2025-2026学年上学期初中数学北师大版（2024）八年级期末必刷常考题之认识证明

第21页（共21页）2025-2026学年上学期初中数学北师大版（2024）八年级期末必刷常考题之认识证明一．选择题（共8小题）1．（2025秋•舟山期中）下列语句不是命题的是（）A．对顶角相等 B．连结AB，并延长至点C C．两直线平行，内错角相等 D．等角的补角相等2．（2024秋•任丘市期末）用反证法证明命题“在△ABC中，AB≠AC，则∠B≠∠C”时，首先应该假设（）A．AB＝AC B．∠B＝∠C C．AB＝AC且∠B＝∠C D．AB＝AC且∠B≠∠C3．（2025春•松江区校级期末）下列各命题的逆命题成立的是（）A．直角都相等 B．如果a＝b，那么a2＝b2 C．对顶角相等 D．两直线平行，同旁内角互补4．（2025秋•龙华区期中）下列命题是真命题的是（）A．相等的两个角是对顶角 B．若|a|＝1，则a＝1 C．内错角相等 D．三角形的内角和等于180°5．（2025秋•朝阳区期中）举反例说明命题“若a＞b，则a2＞b2”是假命题时，可举的反例是（）A．a＝2，b＝﹣1 B．a＝2，b＝0 C．a＝2，b＝1 D．a＝﹣2，b＝﹣36．（2025秋•瑞安市期中）已知命题“如果a2＞4，那么a＞2”，能说明该命题是假命题的一个反例可以是（）A．a＝4 B．a＝2 C．a＝﹣2 D．a＝﹣47．（2025秋•南岗区校级期中）如图，点O是△ABC的重心，连接AO并延长交BC于点D，则下列命题中正确的是（）A．AD是∠BAC的平分线 B．AD是BC边上的高 C．AD是BC边的垂直平分线 D．AD是BC边上的中线8．（2025秋•唐山期中）下列命题的逆命题是真命题的是（）A．若a＝2，则a3＝8 B．如果a＝b，那么a2＝b2 C．钝角三角形中有两个锐角 D．如果两个角是直角，那么它们相等二．填空题（共4小题）9．（2025秋•舟山期中）命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题是：；该命题是命题（填“真”或“假”）．10．（2025秋•榆阳区期中）命题“互为余角的两个角之和等于90°”的逆命题为．11．（2025秋•天河区校级期中）下列命题的逆命题是假命题的有．（填序号）①对顶角相等；②两直线平行，同旁内角互补；③全等三角形的周长相等；④若a＝b，则a2＝b2．12．（2025秋•长春期中）命题“如果a＝b，那么a2＝b2”，该命题是命题．（填“真”或“假”）三．解答题（共4小题）13．（2025秋•海淀区校级期中）对于有理数a，b定义一种幂的新运算：am◎bn＝（ab）m+n+（a+b）mn．其中m，n是正整数，请利用这种运算规则解决下列问题：（1）1◎2的值为；（2）若2◎2t+1＝80，求t的值；（3）这种运算是否满足结合律，即（am◎bn）◎cp＝am◎（bn◎cp）成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，请举一个反例．14．（2025秋•闵行区期中）探究并解决问题：定义一种新的运算，叫做“⊕”运算．按照“⊕”运算的运算法则进行计算：①（+2）⊕（+3）＝+5；②（﹣2）⊕（+3）＝﹣5；③（﹣2）⊕（﹣3）＝+5；④（+2）⊕（﹣3）＝﹣5；⑤0⊕（+5）＝5；⑥（+4）⊕0＝4；⑦（﹣5）⊕0＝5；⑧0⊕（﹣3）＝3．（1）观察上面的算式，请类比有理数的运算法则的学习，归纳“⊕”运算的运算法则：两数进行“⊕”运算时，；一个数与0进行“⊕”运算时，．（2）计算：（﹣3）⊕[2⊕（﹣4）]；（3）有理数加法有结合律，结合律在有理数的“⊕”运算中还适用吗？请你判断并举例验证（注：如果不适用，举出一个反例即可）．15．（2024秋•沙坪坝区期末）学习了等腰三角形后，小渝进行了拓展性探究．他发现，如果作等腰三角形两底角的平分线且与两腰相交，那么等腰三角形的这两条角平分线的长度相等．其解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据他的思路完成以下作图与填空：用直尺和圆规，作∠ABC的平分线，交AC于点E．（不写作法，保留作图痕迹）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BE平分∠ABC交AC于点E，CD平分∠ACB交AB于点D．