025•玉林模拟）如图，在边长为2的正方形人8CO中，点M是边人B上一个动点，在八B延长线上找

一点M使点M和点N关于点B对称，连接CM,DN相交于点E.当动点M从点4运动到点B时，，

点E的运动路径长为（）

222

C.—D.—

315

【考点】轨迹：中心对称；正7

【专题】几何图形：运算能力.

【答案】B

【分析】作点八关于点B的对称点M连接QN和AC交于点七，过点E作PQ_L48于点°,交C。于

点P,连接8巴则为点E的运动轨迹，先根据正方形性质可知PQ=/1O=2,设8Q=H,则AQ=2

-x,进而得到AN=4,通过平行可知△CE/）s/\AEM再通过相似三角形性质解出x,再通过

勾股定理即可求解.

【解答】解：作点A关于点8的对称点N,连接DN和AC交于点E,过点E作PQ_LAB于点Q,交

CD于点P,连接B£,则配为点E的运动轨迹，

•・•四边形同6CO是正方形，

：.CD//ABtNCAB=45。，AD=AB=CD=2.

•・・PQ_LAB,

；・PQ上CD,

：.PQ=AD=2,

设8Q=x,KUAQ=2-x,

•.•NCAA=45°,“Q_LAA,

.*.EQ=AQ=2-x,

：.PE=PQ-EQ=2-(2-x)=x,

又•：点M,N关于点8对称，

:・BM=BN,

当点M在起点A处时，BM=BN=2,

・"N=4,

又,.・CO〃A4,

:.XCEDSXAEN、

CDEP

••■__=9

ANEQ

2xo

**•7=~—，解得％=q,

42-x3

AEQ=2—x=

EB=JEQ2+BQ?=J&)2+[)2=竽♦

故选：B.

【点评】本题考查勾股定理，相似三角形等知识点，能够正确作出辅助线是解题关键.

8.12025•南明区二模)开窗通风是日常生活中保持室内空气流通的一种方法，图①是平开窗的打开实物图，

图②是平开窗打开的效果图，此时，窗户打开了84。，窗户底边OA长是60,则这扇窗户底边端点人扫

过区域的轨迹长（弧氏）是（）

图①图②

8429

A.—nB.——KC.281TD.I4n

53

【考点】轨迹；解宜角三角形的应用；弧长的计算.

【专题】与圆有关的计算；运算能力.

【答案】C

【分析】利用弧长公式解答即可.

84

【解答】解：这扇窗户底边端点A扫过区域的轨迹长（弧氏）是：一x2nx60=28TT.

360

故选：C.

【点评】本题主要考查了弧长的计算，解决本题的关键是学弧长的计算公式.

9.（2025•福田区二模）如图，在矩形A3CO中，边绕点8顺时针旋转到团的位置，点4的对应点E

落在CQ边的中点，若CE=2,则点4旋转到点E的路径长为（）

口

B1^----------------1c

2482V3

A.-nB.-nC.-nD.-----7T

3333

【考点】轨迹；旋转的性质；矩形的性质.

【专题】与圆有关的计算；运算能力.

【答案】B

【分析】由题意很容易得出CE=^CD=^AB=^BE

乙乙乙继而可得NC8£=30。，所以NA8E=60。，再利

用弧长公式求解即可.

【解答】解：在矩形ABC。中，NA8C=NC=90。，AB=CD,

由旋转的性质可得

：.BE=CD,

•・•点E是CO中点，且CE=2,

：,CD=AB=BE=4,CE=^BE,

rpi

在RsBCE中，sin“8E=潴=分

：.ZCBE=30°,

JNA8£=60°,

..607rx44

••/前=180=47n

故选：B.

【点评】本题主要考查了轨迹、旋转的性质、矩形的性质、弧长公式等内容，熟练掌握相关知识是解题

的关键.

10.（2025•鼓楼区一模）如图，在△ABC中，NB=60。，4C=6,。。是△ABC的外接圆，D为女上一动

点，过4作直线OD的垂线，垂足为£在短从4沿衣运动到C的过程中，点E经过的路径长为（）

【考点】轨迹；旋转的性质；解直角三角形；垂径定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；弧长的

计算.

【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；与圆有关的计算；儿何直观；推理能力.

【答案】B

【分析】如图：连接。4,OC,由圆周角定理可得NAOC=2/B=120。，则从A到。其旋转角为120。；

取AC的中点尸，连接。尸，由垂径定理可得Oh4C,AF=^AC=3,Z.AOF=^Z.AOC=60°,再解

直角三角形可得4。=2百，取AO的中点G,连接EG,进而确定点E的轨迹，最后根据瓠长公式求解

即可.

