专题23.1 锐角三角函数与几何综合（压轴题专项讲练）（教师版）

专题23.1锐角三角函数与几何综合典例分析典例分析【典例1】如图，在四边形ABCD中，点P是线段BC上一点，∠APD=90°，（1）如图1，当∠B=∠C=90°时，猜想AB，（2）如图2，延长BA，CD交于点E，当AB⊥CD时，∠B（3）如图2，延长BA，CD交于点E，当AB⊥CD时，∠B=α【思路点拨】本题考查了三角形全等的判定和性质，特殊角的三角函数值，三角函数的应用，熟练掌握全等的判定，三角函数的应用是解题的关键．（1）根据AAS证明△ABP（2）过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DN⊥BC于点N，根据（3）过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DN⊥BC于点N，根据【解题过程】解：（1）如图，三条线段存在的数量关系为BC=∵∠B=∠C=90°，∴∠BAP+∠∴∠BAP∵∠B∴△ABP∴AB=∵BC=∴BC=（2）AB+CD过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DN⊥∴∠PMA∴∠MAP+∠∴∠MAP∵∠AMP∴△AMP∴AM=∵MN=∴MN=∵AB⊥CD，∴∠E=90°，∴AM=AB×DN=CD×∵BC=∴AB+（3）AB+CD如前图，过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DN⊥∴∠PMA∴∠MAP+∠∴∠MAP∵∠AMP∴△AMP∴AM=∵MN=∴MN=∵AB⊥CD，∴∠E=90°，∠C∴AM=AB×DN=CD×∵BC=∴AB+学霸必刷学霸必刷1．（2024·江苏无锡·二模）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D和点A．1 B．2 C．3 D．4【思路点拨】本题考查了三角形相似的判定和性质，三角函数的应用，熟练掌握性质和三角函数是解题的关键．过点D作DF⊥AC于点F，则【解题过程】解：∵∠BAC=90°∴BC=设CD=过点D作DF⊥AC于点则DF∥AB，∴△CFD∴CFCB∴CF4解得CF∴AF=∵∠∴∠DAF∴tan∠∴DFAF∴3y解得AE=∴CD∵y≥0∴CDAE∴CDAE可取的最大整数值为2故选B．2．（2024·浙江·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，AB=AD=3，BD⊥CD．记∠CBD=α，∠BADA．1255 B．1225 C．【思路点拨】本题考查了三角函数，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，过点A作AE⊥BD于E，作∠DAE的角平分线AF交BD于F，过点F作FG⊥AD于G，由题意可得∠EAF=∠DAF=α，DF=x，EF=y，由tanα=13得到AE=3y，再证明△AEF≌△AGFAAS，得到EF=GF=【解题过程】解：过点A作AE⊥BD于E，作∠DAE的角平分线AF交BD于F，过点F作FG⊥AD∵AE⊥BD，AB=∴BE=DE，∠DAE∵AF平分∠DAE∴∠EAF设DF=x，∵tanα∴EFAE∴AE=3在△AEF和△∠AEF∴△AEF∴EF=GF=∴DG=3-3∵sin∠∴3y∴x=1∴DF=1在Rt△DGF中，∴3-3y∴y1=1，当y1=1时，∴y1∴y=∴EF=∴DE=1+∴BD=2∵CDBD∴CD=∴BC=故选：D．3．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF．有下列结论：①∠BAE=30°；②射线FE是∠AFC的角平分线；③A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．