求证：BE＝CD．证明：在△ABC中，∵AB＝AC，∴①，又∵BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠EBC=12∠ABC，②∴∠EBC＝∠DCB．又∵BC＝③，∴△EBC≌△DCB（ASA）．∴BE＝CD．小渝进一步研究发现，等腰三角形两腰上的高线均有此特征．请你依照题意完成下面命题：等腰三角形两腰上的高线的长度④．16．（2025春•黄石期末）如图，有三个条件：①∠1＝∠2，②∠C＝∠D，③∠A＝∠F，从中任选两个作为已知条件，另一个作为结论，可以组成3个命题，例如：以③作为结论的命题是：如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D，求证：∠A＝∠F．（1）请按要求写出命题：以①作为结论的命题是：；以②作为结论的命题是：；（2）请证明以②作为结论的命题．

2025-2026学年上学期初中数学北师大版（2024）八年级期末必刷常考题之认识证明参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案BBDDDDDA一．选择题（共8小题）1．（2025秋•舟山期中）下列语句不是命题的是（）A．对顶角相等 B．连结AB，并延长至点C C．两直线平行，内错角相等 D．等角的补角相等【考点】命题与定理．【专题】其他问题；模型思想．【答案】B【分析】判断一件事情的语句，叫做命题．由此即可判断．【解答】解：A、C、D中的语句是命题，故A、C、D不符合题意；B、该语句不是命题，故B符合题意．故选：B．【点评】本题考查命题和定理，关键是掌握命题的定义．2．（2024秋•任丘市期末）用反证法证明命题“在△ABC中，AB≠AC，则∠B≠∠C”时，首先应该假设（）A．AB＝AC B．∠B＝∠C C．AB＝AC且∠B＝∠C D．AB＝AC且∠B≠∠C【考点】反证法；三角形内角和定理．【专题】反证法；推理能力．【答案】B【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．【解答】解：用反证法证明命题“若在△ABC中，AB≠AC，则∠B≠∠C时，首先应假设∠B＝∠C，故选：B．【点评】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．3．（2025春•松江区校级期末）下列各命题的逆命题成立的是（）A．直角都相等 B．如果a＝b，那么a2＝b2 C．对顶角相等 D．两直线平行，同旁内角互补【考点】命题与定理；对顶角、邻补角；平行线的性质．【专题】实数；线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】D【分析】分别写出原命题的逆命题后判断正误即可．【解答】解：A、逆命题为相等的角都是直角，不成立，不符合题意；B、逆命题为如果a2＝b2，那么a＝b，不成立，不符合题意；C、逆命题为相等的角是对顶角，不成立，不符合题意；D、逆命题为同旁内角互补，两直线平行，成立，符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．4．（2025秋•龙华区期中）下列命题是真命题的是（）A．相等的两个角是对顶角 B．若|a|＝1，则a＝1 C．内错角相等 D．三角形的内角和等于180°【考点】命题与定理；绝对值；对顶角、邻补角；同位角、内错角、同旁内角；平行线的性质；三角形内角和定理．【专题】三角形；推理能力．【答案】D【分析】根据对顶角、绝对值、平行线的性质、三角形内角和定理判断即可．【解答】解：A、相等的两个角不一定是对顶角，故本选项命题是假命题，不符合题意；B、若|a|＝1，则a＝±1，故本选项命题是假命题，不符合题意；C、两直线平行，内错角相等，故本选项命题是假命题，不符合题意；D、三角形的内角和等于180°，是真命题，符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．5．（2025秋•朝阳区期中）举反例说明命题“若a＞b，则a2＞b2”是假命题时，可举的反例是（）A．a＝2，b＝﹣1 B．a＝2，b＝0 C．a＝2，b＝1 D．a＝﹣2，b＝﹣3【考点】命题与定理．【专题】实数；运算能力．【答案】D【分析】由a、b的值计算出a2、b2的值，即可得到答案．