第23章 解直角三角形（高效培优单元测试·强化卷）（教师版）

第23章解直角三角形（高效培优单元测试·强化卷）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．的值等于（

）A． B． C． D．1【答案】B【详解】解：，故选：B．2．如图，有一斜坡，坡顶离地面的高度为20米，斜坡的坡度，则此斜坡的水平距离为（

）A．75米 B．50米 C．30米 D．20米【答案】B【详解】解：∵斜坡的坡度，∴，∵米，∴（米），故选：B．3．如图，于，于，与相交于，则图中线段的比不能表示的式子为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：∵于，于，∴，∵，∴，同理可得，∵，∴，根据现有条件无法证明，故选：C．4．如图，中，，点在上，若，，则的长度为（）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：，，，，，，，，，.故选：B．5．如图是某商店营业大厅自动扶梯的示意图，已知扶梯的长度为米，坡度，则大厅两层之间的距离为（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】A【详解】解：由题意可得：，∴，由勾股定理可得：，∴，∴米，故选：A．6．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个正方形的顶点叫做格点，点，，，都在这些小正方形的顶点上，与相交于点，则的值为（

）A．2 B． C．3 D．【答案】A【详解】解：如图，连接交于点，∵四边形是正方形，，，根据题意，，，，，，，，在中，，，，故选：A．7．如图，在中，，点D在上，过点D作交于点E，交于点F，若，则长为（

）

A． B．3 C． D．【答案】D【详解】解：∵，∴，设，∵，∴，，∵，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；故选D．8．如图，在中，，点为上一点，连接．若，，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：如图，过点作，中，，，，，，，，，，，，故选：C．9．如图，在菱形中，，，动点E从点A出发沿边匀速运动，运动到点C时停止，过点E作的垂线l，在点E运动过程中，垂线l扫过菱形（即阴影部分）的面积为y，点E运动的路程为．下列图象能反映y与x之间函数关系的是（） B． C． D．【答案】A【详解】解：当点E在上时，如图，∵，，∴，∴，，∴，∴此时图象为开口向上的抛物线的一部分，排除C，D选项；当点E在上且l与相交时，作，如图，∵，，∴，∴，，∴，∴此时图象为直线一部分；当点E在上且l与相交时，如图，∵，，，∴，∴，∴，∴此时图象为开口向下的抛物线的一部分，排除B选项；故选：A．10．如图，在四边形中，平分为边的中点，连接交于．若，则线段的长度为（