②④【思路点拨】①根据题目中的条件和正方形的性质，利用锐角三角函数可以得到∠BAE是否等于30°②根据题目中的条件，可以求得∠AEB和∠CFE的正切值，从而可以得到射线FE是否为③根据前面的推论，可以得到CF和CD的关系，从而可以判断CF=④根据题目中的条件和全等三角形的判定与性质，可以得到AF=【解题过程】解：∵在正方形ABCD中，E是BC的中点，∴AB=BC∴tan∵tan∴∠BAE≠30°，故∵∠B=∠C∴∠BAE+∠BEA∴∠BAE∴△ABE∵AB∴EC设CF=a，则EC=∴AE=25a，∴tan∴∠AFE=∠CFE，即射线FE是∠∵BC=CD∴CF=1作EG⊥AF于点∵FE平分∠AFC，∴EG∴EG∵∠B在Rt△ABE和AE=∴Rt∴AB又∵CF=GF∴AF=AB综上所述，②④正确，正确的个数为2，故选：D．4．（2024·山西长治·二模）如图，已知点C为线段AB的中点，CD⊥AB且CD=AB=4，连接AD，点E是CD上的一点，且EA=ED，BF⊥AE于点F，分别交DC，AD【思路点拨】根据勾股定理AD=AC2+CD2=25，设EA=ED=本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，三角函数的应用，熟练掌握勾股定理，三角函数是解题的关键．【解题过程】解：∵点C为线段AB的中点，CD⊥AB且∴AC=CB=设EA=ED=由勾股定理，得x2解得x=52∵CD⊥AB，∴cos∠解得AF=∵EA=∴∠HAF∴cos∠解得AH=∴DH=故答案为：255．（24-25九年级上·上海·期中）如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于C，点D在边AB上，∠BAC=∠DEC=30°，AC与DE交于点F，连接AE，如果BD=1，【思路点拨】如图，过点C作CM⊥DE于点M，过点E作EN⊥【解题过程】解：如图，过点C作CM⊥DE于点M，过点E作EN⊥∵BD=1，AD∴AB=∵∠BAC=∠DEC∴∠B∴BC=ABsin∵∠∴tan∠∴BCAC∵∠BCD∴△BCD∴BCAC=BD∴1AE=3∴AE=∴DE=∴DC=∴MC=∴NE=∵∠CMF∴△CMF∴EFCF∴EFCF故答案为：2176．（23-24九年级上·陕西西安·期中）如图，在平行四边形ABCD中，sin∠B=45，E是BC边上的点，AB=BE=5，EC=2，F是CD边上的一点，且DF=1，若M、

【思路点拨】过点F作AD的对称点G，过点G作GQ⊥AE于点Q，则MN+【解题过程】解：过点F作AD的对称点G，过点G作GQ⊥AE于点Q，交AD于点H，则MN+∵平行四边形ABCD中，sin∠∴∠B=∠D∴sin∠解得PF=∴PD=DF过点A作AO⊥BC于点∴sin∠解得AO=4,∴OE=2，AE∵AD∥∴∠HAQ=∠AEO∴sin∠∴sin∠∴GH=∴tan∴PH=2∴HD=∵AB=BE=5∴BC=∴AH=7-∵sin∠∴HQ=∴GQ=故答案为：6857．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在△ABC中，∠ABC=2∠BAC，BD是△ABC的角平分线，过点D作BD的垂线交BE的延长线于点E，过点E作AB的平行线交AC的延长线于点F，若BE+EF【思路点拨】根据tan∠BAC=tan∠DBE=DEBD=12，设DE=x，BD=2x，则BE=DE2+【解题过程】解：延长ED交AB于点M，∵∠∴△∴BM=∵EF∥∴∠A∵∠∴△ADM∴AM=∴AB=∵BD是△ABC∴∠ABC∵∠ABC∴∠BAC∴AD=∵tan∠BAC=∴tan∠设DE=则BE=∴cos∠过点D作DN⊥AB于点∵AD=∴AN=∵cos∠∴BN=∴AB=2∵BE+∴85解得x=故DE=故答案为：5．8．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，矩形ABCD顶点坐标分别为A0,0、B-10,0、C-10,5，在线段AC和AB

【思路点拨】根据轴对称最短路径，作点B关于AC的对称点B'，结合点到直线垂线最短可得B'F即为最短，交点E即为所求，根据矩形的性质，垂直平分线的性质可得AB'=AB=10，△ACP【解题过程】解：如图所示，作点B关于AC的对称点B'，过点B'作OB的垂线，交AC，OB于点