【解答】解：A、a＞b，a2＝4，b2＝1，a2＞b2，不能说明命题“若a＞b，则a2＞b2”是假命题，故A不符合题意；B、a＞b，a2＝4，b2＝0，a2＞b2，不能说明命题“若a＞b，则a2＞b2”是假命题，故B不符合题意；C、a＞b，a2＝4，b2＝1，a2＞b2，不能说明命题“若a＞b，则a2＞b2”是假命题，故C不符合题意；B、a＞b，a2＝4，b2＝9，a2＜b2，能说明命题“若a＞b，则a2＞b2”是假命题，故D符合题意．故选：D．【点评】本题考查命题与定理，关键是由a＞b，得到a2＜b2．6．（2025秋•瑞安市期中）已知命题“如果a2＞4，那么a＞2”，能说明该命题是假命题的一个反例可以是（）A．a＝4 B．a＝2 C．a＝﹣2 D．a＝﹣4【考点】命题与定理．【专题】实数；运算能力．【答案】D【分析】求出a2的值，即可举出反例．【解答】解：A、a2＝16＞4，a＞2，不能说明该命题是假命题，故A不符合题意；B、a2＝4，不能说明该命题是假命题，故B不符合题意；C、a2＝4，不能说明该命题是假命题，故C不符合题意；D、a2＝16＞4，a＜2，能说明该命题是假命题，故D符合题意．故选：D．【点评】本题考查命题与定理，关键是求出a2的值．7．（2025秋•南岗区校级期中）如图，点O是△ABC的重心，连接AO并延长交BC于点D，则下列命题中正确的是（）A．AD是∠BAC的平分线 B．AD是BC边上的高 C．AD是BC边的垂直平分线 D．AD是BC边上的中线【考点】命题与定理；三角形的角平分线、中线和高；三角形的重心；线段垂直平分线的性质．【专题】三角形；应用意识．【答案】D【分析】根据重心的定义进行判断即可．【解答】解：由题知，因为点O是△ABC的重心，所以点O是△ABC三条中线的交点，则AD是BC边上的中线，显然只有D选项符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查了命题与定理、三角形的角平分线、中线和高、三角形的重心及线段垂直平分线的性质，熟知三角形重心的定义是解题的关键．8．（2025秋•唐山期中）下列命题的逆命题是真命题的是（）A．若a＝2，则a3＝8 B．如果a＝b，那么a2＝b2 C．钝角三角形中有两个锐角 D．如果两个角是直角，那么它们相等【考点】命题与定理．【专题】阅读型；推理能力．【答案】A【分析】先写出逆命题，后逐一判断正误即可．【解答】解：A．选项逆命题为：若a3＝8，则a＝2，则该逆命题是真命题，故A符合题意；B．选项逆命题为：如果a2＝b2，那么a＝b，根据a和b可能为相反数，可得该逆命题是假命题，故B不符合题意；C．选项逆命题为：有两个锐角的是钝角三角形，根据三角形可能为直角三角形和锐角三角形，可得该逆命题是假命题，故C不符合题意；D．选项逆命题为：如果两个角相等，那么它们是直角，两相等的角可以是非直角，可得该逆命题是假命题，故D不符合题意．故选：A．【点评】本题考查了命题，逆命题，正确写出逆命题，并正确判断正误是解题的关键．二．填空题（共4小题）9．（2025秋•舟山期中）命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题是：两直线平行，内错角相等；该命题是真命题（填“真”或“假”）．【考点】命题与定理．【专题】其他问题；模型思想．【答案】两直线平行，内错角相等；真．【分析】把命题的条件和结论交换位置，即可得到原命题的逆命题．【解答】解：命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题是：两直线平行，内错角相等；该命题是真命题．故答案为：两直线平行，内错角相等；真．【点评】本题考查命题和定理，关键是掌握写出一个命题逆命题的方法．10．（2025秋•榆阳区期中）命题“互为余角的两个角之和等于90°”的逆命题为两个角之和等于90°，则这两个角互为余角．【考点】命题与定理；余角和补角．【专题】几何图形；应用意识．【答案】两个角之和等于90°，则这两个角互为余角．【分析】根据逆命题的定义：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题，即可解答．