【解答】解：在aABC中，ZB=60°,AC=6,是AABC的外接圆，如图，连接04,OC,

A

••・点。从A沿衣运动到C的过程中，从A到C其旋转角为120°,

取4C的中点凡连接OF，

11

：.OF1AC,AF=^AC=3,/-AOF=^Z-AOC=60°,

*,"//3

在R340尸中，—=sin60°=亍，

AO2

：.AO==2A/3,

V

取AO的中点G,连接EG,

*：AE±DO,

，NAEO=90。，

・••点七的轨迹为以G为圆心，V5为半径画圆弧，由于点。旋转120。，则点七也旋转240。，

**•点E经过的路径长为=寨系♦TT・V5・2=—.

故选：B.

【点评】本题主要考查了轨迹，垂径定理，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，弧长的计算，旋转的

性质，解直角三角形，灵活运用相关知识成为解题的关键.

II.（2025•博兴县模拟）如图，在RS/WC中，NABC=9（）。,Z/MC=40°,AC=6.将RsA8c绕AC

的中点。按逆时针方向旋转，点A,B,。的对应点分别为点/）,E,F.当点E与点。第一次重合时，

点A运动路径的长为（）

33

【考点】轨迹;旋转的性质.

【专题】平移、旋转与对称；运算能力.

【答案】A

【分析】连接30,由直角三隹形斜边上的中线是斜边的一半，得至ljAO=5O,进而得到乙

=40°,则NBOC=80。，易知点E与点C第一次重合时，旋转角为80°,根据旋转的性质得到力。=DO=

之140=3,点A运动路径的长为A-D,利用弧长公式求解即可.

【解答】解：如图，连接60,

。是AC的中点，AC=6,

VZ«AC=40°,

N4BO=NB4C=40。,

，ZBOC=NA8O+N8AC=80°,

，点E与点C第一次重合时，旋转角为80。,

・•.ZAOD=80°,

由旋转的性质得到40=DO=^AC=3,

・••点4运动路径的长为前，

・••点A运动路径的长为：=:兀，

1803

故选：A.

【点评】本题考查了弧长公式，直角三角形的特征，旋转的性质，熟练掌握以上知识点是关键.

12.（2025•萨尔图区模拟）如图，在AABC中，ZACB=90°,AC=BC,AB=4cm,C。是中线，点£、F

同时从点。出发，以相同的速度分别沿OC、方向移动，当点E到达点C时，运动停止，直线AE

分别与CR4C相交于G、H,则在点七、F移动过程中，点G移动路线的长度为（）

c

V2

A.2B.ITC.2nD.—n

2

【考点】轨迹；勾股定理.

【答案】。

【分析】由△推出ND4E=NOCr,因为N4EQ=NCEG,推出NAQE=NCGE=90。,

推出A、C、G、。四点共圆，推出点G的运动轨迹为弧CD利用弧长公式计算即可.

【解答】解：如图，

，：CA=CB,NAC8=90°,AD=DB,

・・・CO_LAB,

ZADE=NC。尸=90°,CD=AD=DB,

在△4。石和4CO厂中，

(AD=CD

1/.ADE=乙CDF,

WE=DF

/.△ADE^ACDF(SAS),

：.ZDAE=ZDCF,

•・•NAED=NCEG,

NADE=NCGE=9()。,

：.A.C、G、D四点共圆,

••・点G的运动轨迹为弧CD,

•・・AB=4,AB=V2AC,

:.AC=20

；・OA=OC=&,

•:DA=DC,OA=OC,

/.DOIAC,

AZDOC=90°,

・・・点G的运动轨迹的长为端上=条

故选：D.

【点评】本题考查等腰直角三角形的性质、轨迹、勾股定理、全等三角形的判定和性质，四点共圆等知

识，解题的关键是正确探究点G的轨迹，属于中考常考题型.

二,填空题（共8小题）

13.（2025•深圳模拟）如图，/W是。。的直径，M、N是X6（异于A、6）上两点，C是疝V上一动点，ZACI3

的角平分线交。。于点D,NH4C的平分线交CD于点E.当点C从点M运动到点N时，则C、E两

点的运动路径长的比是_或_.

D

【考点】轨迹：圆周角定理.

【专题】推理填空题；圆的有关概念及性质；运算能力：推理能力.

【答案】V2.

【分析】连接E8,设0人=/，作等腰直角三角形人。氏AD=DB,NAZ）B=90。，则点E在以。为圆心

D4为半径的弧上运动，运动机迹是。，点。的运动轨迹是访V,由题意NMON=2NGDF,设NGOF

=a,则NMON=2a,利用弧长公式计算即可解决问题.

【解答】解：如图，连接EB,设OA=r,

〈AB是。。的直径，

・•・ZACB=9()°,

VZACB的角平分线交。。于点D,ZBAC的平分线交CD于点E.

・・・E是△的内心，

，NAEB=I35。，

作等腰直角三角形AO8,AD=DB,NAO8=90。，

则点E在以。为圆心DA为半径的弧上运动，运动轨迹是否，

点C的运动轨迹是血，由题意NM0N=2NGDF,

设则NM0N=2a,

2axnr_

・••弧MN的长度：弧G尸的长，夏=三田*=&.

axzrxvzr

~ISO-

故答案为：V2.