∵四边形ABCD是矩形，A0,0∴AB=连接OB'交CD于点∵四边形ABCD是矩形，∴CD∥∴∠BAC∵点B'关于AC∴∠BAC∴∠PAC=∠PCA，则PA根据对称可得，EB=EB'，∴AB设PA=PC=∴在直角△ADP中，P∴x2解得，x=∴PA=PC=∵∠POF∴cos∠∴AFA∴AF=∵∠EAF∴tan∠∴EFAF∴EF=∴E-故答案为：-6,39．（2024·江西吉安·三模）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，BC=9，D为AC上一点，AD=2DC，P为边【思路点拨】分∠PAD=90°，∠APD本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，三角函数的应用，正确分类，灵活应用相似和三角函数是解题的关键．【解题过程】解：∵在△ABC中，AB=AC，∠∴∠C=∠B过点A作AM⊥BC于点∵AB=AC，∠B∴BM=CM∴AB=∵AD=2∴AD=23，①如图1，当∠PAD则∠BAP∴∠BAP∴AP=在Rt△∠C∴PC=2∴BC=∴BP②如图2，当∠APD=90°时，分别过点A，D作BC的垂线，垂足分别为，∴BE=∴AE=ABsin30°=3设EP=x，则∵∠EAP=90-∠EPA∴△APE∴AEPF∴33整理得x2解得x1∴EP=∴BP=③如图3，当∠ADP在Rt△DPC中，∴PC=∴BP=综上所述，当△APD为直角三角形时，BP的长为3或6或710．（2024九年级下·浙江·专题练习）在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，EG⊥BD于点G（1）求证：四边形EHFG是平行四边形.（2）当∠ABD=45°，tan∠EHG【思路点拨】（1）先证EG∥FH，再证△BEG和△（2）过点A作AK⊥BD于点K，根据相似三角形的性质得AK=2EG=2，BG=GK，再证△BAK为等腰直角三角形得BK=AK=2，则BG【解题过程】（1）证明：∵EG⊥BD于点G，FH⊥∴∠EGB=∠FHD∴EG∥∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB=CD，∴∠EBG∵点E，F分别是∴BE=12∴BE=在△BEG和△∠EGB∴△BEG∴EG=∵EG∥∴四边形EHFG是平行四边形；（2）过点A作AK⊥BD于点∵EG⊥BD于点∴∠AKH∴∠EGH∴EG∥∴△BGE∴BGBK又∵点E为AB的中点，∴BE=∴BEBA∴BGBK∴AK=2EG=2∴BG=∵∠ABD=45°∴△BAK∴BK=∴BG=∴DH=在Rt△EHG中，∴GH=4∴KD=在Rt△ADK中，KD=4由勾股定理得：AD=11．（2024·安徽合肥·二模）如图1在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，延长DA至E，连接EB（1）求证：△BAE（2）在图1中，若AE=AD，其他条件不变得到图2，在图2中过点D作DF⊥AB于点F，H是EC的中点，过点H作HG∥AB，交DF于点①求证：AF⋅②若AB=5，tan∠AMH【思路点拨】（1）根据AB=AC，D是BC的中点，得到AD⊥BC，继而得到直线AD是线段BC的垂直平分线，得到（2）①连接AH，根据AE=AD，H是EC的中点，得到中位线AH∥②根据AB=5，tan本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形中位线定理，三角函数的应用，平行线分线段成比例定理，熟练掌握三角形中位线定理，三角函数的应用，是解题的关键．【解题过程】（1）∵AB=AC，D是∴AD⊥∴直线AD是线段BC的垂直平分线，∴EB=∵EB∴△BAE（2）①连接AH，∵AE=AD，H是∴中位线AH∥∵AD⊥∴AD⊥∵DF⊥AB，∴DF⊥HG，∴cos∠∴AFAD∴AFAE∴AF·②∵AB=5，tan∴BDAD设BD=3则AB=解得x=1∴BD=∴DF=∴AH=3解得y=∴AM=4∴AM=∵HG∥∴FGGD∴FG=12．