【解答】解：根据逆命题的定义：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，则：∵原命题“互为余角的两个角之和等于90°”中，条件是“两个角互为余角”，结论是“这两个角之和等于90°”，∴根据逆命题的定义，交换条件和结论，得逆命题为“如果两个角之和等于90°，那么这两个角互为余角”．故答案为：两个角之和等于90°，则这两个角互为余角．【点评】本题主要考查逆命题，正确进行计算是解题关键．11．（2025秋•天河区校级期中）下列命题的逆命题是假命题的有①③④．（填序号）①对顶角相等；②两直线平行，同旁内角互补；③全等三角形的周长相等；④若a＝b，则a2＝b2．【考点】命题与定理；全等三角形的性质．【专题】证明题；推理能力．【答案】①③④．【分析】先写出命题的逆命题，再逐一判断即可求解．【解答】解：①对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题是假命题；②两直线平行，同旁内角互补的逆命题是同旁内角互补，两直线平行，逆命题是真命题；③全等三角形的周长相等的逆命题是周长相等的两个三角形全等，逆命题是假命题；④若a＝b，则a2＝b2的逆命题是若a2＝b2，则a＝b，逆命题是假命题；综上所述：逆命题是假命题的是①③④，故答案为：①③④．【点评】本题考查了逆命题及命题的真假，正确写出命题的逆命题是解题的关键．12．（2025秋•长春期中）命题“如果a＝b，那么a2＝b2”，该命题是真命题．（填“真”或“假”）【考点】命题与定理．【专题】三角形；推理能力．【答案】真．【分析】根据平方的性质即可判断．【解答】解：“如果a＝b，那么a2＝b2”，该命题是真命题，故答案为：真．【点评】本题考查了真假命题，掌握知识点的应用是解题的关键．三．解答题（共4小题）13．（2025秋•海淀区校级期中）对于有理数a，b定义一种幂的新运算：am◎bn＝（ab）m+n+（a+b）mn．其中m，n是正整数，请利用这种运算规则解决下列问题：（1）1◎2的值为7；（2）若2◎2t+1＝80，求t的值；（3）这种运算是否满足结合律，即（am◎bn）◎cp＝am◎（bn◎cp）成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，请举一个反例．【考点】命题与定理；有理数的混合运算；幂的乘方与积的乘方．【专题】实数；推理能力．【答案】（1）7；（2）1；（3）不成立．当a＝1，b＝﹣1，c＝0，m＝n＝1，（am◎bn）◎cp≠am◎（bn◎cp）．【分析】（1）根据所给规定进行计算即可；（2）根据题意，建立关于t的等式，据此进行计算即可；（3）利用反例等式不成立，若a＝1，b＝﹣1，c＝0，m＝n＝1．【解答】解：（1）由题知，1◎2＝（1×2）1+1+（1+2）1×1＝22+31＝7．故答案为：7；（2）由2◎2t+1＝80得，（2×2）1+t+1+（2+2）1×（t+1）＝80，则4t+2+4t+1＝80，5×4t+1＝80，4t+1＝16，所以t＝1；（3）不成立．设a＝1，b＝﹣1，c＝0，m＝n＝1，am◎bn＝1◎（﹣1）＝（﹣1×1）1+1+（1﹣1）1×1＝1+0＝1，1◎01＝（1×0）1+1+（1+0）1×1＝0+1＝1，即（am◎bn）◎cp＝1；bn◎cp＝（﹣1）◎0＝（﹣1×0）1+1+（﹣1+0）1×1＝0+1＝1，am◎（bn◎cp）＝1◎1＝）＝（1×1）1+1+（1+1）1×1＝1+2＝3所以（am◎bn）◎cp≠am◎（bn◎cp）．【点评】本题考查了命题，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．也考查了有理数的混合运算、幂的乘方与积的乘方．14．（2025秋•闵行区期中）探究并解决问题：定义一种新的运算，叫做“⊕”运算．按照“⊕”运算的运算法则进行计算：①（+2）⊕（+3）＝+5；②（﹣2）⊕（+3）＝﹣5；③（﹣2）⊕（﹣3）＝+5；④（+2）⊕（﹣3）＝﹣5；⑤0⊕（+5）＝5；⑥（+4）⊕0＝4；⑦（﹣5）⊕0＝5；⑧0⊕（﹣3）＝3．（1）观察上面的算式，请类比有理数的运算法则的学习，归纳“⊕”运算的运算法则：两数进行“⊕”运算时，同号得正，异号得负，再把绝对值相加；一个数与0进行“⊕”运算时，正数与0“⊕”运算的它本身，负数与0“⊕”运算得它的相反数．（2）计算：（﹣3）⊕[2⊕（﹣4）]；（3）有理数加法有结合律，结合律在有理数的“⊕”运算中还适用吗？