）A． B．1 C． D．【答案】A【详解】解：∵，平分，∴，∵，，∴，，延长、交于点G，如图，∵，∴，∴为等边三角形，∵平分，∴C为的中点，且，∴，连接，∵E为边的中点，，∴，∵C为的中点，∴，∴，∴，即，∴，∴．故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．比较大小：．(填“”，“”或“”)【答案】【详解】解：，，即，故答案为：．12．太阳光线与水平地面的夹角称为太阳高度角，某地的太阳高度角的范围是，测得一棵树的影子长为10米，则树的最大高度可以是米．【答案】【详解】解：当太阳高度角时，树的高度为米，当太阳高度角时，树的高度为米，∵太阳高度角的范围是，∴树的高度的范围为10米到米之间，∴树的最大高度可以是米．故答案为：13．已知：一元二次方程两个不相等的实数根恰好是直角三角形两个锐角的正弦值．则这个直角三角形的斜边与斜边上的高的比为．【答案】【详解】解：作斜边上的高，则，．和是方程的两根，，，即．．，且，，整理得，解得或．由，得．当时，无意义；当时，．故答案为：．14．如图，在中，，是边上的中线，过点D作，垂足为点E，若，．则：（1）的长为；（2）的正切值为．【答案】7【详解】解：（1），，，，，，，，，，，故答案为：7；（2）作，垂足为点H，在中，，，是边上的中线，，，，，，的正切值，故答案为：．三.解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．计算：(1)；(2)．【详解】（1）解：；（2）解：．16．如图，在中，是边上的中线，过点D作，垂足为点E，若．(1)求的长；(2)求的正切值．【详解】（1）解：，，，，，，，．（2）过点A作于点F，，∵D是的中点，∴是的中位线，，由（1）可知：，，，．17．如图，若点O是矩形对角线的中点，按如图所示的方式折叠，折痕为和，使边落在上，边也落在上，A、C两点恰好重合于点O，连接交于点G，交于点H．(1)求的值；(2)求的值．【详解】（1）解：∵四边形为矩形，点是对角线的中点，∴，，由折叠知：，∴，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴；（2）解：由折叠的性质得：，，，∴点在同一条直线上，∴，在和中，，∴，∴，又∵，∴四边形为菱形，由（1）知，设，则，∴在中，，∴，∴，设，，，∵，∴，，∴，，∴，即：，，解得：，即：．18．乡村振兴，亮化先行．如图是某地一新型太阳能路灯的示意图，灯杆垂直于地面，是灯臂，灯杆与灯臂的夹角，D，E两点分别在地面和灯杆上，斜拉绳恰好与点C在同一条直线上，且米，米．(1)求的长；(2)已知该路灯的灯臂的长为2米，求灯臂的端点距离地面的高度．（结果精确到米，）【详解】（1）解：∵，∴，∵米，米，(米)，（2）解：过点作，交的延长线于点，∵，∴，在中，米，(米)，在中，，在中，，∵，，解得：(米)，∴灯臂的端点距离地面的高度约为米．19．如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，，．(1)以点为位似中心，将缩小为原来的得到，请在轴右侧画出，并写出的坐标__________；(2)的正弦值为__________．【详解】（1）解：如图所示，为所求作三角形，

（2）如图，设的中点为，连接，则：，，，∴，∴，∵以点为位似中心，将缩小为原来的得到，∴，∴．20．某海域发生事故，故障船只位于处（位置如图），位于观测站的北偏西方向，甲、乙两艘救援船分别从两地同时出发，甲在地位于观测站的正北方向处，乙在地位于观测站的北偏西方向，两船均以直线航行前往事故点处救援，15分钟后两船同时到达处．(1)求甲船的航行速度；(2)计算乙船从处航行到处的距离．（参考数据：，结果保留一位小数）【详解】（1）解：根据题意可知，，，答：甲船的航行速度为．（2）解：如图，过点作，交的延长线于点，，是等腰直角三角形，．设，过点作于点，得矩形，，．在Rt中，，，，，，．答：乙船从处航行到处的距离约为.21．如图，在中，，，，分别是，，的对边．(1)求的值；(2)（填空）当为锐角时，____________；(3)利用上述规律，求式子的值．【详解】（1）解：在中，，，；所以：；（2）解：当为锐角时，，故答案为1；（3）解：==（44个1相加）=．22．（1）如图1，正方形中，点E，F分别是、边上，且于点O，求证：．（2）如图2，在（1）的条件下，连接并延长交于点G，若点G为边中点，求证：．（3）在（2）的条件下，求的值．【详解】（1）证明：如图1，∵四边形是正方形，∴，，，∵，∴，∴，又，∴，∴，∴．（2）如图2，∵点为中点，，∴，∴，，而，，∴，又，，∴∴，∴．（3）设，，则，∵，∴，∴，∵，∴，又，∴，∴，由（2）中得，解得（负值舍去），∴．23．已知在中，分别表示的对边，记的面积为．(1)如图1，分别以为边向外部作正方形和正方形，记正方形的面积为，记正方形的面积为，若，求的值；(2)分别以为边向外部作等边三角形和等边三角形，记等边三角形的面积为，记等边三角形的面积为．（i）如图2，点为的中点，连接，分别交，于点、点，连接，若，求证：；（ii）如图3，以为