（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图1，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于点D，点E是线段AD上一点，连接（1）求证：EB=（2）过点D作DF⊥EB于点F，取AC的中点H，过点H作HG∥EB，交DF于点G，交①如图2，若AE=ED，求证：②如图3，若AE=EB=10，tan【思路点拨】（1）利用等腰三角形三线合一的性质得到AD⊥BC，AD平分BC，故AD是BC的垂直平分线，进而通过垂直平分线的性质即可证得（2）①根据题目中的提示构造三角形中位线：连接EH，再通过等角的三角函数值相等得到三角形边的比例关系，进而化比例式为等积式即可得证．②连接DH，EH．先利用等腰三角形的性质及平行线的性质定理等证得∠EAC=∠6，利用tan∠EAC=13在直角三角形中边的比例关系得到AH=3EH，根据勾股定理构建关于EH的方程进而求得EH【解题过程】（1）证明：∵AB=AC，AD∴AD⊥BC且D∴直线AD是线段BC的垂直平分线，∴EB（2）①证明：连接EH，如图2．∵AE=ED，H∴中位线EH∥∵AD∴AD∵DF⊥AB∴DF⊥HG∴cos∴EF∴EF∴EF②解：连接DH，如图3．∵AE∴∠1=∠7，∴∠3=∠1+∠7=2∠1=2∠2．∵HG∴∠3=∠4．∵AD⊥BC，H∴DH∴∠5=∠2，∴∠4=∠3=2∠2=2∠5，∴∠4=∠5+∠6，∴∠5=∠6，∴∠6=∠2．连结EH．∵AE=EB=EC∴EH∴tan∴E∴EH∴AH∴tan∴G∴GD∴GH13．（2023·四川资阳·模拟预测）在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点E是边AD上一点，EM⊥EC交AB于点M，点N在射线MB上，且AE是（1）如图1，求证：∠ANE（2）如图2，当点N在线段MB之间，连接AC，且AC与NE互相垂直，求MN的长；（3）连接AC，如果△AEC与以点E、M、N为顶点所组成的三角形相似，求DE【思路点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，三角函数，解题的关键是灵活运用这些知识．（1）根据题意可得AMAE=AEAN，证明△AME∽△（2）根据AC与NE互相垂直和∠BAC=90°，可推出∠ANE=∠EAC，进而得到∠DCE=∠EAC，根据三角函数可得DEDC=DCAD，从而求出（3）分为两种情况讨论：当∠ENM=∠EAC【解题过程】（1）解：∵AE是AM和AN的比例中项，∴AMAE∵∠A∴△AME∴∠AEM∵∠D∴∠DCE

∵EM⊥∴∠AEM∴∠AEM∴∠ANE（2）∵AC与NE互相垂直，∴∠EAC∵∠BAC∴∠ANE∴∠ANE由（1）得∠ANE∴∠DCE∴tan∠∴DEDC∵DC=AB=6∴DE=∴AE=由（1）得∠AEM∴tan∠∴AMAE∴AM7∴AM=∵AMAE∴21∴AN=∴MN=（3）∵∠NME=∠MAE+∠AEM由（1）得∠AEM∴∠AEC=∠NME，当△AEC与以点E、①∠ENM=∠EAC∴∠ANE=∠由（2）得：DE=②∠ENM=∠ECA，如图3，过点E作EH由（1）得∠ANE∴∠ECA∴HE=又tan∠设DE=3x，则HE=3x，又AE+∴5x解得x=1∴DE=3综上所述，DE的长分别为92或314．（2024·吉林长春·二模）在矩形纸片ABCD中，AB=12,AD=10．点E

（1）操作一：如图1，将这张纸片进行折叠，使点A的对应点A'落在CD边上，折痕为MN，点M与点D重合，此时发现四边形AN（2）操作二：如图2，重新折叠纸片，使点A与点E重合，折痕为MN，则AM=____________（3）操作三：如图3，在操作二的基础上继续折叠纸片，使点N与点E重合，点B落在B'处，折痕为HG，连接HE，则sin∠【思路点拨】（1）根据四边形ABCD为矩形，得到∠CDA=∠DAB=90°，CD∥AB；根据折叠的性质，得∠ADN=∠A'DN，AD=A（2）设AM=x，根据AB=12,AD=10．点E是CD的中点．