请你判断并举例验证（注：如果不适用，举出一个反例即可）．【考点】命题与定理；有理数的混合运算．【专题】实数；运算能力．【答案】（1）同号得正，异号得负，再把绝对值相加，正数与0“⊕”运算的它本身，负数与0“⊕”运算得它的相反数；（2）9；（3）结合律在有理数的“⊕”运算中不适用，举例见解析．【分析】（1）根据题意得到“⊕”运算的运算法则即可；（2）根据“⊕”运算的运算法则计算即可；（3）根据“⊕”运算的运算法则判断即可．【解答】解：（1）“⊕”运算的运算法则：两数进行“⊕”运算时，同号得正，异号得负，再把绝对值相加，一个数与0进行“⊕”运算时，正数与0“⊕”运算的它本身，负数与0“⊕”运算得它的相反数．或：等于这个数的绝对值；故答案为：同号得正，异号得负，再把绝对值相加，正数与0“⊕”运算的它本身，负数与0“⊕”运算得它的相反数；（2）（﹣3）⊕[2⊕（﹣4）]＝（﹣3）⊕（﹣6）＝9；（3）结合律在有理数的“⊕”运算中不适用．例如：[（﹣3）⊕（﹣2）]⊕0（﹣3）⊕[（﹣2）⊕0]＝+5⊕0＝（﹣3）⊕2＝+5＝﹣5这时，[（﹣3）⊕（﹣2）]⊕0≠（﹣3）⊕[（﹣2）⊕0]，所以结合律在有理数的“⊕”运算中不适用．【点评】本题考查了命题与定理，新运算，正确地理解新的运算的运算法则是解题的关键．15．（2024秋•沙坪坝区期末）学习了等腰三角形后，小渝进行了拓展性探究．他发现，如果作等腰三角形两底角的平分线且与两腰相交，那么等腰三角形的这两条角平分线的长度相等．其解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据他的思路完成以下作图与填空：用直尺和圆规，作∠ABC的平分线，交AC于点E．（不写作法，保留作图痕迹）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BE平分∠ABC交AC于点E，CD平分∠ACB交AB于点D．求证：BE＝CD．证明：在△ABC中，∵AB＝AC，∴①∠ABC＝∠ACB，又∵BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠EBC=12∠ABC，∴∠EBC＝∠DCB．又∵BC＝③CB，∴△EBC≌△DCB（ASA）．∴BE＝CD．小渝进一步研究发现，等腰三角形两腰上的高线均有此特征．请你依照题意完成下面命题：等腰三角形两腰上的高线的长度④相等．【考点】命题与定理；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；作图—基本作图．【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；尺规作图；推理能力．【答案】见图形；∠ABC＝∠ACB，∠BCD，CB，相等．【分析】以B为圆心，任意长为半径画弧交AB与M，交BC于N，分别以M、N为圆心，大于12NM长为半径画弧，两弧交于K，过K作射线BK交AC于E由等腰三角形的性质推出∠ABC＝∠ACB，由角平分线定义得到∠EBC=12∠ABC，∠BCD=12∠ACB，因此∠EBC＝∠DCB，即可证明△【解答】如图所示，BE平分∠ABC；证明：在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，又∵BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠EBC=12∴∠EBC＝∠DCB，又∵BC＝CB，∴△EBC≌△DCB（ASA）．∴BE＝CD．小渝进一步研究发现，等腰三角形两腰上的高线均有此特征，依照题意完成命题：等腰三角形两腰上的高线的长度相等．故答案为：∠ABC＝∠ACB，∠BCD，CB，相等．【点评】本题考查命题与定理，全等三角形的判定和性质，作图﹣基本作图，角平分线定义，关键是判定△EBC≌△DCB（ASA）．16．（2025春•黄石期末）如图，有三个条件：①∠1＝∠2，②∠C＝∠D，③∠A＝∠F，从中任选两个作为已知条件，另一个作为结论，可以组成3个命题，例如：以③作为结论的命题是：如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D，求证：∠A＝∠F．（1）请按要求写出命题：以①作为结论的命题是：如图，已知∠C＝∠D，∠A＝∠F，求证：∠1＝∠2．