【点评】本题考查了轨迹，圆周角定理，弧长公式，解决本题的关键是掌握与圆有关的性质.

14.(2025•浙江模拟)△A8C中，ZC=90°,ZA=30°,AB=4e/n,将△ABC绕点8顺时针旋转至△48C

O,TT

的位置，如图，A、B、C三点在同一条直线上，则点4所经过的路径长为丁m.

3

ABC'

【考点】轨迹；旋转的性质；含30度角的直角三角形.

【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称：与圆有关的计算；运算能力：推理能力.

【答案】—cm.

【分析】由NC=90。，NA=30。，求得NABC=60。，由旋转得A'B=AB=4a〃，N4BC=NA8C=60。,

则NAAV=120。，由弧长公式求得点人所经过的路径=竽53于是得到问题的答案.

【解答】解：・・・NC=90。，ZA=30°,

AZAfiC=90°-/A=60。，

由旋转得A,B=AB=4cm,ZA'BC=ZABC=60°,

:A、B、C三点在同一条直线上，

:.NAB〃=1800-NA'BC=120。，

••・点A所经过的路径为半径为4cm且圆心角等于120。的一段弧，

・♦•点A所经过的路径=壬臀=萼（的），

loUo

87r

故答案为；~~cm.

【点评】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、旋转的性质、弧长公式等知识，推导出A'B=AB

=4c〃i及NAB4'=120。是解题的关键.

15.（2025•华龙区校级一模）如图，在等腰△ABC中,ZACB=120°,AC=BC=4,将△ABC绕点B顺时

针旋转至AABC,使得BCJ_AB,延长AC交AB于。，点A的运动路径为篇'，则图中阴影部分的面

【考点】轨迹；旋转的性质；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形.

【专题】三角形；圆的有关概念及性质.

【答案】87T-6V3.

【分析】利用扇形4M，的面积减去RtAABD的面积计算即可.

【解答】解：VZACB=120°,AC=BC=4,

••・NR4C=N/WC=30。，

由旋转的性质可知：NABC=N48C=30。，

VBC1AB,即NABC'=90°,

，/ABA=ZABC-NABC'=60°

/.ZADB=\SO°-ZABA1-/BAC=90°,4CBD=NASA'-ZABC=30°,

在RS4CQ中，NCBD=30。,BC=4.

ACD=2,BD=2V3.AD=AC+CD=6,

：.AB=V/ID2+BD2=4A/3,

•c_cc_607rx/IB21Dn4n_607rx（4Y2）21_/OKZ^_OA/Q

「-x

♦，S阴影=S扇形ABAS^ABD=-36Q②x0°x/°=j602x6=8TT-6V3.

故答案为：8TT—65/3.

【点评】本题考查不规则图形的面积，旋转的性质，含30。角的直角三角形，勾股定理等知识，掌握割

补法求面积是解题的关键.

16.（2025•二道区校级模拟）如图，A8是半径为2的。。的一条弦，N4OB=90。.将△048绕点A逆时

针旋转，当点。的对应点0,第一次落在上时，点8运动的路径长是出.（结果保留n）

【考点】轨迹；旋转的性质；圆心角、弧、弦的关系.

【专题】平移、旋转与对称；与圆有关的计算；运算能力；推理能力.

【答案】:24大2

TC

【分析】当点O,第一次落在CO上时，△040'为等边三角形，旋转角6=60。（即W弧度）.点、B绕点、A

旋转的路径是圆弧，其半径为A8的长度，弧长公式为广仇

【解答】解：旋转后点。，在。。上，故。'。=2.

旋转前0A=2,旋转后O'A=OA=2,

•••△OAO为等边三角形，旋转角。=60。=*

在△048中，NAOB=90。，0A=0B=2,

由勾股定理得：AB="。矛+。辟=V22+22=2VL

71_—TC2A/27T

点8绕点A旋转二弧度，路径为圆弧，半径43=2或，弧长为：弧长=48・8=2尤.一=—:一.

333

2\[2

故答案为：

【点评】本题考查旋转的性质、弧长计算以及几何图形的变换,解题的关键是掌握相关知识的灵活运用.

17.（2025•淮安区校级二模）如图，有一块长AB=4cm,宽BC=3cm的矩形木板在桌面上按顺时针方向

无滑动地翻滚，木板上顶点4的位置变化为ATAI-M2.其中，第二次翻滚时被桌面上一个小木块挡住，

使木板边沿加E与桌面成30。角，则点A翻滚到点A2的位置经过的路径长为3.5TTcm.

【考点】轨迹：矩形的性质.

【专题】矩形菱形正方形；与圆有关的计算；运算能力；推理能力.

【答案】3.5TTcm.

【分析】第一次是点