得到DE（3）过点N作NP⊥CD于点P，证明四边形DANP为矩形，证明△MED∽△∠ENP证明∠AMN=∠EMN【解题过程】（1）∵四边形ABCD为矩形，∴∠CDA=∠DAB根据折叠的性质，得∠ADN=∠A∴∠ADN∴AD=∴AD=∴四边形ANA∵∠DAB∴四边形ANA（2）如图，设AM=∵AB=12,AD=10．点E∴DE=12根据折叠性质，得ME=根据勾股定理，得10-x解得x=6.8．故答案为：6.8．（3）过点N作NP⊥CD于点∵四边形ABCD为矩形，∴∠CDA=∠DAB∴四边形DANP为矩形，∴∠MDE=∠EPN根据折叠的性质，得∠MAN∴∠MED∴△MED∴MEEN∴6.8EN∴EN=∴MN=∴sin∠根据折叠的性质，得∠AMN=∠EMN，MH∴∠AMN=∠∴∠AMN∴sin∠故答案为：53415．（2024·广东深圳·模拟预测）如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，动点P、Q分别从C点、A点同时以每秒1cm的速度出发，且分别在边CA，AB上沿C→A，A→B的方向运动，当点Q运动到点B时，P（1）如图1，在点P、Q运动过程中．①点P与点D的最短距离为_________cm；②当PQ∥BC时，t的值为（2）作PE⊥PQ，PE与边BC相交于点E，连接QE，延长EP交边AD于点①求∠APQ的正切值（用含t②如图2，当t=5时，试探究线段AQ、QE、CE③如图3，连接FQ，若FQ平分∠AFE，直接写出AF【思路点拨】（1）①根据垂线段最短，得到当PD⊥AC时，PD最短，根据勾股定理得到②根据题意，得AQ=t，CP=t，则（2）①过点Q作QM⊥AC于点M，计算sin∠QAM=QMAQ=BC②连接QF，当t=5时，根据题意，得AQ=5，得CP=AP，证明△APF③设AP与FQ的交点为O，证明△QAF≌△QPF解得t=【解题过程】（1）①根据垂线段最短，得到当PD⊥AC时，∵矩形ABCD，∴AB=DC=6cm，∴AC=∴DP=故答案为：245②根据题意，得AQ=t，CP=t∴AQBQ∴t6-解得t=故答案为：154（2）①过点Q作QM⊥AC于点∵矩形ABCD，∴AB=DC=6cm，∴AC=∴sin∠QAM=根据题意，得AQ=t∴QM=45∴PM=∴tan∠②线段AQ、QE、CE三者之间的等量关系为QE连接QF，当t=5时，根据题意，得AQ=5，∴CP=∵矩形ABCD中，∴AB=DC=6cm，∴△APF∴PFPE∴PE=∵PE⊥∴直线QP是线段EF的垂直平分线，∴QF=∴QF∴QE③设AP与FQ的交点为O，根据题意，得AQ=t，∵FQ平分∠AFE，QA∴QA=∵QF∴△QAF∴FA=∴∠AOQ∴cos∠解得t=故AP=∵AD∥∴△APF∴AFCE∴AFCE的值616．（23-24九年级上·重庆渝中·期中）如图所示，等腰直角△ABC中，AB=AC，点D是BA延长线上一点，连接CD，点E是CD上一点，连接BE，交AC（1）如图1，若∠CBE=30°，CF=（2）如图2，过点A作AM⊥BF于点M，若BF=CD，试猜想AM、（3）如图3，在（2）的条件下，若H为射线BD上一动点，△BGH为等腰直角三角形，且BG=GH，点P为GH中点，若BC=25【思路点拨】（1）作FQ⊥BC交BC于Q，根据等腰直角三角形的性质，可推出∠CFQ=∠FCQ=45°，即知CQ=QF=22（2）作AN⊥CD交CD于N，根据已知条件先证明△BAF≅△CADHL，得出∠ABF=∠ACD，∠BFA=∠D，AF=AD，根据角度关系推出∠BED=90°，从而证明四边形（3）连接BP并延长，作E关于直线BP的对称点K，连接EK，交BP延长线于O，作KL⊥BE交BE于L，连接KP、KF、KE、EP、EF、DF、KF，交BO于R，根据△BGH是等腰直角三角形，P是GH的中点，可知tan∠GBP=GPBG=12，同时∠GBC=90°，可知当点H运动时，tan∠GBP=12始终成立，即P点在射线BP上运动，再根据E,K关于直线BO对称，可知EP+FP=KP+FP≤KF，且当P点位于F,K的连线上时，等号成立．