；以②作为结论的命题是：如图，已知∠1＝∠2，∠A＝∠F，求证：∠C＝∠D．；（2）请证明以②作为结论的命题．【考点】命题与定理．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】（1）已知∠C＝∠D，∠A＝∠F，求证：∠1＝∠2；已知∠1＝∠2，∠A＝∠F，求证：∠C＝∠D；（2）证明见解析．【分析】（1）根据题意要求写出已知求证，写出命题即可求解；（2）根据平行线的判定可得DB//EC，DF//AC，根据平行线的性质可得∠DBA＝∠C，∠D＝∠DBA，等量代换即可得证．【解答】解：（1）以①作为结论的命题是：如图，已知∠C＝∠D，∠A＝∠F，求证：∠1＝∠2．以②作为结论的命题是：如图，已知∠1＝∠2，∠A＝∠F，求证：∠C＝∠D．故答案为：如图，已知∠C＝∠D，∠A＝∠F，求证：∠1＝∠2；（2）∵∠1＝∠2∴DB//EC∴∠DBA＝∠C∵∠A＝∠F∴DF//AC∴∠D＝∠DBA∴∠C＝∠D．【点评】本题考查了命题，平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．

考点卡片1．绝对值（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．①互为相反数的两个数绝对值相等；②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．③有理数的绝对值都是非负数．（2）如果用字母a表示有理数，则数a绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）2．有理数的混合运算（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．3．幂的乘方与积的乘方（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（am）n＝amn（m，n是正整数）注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．（ab）n＝anbn（n是正整数）注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．4．余角和补角（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．5．对顶角、邻补角（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．（3）对顶角的性质：对顶角相等．（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．6．同位角、内错角、同旁内角（1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．（2）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．（3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．（4）三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．7．平行线的性质1、平行线性质定理定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．2、两条平行线之间的距离处处相等．8．三角形的角平分线、中线和高（1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．9．三角形的重心（1）三角形的重心是三角形三边中线的交点．（2）重心的性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．③重心到三角形3个顶点距离的和最小．（等边三角形）10．三角形内角和定理（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．（3）三角形内角和定理的证明证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．（4）三角形内角和定理的应