根据【解题过程】（1）解：作FQ⊥BC交BC于Q，如图∵∠BAC=90°，∴∠ABC∵FQ⊥∴∠CFQ∴∠CFQ∴CQ=∴BF=FQsin∴BC=∴AC=∴AF=（2）解：BE=作AN⊥CD交CD于N，如图在Rt△BAF和AB=∴Rt∴∠ABF=∠ACD，∠∴∠ABF∴∠BED在四边形AMEN中，∠AME∴∠MAN∴四边形AMEN是矩形，∴AN∥∴∠CAN∵∠ABF∴∠BAM∴∠CAN在△BAM和△∠ABM∴△BAM∴AM=∴四边形AMEN是正方形，∴AM=∴BE=（3）解：连接BP并延长，作E关于直线BP的对称点K，连接EK，交BP延长线于O，作KL⊥BE交BE于L，连接KP、EP、EF、DF、KF，交BO于∵△BGH是等腰直角三角形，GB=GH，P∴∠GBH=∠GHB∴tan∠∵△ABC是等腰直角三角形，AB∴∠ABC∴∠GBC∴当点H运动时，tan∠GBP=12∵E,K关于直线∴EP=∴EP+FP=KP+FP≤∵BC=25，∴BE=∴tan∠∴∠CBE∵∠CBE∴∠ABE由（2）知，AF=AD,∴∠AFD∵∠DBE∴∠DBE∴∠FDE∴tan∠即DE=2∴BE=∴EF=BE-∴BD=∴sin∠DBE=∴sin∠OBE=cos∠∵EK∴EO=KL=∴FL=∴KF=∴EP+FP的最小值为17．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，AB=3，AD=4，BC=8，点P从点A出发，沿AD以每秒2个单位的速度向终点D运动，点Q从点D出发，沿折线D-C-B运动，在线段DC

（1）tanC=（2）当四边形PDCQ是平行四边形时，求t的值（3）连接BP、PQ、BQ，当△BPQ是直角三角形时，求t（4）作点C、D关于直线PQ的对称点C'，D'，连接C'，D'，直接写出C'【思路点拨】（1）过点D作DE⊥BC于E，根据矩形的性质得出（2）在Rt△DCE中，勾股定理求得CD=5，DP（3）当点Q在CD上，且∠BPQ=90°时，过点Q作QF⊥AD交AD延长线于F，过点D作DE⊥BC于E，解Rt△QDF，根据tan∠ABP=tan∠FPQ得出APAB=QFPF，即可求解．当点Q在BC上，且∠BPQ=90°时，过点Q和点C分别作QH⊥AD、CG⊥AD交AD延长线于（4）当点Q在线段CD上且C'D'∥AD时，得出DP=DQ，即4-2t=5t，解方程即可求解；当C'D'⊥AD时，设C'D'交AD、BC分别为E、F，则EF=AB，得出FC【解题过程】（1）解；如图所示，过点D作DE⊥BC于∵∠A=∠B∴四边形ABED是矩形，∴DE=AB=3∴CE=在Rt△DCE中，故答案为：34（2）解：∵四边形PDCQ是平行四边形，∴PD∥CQ，PD=CQ即此时点如图所示，在Rt△DCE中，∵AP=2∴DP=∵在线段DC上以每秒5个单位长度的速度运动，在线段CB上以为每秒8个单位的速度运动，∴CQ=8∴8t解得t=（3）解：如图所示，当点Q在CD上，且∠BPQ=90°时，过点Q作QF⊥AD交AD延长线于F，过点D作∵∠A∴AD∥∴∠FDQ∴cos∠FDQ=在Rt△DCE中，sinC∴在Rt△QDF中，QF=∴PF=∵∠A∴∠APB∴∠ABP∴tan∠ABP=∴2t解得t=0（舍去）或t如图所示，当点Q在BC上，且∠BPQ=90°时，过点Q和点C分别作QH⊥AD、CG⊥AD交AD延长线于H、∴AB=HQ=CG=3∴PH=同理可得APAB=QH解得t=1110如图所示，当点Q在BC上，且∠BQP=90°时，则此时四边形∴AP=∴2t解得t=综上所述，当△BPQ是直角三角形时，t=14或（4）解：如图所示，当点Q在线段CD上且C'∴∠DPQ由轴对称的性质可得∠DQP∴∠DPQ∴DP=∴4-2t解得t=当C'D'⊥AD时如图所示，设C'D'交AD、

∴PD'=PD=4-2∴tan∠设FQ=3k，FC∴5k∴k=∴FC'=4∴D'∵DD∴∠E又∵PD'=∴∠PDD'∵PD∥QC，∴∠PD∴∠P∴PD∴∠P∴cos∠∴325解得：t=如图所示，当C'D'在AD上方时，设C'Q

∴PD设∠C=α∵AD∥C'∴C'∴∠MQB∴C'∵D'∴∠D如图所示，延长CD、C'D

∴∠NDP∴∠D∴D'又C'四边形D'又∵PD=∴四边形D'∵C'Q∥∴四边形CQC又∵QC=∴四边形CQC∵C'∵C